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吉布斯-亥姆霍兹方程
吉布斯─亥姆霍兹方程，是对计算系统的吉布斯自由能变化的有用热力学公式。
为一温度函数。
此方程式以约西亚·吉布斯与赫尔曼·冯·亥姆霍兹来命名。
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。
例如，考虑波动方程；在假定u(r,t) 是可分离变量情况下分离变量。
其结果是，当且仅当等式两边都等于恒定值时，该方程在一般情况下成立。
从这一观察中，可以得到两个方程，一个是对A(r) 的，另一个是对T(t) 的。
研究
1847年，亥姆霍兹出版了《力量的守恒》（Erhaltung der Kraft）一书，阐明了能量守恒的原理，亥姆霍兹自由能即以他来命名。
他也研究过电磁学，他的研究预测了麦克斯韦方程组中的电磁辐射，相关的方程式以他来命名。
除了物理，亥姆霍兹也对感知的研究作出贡献。
他发明了检眼镜，以及以他命名的共鸣器(Helmholtz-Resonator)，他两部光学和声学的著作，《作为乐理的生理学基础的音调感受的研究》（Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik）、《生理光学手册》（Handbuch der Physiologischen Optik），对后世影响很大。
《论音调的感觉》，亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）大师1863年作品。
主要从物理学的角度论述了各音调给人的感觉，同时具有很高的美学价值。
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。
因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。
如：电磁场中的▽^2 E+k^2 E=0，▽^2 H+k^2 H=0，称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
其中：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。
相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。
式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。
当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。
在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。
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声场亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程的引出（一）波动方程在声学中，对于小振幅声波的传播，在均匀的、静止的理想流体介质中，声波的波动方程为：∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0其中p是声压，∇^2是拉普拉斯算符，c是声速，t是时间。
（二）时谐声波假设当考虑时谐声波（即声波随时间作简谐变化）时，设p(→r,t)=P(→r)e^-iω t，这里→r是空间位置矢量，ω = 2π f是角频率，f是频率，P(→r)是仅与空间位置有关的复声压幅值。
将p(→r,t)=P(→r)e^-iω t代入波动方程∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0，可得：∇^2(P(→r)e^-iω t)-(1)/(c^2)frac{∂^2(P(→r)e^-iω t)}{∂ t^2} = 0由于(∂)/(∂ t)(e^-iω t)=-iω e^-iω t，frac{∂^2}{∂ t^2}(e^-iω t)=-ω^2e^-iωt方程变为：e^-iω t∇^2P(→r)+frac{ω^2}{c^2}P(→r)e^-iω t= 0两边同时消去e^-iω t，就得到了亥姆霍兹方程：∇^2P(→r)+k^2P(→r) = 0，其中k = (ω)/(c)称为波数。
二、亥姆霍兹方程在声场中的物理意义（一）描述稳态声场亥姆霍兹方程描述的是稳态（时谐）声场中声压幅值P(→r)的空间分布规律。
它反映了在给定频率ω下，声波在空间中的传播和分布特性，与声源的特性、传播介质的性质以及边界条件等因素密切相关。
（二）与能量分布的联系在声场中，声能量密度与声压的平方成正比。
亥姆霍兹方程通过确定声压幅值的分布，间接地反映了声场中能量的分布情况。
例如，在亥姆霍兹方程的解中，声压幅值较大的区域通常对应着较高的声能量密度区域，这有助于我们理解声波在空间中的聚焦、散射等能量相关的现象。
三、求解亥姆霍兹方程（一）分离变量法1. 直角坐标系下- 对于直角坐标系(x,y,z)，设P(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入亥姆霍兹方程∇^2P + k^2P = 0，其中∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}+frac{∂^2}{∂z^2}。
亥姆霍兹方程
Haimuhuozi fangcheng
亥姆霍兹方程
Helmholtz equation
在数学上具有(+)=形式的双曲型偏微分方程。
式中为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为[522-100][5
22-03]；为待求函数;为常数；为源函数。
当等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。
在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。
例如,在均匀各向同性媒质中,电场和磁场强度满足下述波动方程
[522-04](1)
[522-07]。
(2)
当一个函数(,,,)随时间作简谐变动时,可以表成(,,)e的形式,这时/相当于j，/相当于－,代入式(1)、(2),并利用电荷与电流之间的连续方程J＝-/，可得
[522-05] (3)
[522-08]，(4)式中＝()，称为波数。
在场强的非齐次亥姆霍兹方程中，右边的源函数比较复杂。
若换用电磁势，源函数可得到简化。
洛伦兹规范下，简
谐变化的A[kg2]和满足下述非齐次亥姆霍兹方程
[522-06](5)
[522-09](6)
在没有源的区域，式(5)、(6)变为齐次亥姆霍兹方程
[523-01] (7)
[523-03](8)
若此区域是有界的，例如在波导中，则因边界条件的限制，方程的解可以用离散的本征模式的线性组合来表示。
每一模式的系数取决于源函数和待定函数的边值(见电磁场的边值问题)。
谢处方。
复数亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程是描述电磁现象的基本方程之一，它在物理学领域中发挥着重要的作用。
这个方程是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹提出的，他通过对电磁场的研究，总结出了这个方程，为电磁学的发展做出了巨大贡献。
亥姆霍兹方程是一个偏微分方程，它描述了电磁场的传播和变化规律。
通过亥姆霍兹方程，我们可以了解电磁场的波动特性，以及电磁场在空间中的分布情况。
亥姆霍兹方程的一般形式是∇²E + k²E = 0，其中∇²表示拉普拉斯算符，E是电磁场的矢量，k是波数。
这个方程描述了电磁场在空间中的传播行为，通过求解这个方程，我们可以得到电磁场的分布情况和波动特性。
亥姆霍兹方程在电磁学、光学、声学等领域中都有广泛的应用。
在电磁学中，它被用来描述电磁波在空间中的传播行为，解释电磁波的干涉和衍射现象。
在光学中，它被用来描述光的传播和衍射行为，解释光的折射和散射现象。
在声学中，它被用来描述声波在空间中的传播行为，解释声音的反射和干涉现象。
亥姆霍兹方程的研究对于理解电磁现象的本质和探索新的应用有着重要意义。
通过对亥姆霍兹方程的研究，科学家们不断深化对电磁现象的认识，推动了电磁学的发展。
亥姆霍兹方程是描述电磁现象的基本方程之一，它在物理学领域中发挥着重要的作用。
通过对亥姆霍兹方程的研究，我们可以深入了解电磁场的波动特性和分布规律，推动电磁学的发展。
亥姆霍兹方程的应用范围广泛，涉及电磁学、光学、声学等多个领域，对于理解自然界的规律和开展科学研究具有重要意义。
我们应该继续深入研究亥姆霍兹方程，探索更多的应用和发现，推动科学的进步和人类的进步。
