高中数学 1.2.1充分条件与必要条件练习 北师大版选修11

第一章§课时作业一、选择题．若¬是¬的必要条件，则是的( )．充分条件．必要条件．非充分条件．非必要条件解析：¬是¬的必要条件，即¬⇒¬为真命题，故¬⇒¬的逆否命题⇒也为真命题．∴是的必要条件．答案：．对任意实数，，，在下列命题中，真命题是( )．“>”是“>”的必要条件．“＝”是“＝”的必要条件．“>”是“>”的充分条件．“＝”是“＝”的充分条件解析：当＝时，＝，而当＝时，若＝，则和不一定相等．答案：．[·湖北高考]设为全集．，是集合，则“存在集合使得⊆，⊆∁”是“∩＝∅”的( )．充分而不必要的条件．必要而不充分的条件．充要条件．既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，∩＝∅时，不妨取＝∁，此时⊆.必要性成立．故选.答案：．一次函数＝－＋的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )．>，> ．<．<，< ．>解析：一次函数＝－＋的图像同时经过第一、二、四象限，即(\\(－()<，,()>，))得>，>.由题意可得，>，>可以推出选项条件，而反之不成立，所以选.答案：二、填空题．用“充分条件”和“必要条件”填空．()“＝”是“＋＝”的．()“△≌△′′′”是“△∽△′′′”的．解析：()＝＋＝(如＝＝－)，＋＝⇒()＝⇒＝.()△≌△′′′⇒△∽△′′′，△∽△′′′△≌△′′′.答案：()必要条件()充分条件．已知α、β是不同的两个平面，直线⊂α，直线⊂β，：与无公共点，：α∥β，则是的条件．解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故是的必要不充分条件．答案：必要不充分．已知：＋－>，：>，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：将，分别视为集合＝{＋－>}＝{>或<－}，＝{>}，已知是的充分不必要条件，即，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的的取值范围为≥.答案：≥三、解答题．下列命题中，判断条件是条件的什么条件：()：＝，：＝；()：△是直角三角形，：△是等腰三角形；()：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形．解：()∵＝＝，但＝⇒＝，∴是的必要条件，但不是充分条件．()△是直角三角形△是等腰三角形．△是等腰三角形△是直角三角形．∴既不是的充分条件，也不是的必要条件．()四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴是的必要条件，但不是充分条件．．[·河南省郑州一中月考]已知：关于的不等式<<，：(－)<，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：记＝{<<}，＝{(－)<}＝{<<}，若是的充分不必要条件，则.。

§2充分条件与必要条件[对应学生用书P5]充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．q：前年是2012年．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．[对应学生用书P6]充分条件、必要条件的判断[例1](1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．[精解详析] (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则p⇒/ q；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇒/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p 是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．[一点通]充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．(3)集合法：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若B A，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件．1．设集合A＝{x|xx－3≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.答案：D2．对任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中，真命题的序号是________．解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a >b ”不能得出a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－2，③为假命题；④“由a <5”不能得“a <3”，而由“a <3”可得“a <5”，④为真命题．答案：②④3．指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC 中，p ：sin A ＞12，q ：A ＞π6.解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为0＜A ＜π时，sin A ∈(0,1]，且A ∈(0，π2]时，sin A 单调递增，A ∈[π2，π)时，sin A 单调递减，所以sin A ＞12⇒A ＞π6，但A ＞π6⇒/ sin A ＞12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.充要条件的证明和求解[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)， 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q ＝－1推证数列{a n }为等比数列和由数列{a n }满足S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)为等比数列推证q ＝－1.[精解详析] (充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p－1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，可知等比数列{a n }的公比为p .故a 2a 1＝p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． [一点通]充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A 是B 的充要条件”中，A ⇒B 是充分性，B ⇒A 是必要性；在“A 的充要条件是B ”中，A ⇒B 是必要性，B ⇒A 是充分性．4．不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是____________．解析：若x 2－ax ＋1>0的解集为R ，则Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.又当a ∈(－2,2)时，Δ<0，可得x 2－ax ＋1>0的解集为R ，故不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是－2<a <2.答案：－2<a <25．等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：由S n ＋1＞S n (n ∈N ＋)⇔(n ＋1)a ＋n n ＋12d ＞na ＋n n －12d (n ∈N ＋)⇔dn ＋a ＞0(n ∈N ＋)⇔d ≥0且d ＋a ＞0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a ＞0.答案：d ≥0且d ＋a ＞06．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. ∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ∴必要性成立．再证充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . 代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得：ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋b ＋a )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.充分条件、必要条件的应用[例3] 已知p ：关于x 的不等式3－m 2＜x ＜3＋m2，q ：x (x －3)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 求出q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解． [精解详析] 记A ＝{x |3－m 2＜x ＜3＋m2}，B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0＜x ＜3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，解得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2＜3＋m2，解得m ＞0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2＞0，3＋m2＜3，解得0＜m ＜3.m ＞0，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)． [一点通]将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p ，q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．7．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0(m ≠0)，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：解x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3，令A ＝{2，－3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A . 当－1m ＝2时，m ＝－12；当－1m ＝－3时，m ＝13.所以m ＝－12或m ＝13.8．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若x ∈M 是x ∈N 的充分条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1，M ＝{x |a －1<x <a ＋1}．又由x 2－5x －24<0得－3<x <8，N ＝{x |－3<x <8}． ∵x ∈M 是x ∈N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]．1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”及它的逆否命题都是真命题； (2)若p 是q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；(3)若p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题．2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．[对应课时跟踪训练二]1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．答案：A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋c b＝2”，则命题p 是命题q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a b ＋c b＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.答案：A4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是________． 解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数”的________． 解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)③ (2)①7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.。

2 充分条件与必要条件练习1．“x＞0”是“x≠0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．条件甲：A∩B＝A；条件乙：A B，则甲是乙的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件3．设a R，则“a＝1”是“直线l 1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知条件p：|x－1|＞1－x，条件q：x＞a.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()．A．a＞1 B．a≥1C．a＜1 D．a≤15．若a与b－c都是非零向量，则a·b＝a·c是a⊥(b－c)的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的________．7．函数y＝x2＋bx＋c(x[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．8．有四个命题：①“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0且y＝0且z＝0”的充要条件；④“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．9．已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．10．关于x的不等式或方程，证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.参考答案1. 答案：A 解析：对于“x ＞0” ⇒ “x ≠0”，反之不一定成立，因此“x ＞0”是“x ≠0”的充分不必要条件．2. 答案：B 解析：甲不能推出乙，但乙⇒甲．故甲是乙的必要不充分条件．3. 答案：A 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．4. 答案：C 解析：由题意，p ⇒q 而q 不能推出p ，因为p ⇒x ＞1，所以a ＜1.5. 答案：C 解析：a·b ＝a·c a·(b －c )＝0a ⊥(b －c )．6. 答案：充分不必要条件 解析：由题意知甲⇒乙，乙丙，丙⇒丁，∴甲⇒丁但丁不能推出甲．7. 答案：b ≥0 解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的，则b ≥0.8. 答案：①③ 解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0且y ＝0且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确．9. 解：∵p 是q 的必要不充分条件，∴“若q ，则p ”是真命题．又∵x 2－x －6＞0，∴x ＞3或x ＜－2，∴p ：x ＞3或x ＜－2.q ：4x ＋m ＜0，x ＜4m -，∴4m -≤－2， ∴m ≥8，即m 的取值范围为[8，＋∞)．10. 证明：先证明必要性：解x 2＋px ＋q ≤0，若Δ＝p 2－4q ＞0，则不等式的解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭，与题意不符； 若Δ＜0，x 2＋px ＋q ＞0恒成立，则不等式的解集为，也与题意不符；所以只能Δ＝p 2－4q ＝0，即p 2＝4q 使得原不等式的解集中只含有一个元素2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 再证明充分性：由p 2＝4q ，则原不等式可以整理成x 2＋px ＋q ＝x 2＋px ＋24p ＝22p x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤0. 因此解集为2p x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，只有一个元素． 综上所述，x 2＋px ＋q ≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p 2＝4q .。

1.2.2 充要条件一、选择题1．“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x (y －2)＝0，则x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，反之， 若x 2＋(y －2)2＝0，则x ＝0且y ＝2，一定有x (y －2)＝0，因此，“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A. 答案：A2．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＝1时，y ＝x1－4＋5＝x 2，是二次函数；反之，若y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数，则m 2－4m ＋5＝2，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝1或m ＝3，因此，“m ＝1”是“y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0D ．b <0解析：由于函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝－b2，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－b2≤0，即b ≥0，故选A.答案：A4．方程“ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实根”的充要条件是( ) A ．－1≤a <0 B ．a >－1C ．a ≥－1D ．－1≤a <0或a >0解析：a ＝0时，方程ax 2＋2x －1＝0有一正根，排除A 、D 两项；a ＝－1时，方程化为x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，x ＝1>0. 答案：C 二、填空题5．不等式x 2－3x ＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x 2－3x ＋2<0⇔(x －1)(x －2)<0⇔1<x <2. 答案：1<x <26．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或47．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．至少有一个负实根的充要条件．a <0； 则必须满足⎩⎪⎨－1a <0，Δ＝1－4a ≥0，⇒0<a ≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14.反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，又{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p ，故p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．。

1.2 充分条件与必要条件(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面四个条件中，使“a >b ”成立的充分条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a ＋1>b【解析】 “p 的充分条件是q ”即“q 是p 的充分条件”，亦即“q ⇒p ”．因为a >b ＋1⇒a >b ，故选A.【答案】 A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件的( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1 【解析】 由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋1－m 24， ∴f (x )的图像的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m 2＝1， ∴m ＝－2.【答案】 A3．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1<a <－12，则p 是q 的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．非充分也非必要条件D ．不能确定 【解析】 p 所对应的集合为A ＝{a |－1<a <0}，q 所对应的集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ －1<a <－12， ∴B ⊆A ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．【答案】 B4．(2015·天津高考)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 |x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件．【答案】 A5．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b的充要条件；③a ＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．其中正确的说法有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2， a 2＞b 2⇒|a |＞|b |⇒/a ＞b ＞0，故①错．a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，但1a ＜1b⇒/a ＞b ＞0，故②错． a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，但a 3＞b 3⇒/a ＞b ＞0，故③错．【答案】 A二、填空题6．“cos α＝－32”是“α＝56π”的________条件． 【解析】 α＝56π时，cos α＝－32，反之不一定成立，故应是必要不充分条件． 【答案】 必要不充分7．下列说法正确的是________．①“两角相等”是“两角是对顶角”的充分条件；②“一个平面过另一个平面的垂线”是“这两个平面垂直”的充分条件；③“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2＝ac ”的必要条件．【解析】 因为“两角相等”⇒/“两角是对顶角”，①错；“a ，b ，c 成等比数列”⇒“b 2＝ac ”，③错．②正确．【答案】 ②8．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1垂直的充要条件是________.【解析】 l 1⊥l 2，则2×3＋m ×(－1)＝0，即m ＝6.【答案】 m ＝6三、解答题9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．【解】 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，由x 2－5x －24<0，得－3<x <8，∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥－3，a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7.即a 的取值范围是[－2,7]．10．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．【证明】 ①先证充分性成立．∵ab ≠0，a ＋b ＝1，∴b ＝1－a .∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.②再证必要性成立．∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0.∴(a 2－ab ＋b 2)·(a ＋b －1)＝0.∵a 2－ab ＋b 2≠0，∴a ＋b ＝1.由①②知，p 是q 的充要条件．[能力提升]1．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}， C ＝{x ∈R |x <0或x >2}，∵A ∪B ＝C ，∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．【答案】 C2．若A ：log 2a <1，B ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A 是B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由log 2a <1，解得0<a <2；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a －2<0，解得a <2.因为命题：“若0<a <2，则a <2”是真命题，而“若a <2，则0<a <2”是假命题，所以“0<a <2”是“a <2”的充分不必要条件，所以A 是B 的充分不必要条件，选A.【答案】 A3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则“f x －f －x x<0”是“2x >4”成立的________条件． 【解析】 f (x )<0即x >2；当x <0时，f (x )>0，即x <－2，∴x >2或x <－2；而2x>4⇔x >2，所以前者是后者的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .【解】 依题意得a >0.由条件p ：|x －1|>a得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴最小正整数a ＝1.。

高中数学《充分条件与必要条件》导学案北师大版选修11（1）第2课时充分条件与必要条件1.理解充分条件和必要条件的含义.2.会判断两个条件间的充分必要关系.3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.函数y=x cos x+sin x的图像大致为().图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排除法,从解析式结合图像我们很容易找到三个角度来排除,一是利用函数是奇函数可以排除B,二是利用x=时,y=1,可以排除C,三是利用x=π时,y=-π,可以排除A,所以答案选D.问题1: 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作, 并且说p是q的充分条件,q是p 的必要条件.根据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=x cos x+sin x的图像”的条件;(2)“ y=f(x)的图像是y=x cos x+sin x的图像”是“f()>0”的条件;(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=x cos x+sin x的图像”的条件.问题2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若,则p是q的充分不必要条件;(2)若,则p是q的必要不充分条件;(3)若,则p是q的充要条件;(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.集合A与B的关系Venn图表示法若A?B,则p是q的,若A?B,则p是q的若B?A,则p是q的,若B?A,则p是q的若A?B且B?A,则p既不是q的,也不是q的若A?B且B?A,即A=B,则p是q的1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是( ).2.在△ABC中,“sin A>”是“A>”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的条件.4.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分条件、必要条件、充要条件的判断分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B.(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.充要条件的探求与证明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>b,q:>.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠.已知命题p:1-c<x0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.</x求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.1.设集合A,B,则“A?B”是“A∩B=A成立”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线m?平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的( ).A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设有如下三个命题:甲: m∩l=A,m,l?α,m,l?β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.4.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>0且b>0, q:ab>0.(2)p:>1, q:x>y.。

充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。

当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。

所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。

物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A 闭合时，灯泡B 亮，而当灯泡B 亮时，开关A 却不一定是闭合的；即要使灯泡B 亮，只要开关A 闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分条件。

一般地，“若p ，则q ”是一个真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，即由p 可推出q ，记作p q ⇒，那么，就称条件p 是结论q 的充分条件（sufficient condition ）。

“若q ，则p ”是一个真命题，是指由q 通过推理可以得出p ，即由q 可推出p ，记作q p ⇒，那么，就称q 是p 的充分条件（sufficient condition ）。

例如：①211x x =-⇒=，那么，“1x =-”是“21x =”成立的充分条件；②224a a >⇒>，那么，“2a >”是“24a >”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“1m =”是函数22(33)m y m m x =-+为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。

例如，当4x =时，216x =成立，但是，当4x ≠时，216x =也可以成立，即4x =-时，216x =也成立，所以，4x =是216x =成立的充分条件，4x =-也是216x =成立的充分条件。