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全国数学建模竞赛一等奖论文

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交巡警服务平台的设置与调度

摘要

由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。

对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。

其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。

最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。

对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。

其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。

【关键字】：不同权重的平台调整评价 模糊加权分析 最短路 二分图匹配

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目 录

一、问题重述 ...........................................................3

二、问题分析 ...........................................................3

三、模型假设 ...........................................................3

四、定义与符号说明 .....................................................3

五、问题一 平台管辖范围的确定 ..........................................4

5.1 建模分析 ................................................................ 4

5.2基于上下界网络流模型的平台管辖范围的确定 ................................ 4

5.3 结果及其分析与评价 ...................................................... 5

六、问题一 交巡警调度方案的确定 ........................................6

6.1 建模分析 ................................................................ 6

6.2 基于二分图完美匹配模型的调度方案的确定 .................................. 6

6.3 结果及其分析与评价 ...................................................... 6

七、问题一 平台设置调整方案的确定 ......................................7

7.1 建模分析 ................................................................ 7

7.2 指标体系 ................................................................ 7

7.3基于不同权重的平台调整评价模型的平台设置方案 ............................ 7

7.4 结果及其分析与评价 ...................................................... 8

八、问题二 平台设置方案评价及调整 .....................................10

8.1 建模分析 ............................................................... 10

8.2 评价现有方案的合理性 ................................................... 10

8.3 基于模糊加权分析模型，确定平台增加或改变数量 ........................... 11

8.4利用基于不同权重的平台调整评价模型，确定增加或改变的平台位置 ........... 12

8.5 利用问题一基于不同权重的平台调整评价模型确定优化方案 ................... 13

8.6 结果及其分析与评价 ..................................................... 13

九、问题二 全市围堵方案的确定 .........................................13

9.1 建模分析 ............................................................... 13

9.2 基于二分图的完美匹配模型的围堵方案 ..................................... 13

9.3 可节省警力资源的分阶段围堵方案 ......................................... 14

十、参考文献 ..........................................................16

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一、问题重述

现需在某市的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同，但警务资源有限。故需根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。

(1)已知A区交通网和现有20个交巡警服务平台的位置。建立数学模型，为各平台分配管辖范围，使其管辖范围内出事时，尽量在3分钟内（车速为60km/h）赶到。

(2)若有重大突发事件，需调度全区20个交巡警服务平台的警力，建立模型计算如何用最短时间对进出该区的13条交通要道实现全封锁。一个平台最多封锁一个路口。

(3)根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，建立模型确定需要增加平台的具体个数和位置。

(4)已知城区的面积、人口、发案率，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，评价全市A，B，C，D，E，F六区现有交巡警服务平台设置方案，并给出优化解决方案。

(5)P（32号节点）处发生重大案件，案发3分钟后接到报警，罪犯已逃跑。需用最短时间搜捕罪犯。在现有平台设置方案下建立模型，给出调度全市平台的最佳围堵方案。

二、问题分析

要求各平台（车速为60km/h）尽量在3分钟内赶到事发地，即平台与其辖区内各节点的最短路尽量在3km内。每个交巡警服务平台的工作能力有限，各节点发案率高低不同。分配平台管辖范围和确定围堵方案时，应考虑让各平台工作量尽量均衡。

平台工作量即出警次数，可用其标准差来衡量均衡性。出警时间长短则用节点与平台的距离来判断。确定评价指标，对现有方案合理性进行评价，通过计算比较确定需要增加平台的具体个数和位置。

三、模型假设

(1)假设一个路口节点可以被多个交巡警服务平台管辖管辖。

(2)假设A、B、C、D、E、F区域内的交巡警服务平台只管辖各自区域内的节点。

(3)假设在发生重大刑事案件时A、B、C、D、E、F区域内的交巡警服务平台都可封锁进出全市的各个路口。

(4)假设犯罪嫌疑人逃跑的时速为60km/h。

四、定义与符号说明

(1)节点A与节点B的距离是指从A出发到达B通过的最短路径的距离，距离节点最近的平台即指到达该节点路径最短的平台。

(2)交巡警通过最短路，从平台出发到达目标路口所用的时间为出警时间。

(3)平台的出警次数可衡量平台工作量大小。

(4)符号说明

iv：路口节点 ijD：交通网络中任意两点间最短路距离

maxD：最远距离 iC：该节点平均每天的发生报警案件数量

均C：人均发案率 iC：节点等效的平均每天发生报警案件数量

v：区域平台出警次数标准差 Q：1个平台最多只能管辖Q个路口节点

u：平台工作量影响力的权重 ik：一个节点最多可被ki个平台管辖

v：出警时间影响力的权重 jh：交巡警服务平台的出警次数（工作量）

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五、问题一 平台管辖范围的确定

5.1 建模分析

将所有路口看作节点vi（i=1,2，……，92），已知平台Aj（j=1,2，……，20）也位于节点上。因为平台与节点之间可能有多种到达方式，所以该网络是一个加权无向图。

交巡警要在3分钟内以时速为60km/h到达事发地，则平台距事发地的最短路应不大于3000米。此外，在分配平台管辖范围时，也应考虑到平台出警次数的均衡性。

5.2基于上下界网络流模型的平台管辖范围的确定

5.2.1 基于无向图上任意两点最短路模型的初始方案

为了讨论方便，先引入图论中的相关定义：

定义1 无向图中，任意两点路径为保持两点连通性的点集，两点间路径不是唯一的。

定义2 路径的权值为路径上点权之和，最短路径为加权最小的路径。

定义3 设G(V1,V2,E)是一个二分图，M是E的一个子集，如果M不含环且任意两边都不相邻，则称M为G的一个匹配。

在最短路理论中有以下定理：

定理1 最短路径的子路径是最短路径，最短路具有最优结构，可使用动态规划解决。

定理2 设Di,j,k为从i到j的只以(1,2,…,k)集合中的节点为中间节点的最短路的长度。

1) 若最短路径经过点k，则Di,j,k = Di,k,k − 1 + Dk,j,k − 1；

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全国大学生数学建模国 家奖优秀论文

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在当今高度数字化和信息化的时代，数学建模已经成为解决各种实际问题的重要工具。全国大学生数学建模竞赛作为一项具有高度影响力的赛事，每年都吸引着众多优秀学子参与，而能够获得国家奖的优秀论文更是代表着学生在数学建模领域的卓越成就。

数学建模的本质是将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来求解，从而为实际问题提供有效的解决方案。这些获奖论文通常具有一些显著的特点。

首先，它们能够准确地把握问题的关键。在面对复杂的实际问题时，参赛学生需要迅速理清问题的核心，明确问题的约束条件和目标。例如，在研究城市交通拥堵问题时，关键可能在于分析车流量、道路容量、信号灯设置等因素之间的关系，并确定如何优化交通流量以减少拥堵。

其次，优秀论文中的模型建立具有创新性和合理性。学生们不会拘泥于传统的模型和方法，而是敢于尝试新的思路和技术。他们可能会结合多种数学方法，如概率论、线性规划、微分方程等，构建一个综合性的模型，以更精确地描述问题。

再者，数据处理和分析能力也是至关重要的。为了验证模型的有效性，需要收集大量的数据，并进行有效的清洗、整理和分析。在这个过程中，学生们需要运用统计学知识，判断数据的可靠性和代表性，运用合适的方法对数据进行拟合和预测。

以一篇关于电商平台商品推荐系统的数学建模论文为例。在这篇论文中，学生们深入研究了用户的购买历史、浏览行为、评价等数据，通过构建协同过滤模型和基于内容的推荐模型，为用户提供个性化的商品推荐。他们不仅考虑了用户的兴趣偏好，还考虑了商品的热门程度、时效性等因素，使得推荐结果更加准确和实用。

在模型求解方面，他们采用了高效的算法和计算工具，如 Python 中的相关库和机器学习框架，快速得到模型的解。并且，通过大量的实验和对比分析，验证了模型的性能和优越性。

此外，优秀的论文还注重结果的解释和应用。模型求解得到的结果不是孤立的数字，而是需要结合实际情况进行合理的解释和分析。比如，在上述电商推荐系统的论文中，学生们详细阐述了推荐结果对电商平台销售额、用户满意度等方面的影响，并提出了相应的改进建议和策略。

全国大学生数学建模大赛A题全国一等奖论文

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1 / 35 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 1 / 35 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

1 / 35 城市表层土壤重金属污染分析

摘要

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出，城市土壤表层的重金属污染问题日益严重。本文采用克里格插值法绘制污染物空间分布图，内梅罗评价法对污染状况进行评价，相关分析和主成分分析去探究污染原因，建立二维传播模型确定污染源位置。

针对问题1，为了解决污染物空间分布问题，我们首先采用统计分析的方法大致分析了污染物在各个研究区的分布离散度等情况，然后根据克里格插值法用MAPGIS软件绘制了重金属污染物的空间等值线图并对其进行分析。为了解决污染程度问题，我们采用尼罗德评价法，分析出生活区Zn污染最为严重，整体一般清洁，工业区和交通区污染较为严重，山区和公园绿地大体环境清洁。

2000年全国大学生数学建模竞赛优秀论文一等奖C题(航程计算的数学模型)-3页

2000年全国大学生数学建模竞赛优秀论文一等奖C题(航程计算的数学模型)-3页

航 程 计 算 的 数 学 模 型

摘要: 本文对飞机航线飞行距离计算的数学模型进行了概述, 并对 2000 年全国大学生数学建模竞赛的C

题答卷进行了评述.

假定飞机保持飞行高度 10 千米作匀速飞行, 忽略起飞、降落和地球自转和公转的影响,

C 题可以归结为求飞越通过指定各点的球面或旋转椭球面上的短程线(或测地线) 的航线与飞越直接连结北京上空 10 千米至底特律上空 10 千米的经过北极圈的新航线的时间差. 又由于假设飞机作时速为 980 千米/小时的匀速飞行, 问题又可归结为求相应的航程差.

1 地球为球体的情形

取直角坐标系如下: 以球心为原点, z 轴指向北极, x 轴通过赤道上经度为 0°和 180°的两点, 正向指向 0°, y 轴垂直于 x 轴和 z 轴, 构成右手坐标系.

在半径 r= 6381 (千米) 的球面上建立球面坐标系(Υ, Η) , 由于航线在北半球, 我们取Υ和北纬度一致, Η和东经度一致. 因此航线上某处的地理坐标为(f , l) , 可用以下方法得到对应的球面坐标(Υ, Η) :

Υ= f × Π/180

Η°= l, l 为东经

360 - l, l 为西经

Η= Η°× Π/180

应有 x

=

r

co s Υco s Η,

y = r co s Υ sin Η,

z = r sin Υ

若球面上两点的球面坐标为(Υ1 , Η1 ) , (Υ2 , Η2 ) , 过这两点的短程线是过这两处的大圆的劣圆弧(即长度较短的一条大圆弧). 从球心指向此两点的矢量分别为

( r co s Υi co s Ηi , r co s Υi sin Ηi , r sin Υi ) , i = 1, 2

设它们的夹角为 Α, 则有

co s Α= co s Υ1 co s Η1 co s Υ2 co s Η2 + co s Υ1 sin Η1 co s Υ2 sin Η2 + sin Υ1 sin Υ2

数学建模国家一等奖 论文

数学建模国家一等奖 论文

1 地面搜索问题的优化模型

摘 要

本文针对地面搜索过程中人员安排和路线选择问题，建立了优化模型，并给出了相应算法，用LINGO软件编程，在确保所有地点都不遗漏且不重复的情况下，合理安排人员和线路，使得搜索用时最短。

问题一的求解中，把20个搜索队员排成一行，向前搜索。从局部和总体两个方面对人员行进和路线选择。在局部方面，考虑到人员行进中90度和180度转弯的情况，给出了两种转弯策略，并计算出这两种转弯的情况需要多耗费的时间；在总体方面，把需要进行搜索的区域分割成的126个方格，利用一笔画原理，判断出这些方格可以用一条不重复的线路走完。考虑到转弯需要多耗费时间，建立了以转弯次数最少，并且从起始点开始不重复行走到达集结点的模型，利用LINGO软件进行编程求解，得到了最少转弯的模型。考虑到具体情况，对上述模型得到的路线进行适当调整，得到最终的搜索线路安排图。根据图表，计算出20个队员进行搜索需要50.117小时，无法在48内完成搜索任务。

考虑到队员和组长距离不超过1000米，设计一种让20名搜索队员组成的队伍和新增人员组成的队伍进行交替行进的模型，以确保让整个搜索过程控制在48小时以内。最后给出了该行进模型的相应算法，通过计算，得出增加2个队员可以确保搜索在48小时内完成。

问题二的求解中，首先对50名人员分3组进行分析，由于矩形区域被分割后形成的小区域恰好能被20人组成的一个队列一次搜索覆盖，以及10人组成的一个队列一个来回的搜索覆盖，于是3组可分为：2个队伍为20人，1个队伍为10人。随后进行队伍搜索区域的划分，根据各个队伍人数确定该组分配到的方格的数量，划分出各个队伍的搜索区域。然后对三个区域进行搜索路径的优化求解，改进问题一的模型，求出三个区域的搜索路径。再根据实际情况，对路径进行适当修改，得出20人的2个队伍，需要19.816小时，10人的队伍需要20.294小时。根据先完成搜索任务的队伍能否有足够的时间来帮助未完成搜索任务的队伍提早完成任务的时间要求，判断出该解是可以接受的。于是得到50人进行搜救的时间为20.294小时。