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双曲线中点弦结论

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双曲线中点弦结论

双曲线中点弦定理是几何学中的重要定理之一，它是由著名的欧拉在18世纪提出的。它的定义是：两个双曲线的棱的交点连成直线，如果该直线与另一对双曲线的棱的交点融合，则称为双曲线中点弦结论。

双曲线中点弦定理可以用向量的方法描述，即：设$\triangle PQR

$ 为双曲线$C_1$和$C_2$交于点$Q$ 所围成的三角形，则$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RQ}$ 。

由双曲线中点弦定理，可以得出其推论：

1、如果双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱形成一个平行四边形，则沿着平行四边形轮廓线的每一条棱可以找到一对双曲线的棱的交点。且这两点构成的直线，又能够与另一对双曲线棱的交点融合。

2、两个双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱两两形成的角必定为45°

3、设双曲线$C_1$ 和$C_2$有N对棱，则两对棱形成的角必定为45° · (N-1)°.

以上总结出双曲线中点弦定理的三条推论，然而双曲线中点弦定理还有更多用处： （1）双曲线中点弦定理可以用来研究椭圆、双曲线上的几何问题；

（2）双曲线中点弦定理可以用来求解全等图形，如两个椭圆形成的四边形如何形成；

（3）双曲线中点弦定理可以用来寻找椭圆、双曲线上点的位置。

实际上，双曲线中点弦定理可以发现或解释许多在几何学中见到的特殊现象，所以它是几何学中一个重要的定理。它的推论可以帮助我们更好的理解双曲线的特点，而它的其他用处也能够展示出双曲线中点弦定理在几何学中的重要性。

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直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案

2013年直线和双曲线的位置关系——第1页 直线与双曲线的位置关系及中点弦问题

1.直线与双曲线的位置关系的判断

设直线)0(:mmkxyl，双曲线)0,0(12222babyax联立解得

02)(222222222bamamkxaxkab

若0222kab即abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若0222kab即abk，

))((4)2(222222222bamakabmka

0直线与双曲线相交，有两个交点；

0直线与双曲线相切，有一个交点；

0直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，

且由nkxyyxF0),(，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。

设),(),,(2211yxByxA，则弦长公式为：则2122124)(1||xxxxkAB

若联立消去x得y的一元二次方程：)0(02acbyay

设),(),,(2211yxByxA，则2122124)(11||yyyykAB

焦点弦长：||PFed（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的距离，e是离心率）。

【例1】过点(7,5)P与双曲线221725xy有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

解析：若直线的斜率不存在时，则7x，此时仅有一个交点(7,0)，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(7)ykx则57ykxk，

22(57)1725xkxk， ∴22257(57)725xkxk，

222(257)72(57)(57)7250kxkxkk，

点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题

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- . word.zl- 点差法求解中点弦问题

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222byax〔a＞b＞0〕中，假设直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，那么2200abxykMN.

证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx

.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN

【定理2】在双曲线12222byax〔a＞0，b＞0〕中，假设直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，那么2200abxykMN.

证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结

一．双曲线的定义及其性质

1. 定义：平面上到两定点F1（-c,0) ,F2(c,0)的距离之差等于定值2a(a

2. 求轨迹的方法：

（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。

3. 双曲线的标准方程及其性质

（1）双曲线的方程

标准方程：12222byax （若x的系数为正,则焦点x在轴上；若x的系数为负，则焦点在y轴上)

共焦点双曲线的方程： 12222mbymax；

共离心率双曲线的方程： 12222mbymax

共渐近线的双曲线的方程：2222byax

（2）性质：

①c2=b2+a2;

②e=ac=2222221ababaac

或e=ac=ac22=aRRRPFPFFFsinsin)sin(sin2sin2sin22121

③当PF2x轴时，｜PF2｜=ab2 ④若点P（x0,y0)在双曲线12222byax上，则过点P与双曲线相切的直线方程为12020byyaxx;

⑤若点P（x0,y0)双曲线上任一点，以PF1为直径的圆一定与x2+y2=a2相切。

二．双曲线的焦点三角形

（1）若｜PF1｜=m , ｜PF2｜=n , ∠F1PF2= Θ ;

mn=cos122b),[2b;cos1cos2bnm ),[2b;S∆PF1F2=2tan2b.

证明如下：

①（2c)2=m2+n2-2mncosΘ=(m-n)2-2mn(1-cosΘ)=4a2+2mn(1-cosΘ)

mn=cos122b

②S∆PF1F2=21mnsinΘ=2tan2sin22cos2sin2cos1sin2212222bbb

三．双曲线的中点弦

（1）AB是不平行于对称轴的弦，P是AB的中点，则KABKOP=b2/a2

双曲线中点弦 存在

双曲线中点弦 存在

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双曲线中的中点弦

一道课后作业题的教学所思

绵阳南山中学 青树国

在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。

一、课本习题再现

普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社A版）第二章第三节课后习题B组第4题：已知双曲线1222yx,过点)1,1(P能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。具体来说普遍采用了以下两法。

法一：（设而不求）假设能作这样的直线l，通过作图可知：直线l的斜率显然，设其为k，从而直线的方程为：)1(1xky即：1kkxy，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y可得032)1(2)2(222kkxkkxk。（*）设),(11yxA、),(22yxB由题意可知1x、2x是方程（*）的两个根。故022k且0)32)(2(4)1(42222kkkkk，第 2 页 共 4 页

由题意可知：22)1(2221kkkxx，解之得2k，带入判别式知0，故2k应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。

法二：（点差法）假设能作这样的直线l，并设),(11yxA、),(22yxB由题意可知A、B在双曲线上，所以122121yx①122222yx②，由①-②得2)(221212121yyxxxxyykl，所以直线l的方程为：)1(21xy即12xy带入双曲线方程得03422xx，032416所以假设不成立，这样的直线不存在。