几何作图认识几何作图和作图工具

几何作图的无刻度直尺技巧与实践

几何作图是数学教育中非常重要的一个环节。无论是在应用数学中还是在纯理论研究中，作图都扮演着至关重要的角色。而对于初学者来说，掌握几何作图的技巧和方法是一项基本的要求。本文将介绍一种有效的作图工具——无刻度直尺，以及一些技巧和实践经验，帮助读者更好地进行几何作图。

一、无刻度直尺的特点

在传统的几何作图中，常用的工具是铅笔、尺子和圆规。然而，在某些情况下，这些工具并不能满足需求，特别是在需要绘制非标准尺寸图形时。无刻度直尺就是一个很好的替代品。

无刻度直尺没有具体的刻度，而是采用了其他方式来实现作图。它通常由透明材料制成，上面印有一些标记或者刻度线。通过对几何原理的理解和掌握，配合这些标记或者刻度线，我们就可以完成准确的作图。

二、无刻度直尺的使用技巧

1. 标记与划线

在使用无刻度直尺进行作图时，首先需要确定一些标记点。这些标记点可以是已知的长度或者角度，也可以是图形的特定点。通过将无刻度直尺与这些标记点对齐，我们可以准确地划出所需的线段、角度等。 2. 锚定与对准

无刻度直尺是一个透明的工具，在使用时需要特别注意对准。将无刻度直尺的一条边锚定在图纸上的某一点上，确保它牢固地固定在那里。然后，通过调整无刻度直尺的位置，使另一条边与需要的线段或者角度对齐。这样，我们就可以利用无刻度直尺的边缘来进行划线。

3. 辅助线的绘制

在某些复杂的作图中，我们可以借助无刻度直尺绘制一些辅助线，使得整个作图过程更加简化和易于理解。通过对图形的分析和推理，我们可以确定需要绘制的辅助线的位置和角度，并利用无刻度直尺进行划线。

三、几何作图的实践经验

1. 熟悉常用几何形状

在进行几何作图之前，首先需要对常用的几何形状和相应的作图方法进行了解和熟悉。例如，熟悉直线、线段、角度、三角形、圆等的特性和作图方式，这样可以更好地应对各种作图需求。

2. 理解几何原理

几何作图并不是简单地按照给定的要求进行机械操作，而是需要理解几何原理并将其应用于实际的作图过程中。通过深入理解几何原理，我们可以更好地把握作图的思路和方法，提高作图的准确性和效率。

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几何画板“三维坐标作图工具包”的使用说明

兼谈空间简单几何体的作图方法

向 忠 (18182301635)

（重庆市万州第二高级中学教师）

“三维坐标作图工具包”为几何画板实现3D作图而研制，它包含如图所示系

列工具，工具假设条件为坐标原点、x轴、y轴、z轴的单位点，其标签分别设

为O、i、j、k，系统角度参数设为“弧度”，其中系列0为三维坐标系工具，系

列1为绘点工具(分别为直角坐标点、球面坐标点和柱坐标点)、系列2为坐标变

换工具，系列3~7为特效点线面工具。下面以正四面体和球面的绘制为例，介绍

本工具包的使用方法。

一、多面体的作法

【例1】作棱长为6，绕中心滚转的正四面体

作法：

1.新建参数值0、3，计算-3

、3

、-3

、-23

、-0.56

、1.56；

2.用点工具1.1作顶点

A(-23

,0, -0.56)、

B(3

,3, -0.56)、

C(3,-3,

-0.56)、D(0,0,1.56)；

3.用绘图工具5.2作虚实棱：如作棱BD，从正四面体外部看棱BD，若以

B 2

为南D为北，则面BDC在西、面BDA在东，工具南北东西依次匹配点B、D、

A、C，得虚实棱BD；同法作各条棱，完成各棱可虚实转化的正四面体；

4.选中控制台中红蓝绿三点，作动画按钮，三点速度分别设为0.1、0.15、0.2，

单击动画按钮，正四面体ABCD绕中心滚转。

5.用绘图工具4.1为正四面体ABCD各面着色：如面BDC，从正四面体外部

看面BDC，先逆时针方向依次选中顶点BDC，作△BDC内部和线段e，再用工

具依次匹配△BDC内部和线段e，接着按隐藏按钮，隐藏△BDC内部，并调节

线段e上相应色点的位置，自定义面BDC的颜色；完成各面着色，可得下图

二、作曲面的作法

【例2】作绕球心滚转的半径为4的球面

作法：

1.新建参数r=4、θ、φ，计算θ+π/12、φ+π/12；

2.用点工具1.2依次匹配r、θ、φ得北点N，依次匹配r、θ、φ+π/12

“工具作图”和“尺规作图”

研究几何问题，离不开图形。为了画出符合一定条件的图形，要借助一定的绘图工具。我们在小学和初中一年级学习了用刻度尺、量角器、三角板、圆规等多种工具画线段、角、平行线、垂线、正方形、长方形、圆等图形。用这些绘图工具绘图叫做工具作图。

如果作图工具只允许用直尺和圆规来画图，就称为尺规作图(也称为几何作图)。这里的直尺是没有刻度的。在尺规使用上，还规定了以下三种使用方法，这就是几何作图的三个公法：

1．通过两点可以引一条直线(或在两点间可以连结线段)；

2．一线段可以任意延长；

3．以定点为圆心、定长为半径可以作一个圆(或一段弧)。

几何作图就是以公法为依据、有限次使用直尺和圆规两种工具的作图方法。

既然作图工具有多种，为什么又要限制直尺和圆规这两种工具，而且对它们的使用又规定了严格的公法呢？这是因为几何图形的画法有一个历史发展的过程。第一，历史上，几何一直被认为是理论推演的科学，它是在极少数几个公理的基础上推演出来的。在推演过程中，常需要画出图形，特别是一些基本的图形。上述的作图公法就是与公理相符的最基本的作图方法。第二，古代人们认为画图工具本身都有误差，用它们作图不可靠。初等几何研究的对象是直线、圆或由它们组合的图形，缺少这两种工具的任何一种就无法作图，所以只好限制这两种工具，而排除其他各种画图工具(尽管它们会给作图带来方便)，这个规定一直沿袭到现在。

正由于几何作图受到了工具和方法的限制，因此，几何作图中就出现一些无法解决的问题，这就是“几何作图不能问题”。例如“三等分任意角”就是其中最著名的一个不能问题。所谓“不能”，就是指利用直尺和圆规，严格按照作图公法是不能作出这个图形的。几千年来直到今天，不知有多少人，花费了多少心血去研究这个问题，但都没有解决。随着数学的发展，后来人们用高等代数的知识证明了它是一个不能的问题。

几何作图的基本作图，一般认为有以下六个，它们是一切几何作图的基础：

第七讲尺规作图

尺规作图的基本知识

一、 几何作图的含义和意义

含义：给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几 何作图是存在问题的证明。

意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：学以致用： 为制图学提供理论基础：培养逻辑思维能力。

二、 作图公法

（1） 通过两个已知点可作一直线；

（2） 已知圆心和半径作圆：

（3） 若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交， 则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。

三、作图成法

我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。它可以在 以后的作图中直接应用。下而列举一些：

（1） 任意延长已知线段。

（2） 在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

（3） 以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。

（4） 已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。

（5） 已知一直角边和斜边，作直角三角形。

（6） 作已知线段的中点。

（7） 作已知线段的垂直平分线。

（8） 作已知角的平分线。

（9） 过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。

（10） 过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

（11） 已知边长作正方形。

（12） 以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。 （14）过圆上或圆外一点作圆的切线。

（16） 作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。

（17） 作一线段，使之等于两已知线段的和或差。

（18） 作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。

（19） 内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。

（20） 作已知三线段a.b.c的第四比例项。

（21） 作已知两线段匕“的比例中项。

（22）已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1 （a>b）. 四、解作图题的步骤