热力学与统计物理学思考题及习题

热力学与统计物理学思考题及习题

《热力学与统计物理学》思考题及习题

第一章 热力学的基本定律

§1.1 基本概念

1． 试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压缩系数κ。

2． 假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为 )1(Bp RT

pv += , 式中B 只是 温度的函数。求βα、和κ，并给出在0→p 时的极限值。

3． 设一理想弹性棒，其状态方程是

-=22

00L L L L kT F 式中k 是常数，0L 是张力F 为零时

棒的长度，它只是温度T 的函数。试证明：

(1) 杨氏弹性模量 2

2

03AL

kTL A F

L F A L Y T +=??? ????=；

(2) 线膨胀系数 AYT F T L L F -=??? ????=

01αα，其中F

T L L

=000

1α，A 为弹性棒的横截

面积。

4． 某固体的

V

Bp CT -=

2α，

V

BT =

κ，其中B 、C 为常数，试用三种方法求其状态方

程。

5． 某种气体的α及κ分别为：pV R

να=

,

V a

p

+

=

1κ,其中ν、R 、a 都是常数。求此气

体的状态方程。

6． 某种气体的α及k 分别为：

()p f V aVT 1

3

4

+=

α，

2

Vp RT

=

κ。其中a 是常数。试证明：

(1) ()2

/p R p f =；

(2) 该气体的状态方程为：T ap RT pV /-=。

7． 简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数κ的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。试证明其状态方程可表为： )0,(),(00T V p T V =[p

T T κα--+)(10]。

8． 磁体的磁化强度m 是外磁场强度H 和温度T 的函数。对于理想磁体，从实验上测

得： T C H m T =

， 2T

CH T m H -=??? ???? ， T CH m =。

其中C 是居里常数。试证明其状态方程为：m =。

9． 求下列气态方程的第二、第三维里系数：

(1) 范德瓦耳斯方程

RT

b v v

a p =-+

))((2

；

(2) 克劳修斯方程b

v RT p -=

2

)

(c v T a +-

。

§1.2 热力学第一定律

1．1摩尔范德瓦耳斯气体，在准静态等温过程中体积由1v 膨胀到

2

v ，求气体所作的功。

2． 某种磁性材料，总磁矩M 与磁场强度H 关系是H V M χ=/，其中V 是材料的体积，

χ 为磁化率，在弱磁场中某一温度区域内T C /=χ，C 为常数，现保持体积恒定，通过下列两个过程使M 增加为M 2： (1) 等温准静态地使H 增加为H 2； (2) 保持H 恒定，使温度由T 变为2/T 。

试在M H -图上画出过程曲线，并确定环境所作的功。

3． 理想气体经由图中所示两条路径 ①ABC

),1T 变化 到终态),,(222T V p C ：试证明： (1) 内能U 是状态的函数，与路径无关。

(2) 功和热量与过程有关。

4． 小振幅纵波在理想气体中的传播速度为ρ

d dp v =

,p 为周围气压，ρ为相应气体的密

度。试导出：

(1) 等温压缩及膨胀时气体中的声速； (2) 绝热压缩及膨胀时气体中的声速。 5． 设理想气体的

V

P C C /=γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和V 关系。在这

个关系中用到一个函数

)

(T F ，其表达式为 -=

T dt T F )1()(ln γ

。

6． 一固体的状态方程为BT

Ap V V +-=0，内能为CT A BTV U +=/，其中

,,,V C B A 都是常数，试计算

V

C 和

P

C 。

7． 热容量为C （常数）、温度为1T 的物体作为可逆机的热源，由于热机吸热作功而使物

体

的温度降低。设冷源的温度为

T ，试求出当物体的温度由1T 下降到

T 的过程中所放出的热

量有多少转换成机械功？不能作功的热量有多少？ 8． 有一建筑物，其内温度为T ，现用理想热泵从温度为

T 的河水中吸取热量给建筑物供

暖，

如果热泵的功率（即转换系数）为W ，建筑物的散热率为)

(0T T -α，α为常数。

(1) 求建筑物的平衡温度；

(2) 如果把热泵换为一个功率为W 的加热器直接对建筑物加热，说明为什么不如用热泵合算。

*9﹒讨论以热辐射为工作物质的卡诺循环。辐射场的内能密度由斯忒藩—玻耳兹曼定律

4

T u σ=给出，式中T 为绝对温度，σ为常数，辐射压强p 由状态方程 u

p 31=

给出。

§1.3 热力学第二定律

题3图

1． 从同样的A 态到B 态，若是可逆过程，则

=

-B A

A B T dQ

S S ，若是不可逆过程，则

>

-B A

A B T dQ

S S 。有人认为上两式右端一样，但一个是等式，另一个是不等式，可见熵与

过程有关，或者说，仅在可逆过程中，熵是态函数。特别是?

T dQ

仅对可逆过程成立，所以

熵不是态函数。这种认识对吗？为什么？

2． 已知态B 的熵B S 小于态A 的熵A S ，由熵增加定理，这是否意味着由态A 不可能通过 一个不可逆过程到达态B ？

3． 如图所示的循环过程，热机吸收热量多少？作功多少？效率多少？

题3图

4． 在宇宙大爆炸理论中，初始局限于小区域内的辐射能量以球对称方式绝热膨胀，随着膨

胀，辐射冷却。已知黑体辐射能密度4

aT

V U u ==

，辐射压强

V U

p 31=

，其中a 为常数。

设K T 0=时熵为零，求熵的表达式以及温度T 与辐射球半径R 的关系。

5． 有A 和B 两个容器，每个容器内都包括含有N 个相同的单原子分子理想气体温表，起

初这两个容器彼此绝热，两容器内气体的压强均为p ，温度分别为A T

和B T 。现将两个容器

进行热接触，但各自的压强仍保持在p 值不变，试求二者热平衡后整个系统的熵变量。

6． 两部分完全相同的经典理想气体，具有相同的压强p 和粒子数N ，但它们分别装在体 积为

1

V 和

2

V 容器中，温度分别为1T 和

2

T 。现将两容器接通，试求其熵的改变量。

7． 两相同的理想气体，开始分别处于两个大小不同的容器中，它们具有相同的温度T 和

相

同的粒子数N ，但具有不同的压强

1

p 和2p 。现将两个容器连通，使两个容器内的气体通

过扩散达到平衡，在此过程中系统与外界无热量交换也未作功，求其熵的改变量。 8． 已知水的比热为K g J ?/18.4。

(1) 有C Kg

01的水与C 100的大热源接触，当水温达到C

100后，水的熵改变了多少？热

源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了多少？

(2) 若C 0的水先与C

50的热源接触达到平衡，再与C 100的热源接触达到平衡，则整个

系统的熵改变了多少？

(3) 若使整个系统的熵不变，水应如何从C 0变至C

100？

9． 在1atm 和略低于C 0的条件下，水的比热为)

/(6.224222K Kg tJ c p ?-=，冰的比

热为

)

/(5.72112'

K Kg tJ c p ?+=，t 为摄氏温度，冰的熔解热为J 5

1034.3?。试计算温

度为C 10-的Kg 1过冷水变为C

10-的冰后熵的改变量，并判定此过程能否自动进行。

10．有两个相同的物体，其热容量为常数，初始温度为1T 。今让一致冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降低到

2

T 为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变，证 明此过程所需的最小功为P C W =m in [1222

12)/(T T T T -+]。 11．有两个相同物体，初温各为1T 和2

T ，有一热机工作于此两物体之间，使两者温度变成

相等，证明热机所能作的最大功为p C W =m ax [

2

2

121T T T T -+]。

第二章 均匀闭系的热力学关系及其应用

§2.1 均匀闭系的热力学关系

1. 试证明以下热力学关系，并思考其意义。

(1) v v v p

T C p

U ?

=???? ?

； TV pV p U T

ακ-=???? ????； p V T C V U P P P -??? ????=??? ????。

(2) p

S C TV p T α=?

； p p H H V V T C T S T ??? ????-=???

2

V V U U p T C p V T ?

-=??? ????； p p H

C V H V T p T -

=?

。

(3) 0

p S ；0>??? ????U V S 。 (4) p H

S C V p