错位相减法 (含答案)

1.1错位相减法

陈潇威

2020年9月16日

1指数运算

同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

am·an

=am+n

同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.

am÷an

=am−n

积的乘方法则：先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘.

￿(ab)r

=ar·br

幂的乘方法则：幂的乘方,底数不变,指数相乘.

(am

)n

=amn

数列常见运算小练习

2n+1=2n+2=2n−1=2n−2=

(1

2)n+1=(1

2)n+2=(1

2)n−1=(1

2)n−2=

1数学的本质在于它的自由

2典例

2.1a

n=(3n+1)·2n

S

n=a

1+a

2+...+a

n

=4·21

+7·22

+10·23

+...+(3n+1)·2n

2S

n=4·22

+7·23

+...+(3n−2)·2n

+(3n+1)·2n+1

−S

n=8+3(22

+23

+...+2n

)−(3n+1)·2n+1

−S

n=8+3×4·1−2n−1

1−2−(3n+1)·2n+1

−S

n=8+12·(2n−1−1)−(3n+1)·2n+1

−S

n=−4+3·2n+1−(3n+1)·2n+1

−S

n=−4−(3n−2)·2n+1

S

n=4+(3n−2)·2n+1(1)

2.2注意事项

2.2.1识别

错位相减法用于“等差数列×等比数列”的情形

2.3运算技巧

第一，一般，会把等差数列计算出来；

第二，每次都要乘以公比q，无论q是正是负还是分数；

第三，位置要错开，保持次数对齐，在写等差数列的时候，保证同指数幂的系数都相差一个d

第四，作差后，会出现一段等比求和，在等比求和时，一定要认清楚首项、公比、项数，参考等比数

列求和公式

S

n=a

1·1−qn

1−q

第五，最后整理时，务必认真仔细，最后还要验算S

1=a

1，S

2=a

1+a

2是否成立.

2数学的本质在于它的自由

2.4练习

2.4.1a

n=(2n+1)·(1

3)n

2.4.2a

n=(4n−1)·(1

2)n

2.4.3a

n=(3n−2)·(−1

2)n

2.4.4a

1

错位相减法求和练习

通项公式特点：na等差等比，比如2nnan，其中n代表一个等差数列的通项公式（关于n的一次函数），2n代表一个等比数列的通项公式（关于n的指数型函数），那么便可以使用错位相减法

方法详解：以212nnan为例，设其前n项和为nS

①列： 先将nS写成n项和的形式121232212nnSn

② 乘q：两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列

121232212nnSn

23121232232212nnnSnn ，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。

③ 差：然后两式相减：1231122222212nnnSn 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出nS即可

1231122222212nnnSn

114212221221nnn

13226nn

所以12326nnSn

通过“列，乘，差”三步解决错位相减类问题。求出的结果检验T1与C1是否相等来检查是否算错

对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和

2 1. [一般] （2020•安徽模拟）已知数列{an}是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝9，S3＝39．

（1）求数列{an}的通项公式；

数列求和之错位相减法专项练习

一、解答题

1. 已知正项数列{𝑎𝑎}是递增的等差数列，且𝑎2⋅𝑎4=6，𝑎6=4．

(1)求数列{𝑎𝑎}的通项公式；

(2)求数列{𝑎𝑎2𝑎−1}的前n项和．

2. 在数列{𝑎𝑎}中，前n项和为𝑎𝑎，𝑎𝑎+𝑎𝑎=𝑎,𝑎1=𝑎1,𝑎𝑎=𝑎𝑎−𝑎𝑎−1(𝑎≥2)．

(1)设𝑎𝑎=𝑎𝑎−1，求证：{𝑎𝑎}为等比数列．

(2)求{(𝑎+1)𝑎𝑎}的前n项和𝑎𝑎．

3. 设数列{𝑎𝑎}的前n项和为𝑎𝑎，且𝑎𝑎=2(𝑎𝑎−1)

(1)求数列{𝑎𝑎}的通项公式；

(2)若𝑎𝑎=𝑎(𝑎𝑎−1)，求数列{𝑎𝑎}的前n项和𝑎𝑎．

4. 已知等差数列{𝑎𝑎}的公差是1，且𝑎1，𝑎3，𝑎9成等比数列．

~

(1)求数列{𝑎𝑎}的通项公式；

(2)求数列{𝑎𝑎2𝑎𝑎}的前n项和𝑎𝑎．

5. 已知{𝑎𝑎}是公差不为零的等差数列，满足𝑎2+𝑎4+𝑎5=19，且𝑎2是𝑎1与𝑎5的等比中项，𝑎𝑎为{𝑎𝑎}的前n项和．

(1)求𝑎𝑎及𝑎𝑎；

(2)若𝑎𝑎=𝑎𝑎+1⋅3𝑎𝑎，求数列{𝑎𝑎}的前n项和．

6. 已知数列{𝑎𝑎}是首项为1的等差数列，数列{𝑎𝑎}是首项𝑎1=1的等比数列，且𝑎𝑎>0，又𝑎3+𝑎5=21，𝑎5+𝑎3=13．(Ⅰ)求数列{𝑎𝑎}和{𝑎𝑎}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{2𝑎𝑎𝑎𝑎}的前n项和𝑎𝑎．

7. 已知数列{𝑎𝑎}的前n项和𝑎𝑎=3𝑎2+8𝑎，{𝑎𝑎}是等差数列，且𝑎𝑎=𝑎𝑎+𝑎𝑎+1. (1)求数列{𝑎𝑎}的通项公式；

(2)令𝑎𝑎=(𝑎𝑎+1)(𝑎𝑎+2)𝑎𝑎+1，求数列{𝑎𝑎}的前n项和．

- 1 -

《错位相减法》专题训练

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．数列1

12，2

22，3

32，…，的前n

项之和为

nS

，则

nS

等于( )

A．1

(1)22n

n

 B．1

(n1)22n

 C．22n

n D．1

22n

n



2．123

248

2

nnn

S

（ ）

A．2

2n

nn

B．1

22

2n

nn



C．

121

2n

nn



D．1

22

2n

nn



3．已知

na

是首项为1的等差数列，

nb

是公比为1

2的等比数列，已知数列

nnab

的前n

项和为23

3

2nnn

S



，则数列n

na

b



的前n

项和（ ）

A．

326n

n

B．

1

2326n

n



C．

2324n

n

D．

1

2122n

n



4．已知正项数列

na

的前n

项和为

nS

，数列

na

满足

11a

，

21

nnnSaa

.数列



nb

满足1

2n

nnba





，它的前n

项和为

nT

（ ）

A．2

2

2nn



B．

12

2

2nn





C．2

2

2nn



D．1

2

2nn



5．已知等比数列

na

的前n

项和为

nS

，若

37S

，

663S，则数列

nna

的前2020

项和为（ ）

A．2020

320212 B．2020

320192

C．2020

120212 D．2020

120192

6．已知数列

na

满足

12a

，

122

1n

nn

aa

n



，则2020

1232019a

aaaa

（ ）

A．2021

2019 B．2020

2019 C．2019

2018 D．2021

2018

7．已知数列

na

的各项均为正数，且满足

12a

，

2

222

1141210

nnnnnananana



，设

nS

为数列

na

的前n

项和，则

2019S

（ ） - 2 -

A．2020

201922 B．2020