七年级数学下册12二元一次方程组的解法典型例题素材湘教版

二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数•常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法.一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解.一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算.2x+5y=—21 ①例1、解方程组Y〉+3y=8 ②解由②得：x=8 —3y③把③代入①得 2 (8 —3y) +5y= —21解得：y=37把y=37代入③得：x=8 —3X 37=—103厂=—103所以这个方程组的解是虫」y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程.乜x —4y=9 ①例2、解方程组V、9x —10y=3 ②解由①得3x=4y+9③把③代入②得3(4y+9) —10y=3解得y= —12把y= —12 代入③得3x=4X ( —12)+9解得x= —13厂 x= — 1rx= —13所以方程组的解是y= — 12三、 加减消元法 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两 个方程相减.如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两 个方程相减•消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法.广2x+3y=14①例3、解方程组 v4x — 5y=6② 解 由①X2得 4x+6y=28 ③③—②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得 4x — 5X 2=6解得x=4尸x=4所以方程组的解为 W<y=2 四、 整体运用加减法 即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可 以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去.3(x+2)+(y —1)=4 ①例4解方程组 V.3(x+2)+(1 — y)=2②解 ①一②得(y — 1) — (1 — y) = 4 — 2整理得 2y=4 解得 y=2把y=2代入①得 3(x+2)+(2 — 1)=4 整理得 3x+7=4解得x= — 1所以方程组的解为y=2因为方程的形式是多种多样的．所以解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。

《二元一次方程组的解法》例题解析例1 解方程组 ⎩⎨⎧=-=+)2(124)1(532y x y x例2 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++82323327332432yx y x y x yx 例3 用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+)2(1353)1(958y x y x例 4 解方程组⎩⎨⎧=-=+)2( .935)1( ,1323y x y x例5 若方程组⎩⎨⎧=+=+.12,2y x m y x 的解x 、y ，满足2≤+y x ，求正数m 的取值范围.例6 已知方程组⎩⎨⎧=+=-31ay bx by ax 的解为⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ，求a 、.b例7 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+-=+)2(%2040%25%15)1(43522y x y x y x例8 当1,3<>y x 时，解方程组.2873113152⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-y x y x①②参考答案例1 分析：观察方程组方程（2）中x 的系数是方程（1）中x 系数的2倍，用加减消元法解较简单.解：（1）×2，得 1064=+y x （3）)2()3(-，得 98=y 解得 89=y 把89=y 代入（1）得 58932=⨯+x 解得 1613=x ∴ 方程组的解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==891613y x例2 分析：把方程变成⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 形式. 解：化简方程得⎩⎨⎧=-=-4831084314y x y x ③－④得.x x 9364=∴=把9=x 代入④，得 .y ,y 1448390=∴=-⎩⎨⎧==∴.y x 149 此题还有另外的解法.解b,y x a,y x =-=+3232则原方程组变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,b a b a 823734 解得⎩⎨⎧-==.b a 2460所以⎩⎨⎧==.y x 149 说明：这种解法叫做换元法，是数学中常见的解题方法.例3 分析：在这两个方程组中，未知数y 的系数互为相反数，把这两个方程的两边分别相③④加就可以消去未知数y.解：（1）+（2），得.x ,x 22211=∴=把2=x 代入方程（1），得57759528-=∴-==+⨯y .y ,y ⎪⎩⎪⎨⎧-==∴572y x 说明：解此题的关键在于消去未知数y ，把“二元”转化成“一元”，消元时，根据等式性质把两个方程两边分别相加（或减）的方法消去一个未知数.例4 分析： 方程组的两个方程中，同一个未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，可以用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等，或互为相反数，再把所得的两个方程相加减就可以消去一个未知数.解： （1）×3，得.3969=+y x （3）（2）×2，得.18610=-y x （4）（3）+（4），得5719=x ，∴ 3=x .把3=x 代入（1）中，得13233=+⨯y ，.2=y∴ ⎩⎨⎧==2,3y x 是原方程组的解. 例5 解： 由⎩⎨⎧=+=+.12,2y x m y x 可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.312,32m y m x 又∵ 2≤+y x ，∴2312231232≤-+-=-+-m m m m ， ∴ 5≤m∴ 满足条件的m 的范围是50≤<m .例6 分析： 由于⎪⎩⎪⎨⎧==211y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-31ay bx by ax 的解，根据方程组解的定义有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-32112a b b a ，解此二元一次方程组即可求a 、b . 解：∵ ⎪⎩⎪⎨⎧==211y x 是方程组 ⎩⎨⎧=+=-31ay bx by ax 的解 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-321121a b b a 解这个方程组得 ⎩⎨⎧==22b a∴ 2,2==b a .例7 分析：当方程比较复杂时，应先化简，如去分母、去括号、移项、合并同类项等. 解：由（1）得 05=-y x （3）由（2）得 16053=+y x （4）)4()3(+，得 1604=x 解得 40=x把 40=x 代入（3），得 0540=-y 解得 8=y∴ 方程组的解为 ⎩⎨⎧==840y x例8 分析：这是绝对值方程组，必须根据给出条件把未知数从绝对值符号内解脱出来，变成一般的二元一次方程组就可以解下去了.解：,01,02,3<-<-∴>x x x又.07,01,1>-<-∴<y y y原方程组可化为⎩⎨⎧=-=-.83105y x y x 解得⎩⎨⎧-==.15y x 说明：本题的关键是利用⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a 化去题中的绝对值.。

湘教版七下数学1.2二元一次方程组的解法1.2.1代入消元法说课稿一. 教材分析《湘教版七下数学1.2二元一次方程组的解法1.2.1代入消元法》这一节的内容，是在学生已经掌握了二元一次方程的基础知识上，进一步引导学生学习解二元一次方程组的方法。

教材通过具体的例子，引导学生了解代入消元法，并运用该方法解决实际问题。

这一节的内容既是对前面知识的巩固，也为后续学习其他解法打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节的内容之前，已经掌握了二元一次方程的基本知识，具备了一定的代数运算能力。

但是，对于解二元一次方程组的方法，他们可能还不太熟悉，需要通过实例来理解和掌握。

此外，学生可能对于代入消元法的具体操作步骤还不够清晰，需要通过练习来熟练掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解代入消元法，并能运用该方法解决简单的二元一次方程组问题。

2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生运用代入消元法解题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索和解决问题的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握代入消元法的原理和步骤。

2.教学难点：如何引导学生理解并运用代入消元法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等，引导学生主动参与学习，提高他们的问题解决能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，以及一些教学卡片、练习题等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的问题，引导学生思考如何解决二元一次方程组的问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：讲解代入消元法的原理和步骤，通过示例让学生明白如何运用该方法解决问题。

3.练习：让学生通过练习题，运用代入消元法解决问题，巩固所学知识。

4.讨论：引导学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调代入消元法的运用步骤和注意事项。

帮你解含字母系数的方程组在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型:一、代入求值型例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{35ax by ax by +=-=，的解是{21x y ==，.求a b +的值。

解析：由二元一次方程组解的定义，将{21x y ==，代入方程组得{2325a b a b +=-=，，再解关于a 和b 的二元一次方程组，得{21a b ==-，。

所以a b +＝1.二、添加（赋予）条件型例2.若关于x 、y 的二元一次方程组{2527x y k x y k +=-=，①，②的解满足方程1253x y -=，那么k 的值为 。

解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去， 由①＋②得，412x k =，即3x k =③；由①－②得，22y k =-，即y k =-④，将③④分别代入方程1253x y -=，得132()53k k ⨯-⨯-=，解得53k =。

例3.如果方程组{35223x y k x y k +==＋，①＋②的解x ，y 的和为2，求k 的值及方程组的解。

解析:由①－②得22x y +=③，将2x y +=与③联立方程组{2,22x y x y +=+=，解得{2,0x y ==，将x ，y 的值代入②得k ＝4.解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，使之变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。

三、同解型例4.已知关于x 、y 的二元一次方程组{5,27ax by ax by +=+=与方程组{237324x y x y +=-=，的解相同，求a 和b 的值。

解析：观察第二个方程组可发现能直接解得x 、y 的值，解得{2,1x y ==，将其代入第一个方程组得{25,47a b a b +=+=，解得{1,3a b ==。

《二元一次方程组的解法》典型例题例1 解方程组⎩⎨⎧=++=++)2( .0765 (1),0432y x y x例2 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-++=-+)2(5225123)1(0223x y x y x 例3 解方程组⎩⎨⎧=--=)2(123)1(12y x x y例4 用代入法解方程组⎩⎨⎧≠=-+-=+).3()2(2)2(,5a x y a x y x例5 解下列方程组:（1）⎩⎨⎧=-++=--+6)(4)(22)(3)(5y x y x y x y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+1975432yxyx例6 解方程组⎩⎨⎧=-+--=-）（）（2.5)1()2(21),1(22y x y x例7 若⎩⎨⎧-==23y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+53121ny mx ny mx 的解，求n m 2-的值. 例8 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+）（）（2 .23 431 ,21332y x y x例9 用代入法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-)2(825)1(73y x y x参考答案例1 分析： 先从方程组中选出一个方程,如方程（1）,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,把它代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，解这个方程求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数的值. 解： 由（1）,得243--=y x , （3） 把（3）代入（2)中,得0762435=++--⋅y y ,解得2-=y 把2-=y 代入（3)中，得24)2(3--⨯-=x ，∴ 1=x∴ ⎩⎨⎧-==.2,1y x 是原方程组的解.例2 解：由（1）得 223=+y x （3) 把（3）代入（2）,得 522512-=-+x ，解得 21=x 。

把21=x 代入（3），得 22213=+⨯y ，解得 41=y 。

∴ 方程组的解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.41,21y y 说明： 将y x 23+作为一个整体代入消元,这种方法称为整体代入法，本题把y x 23+看作一个整体代入消元比把（1）变形为232xy -=再代入（2）简单得多。

湘教版数学七年级下册1.2二元一次方程组的解法.docx初中数学试卷1.2 二元一次方程组的解法第2课时加减消元法核心笔记:加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时,把这两个方程相减或相加,就能消去这个未知数,从而得到一个一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.基础训练1.方程组{x +y =5, ①2x +y =10,②由②-①,得正确的方程是( ) A.3x=10 B.x=5C.3x=-5D.x=-52.二元一次方程组{x +y =5,2x -y =4的解为( ) A.{x =1y =4 B.{x =2y =3 C.{x =3y =2 D.{x =4y =1 3.若方程mx+ny=6的两个解是{x =1,y =1和{x =2,y =?1, 则m,n 的值分别为( ) A.4,2 B.2,4C.-4,-2D.-2,-44.用加减消元法解方程组{3x -5y =6,①2x -5y =7②的具体步骤如下:第一步:①-②,得x=1;第二步:把x=1代入①,得y=-35;第三步:所以{x =1,y =?35.其中开始出现错误的是( )A.第一步B.第二步C.第三步D.没有出错5.已知方程组:①{4x -3y =5,4x +6y =14,②{y =3x +4,3y +5x =0,其中方程组①采用消元法解简单,方程组②采用消元法解简单.6.若a+b=3,a-b=7,则ab=______________.7.用加减法解方程组:(1) {x +y =6,①2x -y =9;②(2) {3x -2y =?1,①x +3y =7.②8.已知-2x m-1y 3与12x n y m+n 是同类项,求m,n 的值.培优提升1.利用加减消元法解方程组{2x +5y =?10,①5x -3y =6,②下列做法正确的是() A.要消去y,可以将①×5+②×2B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)C.要消去y,可以将①×5+②×3D.要消去x,可以将①×(-5)+②×22.已知x,y 满足方程组{x +6y =12,3x -2y =8,则x+y 的值为( )A.9B.7C.5D.33.已知5|x+y-3|+2(x-y)2=0,则( )A.{x =1y =0B.{x =2y =2C.{x =0y =0D.{x =32y =32 4.二元一次方程组{x +2y =1,3x -2y =11的解是______________. 5.对于X,Y 定义一种新运算“@”:X@Y=aX+bY,其中a,b 为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:3@5=15,4@7=28,那么2@3=_____________.6.已知{x =2,y =1是二元一次方程组{mx +ny =7,nx -my =1的解,则 m+3n=_____________.7.用加减消元法解方程组:(1){4m +5n =460, ①2m +3n =240; ② (2){3x +4y =5, ①4x +3y =9. ②8.在解方程组{ax +by =2,cx -7y =8时,哥哥正确地解得{x =3,y =?2. 弟弟因把c 写错而解得{x =?2,y =2.求a+b+c 的值. 9.阅读理解题特殊的题有特殊的解法,阅读下面的解题过程,我们从中可以得到启发:解方程组{253x +247y =777, ①247x +253y =723. ②解:由①+②得:500x+500y=1 500,即x+y=3, ③由①-②得:6x-6y=54,即x-y=9, ④由③+④得:2x=12,解得:x=6,又由③-④得:2y=-6,解得:y=-3,所以原方程组的解为{x =6,y =?3.【归纳】对于大系数的二元一次方程组,当用代入法和加减法解非常麻烦时,可以通过观察各项系数的特点,寻求特殊解法.根据上述例题的解题方法解下面的方程组:{2 012x +2 013y =8 000, ①2 013x +2 012y =8 100. ②参考答案【基础训练】1.【答案】B解：注意符号问题.2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】加减;代入6.【答案】-10解：两个方程相加,解得a=5,将a=5代入a+b=3,解得b=-2,故ab=-10.7.解:(1)①+②得3x=15,所以x=5.将x=5代入①,得5+y=6,所以y=1,所以方程组的解为{x =5,y =1.(2)②×3,得3x+9y=21,③③-①,得11y=22.所以y=2.把y=2代入②,得x+6=7,所以x=1,所以原方程组的解为{x =1,y =2.8.解:因为-2x m-1y 3与12x n y m+n 是同类项, 所以{m -1=n,3=m +n,经变形可得{m -n =1,m +n =3, 所以{m =2,n =1. 【培优提升】1.【答案】D2.【答案】C解：{x +6y =12,①3x -2y =8,②①+②得4x+4y=20,则x+y=5.故选C.3.【答案】D解：由绝对值和数的平方的性质可以得到{x +y -3=0,x -y =0,解得{x =32,y =32,故选D. 4.【答案】{x =3,y =?15.【答案】2解：因为3@5=15,4@7=28,所以3a+5b=15①,4a+7b=28②,由②-①,得a+2b=13③,由①-③,得2a+3b=2,所以2@3=2a+3b=2.6.【答案】8解：本题运用整体思想解题更简便.把{x =2,y =1代入方程组{mx +ny =7,nx -my =1,得{2m +n =7,2n -m =1.两式相加得m+3n=8. 7.解:(1)②×2-①,得n=20,把n=20代入②,得2m+3×20=240,解得m=90.所以原方程组的解为{m =90,n =20.(2)①×4-②×3得:7y=-7,解得y=-1, 将y=-1代入①得:3x-4=5,解得x=3,所以原方程组的解为{x =3,y =?1.8.解:把x=3,y=-2代入{ax +by =2,cx -7y =8,得{3a -2b =2,3c +14=8.把x=-2,y=2代入ax+by=2.得-2a+2b=2.因为弟弟把c 写错了,所以弟弟的解不满足cx-7y=8.联立方程组:{3a -2b =2,-2a +2b =2. 解得{a =4,b =5,由3c+14=8得c=-2. 故a+b+c=4+5-2=7.9.解:由①+②得:4 025x+4 025y=16 100, 即x+y=4,③由②-①得:x-y=100,④由③+④得:2x=104,解得x=52, 由③-④得:2y=-96,解得y=-48, 则原方程组的解为{x=52, y=?48.。

巧解二元一次方程组在解二元一次方程组时，假设能够仔细观察、捕捉方程的系数特点和结构特征，灵活选择适当的方法进行求解，那么可使解题过程简捷明快，也能提高准确率.一、当某一个未知数的系数是1或一个方程的常数项为零时，优先考虑代入法例1 解方程组⎩⎨⎧=+=-.1632,12y x y x 分析：方程①中未知数x 的系数为1，宜用代入法．解：由①，得x ＝1+2y .③将③代入②，得2(1+2y )+3y ＝16.解这个一元一次方程，得y ＝2.将y ＝2代入③，得x ＝5.所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x 二、当两个方程中，同一未知数的系数的绝对值相等时，优先考虑加减法例2 解方程组42 5.x y x y +=⎧⎨-=⎩，分析：通过观察可以看到两个方程中y 的系数是互为相反数，故此可以选用加减法较为方便．解：①＋②，得3x ＝9．解得x ＝3．把x ＝3代入②，得y ＝2.原方程组的解是31.x y =⎧⎨=⎩， 三、当有一未知数的系数成倍数关系，可优先考虑整体代入，从而直接消元例3 解方程组321,24 2.x y x y +=⎧⎨+=-⎩分析：方程组中y 的系数成倍数关系，把2y ＝1－3x 看作一个整体代入②，可直接消去y ． 解：由①得：2y ＝1－3x ．③把③代入②，得：2x +2(1－3x )＝－2，解之，得x ＝1．把x ＝1代入③，得y ＝－1．① ②① ②①②所以，原方程组的解是11. xy=⎧⎨=-⎩，四、以上三种特征都不具备时，可优先考虑加减法例4 解方程组：235, 3212. x yx y-=-⎧⎨+=⎩分析：观察方程组未知数的系数的特点，此题可由①⨯2+②×3消去y求解．解：①⨯2+②×3，得13x=26．所以x＝2．把x＝2代入①，得y＝3．所以原方程组的解为2,3. xy=⎧⎨=⎩①②。