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线性相关的。 线性相关的。
而 x 2 , x, 1 在任何区间 b]上都是线性无关的。 在任何区间[a, 上都是线性无关的 上都是线性无关的。
y1 线性相关； 常数） 若 = C（常数）, 则 y1 与 y2 线性相关； y2 y1 线性无关。 常数） , 若 ≠ C（常数） 则 y1 与 y2 线性无关。 y2
特点： 特点： 方程中不出现未知函数 y . 解法： 变量代换，降阶 解法： 变量代换， 代入方程： 令 y′ = P(x) ⇒ y′′ = P ′( x ), 代入方程：
P ′ = f ( x , P ) 为一阶微分方程， 为一阶微分方程，
解得通解： 解得通解：P = ϕ ( x , C1 ) ⇒ y′ = ϕ ( x , C1 )
* * 则 y1 + y2 是 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f1( x) + f2 ( x) 的特解。 的特解。
′′ − y = x + 3e 2 x 例： y
的特解， 易证 y1 * = − x 是 y′′ − y = x 的特解，
y2 * = e 2 x 是 y′′ − y = 3 e 2 x 的特解， 的特解，
Q y = (C1 + 2C 2 ) y1 = C y1 (C = C1 + 2C 2 )
y1, y2 究竟满足什么条件，才能使其组合为 究竟满足什么条件， 方程(1)的通解 方程(1)的通解？ 的通解？
定义： 定义：
设 y1 ( x ),L , yn ( x ) 是定义在区间 I 上的
n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数 个函数，
′′ − y = 0 , y1 = e x , y2 = e − x 例：对 y
ex 2x 常数， 都是方程解， 都是方程解， Q = e ≠ 常数， e− x
为通解。 ∴ y = C1e x + C 2e − x 为通解。
定理3 定理3： (二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理) 二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理) 是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个 设y * 是二阶非齐次线性微分方程 的一个 特解， 特解，y 是其所对应的齐次线性微分方程 (1) 的通解， 的通解，则 y = y + y *是非齐次线性微分 方程(2) 通解。 方程 的通解。 非齐次(2)通解 对应齐次(1)通解 通解＋ 特解 非齐次 通解 = 对应齐次 通解＋(2)特解
定理2 二阶齐次线性微分方程通解的结构定理) 定理2：(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理) 的两个线性无关的特解， 设 y1与 y2 是方程 (1) 的两个线性无关的特解， 为任意常数) 则 y = C1 y1 + C2 y2 (C1, C2 为任意常数 的通解。 就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解。
的特解。 的特解。令 y′ = P ( x ) ⇒ y′′ = P ′( x ) , 代入方程： 可分离变量， 代入方程： ⇒ P ′ + P = 0 . 可分离变量，
dP = − dx P
⇒ P = C1 e − x = y′,
Q y′
x= 0
∴ y′ = 2 e − x , = 2, ⇒ C 1 = 2,
定理4 广义迭加原理) 定理4： (广义迭加原理) 设 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f ( x) = f1( x) + f2 ( x),
* 的特解， 若 y1 是 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f1( x) 的特解，
* y2 是y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f2 ( x) 的特解， 的特解，
问题
y = C1 y1 + C 2 y2 是否就是方程 的通解？ 是否就是方程(1)的通解 的通解？
是方程(1)的解 的解， 也是其解， 如：设 y1 是方程 的解， 则 y2 = 2 y1也是其解， 则由定理1， 则由定理 ，y = C1 y1 + C 2 2 y1 也是方程 的解 但不是方程 的通解。 方程(1)的通解 也是方程(1)的解。 但不是方程 的通解。 方程 的解。
⇒ dP dx = P x
ln P = ln x + ln C1
P = C1 x , 即 y ′ = C 1 x ,
通解： ∴ 通解： 1 y = C1 x 2 + C 2 . 2
2. x y′′ − 2 y′ = x3 + x . 解：令 y′ = P(x) ⇒ y′′ = P ′( x ),
一阶非齐次线性方程
dy ⇒ = P = C1 ( y − 1) 2 dx
−1 ⇒ = C1 x + C 2 y −1
dy ⇒ 2 = C1 d x ( y − 1)
1 . ∴ y =1− C1 x + C 2
课 外 作 业
习题 7 — 6 (A) 2(2, 4), 3(6) 习题 7 — 6 (B) 2, 3
§7. 高阶线性微分方程
§6. 可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) = f ( x) 型的微分方程
所以 同理可得 y(n−2) =
∫[
]d x + C2 ]d x + C1 x + C2
= ∫[
依次通过n次积分, 可得含n个任意常数的通解 个任意常数的通解. 依次通过 次积分, 可得含 个任意常数的通解. 次积分
例： y′′′ = x − e−2x .
高阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为 高阶微分方程。 高阶微分方程。 二阶微分方程的一般形式： 二阶微分方程的一般形式：
F ( x , y , y′, y′′ ) = 0 或 y′′ = f ( x , y , y′ )
主要介绍： 主要介绍：
(1) 可降阶的二阶微分方程； 可降阶的二阶微分方程； (2) 二阶线性微分方程； 二阶线性微分方程； (3) 二阶欧拉（Euler）方程。 二阶欧拉（ ）方程。
( A) C1 y1 + C2 y2 + y3; 解都不是! 解都不是 (B) C1 y1 + C2 y2 + ( C1 + C2 ) y3; (C) C1 y1 + C2 y2 − (1 + C1 + C2 ) y3; (D) C1 y1 + C2 y2 + (1 − C1 − C2 ) y3 .
⇒ xP ′ − 2 P = x + x ,
3
2 ⇒ P′ − P = x 2 + 1 , x
∫ (−
2 ) dx x dx + C 1]
y′ = P
=e
2 − ∫ ( − ) dx x =e [
( x 2 + 1) e ∫
2 ln x
[ ∫ ( x 2 + 1) e − 2 ln x dx + C1 ]
原方程化为： 为一阶微分方程， 原方程化为： ′ = f ( x , P ) 为一阶微分方程， P
y (n−1) = P ( x ) = ϕ ( x , C1 ) , 逐次积分 n − 1 次。
例： x y′′′ = y′′ . 解： 令 y′′ = P(x) ⇒ y′′′ = P ′( x ) ,
y′′ + P ( x ) y′ + Q ( x ) y = 0 ,
二阶非齐次线性微分方程： 非齐次线性微分方程 二阶非齐次线性微分方程：Fra bibliotek(1)
y′′ + P ( x ) y′ + Q ( x ) y = f ( x ) ,
(2)
定理1 定理1： 设 y1, y2 是微分方程 (1) 的两个解， 的两个解， 则 y = C1 y1 + C2 y2 也是方程 的解， 也是方程(1)的解 的解， 为任意常数。 其中 C1, C2 为任意常数。 —— 齐次线性微分方程解的叠加原理
dP dP dP dy = ⋅ =P 令 y′ = P ⇒ y′′ = dy dx dy dx dP 代入方程： 代入方程： P = f ( y , P ) 为一阶微分方程， 为一阶微分方程， dy
其通解： 其通解： P = ϕ ( y , C1 ) ⇒ y ′ = ϕ ( y , C1 )
dy ψ ( y , C1 ) = ∫ = ϕ ( y , C1 )
解此一阶微分方程， 最后得原方程通解： 解此一阶微分方程， 最后得原方程通解：
y = ∫ ϕ ( x , C1 ) d x + C 2 .
例
求解下列方程： 求解下列方程： 1. x y′′ = y′. 解： 令 y′ = P(x)
题
⇒ y′′ = P ′( x ) ,
⇒ x P ′ = P 变量可分离方程
∫ dx = x +C
2
.
例： 求 y′′ +
2 y′2 = 0 的通解。 的通解。 1− y
dP , 解： 令 y′ = P ⇒ y ′′ = P dy
dP 2d y dP 2 2 = P = 0, ⇒ + 代入方程： 代入方程：⇒ P P y −1 dy 1 − y
⇒ ln P = 2 ln( y − 1) + ln C1
未知函数及其各阶导数都是一次的方程， 未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称 线性微分方程。 为线性微分方程。 n 阶线性微分方程的一般形式是： 阶线性微分方程的一般形式是：
y( n) + P1 ( x) y(n−1) + L+ Pn−1 ( x) y′ + Pn ( x) y = f ( x)
的连续函数。 其中 P1 ,L , Pn , f 都是 x 的连续函数。
