龙源期刊网
浅谈解简单线性规划问题的图解法
作者：文香丹
来源：《教育教学论坛》2014年第39期
摘要：线性规划是运筹学中应用最广泛的方法之一，也是运筹学的最基本的方法之一。它是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最小或获得的收益最大。最近十多年来，线性规划无论是在深度还是在广度方面又都取得了重大进展。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。本文主要介绍简单线性规划问题求解的几种可能情况及解简单线性规划问题的基本方法即图解法的基本思想和算法步骤，并通过例子对解简单线性规划问题的图解法作一些探讨。
关键词：图解法；可行域；最优解
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）39-0100-02
线性规划问题研究的是在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。本文主要介绍简单线性规划问题求解的几种可能情况及解简单线性规划问题的基本方法即图解法的基本思想和算法步骤，并通过例子对解简单线性规划问题的图解法作一些探讨。简单线性规划问题求解的几种可能情况：（1）无可行解（可行域是空集）；（2）无界（可行域不空集，但目标函数在可行域上无界）；（3）最优解（可行域不空集，且目标函数有有限的最优值）。简单线性规划问题我们可以直观了解可行区域的结构，同时还可利用目标函数与可行区域的关系利用图解法求解该问题。图解法的步骤为：（1）画出直角坐标系；（2）依次做每条约束线，标出可行域的方向，并找出它们共同的可行域；（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线），根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开可行域上，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
一、无界
例1 用图解法解线性规划。
min z=-2x1+x2
第5章 线性规划（教案） 【课题】5．2二元线性规划问题的图解法
【教学目标】
知识目标：
了解解线性规划问题的图解法；
理解二元一次不等式（组）表示的平面区域，也就是二元一次不等式（组）的几何意义.
能力目标：
（1）通过对二元一次不等式（组）的几何意义的学习,培养和提高学生数形结合的能力.
（2）通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对图象的观察能力.
【教学重点】
理解二元一次不等式（组）表示的平面区域.
【教学难点】
作图能力和对图象的观察能力.
【教学设计】
（1）通过讲解例题1；2，理解二元一次不等式（组）表示的平面区域. 从而归纳出CByAx≤0（或）CByAx≥0的几何意义.
（2）通过讲解例题3；4，归纳总结出利用图解法解线性规划问题的5个步骤
（3）通过练习，巩固知识．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
*新阶段学习导入语
建立了线性规划问题的数学模型后，下一步如何求出变量的值，使它们既满足线性约束条件，又能使目标函数达到最大值或最小值，即找出线性规划问题的最优解呢？
讲解
说明
倾听
教师指明学习的重点
3
第5章 线性规划（教案） 教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
*揭示课题
了 本节内容大纲要求“了解图解法解二元线性规划问题的方法”.
法通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对
图象的观察能力.
这就是我们将要研究学习的5.2.1 二元一次不等式（组）表示的平面区域.
介绍
说明
了解
引入教学内容
5
*创设情景 兴趣导入
5.2.1 二元一次不等式（组）表示的平面区域.
我们已经知道，含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解.
任务二 图解法求解线性规划问题
情境导入：
我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？
任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质
任务引入：
现在我们要想办法求解例1的数学模型
MaxZ=2x1+3x2
012416482..212121xxxxxxts
一、任务分析
图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。是求解线性规划的一种几何解法。只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。[1]
图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：
1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。
2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。
3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。
以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。
２０１２年第２５期 ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｏ高校讲坛。 科技信息
浅谈二变量线性规划问题的图解法
龙林川
（长江师范学院数学与计算机学院 中国 重庆４０８１ Ｏ０）
【摘要】图解法作为解二变量线性规划问题的有效方法，具有重要的理论和实际意义。本文通过介绍图解法解线性规划问题的方法、步
骤、解的种类等理论知识，并结合实际例题，对用图解法求解线性规划问题的最优解进行探讨。
【关键词】图解法；线性规划；可行域；最优解
线性规划是运筹学的一个重要分支．它是运筹学中有关线性数学
规划问题的建模、求解及应用的研究。线性规划广泛应用于运输问题、
生产计划问题、下料问题、混合配料问题等典型问题，有些非线性的规
划问题也可以通过分段线性化等方法转化为线性规划问题 对于只含
有两个变量的线性规划问题．可以通过在平面上作图的方法求解，即
我们在这里要介绍的图解法。
１预备知识
线性规划问题的一般形式Ⅲ如下：
ｍ （ｍｉｎ）Ｚ＝∑ｃｊｘｊ （１．１）
ｉ＝１
Ｉ ≤（＝，≥）６ ，（ｉ＝１，２，…，ｍ） （１．２） ・ ・ ｉ＝１ 【ｘｊ￣＞Ｏ，Ｕ＝１，２，…，ｎ） （１－３）
其中 Ｉ＞０，（ ＝１，２，…，ｎ）为决策变量，方程（１．１）为目标函数，即
决策变量的函数。（１－２）与（１＿３）为约束条件，即决策变量在取值时所受
到的各种各样的资源条件的限制
若一个线性规划问题有解．全体决策变量满足全部约束条件的一
组值称为该问题的一个可行解 这种可行解的全体称为该问题的可行
解集（或称可行域）在可行域上使目标函数达到最优值（最大值或最小
值）的可行解称为问题的最优解。若不存在可行解则该问题无解。
图解法．顾名思义就是用画图的方式来求解线性规划问题的一种
方法 图解法是一种直观而又简捷的方法。图解法不仅可以方便的求
出线性规划问题的解．而且能够更直观的说明线性规划问题解的一些
性质 一般来说．图解法只能用于求解二变量线性规划问题。
