一次函数的应用—线段和差、存在性问题
一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理 1】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为 AB．
【原理 2】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理 3】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使
作直线 AB，与直线 l
的交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB . PBPA－ 2. 具体题型：
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；
（2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B的距离
之和最小，则点P的坐标是( )
A．(0,0) B．4(0,)7 C．5(0,)7 D．4(0,)5
【答案】C 的值最大 .
【原理 4】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于 l 的对称点
B＇作直线 A B＇，与 l
交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇ . PBPA－PBPA－PBPA－ 【解析】解：作A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P，
则此时APPB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
(4,3)A，
(4,3)C，
设直线CB的解析式是ykxb，
把C、B的坐标代入得：3413kbkb，
解得：47k，57b，
4577yx，
一次函数的应用—线段和差、存在性问题
一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理 1】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为 AB．
【原理 2】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理 3】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使
作直线 AB，与直线 l
的交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB . PBPA－ 2. 具体题型：
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；
（2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B的距离
之和最小，则点P的坐标是( )
A．(0,0) B．4(0,)7 C．5(0,)7 D．4(0,)5
的值最大 .
【原理 4】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于 l 的对称点
B＇作直线 A B＇，与 l
交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇ . PBPA－PBPA－PBPA－ ★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A，点(2,1)B，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 ．
★★☆练习2．如图，直线34120xy与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PCPD的长最小时点P的坐标．
1 一次函数中的最值问题
问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
问题2 如图，已知点A（4，3），点B（0，1）。 (1)求一次函数解析式； (2)若点C是x轴上一动点，当AC+BC的值最小时，求C点坐标。
问题3
如图，已知点A（4，3），点B（0，-1）。若点C是x轴上一动点，当BCAC的值最大时，求C点坐标.
问题4 如图，已知点A（4，3）。若点C是直线y=-x+4上一点，B是直线x=5上一点，当△ABC的周长最小时，求C、B两点的坐标.
问题5 如图，已知点A（4，3）,B（1，2）。若点C是y轴上点，D是x轴上一点，当四边形ABCD的周长最小时，求C、D两点的坐标.
问题6 如图,平面直角坐标系中A(1,4),B(3,2)，C. D为x轴上两动点，且CD=1，试求四边形ACDB周长最小时，C. D两点的坐标。
问题7 已知直角坐标系内的点A(4,1)、B(3,2)，试分别在直线y=x和x轴上找点C. D使得四边形ABCD的周长最短。
(1)作图(并写出作法)
(2)写出C. D两点坐标。
问题8如图,已知点A(2,0)、B(−1,1)，点P是直线y=−x+4上任意一点。
(1)当点P在什么位置时，△PAB的周长最小?求出点P的坐标及周长的最小值；
(2)在(1)的条件下，求出△PAB的面积。 B2 3
问题2（1）把点A、B的坐标代入一次函数解析式y=kx+b（k≠0）列出关于k、b的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）利用轴对称--最短距离来求点C的坐标．作点A （4，3）关于x轴的对称点A′（4，-3），连接BA′交x轴于点C，则此时AC+BC取得最小值．然后利用待定系数法求得直线BA′的解析式，然后将y=0代入求得的直线的解析式即可求得点C的坐标．
解答：
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0).依题意，得
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）
专题13 一次函数的实际应用中最值问题
【典型例题】
1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
【专题训练】
一、解答题
1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．
(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．
(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
