东南大学数学实验报告
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东南⼤学数学实验报告
⾼等数学数学实验报告
实验⼈员：院（系） __⼟⽊⼯程学院__学号__05A11210__姓名_李贺__ 实验地点：计算机中⼼机房
实验⼀ 空间曲线与曲⾯的绘制 ⼀、实验题⽬：（实验习题1-2）
利⽤参数⽅程作图，做出由下列曲⾯所围成的⽴体图形：(1)
x
y x y x z =+--=2222,1及xOy 平⾯；
(2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z
⼆、实验⽬的和意义1、利⽤数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲⾯图形的特点，以加强⼏何的直观性。
2、学会⽤Mathematica 绘制空间⽴体图形。
三、程序设计 空间曲⾯的绘制
作参数⽅程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈?
===所确定的曲⾯图形的
Mathematica 命令为：
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项](1)(2)
四、程序运⾏结果(1)
（2）
五、结果的讨论和分析1、通过参数⽅程的⽅法做出的图形，可以⽐较完整的显⽰出空间中的曲⾯和⽴体图形。
2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。
3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的⽴体图形是球⾯和圆柱⾯所围成的⽴体空间。
4、从(2)中的实验结果可以看出围成的⽴体图形的上⾯曲⾯的⽅程是xy z =，下底⾯的⽅程是z=0，右边的平⾯是01=-+y x 。
实验⼀ 空间曲线与曲⾯的绘制 ⼀、实验题⽬：（实验习题1-3）
观察⼆次曲⾯族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样⼀些值，当k 经过这些值时，曲⾯从⼀种类型变成了另⼀种类型。 ⼆、实验⽬的和意义1. 学会利⽤Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。
2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计
这⾥为了更好地分辨出曲线的类型，我们采⽤题⽬中曲线的参数⽅程来画图，即t t kr r z sin cos 22+=
输⼊代码： ParametricPlot3D[{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30]
式中k选择不同的值：-4到4的整数带⼊。
四、程序运⾏结果k=4：
k=3：
k=2：k=1:k=0:k=-1:k=-2:k=-3:k=-4:
五、结果的讨论和分析k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲⾯为椭圆抛物⾯；当|k|=2时，曲⾯为抛物柱⾯；当|k|>2时，曲⾯为双曲抛物⾯。
实验⼆⽆穷级数与函数逼近
⼀、实验题⽬：（实验习题2-2）
改变例2中m及x的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况。
⼆、实验⽬的和意义1.利⽤Mathematica显⽰级数部分和的变化趋势。
2.学会如何利⽤幂级数的部分和对函数进⾏逼近以及函数值的近似计算。
三、程序设计
若函数()(1)m=+能展开成x-0x的幂级数（这⾥不验证），则根据函数
f x x
展开为幂级数的展开公式，其展开式为()000()
()()!
n n n f x f x x x n ∞
==-∑
。因此⾸先定义()f x 的n 阶导数的函数g(n, 0x )，最后再构成和式即得()f x 的幂级数展开式。⽤Mathematica 观察幂级数部分和逼近函数的情况。 m=–2，0x =2时 输⼊如下命令： m =-2;f [x _]:=(1+x )^m ; x 0=2;
g [n _,x 0_]:=D [f [x ],{x ,n }]/.x →x 0; s [n _,x _]:=S u m [
[,0]
!
g k x k *(x -x 0)^k ,{k ,0,n }]; t =Ta b l e [s [n ,x ],{n ,20}];
p 1=P l o t [E v a l u a t e [t ],{x ,-1/2,1/2}]; p 2=P l o t [(1+x )^m ,
{x ,-1/2,1/2},P l o t St y l e →R G B C o l o r [0,0,1]]; S h o w [p 1,p 2] 四、程序运⾏结果
从输出的图形观察()f x 展开的幂级数的部分和逼近函数()f x 的情况：
五、结果的讨论和分析
从图中可以看到，当n 越⼤时，幂级数越逼近函数。
实验⼆ ⽆穷级数与函数逼近 ⼀、实验题⽬：（实验习题2-3）
观察函数??<≤<≤--=ππx x x x f 0,
10
,)(展成的傅⾥叶级数的部分和逼近
)(x f 的情况。
⼆、实验⽬的和意义1.利⽤Mathematica 显⽰级数部分和的变化趋势。
2. 学会展⽰傅⾥叶级数对周期函数的逼近情况。 三、计算公式)(x f 可以展开成傅⾥叶级数：
∑∞
=++
1
)sin cos (2
n
n n nx b nx a a ，其中
-
==
π
π
π
),2,1,0(cos )(1
k kxdx x f a k ，?-
==
π
ππ
),2,1,0(sin )(1
k
kxdx x f b k
四、程序设计 输⼊代码：f[x_] := Which[-Pi <= x < 0, -x, 0 <= x < Pi, 1]; a[n_] := Integrate[-x*Cos[n*x], {x, -Pi, 0}]/Pi + Integrate[Cos[n*x], {x, 0, Pi}]/Pi;
b[n_] := Integrate[-x*Sin[n*x], {x, -Pi, 0}]/Pi + Integrate[Sin[n*x], {x, 0, Pi}]/Pi;
s[x_, n_] :=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x] + b[k]*Sin[k*x], {k, 1, n}];
g1 = Plot[f[x], {x, -2Pi, 2Pi}, PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1], DisplayFunction -> Identity]; m = 18; For[i = 1, i <= m, i += 2,
g2 = Plot[Evaluate[s[x, i]], {x, -Pi, Pi}, DisplayFunction -> Identity];
Show[g1, g2, DisplayFunction -> $DisplayFunction]] 五、程序运⾏结果
六、结果的讨论和分析
从图表可以看出，n越⼤逼近函数的效果越好，还可以注意到傅⾥叶级数的逼近是整体性的。
实验三 最⼩⼆乘法 ⼀、实验题⽬：(实验习题3-2)⼀种合⾦在某种添加剂的不同浓度下进⾏实验，得到如下数据：
已知函数y 与x 的关系适合模型：2cx bx a y ++=，试⽤最⼩⼆乘法确定系数a ，b ，c ，并求出拟合曲线。
⼆、实验⽬的和意义1. 学会利⽤最⼩⼆乘法求拟合曲线。
2. 学会画数据点的散点图及拟合函数的图形，并将两个图画在同⼀坐标下。
三、计算公式
根据最⼩⼆乘法，要求221])[(),,(i i n
i
i y cx bx a c b a Q -++=
∑=取最⼩
值，令此函数对各个参数的偏导等于0，解n+1元的⽅程组便可求得这些参数的最⼩⼆乘解。
四、程序设计 输⼊代码：x = Table[10.0 + 5.0*i, {i, 0, 4}]; y = {27.0, 26.8, 26.5, 26.3, 26.1};
xy = Table[{x[[i]], y[[i]]}, {i, 1, 5}];
q[a_, b_, c_] := Sum[(a + b*x[[i]] + c*x[[i]]^2 - y[[i]])^2, {i, 1, 5}]
NSolve[{D[q[a, b, c], a] == 0, D[q[a, b, c], b] == 0,
D[q[a, b, c], c] == 0}, {a, b, c}]
t1 = ListPlot[xy, PlotStyle -> PointSize[0.02], DisplayFunction -> Identity];
f[x_] := 27.56 + -0.0574286*x + 0.000285714*x^2;
t2 = Plot[f[x], {x, 5, 35}, AxesOrigin -> {5, 25}, DisplayFunction -> Identity];
Show[t1, t2, DisplayFunction -> $DisplayFunction]
五、程序运⾏结果
⾸先得到a，b，c三个值：{{a -> 27.56, b -> -0.0574286, c -> 0.000285714}}然后得到同⼀坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形：
六、结果的讨论和分析
观察a ，b ，c 的值以及图像可以发现，⼆次⽅项的系数⾮常⼩，⽽所得的图像也⾮常接近于直线。
实验三 最⼩⼆乘法⼀、实验题⽬：(实验习题3-3)在研究化学反应速度时，得到下列数据：
其中i x 表⽰实验中作记录的时间，i y 表⽰在相应时刻反应混合物中物质的量，试根据这些数据建⽴经验公式。 ⼆、实验⽬的和意义1. 学会利⽤最⼩⼆乘法求拟合曲线。
2. 学会由实际经验或相关的学科理论，能够提供拟合函数的可取类型，通过适当的变量代换将拟合函数线性化，建⽴经验公式。 三、计算公式
在许多场合下，拟合函数不具有线性形式，但是由实际经验或相关的学科理论，能够提供拟合函数的可取类型，⽽且可以通过适当的变量代换将拟合函数线性化，同样可以建⽴经验公式。
模型bx ae y =可以⽤变量替换x X y Y ==,ln 将函数化为线性函数：bX
a Y +=ln 。
四、程序设计 输⼊代码：
（1）⽣成数据并作图观察 t1={3,6,9,12,15,18,21,24};y1={57.6,41.9,31.0,22.7,16.6,12.2,8.9,6.5}; data1=Transpose[{t1,y1}];
d2=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.02]}];
（2）确定回归函数的类型 logy=Log[y1];data2=Transpose[{t1,logy}];
d3=ListPlot[data2,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1], PointSize [0.02] }];
（3）对Lny 数据进⾏最⼩⼆乘线性拟合 ly=Fit[data2,{1,x},x] y=Exp[ly]//Factor
（4）绘图观察回归曲线的拟合效果 g=Plot[y,{x,1,25},
