2023年高考数学(文科)一轮复习——不等式的性质与一元二次不等式

§1.3 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ；若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √)(2)若b a>1，则b >a .( × ) (3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b，则b <a .( × ) 教材改编题1．(多选)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1122a b ＜B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3 答案 ABC解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以1122a b ＜，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1a >1b，B 正确； 因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b，C 正确； 当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a)ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)(2022·菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈(0,3)，且a 5＝5a ，b 4＝4b ，c 3＝3c ，下列不等式正确的是() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 a 5＝5a ，即ln a a ＝ln 55，b 4＝4b ，即ln b b ＝ln 44，c 3＝3c ，即ln c c ＝ln 33，设f (x )＝ln x x ，则f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )＝ln x x 单调递减，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )＝ln x x单调递增， 因为a ，b ，c ∈(0,3)，f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，所以a ，b ，c ∈(0，e)，因为f (5)<f (4)<f (3)，所以f (a )<f (b )<f (c )，a <b <c .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝(e 2 021＋1)(e 2 023＋1)－(e 2 022＋1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021(e －1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e (e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b， ∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝⎝⎛⎭⎫e ππ－e ， 又0<e π<1,0<π－e<1， ∴⎝⎛⎭⎫e ππ－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ. 题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <b c －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题．(2)(多选)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析 由1a <1b<0，可知b <a <0. A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即A 正确； B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确； D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b， 故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以ac 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a >－b >0得a >|b |，D 不正确．(2)(多选)设a >b >1>c >0，下列四个结论正确的是( )A.1ac >1bcB ．ba c >ab cC ．(1－c )a <(1－c )bD ．log b (a ＋c )>log a (b ＋c )答案 CD解析 由题意知，a >b >1>c >0，所以对于A ，ac >bc >0，故1ac <1bc ，所以A 错误；对于B ，取a ＝3，b ＝2，c ＝12，则ba c ＝23，ab c ＝32，所以ba c <ab c ，故B 错误；对于C ，因为0<1－c <1，且a >b ，所以(1－c )a <(1－c )b ，故C 正确；对于D ，a ＋c >b ＋c >1，所以log b (a ＋c )>log b (b ＋c )>log a (b ＋c )，故D 正确．题型三 不等式性质的综合应用例3 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. (2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 教师备选 已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a >－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得ca <－1，所以－3<c a <－1.(2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，ab 的取值范围是________．答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a 3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．(2022·长春模拟)已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >N B ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．(2022·杭州模拟)若⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1，则下列各式中一定成立的是( )A ．ln(a －b )>0B ．2b －a >1C ．－1a >－1bD ．log c a >log c b (c >0且c ≠1)解析 指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，由⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1可知，a >b >0.所以1a <1b ，则－1a >－1b ，故C 正确；a －b >0，但不一定有a －b >1，则不一定有ln(a －b )>0，故A 错误；函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，b －a <0.则2b －a <20＝1，故B 错误；当0<c <1时，函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，则log c a <log c b ，故D 错误．6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 ACD解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的有() A ．c 2＜cd B ．a －c ＜b －dC ．ac ＜bd D.c a －d b ＞0解析 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b＞0，故选项D 正确． 8．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 AD解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 正确；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·烟台模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立， 所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．(2022·上海模拟)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 答案 27解析 x 3y 4＝x 4y 2·1xy 2＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2≤81×13＝27， 当且仅当x 2y ＝9，xy 2＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式成立的是( )A ．c <bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a <c 答案 BD解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数． ①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。

第一节等式性质与不等式性质课程标准考情分析核心素养梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．近两年的新高考试卷中都没有单独考查不等式的性质，但有渗透到其它内容中，如：2020年中的第8、9、12题，2021(Ⅰ)中的第5、22题，2021(Ⅱ)中的7、21题．逻辑推理数学运算教材回扣·夯实“四基”基础知识1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a，b∈R(2)作商法a∈R，b>02．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔________⇔传递性a>b，b>c⇒ ________⇒可加性a>b⇔ ________⇔可乘性⇒ ________注意c的符号⇒ ________同向可加性⇒ ________⇒同向同正可乘性⇒ ________⇒可乘方性a>b>0⇒ ________(n∈N，n≥2)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)a，b同为正数【微点拨】1．在利用不等式的性质进行证明时，一定要注意性质的前提条件是否具备．2．在应用不等式传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如a≤b，b<c⇒a<c.[常用结论]1．倒数性质的几个必备结论(1)a＞b，ab＞0⇒<；(2)a＜0＜b⇒<；(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒>；(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒<<.2．两个重要不等式若a＞b＞0，m＞0，则：(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()2．若>1，则a>b.()3．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()4．a>b>0，c>d>0⇒>.()题组二教材改编5．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N6．已知ac2>bc2，则下列不等式成立的是()A．a2－b2>0B．a＋c>b＋cC．ac>bc D．lg a>lg b题组三易错自纠7．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．B．C．D．8．已知12<a<60，15<b<36，则的取值范围是________．题型突破·提高“四能”题型一比较两个数(式)的大小[例1](1)已知实数a，b，c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c 的大小关系是()A．c≥b>a B．a>c≥bC．c>b>a D．a>c>b(2)已知a>b>0，比较a a b b与a b b a的大小．[听课记录]类题通法比较大小的三种常用方法[巩固训练1](1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M、N的大小关系为________．(2)若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)．题型二不等式的性质[例2](1)[2022·北京房山区模拟]已知a，b∈R，且a>b，则下列各式中一定成立的是()A．<B．a3>b3(2)(多选)[2022·江苏高邮模拟]下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2≥bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c>0，则>D．若a>b且>，则ab<0[听课记录]类题通法解决不等式有关问题常用的三种方法[巩固训练2](1)[2022·湖南对口考试]若a>b，c>d则()A．a＋c>b＋d B．a－c>b－dC．ac>bd D．ad>bc(2)[2022·广东金山中学月考]已知b<a<0，则下列不等式成立的是()A．ab>a2B．<C．a＋<b＋D．<1题型三利用不等式的性质求代数式的范围[例3]已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．[听课记录]变式探究1将本例的条件改为“－1<x<y<3”，则x－y的取值范围为________．变式探究2将本例的条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，则3x＋2y的取值范围为________．类题通法利用不等式性质求代数式的取值范围应注意两点[巩固训练3](多选)[2022·湖南长沙一中月考]设x，y为实数满足1≤x≤4，0<y≤2，则下列结论错误的是()A．1<x＋y≤6 B．1<x－y≤2C．0<xy≤8 D．≥2状元笔记❷比较大小的其它方法一、中间量法[典例1](1)已知：a＝log0.62, b＝log20.6, c＝0.62，则()A．a >b >c B．b >c >aC．c >b >a D．c >a >b(2)已知实数a ＝2 ln 2，b ＝2 ＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是()A．c <b <a B．c <a <bC．b <a <c D．a <c <b【解析】(1)c ＝0.62 >0，b ＝log20.6 <0，且b ＝log20.6 >log20.5 ＝－1，即b∈(－1，0)．a ＝log0.62＝＝∈(－∞，－1)，所以c >b >a，故选C.(2)∵a ＝2 ln 2∈(1，2)，b ＝2 ＋2ln 2 >2，c ＝(ln 2)2∈(0，1)，∴b >a >c , 选B.【答案】(1)C(2)B类题通法中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝log a x的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．二、特殊值法[典例2](1)若<<0，则下列结论不正确的是()A．a2 <b2B．ab <b2C．a ＋b <0 D．|a|＋|b|>|a ＋b|(2)[2022·山东滨州模拟]下列命题为真命题的是()A．若a >b，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2<ab<b2C．若c>a>b>0，则<D．若a>b>c>0，则>【解析】(1)由于<<0，不妨令a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故A正确；ab＝2，b2＝4，故B正确；a＋b＝－3<0，故C正确；|a |＋|b |＝3，|a＋b|＝3，|a |＋|b |＝|a＋b|，所以D不正确．(2)对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；对于B选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但a2<ab<b2不满足，故B选项为假命题；对于C选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，＝>＝，不满足，故C选项为假命题；对于D选项，由于 a >b >c >0，所以＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．故选D.【答案】(1)D(2)D类题通法特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选项两数大小是确定的，如果出现两数大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值法进行检验；赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．三、单调性法[典例3](1)[2022·河北沧州月考]若实数a，b满足a2 <ab <a，则()A．< B. <C．a<b D．0<b－a <1(2)若a＝，b＝，c＝，则()A．a <b <c B．c <b <aC．c <a <b D．b <a <c【解析】(1)由a2<ab <a得：0 <a <b <1；对于A，∵y＝在上单调递减，∴>，A错误；对于B，∵y＝在上单调递增，∴>，B错误；对于C，∵y＝x在R上单调递减，∴a>b，C错误；对于D，∵0 <a <b <1，∴0 <b－a <1，D正确．故选D.(2)方法一对于函数y＝f(x)＝，y ′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5, 所以f(3)>f(4)>f(5)，即c <b <a.方法二易知a，b，c都是正数，＝＝<1，所以a>b；＝＝>1，所以b>c，即c<b<a. 故选B.【答案】(1)D(2)B类题通法(1)利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．第一节等式性质与不等式性质教材回扣夯实“四基”基础知识1．>＝<>＝<2．b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd a n>b n基本技能、思想、活动经验1．√ 2.× 3.× 4.√5．解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.答案：A6．解析：由ac2>bc2可得，a>b，A中，当a＝0，b＝－1时，a2－b2＝0－1＝－1<0，所以A错误；B中，由a>b可得a＋c>b＋c，所以B正确；C中，当c<0时，ac<bc，C错误；D中，当0>a>b或a>0，b<0时，对数没有意义，所以D错误．故选B.答案：B7．解析：∵－<α<π，－<β<π，∴－π<－β<，∴－<α－β<，又α<β，∴α－β<0，∴－<α－β<0，故选B.答案：B8．解析：∵15<b<36，∴<<.又12<a<60，∴<<.∴<<4.答案：题型突破提高“四能”例1解析：(1)因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以(b＋c)－(c－b)＝(6－4a＋3a2)－(4－4a＋a2)即2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，所以b>a，所以c≥b>a.(2)∵＝＝，又a>b>0，故>1，a－b>0，∴>1，即>1，又a b b a>0，∴a a b b>a b b a.答案：(1)A(2)a a b b>a b b a巩固训练1解析：(1)∵M－N＝(2p＋1)(p－3)－(p－6)(p＋3)－10＝2p2－5p－3－p2＋3p＋18－10＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，∴M>N.(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.答案：(1)M>N(2)<例2解析：(1)因为a，b∈R，且a>b，对于A：若a＝1，b＝－1，显然>，故A错误；对于B：因为函数y＝x3在定义域R上单调递增，所以a3>b3，故B正确；对于C：若b＝0，则ab＝b2＝0，故C错误；对于D：若a＝1，b＝－1，则＝，故D错误；故选B.(2)对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a<b<0，则a2－ab＝a>0，ab－b2＝b>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则＝＝<0，所以<，故C错误；对于D，若a>b且>，则b－a<0，＝>0，所以ab<0，故D正确．故选ABD.答案：(1)B(2)ABD巩固训练2解析：(1)A.根据不等式的性质可知，A正确；B．若1>－1，2>－2，1－2<－1－，可知B不正确；C．若1>－1，2>－2，1×2＝，故C不正确；D．若1>－1，2>－2，1×＝×2，故D不正确．故选A.(2)根据等式的性质可知A正确；B错误；D错误；当b ＝－3，a ＝－2时，a >b ＋，故C 不正确； 故选A.答案：(1)A (2)A例3 解析：∵－1<x <4，2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2，由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.答案：(－4，2) (1，18)变式探究1 解析：∵－1<x <3，－1<y <3 ∴－3<－y <1， ∴－4<x －y <4，①又∵x <y ，∴x －y <0，②由①②得－4<x －y <0，故x －y 的取值范围是(－4，0)． 答案：(－4，0)变式探究2 解析：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则，∴， 即3x ＋2y ＝(x ＋y )＋(x －y )，又－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－<(x ＋y )<10，1<(x －y )<，∴－<(x ＋y )＋(x －y )<，即－<3x ＋2y <，故3x ＋2y 的取值范围是.答案：巩固训练3 解析：∵1≤x ≤4，0<y ≤2，∴1<x ＋y ≤6，A 正确； ∵1≤x ≤4，－2≤－y <0，∴－1≤x －y <4，B 错误； ∵1≤x ≤4，0<y ≤2，∴0<xy ≤8，C 正确； ∵1≤x ≤4，0<，∴，D 错误．故选BD. 答案：BD第二节 基本不等式课程标准考情分析核心素养 掌握基本不等式ab ≤a ＋b2 (a >0，b >0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2020年新高考第11题考查了基本不等式与函数的综合，第20 题在立体几何中求线面角的最大值时运用了基本不等式；2021年(Ⅰ)卷中第5题考查椭圆逻辑推理数学运算知识时运用了基本不等式．教材回扣·夯实“四基”基础知识1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．【微点拨】基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值________．(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).【微点拨】连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．[常用结论]1.≥.2.＋≥2(ab>0).3.≤≤≤(a>0，b>0).基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．()2．(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).()3．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．()4．x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．()题组二教材改编5．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A．B．C．D．6．若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.题组三易错自纠7．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．48．y＝2＋x＋(x<0)的最大值为________．题型突破·提高“四能”题型一利用基本不等式求最值角度1拼凑法求最值[例1](1)(多选)[2022·辽宁辽阳模拟]已知x>1，则x＋的值可以为() A．9 B．10 C．11 D．12(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．[听课记录]类题通法拼凑法求最值的策略[巩固训练1](多选)下列说法正确的是()A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是2D．2－3x－的最大值是2－4角度2常值代换法求最值[例2]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．[听课记录]变式探究将本例条件改为“a>0，b>0，a＋b＝4ab”，则a＋b的最小值为________．类题通法常数代换法求最值的一般步骤[巩固训练2][2022·河北石家庄精英中学月考]已知x，y>0，且2x＋3y－xy＝0，则3x ＋2y的最小值是()A．2B．5C．20 D．25角度3消元法求最值[例3]若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A．B．C．D．[听课记录]类题通法消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．[巩固训练3]已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．题型二利用基本不等式解决实际问题[例4]某厂家拟在2022年国庆假期举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[听课记录]类题通法利用基本不等式解实际应用问题的技巧[巩固训练4][2022·河北唐山一中模拟]某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为s(单位：元)，AD长为x(单位：m)．s的最小值是________，此时x的值是________．题型三基本不等式的综合应用[例5](1)[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13 B. 12 C. 9 D. 6(2)已知等差数列{a n}中，a3＝7，a9＝19，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为________．[听课记录]类题通法利用其它知识点的知识进行条件转化，表示出要求最值的式子，根据条件，利用基本不等式求最值．[巩固训练5][2022·重庆巴蜀中学模拟]已知函数f(x)＝a x－4＋2(a>0且a≠1)过定点A，且点A在直线l：mx＋ny－mn＝0(m，n>0)上，则点A的坐标为____________；m＋n的最小值为____________．❸利用基本不等式求解恒成立问题一般解法：(1)f(x)≤a(或≥a)恒成立⇔f(x)max≤a(或f(x)min≥a)；(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)≥a(或≤a)形式，其次是数形结合．[典例1]若x≠0，不等式≤a恒成立，则实数a的最小值等于________．【解析】若x≠0，不等式≤a恒成立，可得a≥恒成立，由x2＋＋3≥2＋3 ＝5，当且仅当x ＝±1时，取得等号．则的最大值为，所以a≥，即有a的最小值为.【答案】[典例2]已知a>0，b>0，若不等式＋恒成立，则m的最大值为________．【解析】由题意，不等式＋恒成立，且a >0，b >0，即为m≤(3a ＋b)恒成立，即m≤成立，由(3a ＋b)＝10＋＋≥10 ＋2＝16，当且仅当＝，即 a ＝b，取得等号，即有m≤16，则m的最大值为16.【答案】16[典例3]若正实数x，y满足x＋2y＝2xy，且不等式(x＋2y－a)xy＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为正实数x，y满足x＋2y＝2xy，所以2xy≥2，所以xy≥2；又因不等式(x＋2y－a)xy＋1≥0恒成立，所以(2xy－a)xy＋1≥0恒成立，即a≤2xy＋恒成立，则a≤，因为2xy＋，当且仅当xy＝2时取等号，此时2xy＋取得最小值，故a≤.【答案】第二节基本不等式教材回扣夯实“四基”基础知识1．(2)a＝b(3)2．(1)x＝y2(2)x＝y S2基本技能、思想、活动经验1．× 2.√ 3.√ 4.√5．解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.答案：B6．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤＝25 (m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max＝25.答案：257．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.答案：C8．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋＝2－，又∵－x－≥2＝2，∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2，当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．答案：2－2题型突破提高“四能”例1解析：(1)因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝11，当且仅当x－1＝，即x＝6时，等号成立，故x＋≥11.故选CD.(2)∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取“＝”．答案：(1)CD(2)2＋2巩固训练1解析：由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故A正确；＝，当x＝0时取得等号，故B正确；＝，令t＝，则t≥2，因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；2－在x<0时，没有最大值，故D错误．故选AB.答案：AB例2解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1∴＝·1＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．答案：4变式探究解析：∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除ab得＝4，∴a＋b＝(a＋b)·＝≥×2＝＝1.当且仅当＝即a＝b＝时取等号．答案：1巩固训练2解析：因为2x＋3y－xy＝0，所以＝1，所以3x＋2y＝(3x＋2y)＝9＋＋4≥13＋2＝25.当且仅当x＝y＝5时等号成立．故选D.答案：D例3解析：∵x，y均为正数，x2＋6xy－1＝0，∴y＝，∴x＋2y＝x＋＝＝≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故选A.答案：A巩固训练3解析：∵正实数a，b满足ab－b＋1＝0，∴a＝>0，即b>1∴＋4b＝＋4b＝＋4b＝1＋＋4(b－1)＋4＝5＋＋4(b－1)≥5＋2＝9，当且仅当b＝，a＝时取等号，故＋4b的最小值是9.答案：9例4解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，∴2022年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1即m＝3(万元)时，y max＝21(万元)．故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．巩固训练4解析：由题意，AM＝，又AM>0，有0<x<10，s＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋42 000－210x2＋＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，所以当x＝，s最小且最小值为118 000.答案：118 000例5解析：(1)由题意，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，所以|MF1|·|MF2|≤＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C.(2)设等差数列{a n}的公差为d.则a9－a3＝19－7＝6d，∴d＝2，∴a n＝a3＋(n－3)×2＝7＋2(n－3)＝2n＋1，S n＝＝＝n(n＋2)＝n2＋2n，∴＝＝＝≥2×＝3.当且仅当n＋1＝，即n＝2时取等号．答案：(1)C(2)3巩固训练5解析：f(x)＝a x－4＋2的图象是由y＝a x图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，y＝a x图象过定点(0，1)，所以f(x)＝a x－4＋2过定点(4，3)，即点A的坐标为(4，3)，因为点A(4，3)在直线l：mx＋ny－mn＝0(m，n>0)上，所以4m＋3n＝mn，所以＝1，所以m＋n＝(m＋n)＝7＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当即时等号成立，所以点A的坐标为(4，3)，m＋n的最小值为7＋4.答案：(4，3)7＋4第三节二次函数与一元二次方程、不等式课程标准1.从函数观点看一元二次方程：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．从函数观点看一元二次不等式：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．考情分析近两年的新高考试卷中都没有单独考查一元二次不等式的解法，但有渗透到其它内容中，如：2020年(Ⅰ)中的第21题，2021(Ⅰ)中的第22题，2021(Ⅱ)中的17、18、22题．核心素养直观想象数学运算教材回扣·夯实“四基”基础知识“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等实数根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集__________ __________R一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________∅__________【微点拨】1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或[常用结论]1．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)；绝对值不等式|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．2．简单分式不等式(1)≥0⇔(2)>0⇔f(x)g(x)>0.基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.() 3．不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.()4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．()题组二教材改编5．已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝()A．[－4，1)B．[－4，4]C．(－∞，1)D．R6．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．题组三易错自纠7．不等式<x的解集为________．8．要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，则m的取值范围为________．题型突破·提高“四能”题型一一元二次不等式的解法角度1 不含参的一元二次不等式的解法[例1](1)函数y＝的定义域是________．(2)不等式≥0的解集为()A．[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)D．(－∞，－2][听课记录]类题通法解一元二次不等式的一般步骤[巩固训练1][2022·重庆清华中学月考]已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3，1)C．(－1，1)角度2 含参的一元二次不等式的解法[例2](1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为________．(2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0，其中a∈R.[听课记录][变式探究]将本例(2)中的不等式“x2－(a＋1)x＋a<0”改为“ax2－(a＋1)x＋1<0”，求不等式的解集．类题通法解含参数的一元二次不等式[巩固训练2](1)[2022·渤海大学附属高级中学月考]二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，则ab的值为()A．－5 B．5C．－6 D．6(2)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.题型二一元二次不等式恒(能)成立问题角度1 在R上的恒成立问题[例3]若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．(－∞，－2)C．(－2，2]D．(－∞，2][听课记录]类题通法一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是[巩固训练3]已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围为________．角度2 在给定区间上的恒成立问题[例4]若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是() A．(－∞，－3] B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1][听课记录]类题通法在给定区间上恒成立问题的求解策略[巩固训练4][2022·北京海淀模拟]对∀x∈(0，＋∞)，若不等式>4－x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)角度3 不等式能成立或有解问题[例5][2022·山东枣庄模拟]若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，－2)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[听课记录]类题通法不等式能成立问题的求解策略不等式能成立问题，一般也是转化为函数最值，即：a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.[巩固训练5]设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则() A．a≤2 B．a≥2C．a≥D．a≤题型三一元二次不等式的实际应用[例6][2022·江苏南通月考]某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到区间[0.55，0.75](单位：元/(kW·h))内，而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价始终为0.3元/(kW·h)．(1)写出本年度电价下调后电力部门的利润y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/kW·h)的函数解析式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%?[听课记录]类题通法解不等式应用题的一般步骤[巩固训练6]要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600 m，如果某段铁路两端相距156 m，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．❹一元二次方程根的分布情况设函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内大致图象(a >0)得出的结论f(m)·f(n) <0大致图象(a <0)得出的结论f(m)·f(n) <0 (1)有两个正根；(2)有两个负根；(3)有一正一负根．【解析】(1)解得{m |0 <m ≤1 }；(2)解得{m |m ≥9}；(3)解得{m |m <0}．[典例2]关于x的方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0满足下列条件，求m的取值范围：(1)一个根大于1，一个根小于1；(2)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内；(3)一个根小于2，一个根大于4；(4)两个根都在(0，2)内．【解析】令f(x) ＝x2＋(m －3)x ＋m，(1)若方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f(1) ＝2m －2 <0，解得m <1，故m的取值范围为(－∞，1)．(2)若方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内，则解得－<m <0，故m的取值范围为.(3)若方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根小于2，一个根大于4，则解得－5 <m <－1，故m的取值范围为(－5，－1)．(4)若方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0，2)内，则解得<m≤1，故m的取值范围为.第三节二次函数与一元二次方程、不等式教材回扣夯实“四基”基础知识∅基本技能、思想、活动经验1．√ 2.× 3.× 4.√5．解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故选D.答案：D6．解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.答案：－17．解析：－x<0，即<0，即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，所以或解得x>1或－1<x<0，所以不等式的解集为(－1，0)答案：(－1，0)8．解析：函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立．当m＝0时，－1<0恒成立；当m≠0时，要使其恒成立，则有解得m<0.综上，m的取值范围为{m|m≤0}．答案：(－∞，0]题型突破提高“四能”例1解析：由题意知7＋6x－x2≥0.即x2－6x－7≤0.解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1，7].答案：(1)[－1，7]解析：不等式≥0⇔(x－1)(2＋x)≤0且x≠－2⇔－2≤x≤1且x≠－2⇔－2<x≤1.即不等式的解集为：(－2，1].故选B.答案：B巩固训练1解析：f(1)＝1－4＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，所以0≤x<1或x>3；当x<0时，x＋6>3，所以－3<x<0，所以不等式f(x)>f(1)的解集是(－3，1)故选A.答案：A例2解析：由条件知－2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，∴－2－＝－，(－2)×＝，∴b＝a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c>0可化为a>0.∵a<0，∴2x2－5x＋2<0.即(x－2)(2x－1)<0，解得<x<2.∴不等式的解集为.答案：(1)答案：不等式可化为(x－1)(x－a)<0且不等式对应方程的实数根为1和a，①当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；②当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅；③当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．答案：(1)(2)见解析变式探究解析：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1；若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1；若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得<x<1；③当0<a<1时，>1，解(x－)(x－1)<0得1<x<.综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}．巩固训练2解析：∵不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，∴a<0，∴原不等式等价于－ax2－bx－1<0，由韦达定理知－1＋＝－，－1×＝，∴a＝－3，b＝－2，∴ab＝6.答案：D解析：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，不等式的解集为；②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；③当a<0时，－>，不等式的解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.答案：(1)D(2)见解析例3解析：由题意，不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需解得－2<a<2，综上所述，所以a的取值范围为(－2，2]，故选C.答案：C巩固训练3解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．当m≠0时，则即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4，0].答案：(－4，0]例4解析：(方法一)令f (x)＝x2－2x＋a.则由题意，得解得a≤－3.故选A.(方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f (x)＝－x2＋2x(x∈[－1，2])．而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f (x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.答案：A巩固训练4解析：对∀x∈(0，＋∞)，若不等式>4－x恒成立，则a>4x－x2＝－(x－2)2＋4，因为－(x－2)2＋4≤4，所以a>4.故选C.答案：C例5解析：令f(x)＝x2－4x－2－a，则函数的图象为开口朝上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f(x)<f(4)＝－2－a，若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则－2－a>0，解得a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.答案：B巩固训练5解析：关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解⇔a≤x＋，在x∈[1，2]上有解⇔a≤，x∈[1，2]，又f(x)max＝f(2)＝，∴a≤.故选D.答案：D例6解析：(1)y＝(x－0.3)，x∈[0.55，0.75].(2)当k＝0.2a时，y＝(x－0.3)由题意可得：整理得：解得0.6≤x≤0.75所以当电价最低定为0.6元/(kW·h)时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%.巩固训练6解析：如图所示，设圆弧的半径OA＝OB＝R m，圆弧弓形的高CD＝x m，在Rt△BOD中，DB＝78，OD＝R－x，则(R－x)2＋782＝R2，∴R＝，依题意知R≥600，即≥600，∴x2－1 200x＋6 084≥0，解得x≤5.09或x≥1 194.9(不合题意)．∴圆弧弓形的高所允许的取值范围是{x|0<x≤5.09}．。

第 1 讲不等式的性质与一元二次不等式一、选择题1．假设 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，那么 f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝ g(x) C．f(x)＜ g(x)B．f(x) ＞g(x)D．随 x 的值变化而变化解析f(x)－g(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－1)2＋ 1＞ 0? f(x)＞g(x)．答案B2．以下四个条件：①b＞0＞a，② 0＞ a＞ b，③ a＞0＞b，④ a＞b＞0，能推1 1出a＜b成立的有() A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个解析运用倒数性质，由a＞b，ab＞ 01 1可得 a＜b，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，应选 C.答案C3．(2021 ·河北省三市联考 )假设集合 A＝{ x|3＋ 2x－x2>0} ，集合 B＝{ x|2x<2} ，那么 A∩B 等于()A．(1,3)C．(－1,1)解析依题意，可求得B．(－∞，－ 1)D．(－ 3,1)A＝ (－ 1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩ B＝ (－1,1)．答案C4．假设集合A＝ { x|ax2－ax＋ 1＜ 0} ＝?，那么实数a 的取值范围是()A．{ a|0＜a＜4}B．{ a|0≤ a＜ 4} C．{ a|0＜a≤4}D．{ a|0≤ a≤ 4}解析由题意知 a ＝ 0 时，满足条件．a ＞ 0，a ≠0 时，由得 0＜ a ≤ 4，所以 0≤ a ≤ 4.＝ a 2－4a≤ ，答案D5．函数 f(x)＝－ x 2＋ ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈ R )，对任意实数 x 都有 f(1－ x)＝ f(1＋x)成立，假设当 x ∈[ －1,1]时， f(x)＞ 0 恒成立，那么 b 的取值范围是()A ．(－1,0)B ．(2，＋∞ )C ．(－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )D ．不能确定解析由 f(1－ x)＝f(1＋ x)知 f(x)的图像关于直线 x ＝ 1 对称，即 a ＝ ，解得a2 1＝ 2.又因为 f(x)开口向下，所以当 x ∈[－ 1,1]时， f(x)为增函数，所以 f(x)min ＝ f(－1)＝－ 1－ 2＋b 2－b ＋1＝ b 2－b －2，f(x)＞0 恒成立，即 b 2－ b － 2＞ 0 恒成立，解得 b ＜－ 1 或 b ＞2.答案C二、填空题．函数f(x)x 2＋2x ，x ≥0，那么不等式 f(x)＞3 的解集为 ________．＝6－x 2＋2x ， x ＜ 0，x ≥0，x ＜ 0，解析由题意知或解得 x ＞1.故原不等式的解x 2＋2x ＞3－x 2＋2x ＞3，集为 {x|x ＞1} ．答案 { x|x＞ 1}7．(2021 ·合肥模拟 )假设关于 x 的不等式 ax＞ b 的解集为－∞，1，那么关于 x 的不524等式 ax ＋bx－5a＞0的解集为 ________．1b12解析由 ax＞b 的解集为－∞，5，可知 a＜0，且a＝5，将不等式 ax 4b414＋ bx－5a＞ 0 两边同除以 a，得 x2＋a x－5＜0，即 x2＋5x－5＜0，解得－ 1＜x4244＜5，故不等式 ax ＋bx－5a＞0 的解集为－1，5 .4答案－1，58．不等式 a2＋8b2≥λb(a＋ b)对于任意的 a， b∈R恒成立，那么实数λ的取值范围为 ________．解析因为 a2＋ 8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R恒成立，所以 a2＋8b2－λb(a ＋ b)≥0 对于任意的 a，b∈R恒成立，即 a2－λ ba＋(8－λ)b2≥ 0 恒成立，由二次不等式的性质可得，2 22 2 2＝λb ＋ 4(λ－ 8)b ＝b (λ＋4λ－ 32)≤ 0，所以 (λ＋8)(λ－ 4)≤0，解得－ 8≤λ≤4.答案[ －8,4]三、解答题9． f(x)＝－ 3x2＋ a(6－ a)x＋ 6.(1)解关于 a 的不等式 f(1)＞ 0；(2)假设不等式 f(x)＞b 的解集为 (－1,3)，求实数 a，b 的值．解(1)由题意知 f(1)＝－ 3＋a(6－ a)＋6＝－ a2＋ 6a＋3＞0，即 a2－ 6a－3＜0，解得 3－2 3＜ a＜ 3＋ 2 3.所以不等式的解集为 { a|3－ 2 3＜a＜3＋23} ．(2)∵f(x)＞b 的解集为 (－1,3)，∴方程－ 3x 2＋ a(6－ a)x ＋ 6－ b ＝0 的两根为－ 1,3，－1 ＋ 3＝ a 6－ a ，a ＝3± 3，∴36－b解得b ＝－ 3.－1 × 3＝－ 3 ，即 a 的值为 3± 3，b 的值为－ 3.10．某商品每件本钱价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件．假设售价降低8x 成(1 成＝ 10%)，售出商品数量就增加 5x 成．要求售价不能低于本钱价．(1)设该商店一天的营业额为 y ，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y ＝f(x)，并写出定义域；(2)假设再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围． 解(1)由题意得， y ＝100 1－x· 1＋ 8 x10 10050.x因为售价不能低于本钱价，所以100 1－10 － 80≥0.所以 y ＝f(x)＝40(10－ x)(25＋ 4x)，定义域为 x ∈ [0,2] ．(2)由题意得 40(10－ x)(25＋ 4x)≥ 10 260，21 13化简得 8x － 30x ＋ 13≤0.解得 2≤x ≤ 4.1所以 x 的取值范围是 2，2 .11．下面四个条件中，使 a ＞b 成立的充分而不必要的条件是()A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞ b 3解析A 项：假设 a ＞ b ＋ 1，那么必有 a ＞ b ，反之，当 a ＝2，b ＝1 时，满足 a ＞b ，但不能推出 a ＞b ＋1，故 a ＞b ＋1 是 a ＞b 成立的充分而不必要条件；B项：当 a ＝b ＝1 时，满足 a ＞b － 1，反之，由 a ＞b －1 不能推出 a ＞ b ；C 项：2 23 3 当 a ＝－ 2，b ＝1 时，满足 a ＞b ，但 a ＞b 不成立； D 项： a ＞b 是 a ＞b 的充要条件，综上所述答案选 A.答案A12．(2021 ·湛江调研 )函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋c(a ≠0)，假设不等式 f(x)<0 的解集为1xx|x<2或x>3 ，那么 f(e )>0(e 是自然对数的底数 )的解集是()A ．{ x|x<－ ln 2 或 x>ln 3}B ．{ x|ln 2<x<ln 3}C ．{ x|x<ln 3}D ．{ x|－ln 2<x<ln 3}1x1解析法一 依题意可得 f(x)＝ a x － 2(x －3)(a<0)，那么 f(e x )＝a e － 2 (e x －x x 1x1 x3)(a<0)，由 f(e )＝ a e －2 (e －3)>0，可得 2<e <3，解得－ ln 2< x<ln 3 ，应选 D.11法二 由题知， f(x)>0 的解集为 x 2<x<3 ，令 2<e x <3，得 －ln 2< x<ln 3 ，应选D.答案D13．假设不等式 x 2＋ax － 2＞ 0 在区间 [1,5] 上有解，那么实数 a 的取值范围是 ________．解析设 f(x)＝x 2＋ax －2，由题知： ＝a 2＋ 8＞ 0，所以方程 x 2＋ax － 2＝ 0 恒有一正一负两根，于是不等式 x 2＋ ax － 2＞ 0 在区间 [1,5] 上有解的充要条件是 f(5) ＞0，即 a ∈23－ 5 ，＋ ∞ . 答案－23，＋∞514．解关于 x 的不等式 ax 2－ (2a ＋ 1)x ＋ 2＜ 0(a ∈ R )．解 原不等式可化为 (ax －1)(x －2)＜0.(1)当 a ＞ 0时，原不等式可以化为a(x － 2) x － 1 ＜ 0，根据不等式的性质，这 a个不等式等价于(x － 2) 1 ·x －a＜0.因为方程1 (x －2) x － a＝0的两个根分别是12，a ，所以当1 10＜ a ＜ 2时，2＜ a ，那么原不等式的解集是1x|2＜x ＜a；当1 a ＝2时，原不等式的解集是 ?；1 1 1当 a ＞2时， a ＜2，那么原不等式的解集是 x a ＜ x ＜2 .(2)当 a ＝0 时，原不等式为－ (x －2)＜ 0，解得 x ＞2，即原不等式的解集是 { x|x ＞2} ．1(3)当 a ＜0 时，原不等式可以化为 a(x － 2) x －a ＜ 0，根据不等式的性质，这1个不等式等价于 (x － 2) ·x － a ＞0，由于 1＜2，故原不等式的解集是x x ＜1或x ＞2 .aa1综上所述，当 a ＜0 时，不等式的解集为 x x ＜ a 或 x ＞ 2 ；当 a ＝ 0 时，不等式的解集为 { x|x ＞ 2} ；当 0＜ a ＜ 1时，不等式的解集为2 x 2＜x ＜1；当 a ＝1时，不等式的解集为 ?；当 a ＞1时，不等式的解集为a221x a ＜x ＜2 .。

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0<b ⇒1a <1b. (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. 2．两个重要不等式若a >b >0，m >0，则(1)b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． 【常考题型剖析】题型一 用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】 因为10a b a>>>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误； 对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数， 又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误； 对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=， 因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>， 所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小． 【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a； 当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a； 当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（ ） A ．22a b <B ．33a b <C ．1a b e -<D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【解析】根据条件，可得0a b >>或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<， 所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<， 所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】 令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<， 即213x -<<， 故x 的取值范围是2(1,)3-． 例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】 根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五： 绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例 【详解】 解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证； 必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤， 故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。