2020高中数学人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( )A ．{x|x≥7或x≤2}B ．{x|2≤x≤7}C ．{x|x≥7或x≤－2}D ．{x|－2≤x≤7}解析：－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x＋2)≥0⇒x≥7或x≤－2. 答案：C2．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( )A ．a 1＝－2，d ＝3B ．a 1＝2，d ＝－3C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝103a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3.答案：A3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．1或2B ．2C . 2D ．1解析：∵B＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴由正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A， ∴cos A ＝32， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝3＋c 2－3c ， 解得c ＝2或c ＝1(经检验不合题意，舍去)， ∴c＝2，故选B . 答案：B4．如果a 、b 、c 满足c<b<a 且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．cb 2<ab 2B ．c(b －a)>0C ．ab<acD ．ac(a －c)<0解析：若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案：A5．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案：B6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：画出可行域，如图所示．由图可知，当直线y ＝x 5＋z5过点A 时z 取最大值；过点B时z 取最小值．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，故A(4,4)，对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B(8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24，故选C.答案：C7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24解析：∵a－b ＝4，a ＋c ＝2b ，∴a＝c ＋8，b ＝c ＋4，∴a 为最大边，∵最大角为120°，∴(c＋8)2＝c 2＋(c ＋4)2－2c(c ＋4)cos 120°，∴c 2－2c －24＝0，∴c＝6，∴a＝c ＋8＝14.答案：B8．数列{a n }满足a n ＝－2n ＋11，则使得其前n 项和S n >0的n 的最大值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：a 1＝－2＋11＝9，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝n(10－n)，由S n >0，解得0<n<10，故n 的最大值为9.答案：B9．已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y的最小值是( )A ．8B ．6C ．3 2D ．4 2解析：因为2x>0,2y>0， 所以2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y＝223＝4 2.当且仅当2x ＝2y＝232，即x ＝y ＝32时等号成立．故选D .答案：D10．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1(n∈N *)，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由题易得S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n－1)，S 2n ＝a 1(1－22n )1－2＝a 1(22n －1)，a n ＋1＝a 1·2n，∴T n ＝17S n －S 2n a n ＋1＝17a 1(2n －1)－a 1(22n－1)a 1·2n＝17－⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋162n ≤17－22n·162n ＝17－8＝9，当且仅当2n＝162n ，即n ＝2时取等号，∴数列{T n }的最大项为T 2，则n 0＝2，故选A.答案：A11．在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆O ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，又因为圆心O (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1，所以圆O ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.答案：A12．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.23 6 D.433 解析：因为关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)， 所以Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，可得Δ>0. 所以x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．所以x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案：7414．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于3a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________．解析：由题意知，∠ACB ＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝3a 2＋3a 2－23a ×3a ×cos 120°＝9a 2， ∴AB ＝3a km. 答案：3a km15．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：∵m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，∴m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b .由题意知ab ＝4，那么b ＝4a ，∴b ＋1a＋a ＋1b ＝4a ＋1a ＋a ＋a 4＝5a 4＋5a ≥25a 4·5a＝5，当且仅当a ＝2时取等号，所以m ＋n 的最小值是5.答案：516．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sinB )＝(c －b )sinC ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3.因为cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号．由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析：在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a <b ，∴B >A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n (a n ＋3)，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2，－3a 1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝12n 2＋2n ＝12·(n ＋1)－n n (n ＋1)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 19．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解析：(1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，即2sin B ＝sin A ＋sin C ．因为sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝2ac －ac2ac＝12，当且仅当a ＝c ＝b 时，cos B 取得最小值12，此时△ABC 为正三角形． 20．(12分)设数列{a n }的各项都是正数，且对于n ∈N *，都有a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)在已知式中，当n ＝1时，a 31＝a 21，∵a 1>0，∴a 1＝1； 当n ≥2时，a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，①a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n －1＝S 2n －1，②①－②得a 3n ＝a n (2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n )， ∵a n >0，∴a 2n ＝2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n ，即a 2n ＝2S n －a n ，当n ＝1时，也满足此式．∴a 22＝2(1＋a 2)－a 2，解得a 2＝－1或a 2＝2， ∵a n >0，∴a 2＝2.(2)由(1)知a 2n ＝2S n －a n (n ∈N *)，③ 当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a 2n －a 2n －1＝2(S n －S n －1)－a n ＋a n －1＝2a n －a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1. ∵a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n .21．(12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解析：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x (6x ＋6)2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9x (x ＋1)＋900x＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件后，每隔x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)，记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2，因为35≤x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0，所以(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，所以函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数，所以当x ≥35时，f (x )min ＝f (35)．所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应利用此优惠条件．22．(12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解析：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ， 得0<x <3.则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为直线l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ， ∴a n ＝3n (n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n (n ＋1)2， ∴T n ＝n (n ＋1)2n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1， ∵T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

模块综合评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( B ) A ．24 B ．27 C ．15 D ．54解析：在等差数列中，由a 3＋a 4＋a 8＝9得3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝a 5＝3，所以S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9×2×32＝27，故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C.b a ＋a b >2D.b a<1解析：由1a <1b <0可知，b <a <0，所以ba>1，故选D.3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( B )A.23B.14C.34D.16解析：由sin(A ＋B )＝13得sin C ＝13，由正弦定理得sin A ＝a c sin C ＝34×13＝14，故选B.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( C )A.32B.43C. 2D. 3 解析：由2b sin2A ＝3a sin B ，得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ，得cos A ＝34，因为c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2，所以a b＝ 2.故选C.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则y x的最大值为( A )A ．6B ．3 C.95D ．1解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，A(1,6)，yx≤k OA＝6，故选A.6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的一道题，大意是：把120个面包分成5份，使每份的面包个数成等差数列，且较多的3份之和恰好是较少的2份之和的7倍，则最少的那份面包个数为( C )A．4 B．3 C．2 D．1解析：设这5份面包的个数从小到大分别为a1，a2，…，a5，公差为d，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋…＋a5＝120，a3＋a4＋a5＝7a1＋a2，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a3＝120，3a4＝7a1＋a2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d＝24，3a1＋3d＝72a1＋d，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，d＝11.7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( A ) A.52B.72C.154D.152解析：本题考查一元二次不等式的解法．不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，则x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.Δ＝4a2－4(－8a2)＝36a2>0.又x2－x1＝15，所以(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，即152＝(2a)2－4(－8a2)，整理得a2＝22536，因为a>0，所以a＝156＝52，选A.8．设首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n，则( D ) A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2 C．S n＝4－3a n D．S n＝3－2a n解析：在等比数列中，a n＝a1q n－1＝⎝⎛⎭⎪⎫23n－1，Sn＝a1－qa n1－q＝1－23a n1－23＝3－2a n，故选D.9．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且AB→＋AC→＝AD→，则△ABC面积的最大值为( B)A ．3B ．4C ．3 3D ．4 3解析：由题设可知四边形ABDC 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知∠BAC ＝90°，且当AB ＝AC 时，四边形ABDC 的面积最大，此时△ABC 的面积最大，最大值为12AB ·AC ·sin90°＝12×(22)2＝4，故选B.10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若2≤m ≤4，则目标函数z ＝y ＋mx 的最大值的变化范围是( D )A ．[1,3]B ．[4,6]C ．[4,9]D ．[5,9]解析：如图所示，画出不等式组所表示的平面区域，易知A (2,1)，B (1,2)，C (1，－1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫52，－1，作直线l ：mx ＋y ＝0，m ∈[2,4]，将直线l 平移至l 1的位置，直线经过可行域上的A 点时，z 取得最大值，z max ＝2m ＋1∈[5,9]，故选D.11．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m三个数( D )A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4解析：特值法：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C.故选D. 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则角B 的范围是( B )A ．0<B ≤π4 B ．0<B ≤π3 C.π3<B ≤π2 D.π2<B <π解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2≥ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a ＋c2－2ac －b22ac＝3b 2－2ac 2ac ＝3b 22ac －1≥3ac 2ac －1＝12，又0<B <π，所以0<B ≤π3，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝50.解析：因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5，于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2a 3…a 20)，而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50，因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln e 50＝50.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为12.解析：由cos2A ＝sin A 可得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝－1(舍)或sin A ＝12，因为bc ＝2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.15．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y －2k ＋1≥0k <0表示的区域的面积记为f (k )，则f (k )的最小值为4.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y －2k ＋1≥0k <0表示的区域是一个直角三角形，如图所示．对于直线方程kx －y －2k ＋1＝0，令x ＝0，得y ＝1－2k ，令y ＝0，得x ＝2－1k，则区域的面积为f (k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2k )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －4k ＝4(k <0)．(当且仅当－1k ＝－4k 即k ＝－12时等号成立)16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2n ＝n －a n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则S 100＝1_306. 解析：由题可得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，令n ＝1,2,3，…，49，可得a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝3，a 6＋a 7＝4，…，a 98＋a 99＝50，将以上49个等式相加可得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋…＋a 98＋a 99＝2＋502×49＝1 274，因为a 100＝50－a 50＝25＋a 25＝25＋a 12＋1＝32－a 6＝29＋a 1＋1＝31，所以S 100＝1＋1 274＋31＝1 306.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosB ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以2sin A ＝445，所以sin A＝25. (2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝c ·45＝4，可解得c ＝5，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝4＋25－2×2×5×35＝17.所以b ＝17.18．(本小题12分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝9，a 3＋a 6＋a 9＝21. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{a n }的前9项和S 9；(3)若c n ＝2a n ＋3，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 1＋a 4＋a 7＝9，a 3＋a 6＋a 9＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋9d ＝9，3a 1＋15d ＝21⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋5d ＝7，解得a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝2n －5.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝9(a 1＋4d )＝9×(－3＋4×2)＝45.(3)由(1)知c n ＝2a n ＋3＝22(n －1)＝4n －1，所以{c n }是首项c 1＝1，公比q ＝4的等比数列，所以T n ＝c 11－q n 1－q ＝4n－13.19．(本小题12分)(1)若两个正数s 和t 满足2s ＋t ＝3，求证：1s ＋8t≥6；(2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝4，证明：q (p ＋r )≤2.证明：(1)由题意得，1s ＋8t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎪⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2t s ·16s t ＝6当且仅当t s ＝16s t ，即t ＝2，s ＝12时取等号． (2)因为p 2＋2q 2＋r 2＝4，故(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4，因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，故(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr ，故q (p ＋r )≤2(当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立)．20．(本小题12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 的长为100米，∠ADN＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°.(1)求△BCD 的面积； (2)求客轮AB 的长．解：(1)由题意得∠CBD ＝30°，∴BC ＝CD ＝100米，∠BCD ＝120°， ∴S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×32＝2 5003(平方米)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠BDA ＝45°，∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝AD sin45°，∴AD ＝10036(米)，在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝1002＋1002－2×100×100×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1003(米)，在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100632＋10032－2×10063×1003×cos45°＝100153(米)．故客轮AB 的长为100153米．21．(本小题12分)已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋5d ＝55， ①2a 1＋7d ＝16， ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1.∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n－2b n －1，∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，b n ＝2n.(2)∵c n ＝a n b n ＝2n －12n ，T n ＝12＋322＋…＋2n －12n ，③12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，④③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .22．(本小题12分)已知f (x )＝x 2－abx ＋2a 2. (1)当b ＝3时，①若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]时，求实数a 的值； ②求不等式f (x )<0的解集；(2)若f (2)>0在a ∈[1,2]上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2.①由已知可得1,2是方程x2－3ax ＋2a 2＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝3a ，1×2＝2a 2，解得a ＝1.②因为x 2－3ax ＋2a 2<0，所以(x －a )(x －2a )<0.所以a >0时，此不等式解集为{x |a <x <2a }；a ＝0时，此不等式解集为空集；a <0时，此不等式解集为{x |2a <x <a }．(2)f (2)＝4－2ab ＋2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立，即b <a ＋2a在a ∈[1,2]上恒成立．又因为a ＋2a≥2a ·2a ＝22，当且仅当a ＝2a，即a ＝2时上式取等号． 所以b <22，即实数b 的取值范围是(－∞，22)．。

模块综合检测(时间120分钟满分１50分）一、选择题(本大题共１０小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若f(ｘ)=3ｘ２－ｘ＋1,g(x)=2x2+x－1，则ｆ(x）与g（x)的大小关系为(）A.f(x)〉g(x)B.ｆ(x)=g(ｘ)C．f（ｘ）<g（ｘ) Ｄ.随x值变化而变化解析：选A因为ｆ(ｘ）-g(x)＝(3ｘ２－x+1）-(２x２+x-1)=x2-2x＋2＝(ｘ－１）２+1>０，所以f(x)〉g（ｘ）.2．在△ＡBC中，角Ａ,B，C所对的边分别为a，b，c，若ａ=2，b＝＼r(3)，Ｂ=60°,那么角A等于（)A.１3５° ﻩＢ．90°C.4５° ﻩD．3０°解析:选Ｃ由正弦定理知＼ｆ(a,sin A)＝错误!未定义书签。

,∴sin Ａ＝错误!未定义书签。

＝错误!＝错误!.又ａ〈ｂ，B＝６0°，∴A＜6０°,∴A＝45°.3．若关于x的不等式ｘ2－3ａx+２〉０的解集为(－∞,1）∪(m,＋∞)，则a+m＝（）A.－1 B．１C.2ﻩD.３解析：选D 由题意，知1，m是方程x2-３ax＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得错误!未定义书签。

解得错误!未定义书签。

所以a+m=３,故选D。

4.已知数列{a n}为等差数列,且ａ1=２,a２＋a３＝１3,则a4＋ａ5+ａ６等于（ )A.40B.42C．4３D．45解析:选B设等差数列{ａn}的公差为ｄ,则2a１＋３d＝1３,∴ｄ＝3,ﻬ故ａ4+a5＋a6=３a１+1２ｄ＝３×２+12×３＝4２。

５.在△ABC中，AC＝＼r(7）,ＢＣ＝2,B＝６０°,则BC边上的高等于( ）Ａ．错误! B.错误!未定义书签。

C。

错误!Ｄ。

错误!未定义书签。

解析：选B 由余弦定理得AＢ2+4－2·AＢ×２×ｃos 60°=7，解得AB＝３或AB＝－1（舍去),设BＣ边上的高为ｘ,由三角形面积关系得错误!·BC·x=错误!AＢ·ＢC·sｉn ６0°,解得x=错误!,故选B．６.某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成１辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,那么这两家工厂工作的时间分别为（)A.1６，８ﻩＢ．15,９Ｃ.1７,７D．14，10解析:选A设A工厂工作x小时，Ｂ工厂工作y小时,总工作时数为z，则目标函数为z＝x+y，约束条件为错误!未定义书签。

姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析 由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析 根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去； 当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析 不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A. B.C.a2>b2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-不成立,∴不成立.B.∵c2+1≥1,a>b,∴,故B正确.C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a2>b2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为()A. B.3 C. D.7答案:A解析:S=×AB·AC sin 60°=×2×AC=,所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 60°=3.所以BC=,故选A.3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则等于()A.1B.C.2D.答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B, 即sin(B+C)=2sin B.∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b,故=2.5.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n=0,得=-.所以{a n}是以q=-为公比的等比数列.所以a1=a2·=-×(-3)=4.所以S10=--=3(1-3-10),故选C.则目标6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件--函数z=3x-y的最大值为() A.-4 B.0 C. D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-≥0⇒n≤=21,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2,+∞)C.[4,+∞)D.[3+2,+∞)答案:D解析:∵=1,∴x=a+b=(a+b)=2+1+≥3+2当且仅当即时等号成立.故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,<0,所以tan(A+B)=-则A+B∈ππ,即C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n}中,a1=2,na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,则a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,所以在等式的两边同时除以n(n+1),得=2-.所以+2--…-.所以a11=42.故选D.11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案:C解析:∵f(x)=ln x,∴p=f()=ln(ln a+ln b)=r.又∵0<a<b,∴.又∵y=ln x为递增函数,∴ln>ln,即q>r,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列a n的“差数列”,若a1=1,{a n}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n}的通项公式a n=()A.3n-1B.3n+1+2C.-D.-答案:C解析:∵a1=1,a n+1-a n=3n,∴a n=(a n-a n-)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a11=3n-1+3n-2+…+31+1-.故选C.=--二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+-,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+ - =x-4+- +4≥2 - ·-+4=6.当且仅当x-4=-即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且- ,则= .答案:解析:-.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2015= .答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=.(1)若b=3,求sin A的值;(2)若△ABC的面积为12,求b的值.解:(1)∵cos B=,0<B<π,∴sin B=-.由正弦定理可得:.又a=4,b=3,∴sin A=.(2)由面积公式,得S△ABC=ac sin B,∴ac×=12,可解得c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cos B=52,解得b=2.18.数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=- c.又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC 的面积为.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为,∴ac sin 60°=,即ac=4.∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.∴解得a=1.②∵x2-3ax+2a2<0,∴(x-a)(x-2a)<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),当a=0时,此不等式的解集为空集,当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,即b<a+在a∈[1,2]上恒成立.又a+≥2·=2,当且仅当a=,即a=时上式等号成立.∴b<2,实数b的取值范围是(-∞,2).21.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速为30 km/h.甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，1.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC的面积为3，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋nn －2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A．189 B．186 C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n.∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝( )A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋32＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·qn n －2＝64，即(a 21qn －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________.【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3，12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2＋2n －2＝－n n ＋2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n n －2＋n 2＝n n ＋2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n n ＋2.【答案】 (－1)n ＋1n n ＋2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·ta n B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3actan B，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225t 时，可得最大利润． (2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15， 则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

2020秋高中数学人教A版必修5达标检测：1.1第3课时正、余弦定理的综合应用含解析A级基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b,错误!,则此三角形中最大的角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为错误!＞a, 错误!＞b,所以最大边是错误!，设其所对的角为θ,则cos θ＝错误!＝－错误!，所以θ＝120°.答案:C2．△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c。

若B＝2A，a＝1,b＝错误!，则c＝()A．2错误!B．2 C.错误!D．1解析：由asin A＝错误!，得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!，故cos A＝错误!，因为A∈（0，π），所以A＝错误!，所以B＝错误!，C＝错误!，c＝错误!＝错误!＝2.答案：B3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6。

则错误!·错误!的值为(）A．19 B．14 C．－18 D．－19解析:由余弦定理的推论知：cos B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝1935。

所以错误!·错误!＝|错误!|·｜错误!|·cos（π－B）＝7×5×错误!＝－19.答案：D4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(）A．sin A＝cos B B．sin A＜cos BC．sin A＞cos B D．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.所以A＞90°－B,所以sin A＞sin (90°－B）＝cos B.答案：C5．在△ABC中，b＝8，c＝3,A＝60°，则此三角形外接圆面积为()A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝82＋32－2×8×3×错误!＝49,所以a＝7，所以2R＝错误!＝错误!＝错误!，所以R＝错误!，所以S＝π错误!错误!＝错误!π.答案:D二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．答案：错误!7．在△ABC中，AB＝错误!，D为BC的中点，AD＝1,∠BAD ＝30°,则△ABC的面积S△ABC＝________．解析:因为AB＝3，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝错误!·错误!·1·sin 30°＝错误!，又D是BC边中点,所以S△ABC＝2S ABD＝错误!.答案：错误!8．(2018·浙江卷）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°,则sin B＝________，c＝________．解析:本小题考查正弦定理、余弦定理．由错误!＝错误!得sin B＝错误!sin A＝错误!，由a2＝b2＋c2－2bc cos A,得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍负)．答案：错误!3三、解答题9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C·（a cos C＋c cos A)＋b＝0.（1）求角C的大小;（2）若b＝2，c＝2错误!，求△ABC的面积．解:（1）由正弦定理可得2cos C （sin A cos C ＋sin C cos A ）＋sin B ＝0，所以2cos C sin(A ＋C ）＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0<B <π,所以sin B ≠0,所以cos C ＝－错误!，即C ＝错误!。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°.【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ①又tan A <sin A ，∴π2<A <π.②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A．(8,10) B．(22，10)C．(22，10) D．(10，8)【解析】设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，∴22<a<10.【答案】 B4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为( )A．2 2 B．8 2C. 2 D．2 2【解析】∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，∴sin C＝c8，∴S△ABC＝12ab sin C＝abc16＝16216＝ 2.【答案】 C5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )A.π6B.π3C.π2D．2π3【解析】p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cos C.∴C＝π3 .【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cosA ＋cosB )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34D ．0 【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等．∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32.由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ( )图2A ．23＋1B ．23－1 C.3－1D ．3＋1【解析】 在△ABC 中，BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)， 在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBDCD＝506－2sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin ∠BDC ，∴cos θ＝3－1. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为 ．【解析】 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且∠C 为钝角．∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0.故a 2＋b 2<c 2. 【答案】 a 2＋b 2<c 214．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ .【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于 ，AC 的取值范围为 ．【解析】 设A ＝θ⇒B ＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ，∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 【答案】 2 (2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.图3【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B， sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437. 而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22.又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.。

学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点（3,4)不在此区域内，而点(4，4）在此区域内，则b的范围是（)A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5答案C解析∵4〉3×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b<－5。

2．在等差数列{a n｝中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( )A．9 B．12 C．16 D．17答案A解析S4＝1，S8－S4＝3而S4，S8－S4，S12－S8,S16－S12，S20－S16成等差数列，值分别为1,3,5，7,9，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9。

3．若a〈b<0，则下列不等式一定成立的是( ）A．错误!>错误!B．a2<abC．a a〉b a D．错误!〈错误!答案D解析当a＝－2<b＝－1<0时,错误!＝错误!,a a＝错误!〈b a＝1，所以 A，C都不一定成立．又a〈b<0，所以a2>ab，所以B不成立．又错误!－错误!＝错误!＝错误!〈0，所以错误!〈错误!，故选D．4．若关于x的不等式x2－(a＋1）x＋a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．(3，4）B．(－2，－1)∪（3,4)C．(3,4]D．［－2,－1）∪（3,4]答案D解析由题意，得原不等式可转化为(x－1)(x－a)〈0.当a〉1时，解得1〈x〈a，此时解集中的整数为2，3，则3〈a≤4；当a〈1时，解得a〈x〈1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1.当a＝1时,不符合题意．故实数a的取值范围是［－2,－1）∪（3,4］，故选D．5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边,已知a,b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则cb sin B的值为（)A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案C解析∵a，b，c成等比数列,∴b2＝ac。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n －2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q n(n－1)2＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t)现有原料数(t)A B甲2114乙1318利润(万元/t)53—(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足⎩⎨⎧2x＋y≤14，x＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出可行域如图：当直线5x＋3y＝z过点B⎝⎛⎭⎪⎫245，225时，z取最大值3715，即生产A产品245t，B 产品225t时，可得最大利润．(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t......................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间 文档来源网络仅供参考 欢迎您下载可以编辑的word 文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°.【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ①又tan A <sin A ，∴π2<A <π.②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A．(8,10) B．(22，10)C．(22，10) D．(10，8)【解析】设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，∴22<a<10.【答案】 B4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为( )A．2 2 B．8 2C. 2 D．2 2【解析】∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，∴sin C＝c8，∴S△ABC＝12ab sin C＝abc16＝16216＝ 2.【答案】 C5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )A.π6B.π3C.π2D．2π3【解析】p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cos C.∴C＝π3 .【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.【答案】 C9．(山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34D ．0 【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等．∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32.由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ( )图2A ．23＋1B ．23－1 C.3－1D ．3＋1【解析】 在△ABC 中，BC ＝AB sin ∠BACsin ∠ACB＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)， 在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBDCD＝506－2sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin ∠BDC ，∴cos θ＝3－1. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(黄冈高级中学高二期中测试)△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为 ．【解析】 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且∠C 为钝角．∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0.故a 2＋b 2<c 2. 【答案】 a 2＋b 2<c 214．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ .【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于 ，AC 的取值范围为 ．【解析】 设A ＝θ⇒B ＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ，∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC＝2cos θ∈(2，3)．【答案】 2 (2，3)16．(全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN ＝m.图3【解析】根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．【答案】150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B， sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437. 而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22.又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.。

模块综合测评(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若<，>，那么下列命题中正确的是( )>>．<．<＋【解析】利用特值法，令＝－，＝.则<，错；<，错；＝，错．【答案】．一个等差数列的第项＝，且＋＋＝，则有( )．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝．＝，＝－【解析】∵＋＋＝且＝＋，∴＝.又∵＝＋＝＋＝，＝.∴＝－＝－＝－.【答案】．已知△的三个内角之比为∶∶＝∶∶，那么对应的三边之比∶∶等于( )．∶∶∶∶∶∶．∶∶【解析】∵∶∶＝∶∶，＋＋＝°，∴＝°，＝°，＝°.∴∶∶＝°∶ °∶ °＝∶∶＝∶∶.【答案】．在坐标平面上，不等式组(\\(≥－，≤－＋))所表示的平面区域的面积为( )．【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．，两点横坐标分别为－，.＝××＝.∴△【答案】．在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝，△的面积为，则的值为( )．．【解析】根据＝＝，可得＝，由余弦定理得＝＋－＝，故＝.【答案】．(·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )．．．．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则＝＋，＝＋，＝＋，又∵·＝，∴(＋)＝(＋)(＋)，∴＝－，∴＝＝.【答案】．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－【解析】＋＋≥在∈上恒成立⇔≥－－⇔≥，∵＋≥，∴－≤－，∴≥－.【答案】．(·浙江高考)已知{}是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( ) ．>，> ．<，<．>，< ．<，>。