考点1集合

专题1.1 集合的概念与表示【考点1：集合的含义】 (1)【考点2：元素与集合的关系】 (2)【考点3：集合中元素的个数】 (3)【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】 (5)【考点5：有限集与无限集】 (7)【考点6：常用数集与点集】 (9)【考点7：集合的表示方法】 (10)【考点1：集合的含义】【知识点：集合】把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．1．（2022春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误，对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确，对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，故选：B．2．（2021秋•湖北月考）判断下列元素的全体可以组成集合的是（）①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③n的近似值；④不大于5的自然数．A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】由集合元素的特征可知：集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出．【解答】解：“好学校”不具有确定性，n的近似值不具有确定性，因此①③不能组成集合；直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此②④能组成集合．故选：C．3．（2021秋•城关区校级月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（）A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：一切很大的数，B：好心人，C：漂亮的小女孩，描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项D：方程x2﹣1＝0的实数根为±1，元素是确定的，具体的，是正确的．故选：D．4．（2021秋•威宁县校级月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（）A．数轴上离原点距离很近的所有点B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生D．与△ABC大小相仿的所有三角形【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：数轴上离原点距离很近的所有点，元素不能确定，故A不能表示集合；对于B：太阳系内的所有行星，元素是确定的，能表示集合，故B正确；对于C：某高一年级全体视力差的学生，元素不能确定，故C不能表示集合；对于D：与△ABC大小相仿的所有三角形，元素不能确定，故D不能表示集合．故选：B．【考点2：元素与集合的关系】【知识点：元素与集合的关系】(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．1．（2022•长沙模拟）已知集合A＝{{∅}，∅}，下列选项中均为A的元素的是（）（1）{∅}；（2）{{∅}}；（3）∅；（4）{{∅}，∅}．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【分析】由元素与集合的关系逐一判断即可．【解答】解：集合A ＝{{∅}，∅}，则{∅}∈A ，∅∈A ，{{∅}}⊆A ，{{∅}，∅}＝A ，故选：B ．2．（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（ ）①12∈Q ；②√2∉R ；③0∈N *；④π∈Z ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：①12∈Q 正确，②√2∉R 不正确，③0∈N *不正确，④π∈Z 不正确． 故选：A ．3．（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（ ）A ．﹣2∈{0，1}B ．32∈ZC ．π∈RD ．5∈∅【分析】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，﹣2∉{0，1}，32∉Z ，π∈R ，5∉∅，可知C 正确． 故选：C ．【考点3：集合中元素的个数】1．（2022•全国一模）已知集合A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】由集合B 中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B 中的所有元素，则答案可求．【解答】解：由A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，当x＝2时，y＝4，5，6，当x＝3时，y＝5，6，当x＝4时，y＝6，所以B＝{（2，4），（2，5），（2，6），（3，5）（3，6），（4，6）}，所以B中所含元素个数为6个．故选：D．2．（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．【解答】解：由题意知，P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6个元素，故选：D．3．（2021秋•芜湖期末）集合A＝{x∈N*|x﹣5＜0}中的元素个数是（）A．0B．4C．5D．6【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣5＜0}＝{1，2，3，4}，故集合A中有4个元素，故选：B．4．（2021秋•三元区校级月考）如果集合M＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（）A．4B．2C．1D．0【分析】当m＝0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m的值，由此得出结论【解答】解：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，可得判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m＝2，∴实数m的所有可能值的和为0+2＝2，故选：B．【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】【知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性】（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．1．（2021秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0B．1或﹣27C．1D．﹣27【分析】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．【解答】解：依题意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故选：B．2．（2021•南充模拟）若集合S＝{a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．故选：D．3．（2021秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，√5}B．{﹣2，−√5}C．{±2，±√5}D．{2，−√5}【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合．【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．由x2﹣3≠2解得x≠±√5．∴x不能取得值的集合为{±2，±√5}．故选：C．4．（2021•郓城县校级一模）在集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中，a的值可以是（）A．0B．1C．2D．1或2【分析】对于集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三个元素必须互不相同，由此限定参数a的取值范围，即利用集合中元素的互异性即可解决本题．【解答】解：当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互异性知：选A．故选：A．5．（2022•江西）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．6【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6；故选：D．6．（2021秋•市中区校级期中）含有三个实数的集合可表示为{a，ba，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±1【分析】对于{a，ba，1}，根据集合元素的互异性，可得a≠1，a≠0；进而由集合相等，可得b＝0；代入两个集合中，可得a的值，由此可得答案．【解答】解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则有a＝0或ba=0；又由a≠0；故b＝0；代入集合中．可得{a，1，0}＝{a2，a，0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝﹣1；则a2009+b2009＝﹣1，选B．【考点5：有限集与无限集】1．（2021秋•覃塘区校级月考）下列集合中有限集的个数是（）①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1B．3C．2D．4【分析】分析给定四个集合中个数是否有限，进而可得答案．【解答】解：①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集；②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集．④所有小于2的整数构成的集合为无限集，故选：B．2．（2021秋•青羊区校级期中）以下集合为有限集的是（）A．由大于10的所有自然数组成的集合B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合C．由24与30的所有公约数组成的集合D．由24与30的所有公倍数组成的集合【分析】由集合的定义，对于一些比较简单的命题，可用简单的列举法进行排除，即可得到正确答案【解答】解：对于A：大于10的所有自然数：11、12、13…，一直到+∞，有无数个满足条件的自然数，所以A不合题意对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆，即满足条件的点，是圆上的点，而圆上有无数个点，所以B不合题意对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．有有限个，所以C满足题意对于D：设m＝240×n（n∈N+），则m都可以是24与30的公倍数，所以24与30的公倍数有无数个，D不合题意故选：C．3．（2021秋•兴宁市校级月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】由于面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．故选：C．4．（2021•涿鹿县校级开学）设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于1050的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是（）A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论．【解答】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集，N＝{小于1050的正整数}，是有限集，P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集，Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集，故选：B．5．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】集合A：周长为4cm的正方形的边长1cm，这样的正方形只有1个，是有限集；集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，是无限集．【解答】解：集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．6．（2021秋•杨浦区校级期中）若整数集Z的子集S满足条件：对任何a，b∈S，都有a﹣b∈S，就称S是封闭集．下列命题中错误的是（）A．若S是封闭集且S≠{0}，则S一定是无限集B．对任意整数a，b，S＝{n|ax+by，x，y∈Z}是封闭集C．若S是封闭集，则存在整数k∈S，使得S中任何元素都是k的整数倍D．存在非零整数a，b和封闭集S，使得a，b∈S，但a，b的最大公约数d∉S【分析】由封闭集定义可分析出A，B，C正确．【解答】解：由封闭集定义可得0∈S，若非零整数k∈S，则0﹣k即﹣k∈S，进一步得k﹣（﹣k）＝2k∈S和﹣k﹣k＝﹣2k∈S，从而±3k，±4k，±5k，…都在S中，可知A，C正确，对于B，由ax1+by1∈S，ax2+by2∈S，可得（ax1+by1）﹣（ax2+by2）＝a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）∈S，可知B正确，故选：D．【考点6：常用数集与点集】1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是（）A．第一象限的点集B．第二象限的点集C．第三象限的点集D．第四象限的点集【分析】利用不等式的性质可得：x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．进而判断出集合的意义．【解答】解：由x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．故集合M ＝{（x ，y ）|xy ＞0，x +y ＜0，x ∈R ，y ∈R }是第三象限的点集．故选：C ．2．（2021秋•安康月考）方程组{x +y =1x −y =3的解集是（ ）A ．{2，﹣1}B ．{x ＝2，y ＝﹣1}C ．{（x ，y ）|（2，﹣1）}D ．{（2，﹣1）}【分析】先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．【解答】解：由{x +y =1x −y =3得{x =2y =−1，即方程组构成的集合为{（2，﹣1）}，故选：D ．3．（2021秋•西城区期末）方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}【分析】解原方程组得出x ，y 的值，然后写出原方程组的解集即可．【解答】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．故选：C ．4．（2021秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}，则下列表示正确的是（） A ．{x ＝﹣1，y ＝3} B ．{（﹣1，3）} C ．{3，﹣1} D ．{﹣1，3}【分析】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答】解：{2y −x =7x +y =2，解得{x =−1y =3，所以A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}＝{（﹣1，3）}．故选：B ．【考点7：集合的表示方法】【知识点：集合的表示方法】列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系1．（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈N∗|63−x∈N∗}用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】根据x∈N*，63−x∈N∗可得出x的取值分别为1，2，从而得出A＝{1，2}．【解答】解：∵x∈N*，63−x∈N∗，∴A＝{1，2}．故选：B．2．（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【分析】化简集合，将元素一一列举出来即可．【解答】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故选：D．3．（2021秋•桂林期末）下列集合表示正确的是（）A．{2，4}B．{2，4，4}C．（1，2，3）D．{高个子男生}【分析】根据集合的表示，及元素的特性，即可得出结论．【解答】解：根据集合的表示，B不满足互异性，C应写在花括号内，D中元素不确定，故选：A．4．（2022春•南关区校级期末）集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x﹣3＜2}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．故选：A．5．（2021秋•宜春期末）在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是（）A．{x|x≤﹣3或x≥3}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|x≥3}【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足|x|≤3的x的集合．【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足|x|≤3的x的集合，解绝对值不等式可得：{x|﹣3≤x≤3}，故选：B．。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第1讲集合一、知识梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法A B(或B A )A∪B＝A∩B＝∁A＝常用结论1.空集的性质空集不含任何元素，空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.2.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.3.集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n －1个.二、教材衍化1.(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则( )A.8∈AB.9.1∈AC.{8}∈AD.{9.1}⊆A 答案：A2.(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.解析：把集合A，B在数轴上表示如图.由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，因为∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.所以(∁R答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合.( )(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏1.(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A.∅⊆AB.－2∈AC.{0，2}⊆AD.A⊆{y|y＜3}解析：选ACD.因为A＝{0，2}，所以∅⊆A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y＜3}均正确，－2∉A，故选ACD.2.(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )A.3B.4C.6D.7解析：选D.因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.3.(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝( )A.3B.2C.1D.0解析：选ABD.当m ＝0时，可得集合B ＝∅，此时满足B ⊆A ；当m ≠0时，可得集合B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6m ， 所以6m ＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上，实数m 等于0，2或3.考点一 集合的概念(自主练透)复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.1.(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6解析：选C.由题知，当y ＝5时，x ＋y 的值有6，7，8，9，当y ＝6时，x ＋y 的值有7，8，9，10，于是得C ＝{6，7，8，9，10}，所以C 中元素的个数为5.2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2 023－b 2 023＝( )A.1B.－1C.2D.－2解析：选D.由题易得a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以a 2 023－b 2 023＝－2.3.已知集合P ＝{}x |x ＝2k ，k ∈Z ，Q ＝{}x |x ＝2k ＋1，k ∈Z ，M ＝{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且a ∈P ，b ∈Q ，则()A.a ＋b ∈PB.a ＋b ∈QC.a ＋b ∈MD.a ＋b 不属于P ，Q ，M 中的任意一个 解析：选B.因为a ∈P ，所以a ＝2k 1，k 1∈Z .因为b ∈Q ，所以b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1＝2k ＋1∈Q (k 1，k 2，k ∈Z ).4.(多选)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C.0D.23解析：选BC.若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的值为0或98.与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集. 步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.考点二 集合间的基本关系(思维发散)复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }.若A ⊆B ，则m 的取值范围是________.【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.(2)由题得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，若A ⊆B (如图)可得⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3，所以m ≥3.故m 的取值范围是[3，＋∞). 【答案】 (1)D (2)[3，＋∞)(链接常用结论1)本例(2)中，若“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，则m 的取值范围是________.解析：当m ≤0时，B ＝∅， 显然B ⊆A .当m ＞0时，因为A ＝{x |－1＜x ＜3}. 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]. 答案：(－∞，1](1)判断两集合关系的2种常用方法列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系.数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论.|跟踪训练|1.(2022·广州高一期中)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 12，x ≠0}，则下列选项正确的是( )A.M ＝NB.N ⊆MC.M ＝∁R ND.∁R NM解析：选C.由题意，得集合M ＝{y |y ≤0}，而集合N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，则M ＝∁R N ，故C 正确.2.(链接常用结论3)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A.7B.8C.15D.16解析：选A.因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个). 3.(多选)(2022·河南范县高一月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14x ＋a ≥0，B ＝{x |x 2≤1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值可以是( )A.－2B.0C. 2D.4解析：选CD.因为A ＝{}x |x ≥－4a ，B ＝{x |－1≤x ≤1}，又因为B ⊆A ，则－4a ≤－1，解得a ≥14，故选CD.考点三 集合的基本运算(多维探究)复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.角度1 集合的运算(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B＝( )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A.∅B.SC.TD.Z【解析】 (1)由题易知A ∩B ＝{2，3}，故选B.(2)S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .【答案】 (1)B (2)C 角度2 利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A.－4B.－2C.2D.4(2)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A.2B.4C.2或－2D.－2【解析】 (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.(2)由题意可知，集合A ，B 的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点.因为A ∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以⎩⎨⎧4－a 2＝0，－2a ＋a 2≠0，解得a ＝－2. 【答案】 (1)B (2)D本例(1)中，若“A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}”改成“A ∩B ⊆{x |－2≤x ≤1}”，则实数a 的取值范围是________.解析：A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x ≤－a 2， 当A ∩B ＝∅时，即－a2＜－2，a ＞4时，符合题意；当A ∩B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥－2，－a2≤1，得－2≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是a ≥－2. 答案：[－2，＋∞) 角度3 集合的新定义问题(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A ⊙B ＝{Z |Z ＝xy ，x ∈A ，y∈B }，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ( )A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α(2)(2022·保定一模)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |1＜2x ＜4}，Q ＝{y |y ＝2＋sin x ，x ∈R }，那么P －Q ＝( )A.{x |0＜x ≤1}B.{x |0≤x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |0＜x ＜1}【解析】 (1)因为x ∈A ，所以x 的可能取值为－1，0，1.同理，y 的可能取值为sinα，cos α，所以xy 的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.(2)由题意得P ＝{x |0＜x ＜2}，Q ＝{y |1≤y ≤3}， 所以P －Q ＝{x |0＜x ＜1}. 【答案】 (1)B (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，则常用Venn 图求解.②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. (2)利用集合的运算求参数的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). (3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点①准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.②方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.|跟踪训练|1.(2021·高考全国卷乙)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U (M ∪N )＝( )A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}解析：选A.因为集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，所以M ∪N ＝{1，2，3，4}. 又全集U ＝{1，2，3，4，5}，所以∁U (M ∪N )＝{5}. 2.(2021·高考全国卷甲)设集合M ＝{}x |0<x <4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C.{}x |4≤x <5 D.{}x |0<x ≤5解析：选B.M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. 3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.答案：6[A 基础达标]0，m，m2－3m＋2，且2∈A，1.(2022·湖南师大附中高二入学考试)已知集合A＝{}则实数m的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：选D.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校联盟4月联考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为( )A.4B.3C.2D.1解析：选B.B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，图中阴影部分表示的集合为∁B A＝{2，4，7}，共3个元素.3.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个解析：选A.因为集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个).x|2x>7，则M∩N＝( )4.(2021·高考全国卷甲)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{}A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}解析：选B.由题得集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >72，所以M ∩N ＝{5，7，9}.故选B.5.设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2，则下列结论中正确的是()A.NM B.M NC.N ∩M ＝∅D.M ∪N ＝R解析：选B.由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12，所以M N .故选B.6.(多选)已知非空集合M 满足：①M ⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x ∈M ，则x 2∈M .则集合M 可能是( )A.{－1，1}B.{－1，1，2，4}C.{1}D.{1，－2，2}解析：选AC.由题意可知3∉M 且4∉M ，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M 且2∉M ，所以满足条件的非空集合M 有{－1，1}，{1}.7.(2022·福建厦门质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]解析：选D.集合A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x <a }.因为B ⊆A ，所以a ≤1.8.设集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1，2}，则a 的值为________. 解析：由题知⎩⎨⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎨⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意. 答案：－2或19.(2022·重庆高一月考)若集合M ＝{x ||x |>2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则N ＝________；∁R (M ∩N )＝________.解析：由题意得N ＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |x <－2或x >2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}，所以∁R (M ∩N )＝{x |x ≤2或x ≥3}. 答案：{x |－1<x <3}{ |x x ≤2或 }x ≥310.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________. 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[B 综合应用]11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( ) A.{x |x 是小于18的正奇数} B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5 C.{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5解析：选D.对于A ：{x |x 是小于18的正奇数}＝{}1，3，5，7，9，11，13，15，17，故A 错误；对于B ：{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5＝{}…，－3，1，5，9，13，17，故B 错误；对于C ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5＝{}－3，1，5，9，13，17，故C 错误；对于D ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5＝{}1，5，9，13，17，故D 正确.12.某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x －y ＝( )A.22B.21C.20D.19解析：选D.如图，设集合A ，B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A ∩B 就是两者都爱好的，要使A ∩B 中人数最多，则A ⊆B ，x ＝22，要使A ∩B 中人数最少，则A ∪B ＝U ，即22＋27－y ＝46，解得y ＝3，所以x －y ＝22－3＝19.13.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜2， 则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴， 可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 114.定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是________.解析：因为集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，所以集合M 的长度为12，因为集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，所以集合N 的长度为35，因为M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，所以m 最小为1，n 最大为2，此时集合M ∩N 的“长度”最小，为32－75＝110.答案：110。

考点01 集合1．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{0，－1}【答案】C【解析】因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．2．设集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合=,集合,则。

故答案为：B.3．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁Z B)＝( ) A．{－2} B．{－1}C．[－2,0] D．{－2，－1,0}【答案】D【解析】由题意可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁Z B)＝{－2，－1,0}．故选D.4．已知集合A＝{x|0<x≤6}，B＝{x∈N|2x<33}，则集合A∩B中的元素个数为( )A．6 B．5C．4 D．3【答案】B【解析】集合A＝{x|0<x≤6}，B＝{x∈N|2x<33}＝{0,1,2,3,4,5}，∴A∩B＝{1,2,3,4,5}，∴A∩B中元素个数为5.故选B.5．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A.6．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．N ⊆M【答案】D【解析】∵M ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝{y |0≤y ≤1}，∴N ⊆M .故选D. 7．已知集合 ，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意得，，.故选C.8．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{2a ，－1}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 等于( ) A ．－2 B ．0或－2 C ．0或2 D ．2【答案】D【解析】因为A ∩B ＝{4}，所以4∈A 且4∈B ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，2a ＝4，a ＝2.故选D.9．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】已知集合，，∴A∩B 中的元素满足：解得： 则A∩B=. 故选D.10．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1] C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]【答案】C【解析】因为A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，所以∁U A＝{x|x>1或x<－1}，则(∁U A)∩B＝(1,2]．11．已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}【答案】A【解析】∵全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴∁U B＝{x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{0,1,2}．故选A.12．设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A．M∩N＝M B．M∪(∁R N)＝MC．N∪(∁R M)＝R D．M∩N＝N【答案】D【解析】由题意可得N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，N⊆M.故选D.13．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}．若A⊆B，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]【答案】B【解析】集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－a>0}＝{x|x>a}，因为A⊆B，所以a≤－1.14．已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得则故选C.15．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则( )A．A∩B＝{x|x＜1}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＜2}D．A∩B＝{x|－2＜x＜1}【答案】D【解析】集合A＝{x|x＜1}，B＝x{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x ＜3}．故选D.16．设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【答案】A【解析】∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)，∴∁U A＝(－∞，1)，由B＝{x|x＞a}＝(a，＋∞)以及(∁U A)∪B＝R可知实数a的取值X围是(－∞，1)．故选A.17．已知集合，集合，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得A={x|-2<x<3},所以={x|x≤-2或x≥3}，所以=.故答案为：A18．已知集合，，则∁A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.1．A ，B 为两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A －B ＝( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{－2,1,2} D ．{－2，－1,0}【答案】C【解析】∵A ，B 为两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A －B ＝{－2,1,2}．故选C.20．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________. 【答案】[－3,0)∪(3，＋∞)【解析】由题意知A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，所以A *B ＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 21．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 【答案】{1}【解析】∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1，2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．22．(2018某某红色七校联考)集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 【答案】[－3,0)【解析】∵A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}，∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．23．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是________． 【答案】(－∞，－3]∪[3，2]【解析】由题意可得A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[3，2]． 24．已知集合，，则_________．【答案】【解析】因为，，所以，故{0,7}，故填. 25．已知集合，.（1）若A∩B=，某某数m的值；（2）若，某某数m的取值X围.【答案】（1）2；（2）【解析】由已知得:，.(1)因为,所以，故，所以.(2).因为,或，所以或.所以的取值X围为.。

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有 个 答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a 的取值范围是 ．答案解析 根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练 已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是 ． 答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三 集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________． 答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝ ．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于 ．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13． 已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ， 则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析 由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析 集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}， 故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析 在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析 由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析 由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13． 答案 －3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5， 解得－3≤a <－12.。

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点01 集合考点01 集合的含义例1.下列四个说法中正确的个数是（）①集合N中最小数为1；②若a∈N，则﹣a∉N；③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A．0B．1C．2D．3练习：1.集合M＝{（1，2），（2，1）}中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42.已知R是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）3.（多选题）下列每组对象，能构成集合的是（）A．中国各地最美的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．一切很大的数D．清华大学2020年入学的全体学生4.对于函数y＝f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式，则称M为f（x）在D上的均值．下列函数中以为其在（0，+∞）上的唯一均值的是．①；②；③y＝﹣x2+1；④y＝x﹣1．①；②；③y＝﹣x2+1；④y＝x﹣1．考点02 集合的关系例2.设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，m}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1）∪（1，3）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）练习：1.已知集合A＝{x|x2﹣ax＝0}，B＝{x|x2+4x+3＝0}，若A∪B所有子集的个数为8，则a可能的取值组成的集合为（）A．{﹣1，﹣3}B．{0，﹣1，﹣3}C．{0，﹣3}D．{0，﹣1}2（多选题）.已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．4.在平面直角坐标系xOy中，设点的集合A＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝a2}，，且A⊆B，则实数a的取值范围是．考点03 集合的运算例3.已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁U A）⋃（∁U B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩（∁U B）＝（）A．（2，3]B．∅C．[﹣1，0）∪（2，3]D．[﹣1，0]∪（2，3]2.已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（）A．M﹣（M﹣N）＝N B．（M﹣N）+（N﹣M）＝∅C．（M+N）﹣M＝N D．（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅3.（多选题）设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（）A．A∩B＝{0，1}B．∁U B＝{4}C．A∪B＝{0，1，3，4}D．集合A的真子集个数为84.设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁u A）∪B＝{1，3，4，5}，则集合B＝1.设集合A＝〈x|x2≤x}，B＝{x|≥1}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1]2.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝3x﹣2x+1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}3.某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．54.已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和，例如A＝{2，3，8}，则可求得和为（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）8•8＝7，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）A．508B．512C．1020D．10245.对于任意集合A，设f A（x）＝，已知集合S，T⊆X，则对任意的x∈X，下列说法错误的是（）A．S⊆T⇔f S（x）≤f T（x）B．f（x）＝1﹣f S（x）C．f S∩T（x）＝f S（x）•f T（x）D．f S∪T（x）＝f S（x）+f T（x）6.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．7.已知函数f（x）＝x2+ax+a，A＝{x∈R|f（x）≤x}，B＝{x∈R|f[f（x）]≤f（x）}，A≠∅，A⊆B，则实数a 的取值范围是．8.已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是．9.设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等．记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，．设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝．（结果用数字作答）10.已知集合A，B都含有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C含有3个元素，且满足C⊂A∪B，C∩A≠∅，C∩B≠∅，则满足条件的集合C共有个．11.定义集合M与N的新运算如下：M*N={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}．若M={0，2，4，6，8，10，12}，N={0，3，6，9，12，15}，则（M*N）*M=．12.已知数集A＝{a1，a2，…a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i、j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，当n＝5时，若a2＝2，则集合A＝1.（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R2.（2020•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}3.（2020•新课标Ⅱ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．44.（2020•山东）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}5.（2020•浙江）已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|3≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}6.（2020•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B＝．7.（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．8.（2019•江苏）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．9.（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝．10.（2019•嘉定区一模）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有个元素．11.（2018秋•杨浦区模拟）对任何有限集S，记p（S）为S的子集个数．设M＝{1，2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对（A，B），p（A）p（B）的和为12.（2019秋•浦东新区模拟）设集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为集合A的一个“孤立元素”．，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有个．13.（2019•兰州模拟）设x，y∈R，集合A＝{（x，y）|ax+by+1＝0}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，若对所有的（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，则集合C＝{（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤1}所表示的图形的面积等于．14.（2019秋•安庆模拟）已知函数，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f（x）|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是．。

专题1 集合中元素的性质集合中元素的性质★★★○○○○集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是,二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2）互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c 与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．三种性质中特别注意互异性,特别是在含参的集合中要注意对参数的讨论.已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a ＝________.【答案】2或3【精细解读】由（x －a ）（x －a ＋1）＝0得x ＝a 或x ＝a －1。

又∵2∈A ,∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1，2，符合题意;当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意．综上可知,a ＝2或a ＝3.1．【河南省平顶山市郏县第一高级中学2017—2018学年高一上学期第一次月考数学试题】已知含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则2a b +=__________．【答案】2-；点睛：本题考查集合的三大特性，尤其考察互异性，突破口为0，a=0 或者0b a=． 2．【浙江省诸暨市牌头中学2017—2018学年高一上学期必修1(1.1。

1）集合的含义与表示(巩固练习）数学试题】已知2∈{3，x,x 2-x}，则x=_________.【答案】-1;【解析】2222{ { 122x x x x x x x =≠⇒=--≠-=或 点睛:已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用:利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．（2)互异性的运用:根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．3．【人教版2017—2018学年高一上学期必修1 (1，1，1)集合的含义与表示同步课时作业数学试题】已知x ，y ,z 为非零实数，代数式x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ）A. 0∉M B 。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【考点梳理】考点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．考点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R考点四：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【题型归纳】题型一：集合的概念1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（）①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③2．下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1B．2C．3D．43．下列叙述正确的是（）A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1,1--B ．{}220x x +==∅C ．集合(){},5,6M x y x y xy =+==表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,3,5与集合{}3,1,5是不同的集合题型二：元素与集合的关系4．下列关系中①0N ∈；②27Z ∈；③3Z -∉；④Q π∉正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列五个写法，其中正确写法的个数为（ ）①{}{}00,1,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅IA ．1B ．2C ．3D ．46．设集合2{|2}M x R x =∈…，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ÜB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M Ü题型三：元素特性技巧解题7．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知{},1,1A x x =+，{}22,,B x x x x =+，且A B =，则x =（ ）A ．1x =或1x =-B ．1x =C ．0x =或1x =或1x =-D ．1x =-9．含有三个实数的集合既可表示成,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20132014a b +（）A ．-1B ．0C ．1D ．2题型四：集合的表示方法10．若用列举法表示集合311(,)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{}32x y ==，B ．{}(32)，C ．{}32，D ．32x y =⎧⎨=⎩11．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）A ．{（x ，y ）|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}B ．{（x ，y ）|x ＝0且y ＝0}C ．{（x ，y ）|xy ＝0}D ．{（x ，y ）|x ，y 不同时为零}12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）A ．{x |x =2n ±1，n ∈Z }B ．{x |x =2n +1，n ∈Z }C ．{x |x =2n +1，n ∈N *}D ．{x |x =2n +1，n ∈N }【双基达标】一、单选题13．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠315．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A ．{x |-3<x <11，x ∈Z }B ．{x |-3<x <11}C ．{x |-3<x <11，x =2k }D ．{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }16．下列关系正确的是（ ）A ．0N *∈B ．Q π∈C ．0∈∅D ．2R ∈17．集合A ＝{1，－3，5，－7，9，L }用描述法可表示为（）A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N }B ．{x |x ＝（－1）n （2n －1），n ∈N }C ．{x |x ＝（－1）n （2n ＋1），n ∈N }D ．{x |x ＝（－1）n －1（2n ＋1），n ∈N }18．下列叙述正确的是（ ）A ．集合{x |x <3，x ∈N }中只有两个元素B ．{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}C ．整数集可表示为{Z }D ．有理数集表示为{x |x 为有理数集}19．有下列四个命题：①{0}是空集；②若a N ∈，则a N -∉；③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320．已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是（ ）A ．3，6，9B ．6，9，12C ．9，12，15D ．6，12，1521．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）A ．{ x |是小于18的正奇数}B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且22．给出下列6个关系：①22R ∈，②3Q ∈，③0N ∉，④4N ∉，⑤Q π∈，⑥2Z -∉，其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【高分突破】23．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．424．集合{x |3213x -<-≤，x ∈Z }等于（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{0，1}25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（）A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M26．已知x，y都是非零实数，x y xyzx y xy=++可能的取值组成集合A，则（）A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A27．设集合{1,2,3,4}A=，{5,6}B=，{|,}C x y x A y B=+∈∈，则C中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．628．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11aa+-∈M.则下列结论正确的是（）A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中至少有4个元素29．已知集合{1M=，2m+，24}m+，且5M∈，则m的值为（）A．1或1-B．1或3C．1-或3D．1，1-或330．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B二、多选题31．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ）A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}32．(多选题)若集合A ={x |kx 2+4x +4=0，x ∈R}只有一个元素，则实数k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．333．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|Z k n k n =+∈，0k =，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ） A ．[]20211∈B ．[]33-∈C ．若整数a ，b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一“类”34．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下四个命题，其中正确命题的有（ ）A ．若1m =，则{}1S =B ．若12m =-，则114m ≤≤C ．若12l =，则202m -≤≤D ．112m -≤≤ 35．下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D ．0与{0}表示同一个集合36．设集合{}3,,A x x m n m n N *==+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ） A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法37．若集合A 具有以下性质：（1）0∈A ，1∈A ；（2）若x ∈A ，y ∈A ；则x ﹣y ∈A ，且x ≠0时，1x ∈A ．则称集合A 是“好集”．下列命题中正确的是（ ）A ．集合B ＝{﹣1，0，1}是“好集”B ．有理数集Q 是“好集”C ．整数集Z 不是“好集”D ．设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x +y ∈A三、填空题38．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______N ； （2）2021(1)-_____Z ；（3）44_____Q ； （4）2()π-_____R ；（5）1_____{|}1x x y x =-； （6）1_____{|}1x y y x =-； （7）(2,2)_____{|}1x x y x =-； （8）∅_____ {,{0}}∅.39．若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素，则集合A =______．40．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________.41．设集合{}222,3,3,7,2,0A a a a B a a⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭，已知4A ∈且4B ∉，则实数a 的取值集合为__________.42．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B ，1＋2________B ； （2）设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C ，5________C ；（3）设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1，1)________D ．43．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.四、解答题44．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值；（2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．45．已知函数f （x ）=2x -ax +b （a ，b ∈R ）.集合A ={x |f （x ）-x =0}，B ={x |f （x ）+ax =0}，若A ={1，-3}，试用列举法表示集合B .46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x+-=的解集47．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a A∈，则11aAa+∈-．（1）若3a=-，求出A中其他所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a A∈，再求出A中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案详解】1．C【详解】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.2．B【详解】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R 表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确. 故选：B3．B【详解】对于A ，方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1-，故A 错误；对于B ，方程220x +=无解，所以{}220x x +==∅，故B 正确；对于C ，集合(){},5,6M x y x y xy =+==为点集，集合{}2,3是数集， 故C 错误；对于D ，由集合元素的无序性可得集合{}{}13,1,5,3,5=，故D 错误. 故选：B.4．C【详解】①因为0是自然数，所以0N ∈，故正确；②因为27不是整数，所以27Z ∉，故错误；③因为3-是整数，所以3Z -∈，故错误；④因为π是无理数，所以Q π∉，故正确；故选：C.5．B【详解】解：①{}{}00,1,3Ü，故①错误，②{}0∅⊆，故②正确，③{}{}0,1,21,2,0=，故③正确，④0∉∅，故④错误，⑤0为元素，与∅无法运算，故⑤错误；故选：B6．D【详解】解：22x …，22x ∴-剟，{|22}M x R x ∴=∈-剟，又1a =，a M ∴∈，{}a M Ü．故选：D.7．B【详解】 因为{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.8．D【详解】当1x =时，集合{}1,2,1A =，{}1,2,1B =都出现两个1，出现了互异性的错误，排除ABC ，当1x =-时，{}1,0,1A =-，{}1,0,1B =-，A B =，故选：D.本题考查了集合性质，属于基础题.9．A【详解】 解：由题意得，{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以0b a=即0a ≠，1a ≠，即0b =，则有{}{}2,0,1,,0a a a =，所以21a =，解得1a =-， ∴201320141a b +=-.故选：A.10．B【详解】因为3111x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得：32x y =⎧⎨=⎩， 所以{}311(,)(32)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，. 故选：B11．C【详解】A.表示x 轴和y 轴上的点，但不包含原点，故A 错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.00xy x =⇔=或0y =，即表示坐标轴上点的集合，故C 正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.12．D对于A ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故A 错误；对于B ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故B 错误；对于C ：{}*{|}3,5,217,x x n n N =+∈=，，故C 错误；对于D ：{}{|}1,3,5,2,17x x n n N ==+∈，，故D 正确.故选：D13．C【详解】解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3.故选：C.14．C【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．15．D【详解】解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x <11，x =2k ，k ∈Z ，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }，故D 符合题意；对于A ，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；对于B ，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C ，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D.16．D【详解】对于A ，因为0不是正整数，所以0N *∉，所以A 错误，对于B ，因为π是无理数，所以Q π∉，所以B 错误，对于C ，因为空集是不含任何元素的集合，所以0∉∅，所以C 错误， 对于D ，因为2是实数，所以2R ∈，所以D 正确，故选：D17．C解：观察集合A 的前几项发现：A 的元素都是奇数，并且偶数项为负，奇数项为正； ∴可表示为(1)(21)n x n =-+，n N ∈；{|(1)(21)n A x x n ∴==-+，}n N ∈．故选：C.18．B【详解】A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为{x |x 为有理数}，错.故选：B.19．B【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；②中当0a =时不成立，不正确；③中2210x x -+=有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ④中集合6{|}{1,2,3,6}B x N N x=∈∈=是有限集，正确， 故选：B20．B【详解】解：关于x 的方程26(0)x x a a -=>等价于260x x a --=①，或者260x x a -+=②． 由题意知，P 中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．0a >，对于方程①，()2(6)413640a a ∆=--⨯⨯-=+>．∴方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，364a ∆=-，当9a =时，0∆=可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P 中元素的和为9； 当9a >时，∆<0方程②无实根，故P 中元素和为6； 当09a <<时，方程②中0∆>，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P 中元素的和为12.故选：B ．21．D【详解】对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D22．A【详解】R 、Q 、N 、Z 分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集， 所以，22R ∈，3Q ∉，0N ∈，42N =∈，Q π∉，22Z -=∈， 因此，①正确，②③④⑤⑥不正确，故选：A ．23．A【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.24．B【详解】解：{x |3213x -<-≤，x ∈Z }={x |2-<2x ≤4，x ∈Z }={x |1-<x ≤2，x ∈Z }={0，1，2}， 故选：B ．25．C【详解】由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2．所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2．故方程的另一根为－1．故选：C ．26．C【详解】①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1，∴集合A ＝{－1，3}．∴－1∈A .故选：C27．C【详解】因集合{1,2,3,4}A =，{5,6}B =，又,x A y B ∈∈，则当5y =时，x y +的值有：6，7，8，9，当6y =时，x y +的值有：7，8，9，10，于是得{6,7,8,9,10}C =， 所以C 中元素的个数为5.故选：C28．D【详解】因为a ∈M ，11a a+-∈M ， 所以111111aa a a ++-+--＝－1a ∈M ， 所以1111a a +---＝11a a -+∈M ， 又因为11111a a a a -++--+＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，11a a+-，11a a -+这4个元素， 由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素．故选：D29．B【详解】解：5{1∈，2m +，24}m +，25m ∴+=或245m +=，即3m =或1m =±.当3m =时，{1M =，5，13}；当1m =时，{1M =，3，5}；当1m =-时，{1M =，1，5}不满足互异性，m ∴的取值集合为{1，3}.故选：B . 30．C 【详解】集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，{}[)211,A y y x ==+=+∞，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，(){}2,1B x y y x ==+，经验证，(3，10)∈B .故选：C ． 31．ABD 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ； 选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ． 32．AB 【详解】集合A 中只有一个元素，即方程kx 2+4x +4=0只有一个根， 当k =0时，方程为一元一次方程，只有一个根，当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则∆=16-16k =0，即k =1，所以实数k 的值为0或1. 故选：AB 33．ACD 【详解】对于A ：因为202140451=⨯+，所以[]20211∈，故选项A 正确； 对于B ：因为()3512-=⨯-+，所以[]32-∈，故选项B 错误；对于C ：若a 与b 属于同一类，则15a n k =+，25b n k =+，()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ，2Z)n ∈，故选项C 正确；对于D ：若[]0a b -∈，设5,Z a b n n -=∈，即5,Z a n b n =+∈，不妨令5,Z b m k m =+∈，0k =，1，2，3，4，则()555a m n k m n k =++=++，m ∈Z ，Z n ∈，所以a 与b 属于同一类，故选项D 正确； 故选：ACD. 34．ABC 【详解】对于A 选项，若1m =，则2211x l x l ≤≤⇒≤≤， 根据当x S ∈时，有2x S ∈，可得21l l l≥⎧⎨≤⎩，得101l l ≥⎧⎨≤≤⎩，可得1l =，故{}1S =，A 对； 对于B 选项，若12m =-，则214m =，则214l ll⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得114l ≤≤，B 对；对于C 选项，若12l =，则12S x m x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，即212022m m m ≤≤⇒-≤≤，C 对； 对于D 选项，若1m =-，1l =时，此时{}11S x x =-≤≤符合题意，D 错. 故选：ABC ．35．CD 【详解】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B 正确； 方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误； 由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误， 故选：CD ． 36．AC由题意可设1113x m n =+，2223x m n =+，其中1m ，2m ，1n ，2n N *∈， 则()1212x x m m +=+()123n n ++，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；()()1212123x x m m n n -=-+-，当12n n =时，12x x A -∉，所以减法不满足条件，B 错误；()121212112133x x m m n n m n m n ==++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C 正确；11122233x m n x m n +=+，当()11220mnm n λλ==>时，12xA x ∉，所以出发不满足条件，D 错误.故选：AC . 37．BCD 【详解】解：对于A ，假设集合B 是“好集”，因为1B -∈，1B ∈，所以112B --=-∈，这与2B -∉矛盾，所以集合B 不是“好集”．故A 错误；对于B ，因为0Q ∈，1Q ∈，且对任意的x Q ∈，y Q ∈有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x ∈，所以有理数集Q 是“好集”，故B 正确；对于C ，因为2Z ∈，但12Z ∉，所以整数集Z 不是“好集”．故C 正确；因为集合A 是“好集”，所以0A ∈，又y A Î，所以0y A -∈，即y A -∈，又x A ∈，所以()x y A --∈，即x y A +∈，故D 正确． 故选：BCD ．38．∈∈∉∈∉∉∉∈. 【详解】（1）N 是自然数集，所以0N ∈； （2）Z 是整数集，所以()202111Z -=-∈；（3）Q 是有理数集，所以442Q =∉； （4）R 是实数集，所以()2R ππ-=∈；（5）1xy x =-中1x ≠，所以11x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （6）1xy x =-={}1y y ≠，所以11x y y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （7）（2,2）表示点，{|}1xx y x =-表示数集，所以()2,21x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （8）集合{}{},0∅中有2个元素，分别是∅，{}0，所以{}{},0∅∈∅. 故答案为：∈；∈； ∉；∈； ∉； ∉；∉；∈ 39．{}1或{}2解：A 只有一个元素；∴方程2440kx x -+=只有一个解；0k =①时，440x -+=，1x =，满足题意； 0k ≠②时，16160k =-=；1k ∴=；解2440x x -+=得，2x =；{}1A ∴=或{}2．故答案为：{}1或{}2． 40．1 【详解】依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性； 当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性； 当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立， 所以20211=m . 故答案为：1 41．{4} 【详解】当234a a -=时，可得4a =或1a =-， 若1a =-时，则274a a++=，不合题意；若4a =时，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意；当274a a++=，可得1a =-或2a =-， 若1a =-，则234a a -=，不合题意； 若2a =-，则|2|4a -=，不合题意. 综上所述：4a =. 故答案为：{4}42．∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ 【详解】（1）∵231211=> ∴23∉B ； ∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11， ∴1＋2<11 ，∴1＋2∈B ．（2）∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ； 当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C ．（3）∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数， ∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D ． 故答案为：∉，∈，∉，∈，∉，∈. 43．{}60,120,180 【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为{}60,120,180. 故答案为：{}60,120,180. 44．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 【详解】（1）因为210a +>，故212a +≠-， 因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性； ②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍），此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得916a >-且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >. 45．{-3，3}. 【详解】：解答：A ={1，-3}，∴f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a +b −1=b −a =0，（9+3a +b ）+3=3a +b +12=0， 解得a =−3，b =−3.∴f （x ）+ax =2x +3x -3+（-3x ）=2x -3=0. ∴x =±3， ∴B ={-3，3}. 46 【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．47．(1)由题意可知：3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11()12131()2A +-=∈--，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-， 所以A 中其他所有元素为11223-，，； (2)假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a+-不存在，假设不成立， 所以0不是A 的元素，取3a =，则13213A +=-∈-，1(2)11(2)3A +-=-∈--，11()13121()3A +-=∈--，1123112A +=∈-， 所以当3A ∈，A 中的元素是：3，2-，13-，12；(3)猜想A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数. 由(2)知：0,1A ∉， 若1A -∈，则1(1)01(1)A +-=∈--，与0A ∉矛盾，则有1A -∉，即1,0,1-都不在集合A 中， 若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 311431111()111111()a a a a A a a a +-+-===∈-+--，1415114111111111a a a a a A a a a -+++===∈---+， 又由集合元素互异性知，A 中最多只有4个元素1234,,,a a a a 且132411,a a a a =-=-， 显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，得211a =-无实数解，同理，14a a ≠，即A 中有4个元素，所以A中没有元素101-，，；A中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.48．（1）a＝0或a＝98；（2）9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）a≥98或a＝0.【详解】解：（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝23，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，∆＝9－8a＝0，得a＝98.所以当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．（2）由题意得，当0,980,aa≠⎧⎨∆=->⎩即a<98且a≠0时方程有两个实根，又由（1）知，当a＝0或a＝98时方程有一个实根．所以a的取值范围是9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）知，当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．当集合A中没有元素，即A＝∅时，由题意得0,980,aa≠⎧⎨∆=-<⎩解得a>98.综上得，当a≥98或a＝0时，集合A中至多有一个元素.。