中心极限定理

中心极限定理

第一篇：中心极限定理

中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorems）

什么是中心极限定理

大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式

中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

（一）辛钦中心极限定理

设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则

随机变量，在n无限增大时，服从参数为a

和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n

趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理

设

差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞

时，则对任意的x有：

该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

（四）林德贝尔格定理

设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。

中心极限定理案例分析

案例一：中心极限定理在商业管理中的应用

水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：

（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？

（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？

解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则

X～B（5000，0.01）

拥挤的概率是

有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985，故

即拥挤的概率 P(ζ > 45)= 1 − 0.2389 = 0.7611

（2）欲求m，使得

即

由于

即

查表

即

需装62个水龙头。

问题的变形：

（3）至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？

解：欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥66.4

故需要装67个水龙头。

（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解：（1）

（2）同上。

（5）若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?

解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则

X-B(5000，0.015)

已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75，拥挤的概率达

(2)欲求m，使得

即

由

即 查表

即m≥89.14

故需装90个水龙头。

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

第二篇：中心极限定理

第五章

中心极限定理

教学要求

1．掌握切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫、伯努里、辛钦大数定律成立的条件及结论理解其直观意义．

3．掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格叫心极限定理(独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．  本章重点：运用中心极限定理近似计算有关随机事件的概率  教学手段：讲练结合

 课时分配：4课时

本课程一开始引入事件与概率的概念时，我们就知道就一次试验而言，一个随机事件可以出现也可不出现，但作大量的重复试验则呈现出明显的规律性——统计规律性。即，任一事件出现的频率是稳定于某一固定数的，这固定数就是该事件在一次试验下发生的概率，这里说的“频率稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，“大数定律”就是解释这一问题的。

另外在前一章介绍正态分布时，我们一再强调正态分布在概率统计中的重要地位和作用，为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅是一些人的经验猜测还是确有理论依据，“中心极限定理”正是讨论这一问题的。 §5.1随机变量序列的两种收敛性

假设1(),2(),,n(),是定义在同一概率空间（，F, P）上的一列随机变量，显然，其中每个r.v，k()可以看成是定义在概率空间上的一个有限可测函数，因此，我们可以象在实变函数论中对可测函数列定义收敛性一样，给出随机变量列{k()}的收敛性概念。

以下我们讨论时，总假定r.v列{n}和r.v.都是定义在同一概率空间（，F,P）上的，对于某样本点0，显然{n(0)}可视为一普通实数列，(0)则可看作一实数，此时若有limn(0)(0)，则称随机变量列{n}在点0收敛到。若对任意n，均有

limn()()，则称{n}在上点点收敛到。但在本章的讨论中，我们没有必n要对{n}要求这么高，一般是考虑下面给出的收敛形式。

定义5.1 设有一列随机变量,1,2,，如对任意的＞0，有

limP{:n()()}0

（5.1）

n则称{n}依概率收敛到，并记作

P

（5.2）

limn

nP或

n ,

（5.3）（5.1）式也等价于limP{n}}0

n

从定义可见，依概率收敛就是实函中的依测度收敛。

P

我们知道，随机变量的统计规律由它的分布函数完全刻划，当n时，其相应的分布函数Fn(x)与F(x)之间的关系怎样呢？

例5.1 设n(n1)及都服从退化分布：

1P{n}1,n1,2, nP{0}11对任给＞0，当n＞时，有P{n}P{n}0 P所以

n,(n)

10n 而n的d.f为

Fn(x)

1x1n0x0

 的d.f为

F(x)

x01易验证 当x0时，有Fn(x)→F(x)（n→）

x但x0时，Fn(0)1不趋于F(0)0

上例表明，一个随机变量依概论收敛到某随机变量，相应的分布函数不是在每一点都收敛，但如果仔细观察这个例，发现不收敛的点正是F(x)的不连续点，类似的例子可以举出很多，使人想到要求Fn(x)在每一点都收敛到F(x)是太苛刻了，可以去掉F(x)的不连续点来考虑。

定义5.2设{Fn(x)}为一分布函数序列，如存在一个函数F(x)，使在F(x)的每一连续点x，都有limFn(x)F(x)

n则称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于F(x)，并

W记作Fn(x) F(x)

n

（5.4）定义5.3

设r.v.n(n1)和的分布函数分别为Fn(x)，F(x)，若

WLFn(x)F(x)n，则称n按分布收敛于，并记作

n（n）PL定理5.1 若n，则n 证

对于xR,任取xx，因有

(x)(nx,x)(nx,x)(nx)(nx,x)故

P(x)P(nx)P(nx,x)

即 F(x)Fn(x)P(nxx)

P因

n，故P(nxx)0

Fn(x)所以有 F(x)limn同理可证，对xx

有F(x)limFn(x) n于是对任意

xxx有F(x)limFn(x)limFnF(x)

nn令xx,xx，有F(x0)limFn(x)limFnF(x0)

nn若x是F(x)的连续点，就有limFn(x)F(x)。

证毕。此定理的逆不真。

n例5.2 抛掷一枚均匀硬币，记1=“出现正面”，2=“出现反面”

1则P(1)P(2)

211令

n()

n=1，2，……

022

1()

10因Fn(x)与F(x)完全相同，显然有Fn(x)→F(x)对xR1成立。但 P{n12}P(n0,1)P(n1,1)

11111

=。

对n1成立

22222P∴

n不成立。

一般来说，按分布收敛不能推出依概率收敛，但在特殊情况下，却有下面的结果。

PL定理5.2

设C是一常数，P(C)1，则nn，CnC）（即n，PL证（）由定理4.1推得（）（不妨就设C）对任给0，有

P{nC}P(nC)P(nC)1Fn(C)Fn(C0)

(5.5)因

C的分布函数为

0xCW只在xc处不连续，而c处都是连续的，由