当前位置：文档之家 › 高等数学教学课件：v-11-习题课-2007

高等数学教学课件：v-11-习题课-2007

  • 格式：ppt
  • 大小：439.00 KB
  • 文档页数：30

下载文档原格式

  / 30

合集下载

高等数学无穷级数11-1

高等数学无穷级数11-1

n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
二、收敛级数的基本性质


性质1 设常数 k 0, 则 un与kun
有相同的敛散性.
n1 n1


证 令un与kun 的部分和分别为 sn 及n .
n1 n1
则 n k1u k2u kn u
k(u 1u 2 u n) ksn
于是 当sns, nksn ks ;
当sn不存在极k限 0时 且 ,
nksn 也不存在极限.


所以, un与kun 有相同的敛散性.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.


性质2 设有两个级数 un与vn,


n1
n1

若 un s , v n , 则 (unvn)s.
n1
试判别级数 (un a) 的敛散性.
n1
解
因为 u n
n1
收敛, 故
ln im un 0.
从而 ln i m (una)a0

故级数 (un a) 发散.
n1
求级数
n1

5 n(n
1)

1 2n

的和.
解
收敛.
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散

例 讨论级数 3lnna(a0) 的敛散性.

n1
解 因为 3 ln n a 是以 lna
n1
为公比的等比级数, 故
当1 ae时, |lna|1, 级数 收敛.
e
当0 a

高等数学导数的计算教学ppt课件

高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

高等数学课件(完整版)详细

高等数学课件(完整版)详细

即(ax)axln a .
(ex)ex.
精选课件
15
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
h
lim
loga
(1
) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
h 0
h
h
limcos(x
h0
h) 2
sin 2
h
cx o . s
2 即(sx ) i n co x . s
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
精选课件
13
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
平均速 v度 s t
s t
s0 t0
g 2 (t0 t).
当tt0时 , 取极限得
瞬
时v 速 lim g度 (0 tt) 2 t t0
gt0.
精选课件
t0 t
t
1
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
xx0Βιβλιοθήκη 切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0).
x x0 xx0

高等数学(第二版)教学课件11-2

高等数学(第二版)教学课件11-2

所以
2
y2
xyd
dy
1
y2
xydx
D
1 2
2 1
y
y
22
y4
dy
1 2
1 5
y5
1 3
y3
2y2
4
y
2 1
45 8
例2
计算累次积分
1
1
dx sin
0
x
y2 dy
解
由于
1
x
sin
y
2
dy
这个积分的原函数不能表示为
一个初等函数，因此无法直接计算，为此我们需
要交换积分次序。首先确定积分限
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
0 1 2
4 1
x
x
x
22
dx
1 2
1 4
x4
5 3
x3
2x2
4 1
45 8
方法2： 将区域D是水平型区域，D可表示为
D (x, y) | y 2 x y 2, 1 y 2
2
d
a e2 d
0
0
D
D
2 0
1 2
e2
a
0
d
1 2
1 ea2
2
d
0
1 ea2
由于积分 ex2dx 不能用初等函数表示，本题如
果用直角坐标计算，则无法算出结果。
下面我们用上面的结果来计算概率论中常用的反
常积分
＋ e x2 dx.
0

高等数学课件-习题课2

高等数学课件-习题课2

哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在

《高等数学》教学课件 第4章

《高等数学》教学课件 第4章

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

高等数学电子教案：第11章 曲线积分与曲面积分

)i x ，)i LQ y ⎰以上这两个积分称为第二类曲线积分。

第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。

第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy 平面内从点Ａ沿光滑曲线L 移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即(,)L F ds P x dy ⋅=⎰ ,其中类似地可以推广到空间情形。

第二类曲线积分的性质：]Pdx Qdy k +=L Pdx Qdy Pdx +=⎰LPdx Qdy +⎰成立，其中平面上曲线积分与路径无关的条件：P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；LPdx Qdy +=⎰，L 为G 内任一闭曲线；,(,)Q P x y G xy∂∂=∈∂∂；）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：00(,)(,))x y x y y Pdx =+⎰0(,)yy Q x y dy +⎰对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：LPdx Qdy +⎰，若成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。

若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。

且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。

一般轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象Q P∂∂)S存在，则称这个极限iS，亦称它为第一型曲面积分。

其物理意义是面密度)i，∑叫做积分曲面曲面面积元素。

可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）=⎰⎰)]dS k1∑2{1{,,}{x F n dS z F dxdy z P Q R dxdy⋅-⋅'+⋅ “+”， “-”的确定：若题设中曲面∑的侧与-”。

)()i xy S 存在，x,y 的曲面积分，记作)()i xy S 。

高等数学课件完整版

对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分


z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

高等数学习题课(07)中值定理及洛必达


1, et ,
t 0, 0t .
f (t)
t C1, et C2,
t 0, 0t .
由 f (0)0C1 0 ，
再由 f (t ) 在 t 0 处的连续性及 f (0)0 ，得
0 f (0) f (00)1C2C2 1 。
t , t0,
f
(t
)
et
1,
0 t .
从而
x,
f
ln
0
e x x1
lim
x0
1 x 1 2 1 x
e x 1
lim x0 4
1 1
x
lim
x0
ln(1 x) e x 1
1 4
lim
x0
x x
1 4
。
∴应选（B）。
10．方程
x
x
0
1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（A
）
（A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根；
（C）有无穷个根； （D）无实根。
1
x1
ln(1
t
)dt
，
g(
x)e
x
x1，
0
则当 x0 时， f ( x) 是 g( x) 的（ ）
（A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小；
（C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。
10．方程 x x 1t4dtcosx 在区间 (0, ) 内（ ） 0 （A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根； （C）有无穷个根； （D）无实根。
令 f ( x)0 ，得 x0 ， x1 ，
∵ f (0)a0 ，∴ f (0)2 为极小值；
∵ f (1)a0 ，∴ f (1)6 为极大值。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

7、傅里叶级数
高等数学
(1)周期为2π的函数的傅里叶级数
f ( x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sinnx)
其中
an bn
1
1
f f
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、幂级数
高等数学
(1) 收敛半径与收敛区间
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
性质5:
级数收敛的必要条件:
lim
n
un

2、正项级数及其审敛法
高等数学
定义
un , un 0
n1
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法的各种形式
(2) 比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)
(3) 根值审敛法 (柯西判别法)
3、交错级数及其审敛法
f ( x 0)
;
2
(3)
当x 为端点x
时,收敛于 f ( 0)
f ( 0)
.
2
高等数学
(2) 正弦级数与余弦级数
如果 f ( x)为奇函数, 傅氏级数 bn sin nx n1
称为正弦级数.
当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶
级数时,它的傅里叶系数为
an 0
(n 0,1,2,)
n1
即 p 的取值范围应为(2,).
(2006竞赛) (1) 举例说明存在通项趋于零 但发散的交错级数；
高等数学
(2)
举例说明存在收敛的正项级数
an , 但
n1
an
o( 1 ), n
此处 o(1) 是当n 时比 1 高阶的无穷小.
n
n
解 (1)
n2
(1)n n (1)n
[(
1)n
n
n2 n 1
高等数学
(2008竞赛) 设正项级数 an 收敛, 且和为S. 试求：
n1
(1) lim a1 2a2 nan ;
n
n
(2)
a1
n1
2a2 n(n 1)
na n
.
解 (1) a1 2a2 nan Sn Sn S1 Sn S2 Sn Sn1
n
n
Sn
S1
S2
n
Sn1
Sn
S1
S2 n1
Sn1
n 1, n
lim a1 2a2 nan S S 0;
n
n
(2) a1 2a2 nan a1 2a2 nan a1 2a2 nan
n(n 1)
n
n1
a1
2a2
n
na n
a1
2a2
nan n1
(n 1)an1
an1 .
1 ], n1
n2
(
1)n n
1
n收敛，
n2 n
1
发散, 1
所以[
n2
(
1)n n
1
n
n
1
]发散. 1
(2)
定义
an
:当n是整数的平方时, an
1; n
当n不是整数的平方时, an
1 n2
.
所以an
o(1 ),而 n
an的部分和Sn
n1
n 1
2
k
1
k
2
,
所以
an收敛.
n1
第十一章 习题课
一、主要内容 二、例 题
高等数学
(3) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
高等数学
第十一章 习题课
一、主要内容 二、例 题
高等数学
1、常数项级数
高等数学
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原 来的和.
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于 f ( x 0)
6、幂级数展开式
高等数学
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
(2) 间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(3) 当 时,R 0 .
(2)幂级数的运算
高等数学
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
1
(2007竞赛)设 an
0,
p
1,
且 lim n p (e n n
1)an
1.
若 an 收敛, 则 p 的取值范围为_____ .
n1
高等数学
解 应填 (2,).
因为
1
en
1
~
1
(n
),
n
1
所以 lim n p (e n n
1)an
lim
n
n
p
1a
n
1.
由正项级数的比较判别法知, 若 an 收敛, 则 p 1 1,
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,)
高等数学
如果 f
( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an cos nx
n1
称为余弦级数.
当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2,)
bn 0
(n 1,2,)
高等数学
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,)
;(
ⅱ
)
lim
n
un
0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;