6三角知识梳理6答案

高三数学总复习专题6 解三角形方法点拨1．对于解三角形中的简单的求边长、求角的题型，要求对正余弦定理熟悉以及对边角的互换灵活使用．2．解三角形的大题不仅需要对边与角的互换可以灵活使用，还要求对三角函数的恒等变换公式熟悉，涉及求面积、周长等的范围或最值问题时，一般考虑余弦定理结合基本不等式或利用正弦定理转化成三角函数求值域的问题． 3．若涉及三角形的中线问题则考虑使用向量进行处理．4．对于涉及角平分线的解三角形题型，一般可以考虑角平分线定理或列两个小三角形的面积等于大三角形的面积的方程进行处理．经典题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =（ ）A ．2BC ．D ．2．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（ ）A B C D 3．（安徽省池州市2021届高三一模）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，∠ABC =120°，sin ∠BAC 且BD 为∠ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．84．（青海省海东市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3a =cos sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，ABC 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（ ）A ．若3A π=，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π二、填空题．7．（宁夏中卫市2021届高三一模）如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______．8．（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________．三、解答题．9．（四川省内江市高中2022届一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的面积为ABC 的周长．10．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且sin 3c B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）设5BC =，7AB =，若延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求CD 的长． 11．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点M 在边AC 上，3CM MA =，tan ABM ∠=tan BMC ∠= （1）求角A 的大小；（2）若BM =，求ABC 的面积．12．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，()sin sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =．（1）求角A 的大小； （2）求线段AD 的长．13．（福建省福州市2021届高三3月份一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-． （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC 的角平分线，求证：111CA CB CD+=． 14．（河南省鹤壁市2021届高三一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+．（1）求A ；（2）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．15．（贵州省盘州市2021届高三一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B A =．（1）求B ； （2）已知23ACB π∠=，2AB =，延长BC 至D ，使得2CD BC =，求AD ．16．（河南省郑州市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=．（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ∠=，求sin DAC ∠的值．17．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若40sin B c b -=．（1）求sin C 的值；（2）是否存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =若存在，求出A ，B 的值；若不存在，请说明理由．18．（广西柳州市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C --+=．（1）求角A 的大小；（2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是24+，求BDC ∠的大小．19．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-． （1）求B 的值；（2）在①4ABC S =△，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC 的周长．20．（湖南师范大学附属中学2021届高三一模）已知ABC 的内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，在以下三个条件中任选一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B Cb a B +=．并解答以下问题： （1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值．21．（沭阳如东中学2021届高三一模）已知ABC 中，D 是AC 边的中点，且①3BA =；②BC =BD =60A ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程．22．（江西省九江市2021届高三一模）ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知()cos 3sin cos b c A b A a C +=-． （1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．23．（福建省龙岩市2021届高三一模）在①sin 3cos c B b C =，②232cos sin 22cos 2C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，③sin ABC S CA CB C =⋅⋅△．三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，2c =． （1）求角C ；（2）求ABC 周长的取值范围．24．（贵州省贵阳市2021届高三一模）如图所示，在平面四边形ABCD （A ，C 在线段BD 异侧）中，6BAD π∠=，2BCD π∠=，3AB =4AD =．（1）求BD 的长；（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）①求四边形ABCD 的面积的取值范围； ②求四边形ABCD 的周长的取值范围；③求四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围．25．（江苏省南通市学科基地2021届高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案一、选择题． 1-5CCDBA 6．【答案】ABC【解析】对于A ，由余弦定理可得222122cos 24a b c bc A bc ==+-=-，得12bc =，故1sin 2S bc A ==，A 对；对于B ，由基本不等式可得22242b c bc =+≥，即12bc ≤，当且仅当b c ==由余弦定理可得22224126cos 22b c a A bc bc bc+--===，则11sin 22S bc A ====，B 对； 对于C ，AMB AMC π∠+∠=，则()cos cos cos AMB AMC AMC π∠=-∠=-∠，由余弦定理可得2224cos a AM c AMB AM a +-∠=⋅，2224cos a AM b AMC AM a+-∠=⋅， 所以，22222244a a AM c AM b AM a AM a+-+-=-⋅⋅，整理可得2222924b c a AM +=-=， 则3AM =，C 对；对于D ，由余弦定理可得2222212121cos 222b c a A bc bc b c +-==≥=+，当且仅当b c ==因为()0,A π∈且函数cos y x =在()0,π上单调递减，故03A π<≤，D 错，故选ABC ． 二、填空题． 7． 【解析】在ABC 内，由正弦定理可得2sin sin BC AC R A B ==，即20sin 60sin 45BC AC==︒︒，解得BC=AC=故sin sin()sin(6045)sin60cos45cos60sin45C A B=+=︒+︒=︒︒+︒︒=，所以11sin3)22ABCS AC BC C=⋅⋅⋅=⨯=，又210100Sππ=⋅=圆，故豆子落在三角形ABC内的概率为)253100ABCSSπ==圆，故答案为34π+．8．【答案】12【解析】()sin sin2cos cos tan tan2cos coscos cosB CB C B C B CB C⎛⎫+=+⎪⎝⎭()2sin cos2sin cos2sin2sinB C C B B C A=+=+=，cos tan cos tan sin sinB BC C B C+=+，所以sin sin2sinB C A+=，由正弦定理得2b c a+=，由余弦定理得()22222222313112cos2284442b cb c b cb c a bcAbc bc bc bc+⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭===-≥-=，当且仅当b c a==时取等号，此时3Aπ=，故答案为12．三、解答题．9．【答案】（1）3Aπ=；（2）10+【解析】（1）∵2cos cos cosa Ab Cc B=+，∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cosA ABC C B=+，∴2sin cos sinA A A=，∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π=．（2）由（1）知，3A π=，∵1sin 2ABCSbc A ==24bc =， ∵由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2228b c bc +-=， 故()2100b c +=，∴10b c +=，故10a b c ++=+ ∴ABC的周长为10+10．【答案】（1）60C =︒；（2）10CD =． 【解析】（1）由正弦定理及条件得，1sin (sin )2C B B A =，即1sin (sin ))cos sin 2C B B B C B C B C +=+=+，整理得tan C =又C 为三角形内角，所以60C =︒．（2）在ABC 中，由余弦定理得225549AC AC +-=，解得8AC =，cos 7ADC ∠=，则sin 7ADC ∠==， ACD △中，1sin sin()sin cos cos sin 72CAD C D C D C D ∠=+=+=+= 由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠147=， 所以10CD =． 11．【答案】（1）2π3A =；（2） 【解析】（1）∵tan BMC∠=，∴tan BMA∠=∵()() tan tanπtanA ABM BMA ABM BMA=-∠-∠=-∠+∠，∴tan tantan1tan tanABM BMAAABM BMA+∠+∠=-==-∠⋅∠∵0πA<<，∴2π3A=．（2）∵tan BMA∠=tan ABM∠=∴sin7BMA∠=，sin14ABM∠=．在ABM中，由正弦定理，得sin sinAB BMBMA A=∠，∴sinsinBM BMAABA⋅∠===∴ABM的面积11sin2214ABMS BM AB ABM=⋅⋅⋅∠==△．∵点M在边AC上，3CM MA=，∴ABC的面积4ABC ABMS S==△△12．【答案】（1）3Aπ=；（2）AD=．【解析】（1）在ABC中，()()sin sin sinC A B A Bπ=-+=+⎡⎤⎣⎦，因()sin sin sinA B C B-=-，则有sin cos cos sin sin cos cos sin sinA B A B A B A B B-=+-，即2cos sin sin 0A B B -=， 又sin 0B ≠，即有1cos 2A =， 而()0,A π∈，所以3A π=．（2）在ABC 中，由(1)知3A π=，因为AD 为角A 的角平分线，则有30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABCABD ACD SSS=+得：11135sin 605sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =所以线段AD 的长为8． 13．【答案】（1）23C π=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-，所以2sin cos sin 0B C B +=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 又(0,)C π∈，所以23C π=． （2）因为CD 是ABC 的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=． 在ABC 中，ABC ACD BCD S S S =+△△△， 则由面积公式得1211sinsin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅， 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅，得111CA CB CD+=．14．【答案】（1）3π；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=．（2）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-， 又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a = 15．【答案】（1）6π；（2）2．【解析】（1）由cos sin a B A =及正弦定理，得sin cos sin A B B A =， 由0A π<<，得sin 0A >，所以cos B B =，即tan B =， 由0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AB ACACB B=∠，则2sinsin 62sin sin 3AB B AC ACB ππ∠=== 又2366BAC ACB B πππππ∠=-∠-∠=--=，6B π∠=，所以ABC为等腰三角形，从而3BC AC ==，23CD BC ==． 在ACD △中，233ACD ACB ππ∠π∠π=-=-=，由余弦定理，得2AD ===． 16．【答案】（1）3BC =；（2）25． 【解析】在ABC中，因为b =c =45B ∠=︒， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯， 所以2230a a --=，解得3a =或1a =-（舍）， 所以3BC =．（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 45sin C =︒，所以sin 5C =， 在ADC 中，因为()5co 4c s os 180cos A D DB ADB A C -∠=-=∠=-∠， 所以ADC ∠为钝角．而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角，故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠===， ())sin sin 180sin(DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠34sin cos cos sin 55ADC C ADC C =∠∠+∠∠=-=17．【答案】（1）4；（2）存在，4A π=，3B π=． 【解析】（1）因为40sin B c b -=，由正弦定理，得40sin sin sin C B B -=， 又因为02B π<<，所以sin 0B ≠，故sin C =（2）假设存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =由sin C =02C π<<，可得tan 2C =， 因为A B C π+=-，所以()tan 2A B +=- 由()tan 2tan tan ta tan 1n A BB A BA ++==--tan ta 1n A B +=由tan tan tan tan 1A B A B ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩A B <，解得tan 1A =，tan B = 从而4A π=，3B π=，故存在4A π=，3B π=满足题意．18．【答案】（1）3A π=；（2）56π．【解析】（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，sin 0B ≠，∴1cos 2A =， 由()0,A π∈，则3A π=．（2）如图，在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D π=⨯⨯=△， 1=sin sin2BDCSBD DC D D ⨯⨯⨯=，∴2sin 2sin 3ABDC S D D D π⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭四边形， ∴sin()13D π-=， (0,)D π∈，即56D π=．19．【答案】（1）3π；（2）若选择①，ABC 的周长为9．若选择②，ABC 的周长为62+．若选择③，ABC 的周长为3．【解析】（1）因为)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-，利用正弦定理边化角可得)()n sin sin si sin 1cos cos B C A C C A C -=-， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，n sin si 1cos cos B C A A C -=-，即cos cos sin sin 1A C C A B -+=，所以cos()1A C B +=， 又A B C π++=，则A C B π+=-， 所以cos()cos()cos A C B B π+=-=-，cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，因为(0,)B π∈，则5(,)666B πππ-∈-，所以66B ππ-=或566B ππ-=（舍），解得3B π=． （2）若选择①，则1sin 2ABCSac B ==，所以9ac =， 又22222()21cos 222a c b a c ac b B ac ac +-+--===，且3b =，所以2()1891182a c +--=，解得6a c +=，所以ABC 的周长639=+=．若选择②：因为sin sin a b A B=，所以3sin sin b Aa B ===又22221cos 22a cb B ac +-===， 因为0c >，解得2c +=， 所以ABC的周长6322=+=． 若选择③：22222491cos 2222a cbc c B ac c c +-+-===⨯⨯， 因为0c >，解得c =2a c == 所以ABC的周长33=．20．【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈，max 4S =． 【解析】（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选②，由二倍角公式2cos12sin 24A A =-=，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选③，由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0180A ︒︒<<，sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，由180A B C ++=，可得sin cos 22B C A +=，故cos 2sin cos 222A A A=，因为0902A ︒<<︒，cos 02A ≠，故1sin ,22A =26A π=，因此60A =︒．（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，sin 3m π=0m >，故2m =或0m <≤({}2m ∴∈，①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以111222S ac ==⋅=；②当0m <≤3,3a A π==，由余弦定理可得2222cos 2a b c bc A bc bc bc =+-≥-=，3bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立，∴三角形面积为11sin 322S bc A =≤⨯=，即ABC 面积的最大值max S =，综上，ABC 面积的最大值max 4S =．21．【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5． 【解析】删①．（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得m =． 删②，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅， 即2796cos60AD AD =+-⋅︒，解得1AD =或2AD =， 则2AC =或4，有2解，不满足题意． 删③，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意． 删④．（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅，同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=，解得1x =，2AC ∴=． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得5m =． 22．【答案】（1）3π；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由正弦定理得(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=， 因为sin 0B >，所以cos 1A A +=， 所以1sin()62A π-=，因为(66A ππ-∈-，5)6π，所以66A ππ-=，所以3A π=． （2）1sin sin sin()122sin sin sin 2C Cb B A Cc C C C +====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<， 所以62C ππ<<，所以tan C >，所以112222tan C <+<，即b c 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 23．【答案】（1）条件性选择见解析，3C π=；（2）(4,6]．【解析】（1）选①，sin cos c B C =，由正弦定理得sin sin cos C B B C =，因为sin 0B >，所以sin C C =，即tan C = 由C 为三角形内角得，3C π=．选②，232cos sin(2)2cos 2C C C π--=， 22cos cos 22cos C C C +=，整理得1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=．选③，sin cos sin ABC S CA CB C ba C C =⋅⋅=△，由三角形面积公式得1cos sin sin 2ab C C ab C =，故1cos 2C =， 由C 为三角形内角得，3C π=．（2）因为2c =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，故24()3a b ab =+-， 所以22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⨯，当且仅当a b =时取等号，解得4a b +≤，因为2a b c +>=，故24a b <+≤， ABC 周长a b c ++的取值范围(4,6]．24．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】（1）在ABD 中，6BAD π∠=，AB =4AD =，2222cos 4BD AD AB AD AB BAD ∴=+-⋅⋅∠=，2BD ∴=．（2）由（1）知222AB BD AD +=，2ABD π∴∠=， 令CBD θ∠=，由2BCD π∠=，0,2πθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 则2cos BC θ=，2sin CD θ=．若选①：112sin 2cos 2sin 222ABCD ABD BCD S S S θθθ∆∆=+=⨯⋅+⨯=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴由0sin 21θ<≤，可知四边形ABCD 的面积的取值范围是(+． 若选②：2sin 2cos 444ABCD C AB BC CD DA πθθθ⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 124πθ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，64ABCD C ∴+<≤，∴四边形ABCD 的周长的取值范围是(64⎤⎦+． 若选③：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2124cos 22cos cos 2πθθθ⎛⎫=+-⨯⋅+ ⎪⎝⎭2cos 4cos 1222cos 214θθθθθ=⋅++=++2214θθ⎫=++⎪⎪⎭，令sinϕ=cos ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2214AC θϕ=++， 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ϕθϕπϕ∴<+<+，()sin 2113θϕ∴-<+≤，21214AC ∴<≤，1AC ∴<≤，∴四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围是(1⎤⎦． 25．【答案】条件选择见解析；（1）3C π=；（2）()2,4-．【解析】（1）选择条件①： 解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =． 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =．又()0,C π∈，所以3C π=．解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅， 即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===． 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件②： 因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件③： 因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()i 1sin s n s s 12i in 2n C A B C ab c a b c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．（2）因为2c =，所以2sin 3sin 3c C π==，从而2sin sin 33333a b A B A A π⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为203A π<<，所以662A πππ-<-<， 从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为()2,4-．。

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

三角形概念及三边关系（6种题型）【题型目录】题型1：三角形的识别与有关概念题型2：三角形的分类题型3：三角形个数问题题型4：构成三角形三边条件题型5：确定第三边取值范围题型6：三角形三边关系应用【知识梳理】一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．.二．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【考点剖析】题型1：三角形的识别与有关概念一、单选题1．（浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。

2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C【分析】根据三角形的定义解答即可．【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．二、填空题3．如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角．【答案】3; △ABC或△ABD.【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．由三角形内角的定义进行填空．【详解】图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个．∠B是△ABC和△ABD的内角．故答案是：3，△ABC和△ABD.【点睛】本题考查了三角形．填第一个空的难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏．题型2：三角形的分类一、单选题1．（浙江·八年级期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【分析】根据图中信息即可判定．【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角． 2．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知，ABC 中，::6:3:1A B C ∠∠∠=，则ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状无法判断【答案】A【分析】根据::6:3:1A B C ∠∠∠=，设出各角的度数，结合三角形内角和定理求出各角，再根据三角形分类特征判定即可．【详解】解：∵::6:3:1A B C ∠∠∠=，∴可设6,3,A x B x C x ∠=∠=∠=，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴63180x x x ++=︒，解得：18x =︒，∴108,54,18A B C ∠=︒∠=︒∠=︒．∴ABC 是钝角三角形．故选：A【点睛】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形内角和定理，根据各角比例设未知数求解各个角的度数是解决问题的关键．二、填空题3．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）在ABC 中，::1:3:2A B C ∠∠∠=，则ABC 是__________三角形．【答案】直角【分析】根据三角形内角和为180度，结合已知条件求出A B C ∠∠∠，，的度数即可得到答案．【详解】解：∵::1:3:2A B C ∠∠∠=，∴设32A x B x C x ∠∠∠===，，，∵180A B C ∠∠∠++=︒，∴6180x =︒，∴30x =︒，∴309060A B C ∠∠∠=︒=︒=︒，，，∴ABC 是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理及列出一元一次方程是解题的关键．题型3：三角形个数问题一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，以AB 为边的三角形的个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB 为边的三角形．【详解】解：以AB 为边的三角形的有△ABC ，△ABD ，△ABF ，△ABE ，一共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．2．（浙江·八年级期末）如图，图中以AB 为边的三角形的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用三角形定义解答即可．【详解】解：以AB 为边的三角形有△ABD ，△ABC ，共2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．3．（浙江杭州·八年级校考阶段练习）图中钝角三角形有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据钝角三角形的定义即可解决问题，三角形按角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形【详解】△ABD、△ACF与△ABF是钝角三角形【点睛】本题关键是知道大于90°小于180°的角为钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形.二、填空题【答案】6【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．5．（浙江·八年级统考阶段练习）某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有_____个三角形出现．【答案】0或3或4或8 ．【分析】根据条件，画出符合条件的图形，再数三角形的个数即可．【详解】（1）当四个点有两个点在一直线时，把这四个点彼此连接，会连成一个四边形，如图，四边形的两条对角线将这个四边形分成三角形的个数是：4个，1和2，2和3，3和4，4和1，每两个小三角形可以组成大点的三角形的个数是：4个，这个图形中三角形的个数是：4+4=8（个）；（2）当三个点在一条直线时，如图，会连成一个大三角形，这个图形中一共有3个三角形；（3）如下图，把这四个点彼此连接，连成一个图形，这个图形中一共有4个三角形；（4）当四点在一条直线上时，则是一条线段，没有三角形；故答案为0或3或4或8【点睛】本题考查排列组合图形的计数．根据条件，画出符合条件的图形是解题关键.题型4：构成三角形三边条件1．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（）A．3，3，4B．4，9，5C．5，18，8D．9，15，3【答案】A【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．+>，所以能构成三角形，故符合题意；【详解】解：A、334+=，所以不能构成三角形，故不符合题意；B、459+<，所以不能构成三角形，故不符合题意C、5818+<，所以不能构成三角形，故不符合题意；D、3915故选：A．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．2．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）下列各条线段的长能组成三角形的是（）A．5，7，12B．5，12，16C．2，3，6D．5，5，12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案．+=，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；【详解】解：A、5712B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确；+=<，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；C、2356+=<，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误，D、551012故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，3，5D．3，5，9【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．+=，不能组成三角形，故不符合题意；【详解】解：A、123+=>，能组成三角形，故符合题意；B、3475+=，不能组成三角形，故不符合题意；C、235+=<，不能组成三角形，故不符合题意．D、3589故选：B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键． 4．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．3,3,5a cm b cm c cm ===B ．3,4,8a cm b cm c cm ===C ．2,3,5a cm b cm c cm ===D ．4,4,9a cm b cm c cm ===【答案】A【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】A ．∵335+>，∴3,3,5a cm b cm c cm ===能组成三角形，故符合题意；B ．∵348+<，∴3,4,8a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；C ．∵235+=，∴2,3,5a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；D ．∵449+<，∴4,4,9a cm b cm c cm ===不能组成三角形，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．题型5：确定第三边取值范围【答案】C【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可．【详解】解：∵853−=，8513+=，∴5cm <第三边13cm <，纵观各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是6cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键．6．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形的两边长分别为4，9，则第三边长不可能是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．【详解】解：∵三角形的两边长分别为4，9，∴第三边长x 的范围是9494x −<<+，即513x <<，∴不可能是15，故选D ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．二、填空题 7．（2022秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在ABC 中，6AB =，8BC =，则AC 的长x 的取值范围是______．【答案】214x <</142x >>【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．【详解】解：在ABC 中，6AB =，8BC =，8686AC ∴−<<+，即：214x <<，故答案为：214x <<．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．8．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）已知三角形三边长分别为4，9，x ，则x 的取值范围是________．【答案】513x <<【分析】根据三角形的三边关系解答即可．【详解】解：三角形三边长分别为4，9，x ，则x 的取值范围是9494x −<<+，∴513x <<，故答案为：513x <<．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．9．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）在ABC 中，68AB BC ==，，则AC 的长x 的取值范围是______．【答案】214x <</142x >>【分析】直接利用三角形的三边关系写出答案即可．【详解】解：∵在ABC 中，68AB BC ==，，∴8686x −<<+，即：214x <<，故答案为：214x <<．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的两边之和大于第三边，难度不大．题型6：三角形三边关系应用10．（浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝2，并且AC 为偶数，求△ABC 的周长．【答案】18【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．【详解】根据三角形的三边关系得：8﹣2＜AC ＜8+2，即6＜AC ＜10，∵AC 为偶数，∴AC ＝8，∴△ABC 的周长为：8+2+8＝18．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．11．（浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|．【答案】4【分析】由三角形的三边关系可以得到a 的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解．【详解】解：由三角形三边关系得： 2<a-1<6，得 3<a<7则原式=a-3+7-a=4．【点睛】本题考查三角形和绝对值的综合应用，熟练掌握三角形的三边关系和绝对值的意义是解题关键．12．（浙江杭州·八年级阶段练习）若一个三角形的两边分别为2和8,而第三边长为奇数,求此三角形的周长.【答案】17或19【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．【详解】设第三条边长为x,则,第三条边长为奇数,所以三角形的周长为2+8+7=17或2+8+9=19.【点睛】本题主要考查了三角形中三边的关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系.【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）图中三角形的个数是()A．8B．9C．10D．11【答案】B【详解】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形.故选B.2．（浙江台州·八年级校考阶段练习）以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（）A．由三个角组成的图形叫三角形B．由三条线段组成的图形叫三角形C．由三条直线组成的图形叫三角形D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形【答案】D【分析】根据三角形的定义判断即可.【详解】解：三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形，故A，B，C错误，D正确，故选D.【点睛】本题考查了三角形的定义，熟记三角形定义是解题关键.3．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．2，5，10D．8，4，4【答案】A【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．+，能构成三角形，故选项符合题意；【详解】A、23>4+=，不能构成三角形，故选项不符合题意；B、235+<，不能构成三角形，故选项不符合题意；C、2510+=，不能构成三角形，故选项不符合题意．D、448故选：A．【点睛】熟练的掌握判断以三条线段为边能否构成三角形的方法是解本题的关键．4．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）下列三条线段的长度能构成三角形的是（）A．1，2，3B．2，2，4C．2，9，6D．4，6，9【答案】D【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．+=，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；【详解】解：A、123+=，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、224+<，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；C、269+>，能够组成三角形，故本选项符合题意．D、469故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题目，熟知三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．5．（浙江杭州·八年级期中）如果三角形的三个内角的比是3，4，7，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【分析】设三个角分别为：3x，4x，7x．根据三角形的内角和定理得3x+4x+7x=180°，可得到x的值，即可得到7x的值，于是可判断三角形的形状．【详解】解：设三个角分别为：3x，4x，7x．∵3x+4x+7x=180，∴x=90 7，∴7x=90°，所以此三角形为直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．同时考查了三角形的分类．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】C【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，转化为解一元一次方程．【详解】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴三个内角的度数为36°，54°，90°，故三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，涉及一元一次方程的解法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．7．（浙江·八年级校考阶段练习）图中，三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【详解】解：图中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5个．故选A．【点睛】此题考查三角形，解题关键在于掌握其性质.8．（浙江宁波·八年级校考期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（）对．A．8B．16C．24D．32【答案】D【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；以CO为公共边的三角形有：△COD△COB；以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．共32对．故选：D．【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形有_____个．【答案】3【分析】先根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，再求出符合条件的x 的值即可．【详解】解：∵三角形三边长分别为2，x ，13，∴132132x −<<+，即1115x <<，∵x 为正整数，∴x 可以为12、13、14，共3个．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是理解和掌握三角形三边的关系． 11．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三角形周长为______．【答案】13【分析】利用三角形三边长之间的关系解题即可．【详解】解：∵三角形两边的长分别为1和6，∴第三边的边长大于5，小于7，∵ 第三边长为整数，∴第三边边长为：6，周长为：16613++=，故答案为：13．【点睛】本题主要考查三角形三条边边长之间的关系，能够熟练利用边长之间的关系求出第三条边是解题关键．12．（2022秋·浙江·八年级期末）已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是______．【答案】3＜x ＜7【分析】根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和解答．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜x ＜2+5，即：3＜x ＜7．故答案为：3＜x ＜7．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．13．（浙江台州·八年级校联考阶段练习）在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是______三角形．【答案】钝角【分析】根据三角形的内角和定理可计算求解．【详解】解：设三角形的内角为别为x ，2x ，6x ，26180x x x ++=︒，解得20x =︒，∴2x=40°,6x=120°，∴这个三角形的最大的内角的度数是120︒，是钝角三角形．故答案为：钝角．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．【答案】15c ＜＜/51c >>()220b −=可得3a =，2b =，再利用三角形的三边关系可得答案．【详解】解：()220b −=， ∴30a −=，20b −=，∴3a =，2b =，∵a ，b ，c 为三角形的三边长，∴1 5.c ＜＜故答案为：1 5.c ＜＜【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非负数的性质求解3,2a b ==是解本题的关键． 三、解答题15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知三条线段3a =，5b =，7c =，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由．【答案】能，理由见解析【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断．【详解】∵c 是最长线段，而8a b c +=>∴以这三条线段为边能构成三角形【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形．【答案】2a.【分析】通过三角形的三边关系可得a+b-c 和b-a-c 的符号，再去绝对值解题即可. 【详解】由三角形三边关系知，a b c +>，b a c −<，∴()2a b c b a c a b c c b a a +−+−−=+−+−−=.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，及去绝对值运算，解本题的关键是结合三边关系来正确的去绝对值.【答案】（1）（28－3a ）；（2）不可以，理由见解析.【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长；（2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可.【详解】解：（1）∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a 米∴第二条边长为（2a+2）米，由题意可知：第三条边长为[30－a －（2a+2）]=（28－3a ）米；（2）若a=7，则第二条边长为（2×7+2）=16米，第三条边长为（28－3×7）=7米∵7＋7＜16∴此时不能构成三角形，∴第一条边长不可以为7米.【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键.18．（浙江湖州·八年级统考阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？【答案】能，理由见解析【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】解：∵9+18=27＞26，∴这三条线段能构成三角形的三边．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．19．（浙江·八年级统考期中）已知：如图，P是ABC内一点．+>+．求证：AB AC PB PC【答案】见解析．【详解】试题分析：首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD 然后把两个不等式相加整理后可得结论．试题解析：证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．。

a60第4题图NPOA第六讲：三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。

它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。

另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。

三角形中有三条边，三个角，三个顶点。

重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分 （1）(2)例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。

答案B练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射 线ON 上运动），∠AON ＝600，填空： （1）当OP ＝时，△AOP 为等边三角形；（2）当OP ＝时，△AOP 为直角三角形；（3）当OP 满足时，△AOP 为锐角三角形； （4）当OP 满足时，△AOP 为钝角三角形。

答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2重点：掌握三角形三条重要线段的概念 难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

专题01 全等三角形的性质考点类型知识串讲（一）全等图形（1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.（2）全等图形特征：①形状相同。

②大小相等。

③对应边相等、对应角相等。

小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。

（二）全等三角形（1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作: ∆ABC ≌∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’（三）全等三角形的性质①全等三角形的对应边、对应角相等．②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．③全等三角形的周长等、面积等．考点训练考点1：全等图形的识别典例1：（2023春·全国·七年级专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．【变式2】（2022秋·江苏·八年级期中）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式3】（2022秋·八年级课时练习）下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）考点2：网格图中的角度问题典例2：（2023春·七年级课时练习）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=___________度．【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=__________度．【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.【变式3】（2022·河南南阳·模拟预测）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点3：全等三角形的对应元素典例3：（2023春·七年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠α=______°【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC与△BAD全等，可表示为________，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________．【变式2】（2021秋·八年级单元测试）以下说法中，正确的是（填写序号）__________．①周长相等的两个三角形全等；②有两边及一角分别相等的两个三角形全等；③两个全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等．【变式3】（2019秋·八年级单元测试）如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．典例4：（2022秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，△CDF≌△BAE．BC=15cm,EF =3cm，那么CE的长为________cm．【变式1】（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）如图，点A坐标为(―1,0)，点B坐标为(0,2)，若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为________．【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=90°，则∠EAC的度数为_____．【变式3】（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE =65°，则∠CAF的度数是_____．典例5：（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．【变式1】（2022春·广东深圳·七年级校联考期中）如图所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥CD．(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度．【变式2】（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，求证：(1)AF∥DE、BF∥CE；(2)AC=BD【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E 在边BC上，AB与DE交于点F．求证：∠CAE=∠BAD考点6：全等三角形的性质应用——位置关系典例6：（2022秋·全国·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且△ACO≌△BDO．证明：(1)点C，O，D在同一直线上；(2)AC∥BD．【变式1】（2023秋·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知△ABC≌△DEC，且点B，C，D在同一条直线上，延长DE 交AB于点F．(1)求证：DF⊥AB；(2)已知BD=8，CE=3，求AE的长度．【变式3】（2023秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC．（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．同步过关一、单选题1．（2023秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC ≌△ADE，点D 落在BC 上，且∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于（）A．50°B．55°C．65°D．70°2．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（）A．B．C．D．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图：△ABC≌△ADE，∠C=115°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．105°D．115°4．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（）A．B．C．D．5．（2022秋·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．76°B．60°C．54°D．50°6．（2023·上海·九年级专题练习）如图，ΔABC≌ΔADE，∠B=100°，∠BAC=40°，则∠AED=（）A．70°B．45°C．40°D．50°7．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，ΔABC≌ΔADE，已知在ΔABC中，AB边最长，BC边最短，则ΔADE中三边的大小关系是（）A．DE<AE<AD B．AD<AE<DE C．AE<AD<DE D．AD=AE=DE8．（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学阶段练习）用两个全等的直角三角形，拼下列图形，①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是（）A．①②③B．②③C．③④⑤D．③④⑥9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D=70°，∠CAB=50°，那么∠DAB=（）A．80°B．70°C．60°D．50°10．（2023秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△DCB，点A．D是对应点，若AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，则CD的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm11．（2022秋·八年级单元测试）已知：如图，点D、E分别在AB、AC边上，△ABE≌△ACD，AC=15，BD=9，则线段AD的长是（）A．6B．9C．12D．1512．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．75°13．（2023·台湾·中考真题）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（ ）A．∠B=∠C B．AD15．（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则A．2B．2二、填空题16．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠BAE 的度数为______°．17．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期中）如图所示，在四边形ABCD中，△ABD≌△CDB,AB=4cm,BD=3.5 cm,AD=2cm,则CD的长为___________cm．18．（2023秋·江苏南京·八年级统考期中）如图，△ABC≌△BDE，点B、C、D在一条直线上，AC、BE交于点O，若∠AOE=95°，则∠BDE=_____°．19．（2022秋·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为________°．20．（2023秋·云南普洱·八年级校考期中）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=_____o．21．（2023秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠C＝80°，则∠DEB ＝_____．22．（2023秋·广东东莞·八年级统考期末）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A=53°，∠B=22°，则∠C=__________°．23．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）.已知△ABC≅△A′B′C′,△A′B′C′的周长为32cm,A′B′=9cm,B′C′=12cm,则AC =_______.24．（2022·山东济宁·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为AB边上一点，将△APB 沿PB翻折，点A落在点A′处，当点A′在矩形的对角线上时，AP的长度为______．25．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝9，延长BC到E，使CE＝3，连接DE.动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，当t为______秒时，以P、A、B三点构成的三角形和△DCE全等.三、解答题26．（2023春·七年级课时练习）如图，若△ADE≌△BCE，∠1与∠2是对应角，AD与BC是对应边，写出其他的对应边及对应角．27．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．28．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC ＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．29．（2022秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC≌△DEF，∠B=∠E=90°，∠A=61°，AB=5，BC=9，CF=6．(1)求∠D，∠DFE的度数；(2)求线段DE，CE的长．30．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，点C在线段AB上，△ACD≌△BEC，∠A=60°，求证：△DCE是等边三角形．31．（2023秋·全国·八年级期末）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝80°，∠E＝40°，求∠CDE的度数．32．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≅△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？请说明理由．33．（2022秋·陕西安康·八年级统考期中）如图已知△ABC≌△EFC，且点B、C、E在一条直线上，CF=5 cm，∠EFC=52∘，求∠A的度数和BC的长．34．（2023春·七年级课时练习）如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B=∠D=90°,ΔABC≅ΔCDE,AB=5，BC=12,CE=13．(1)求△ABC的周长．(2)求△ACE的面积．35．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．求∠B的度数．。

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编6-三角函数（含解析）一、单选题1．（2022·天津·统考高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·统考高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·浙江·统考高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．（2022·北京·统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-6．（2022·全国·统考高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦7．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 8．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 9．（2022·全国·统考高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．1210．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：22CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-11．（2022·全国·统考高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．32C ．52 D ．312．（2021·北京·统考高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为9813．（2021·全国·统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ） A ．12B 3C 22D 314．（2021·全国·统考高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭15．（2021·全国·高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A 15B 5C 5D 1516．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+17．（2021·全国·统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和218．（2021·全国·统考高考真题）已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨19．（2020·山东·统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角20．（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥21．（2020·天津·统考高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③22．（2020·北京·统考高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭23．（2020·全国·统考高考真题）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A ．53B ．23C ．13D ．5924．（2020·全国·统考高考真题）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π225．（2020·全国·统考高考真题）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<026．（2019·全国·高考真题）若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．1227．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │28．（2019·北京·高考真题）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β29．（2019·天津·高考真题）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．230．（2019·全国·高考真题）函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．31．（2019·全国·高考真题）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③32．（2019·全国·统考高考真题）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④33．（2018·全国·高考真题）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π34．（2018·天津·高考真题）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 35．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH36．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4π B ．2π C ．πD ．2π37．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为438．（2018·全国·高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．139．（2018·天津·高考真题）将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减二、多选题40．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线32y x =-是曲线()y f x =的切线 41．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -三、填空题42．（2022·全国·统考高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．43．（2022·浙江·统考高考真题）若3sin sin 10,2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．44．（2021·北京·统考高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．45．（2021·全国·高考真题）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.46．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．47．（2020·山东·统考高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .48．（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．49．（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．50．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 51．（2020·全国·统考高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 52．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 53．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 54．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 55．（2018·江苏·高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．56．（2018·北京·高考真题）设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．57．（2018·全国·高考真题）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．58．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．四、解答题59．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+60．（2021·浙江·统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.61．（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π 712π56πx ωϕ+0 2ππ32π2πsin()A x ωϕ+3-3根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.62．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．63．（2020·全国·统考高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 64．（2019·天津·高考真题） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.65．（2019·浙江·高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 66．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．67．（2018·北京·高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，3sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()312f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确； 由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确． 故选：A ． 2．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 3．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.4．C【分析】化简得出()cos2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对； 对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C. 5．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D6．C【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ． 7．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3y x =的图象． 故选：D.8．A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 9．C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C. 10．B【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以(22222CD s AB OA=+=+=故选：B .11．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 12．D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 13．D【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D. 14．B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B. 15．A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin αα∴=-=sin 15tan cos ααα∴==. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.16．C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 17．C【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sin cos 223s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T故选：C ． 18．A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ． 19．D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D. 20．D【分析】本题可通过43>、12<、45、cos 1≤x 、20x ≥得出结果.【详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误；D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D. 21．B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.22．A【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆心角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为 302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos απαα∈∴=-=故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 24．C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 25．D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 26．A【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题． 27．A【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数； 28．B【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 29．C【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=； 又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴== 2ω=，2A =，又()24g π=∴()2sin 2f x x =，3() 2.8f π= 故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ． 30．D【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 31．C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，f x 的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．32．D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]xπ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 33．A【详解】因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊆-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选：A. 34．A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35．C【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.36．C【详解】分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可详解：由已知得()221f sin2,1221()sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 37．B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 38．B【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=，从而确定选项. 【详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =， 因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 39．A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数25y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 40．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ， 又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z , 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-． 故选：AD ． 41．BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 42．3【分析】首先表示出T ，根据()f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）。

第六期：三角形三角形、三角形的全等和等腰三角形是几何知识的基础，也是中考的重点知识，在中考中的出现形式也比较新颖，有探索题、开放题，分值一般在6-9分左右，有时还会与相似相结合。

知识梳理知识点1：三角形例1：如图所示，图中三角形的个数共有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个思路点拨：.图中的三角形有△ABD, △ACD，△ABC，注意若BC边上有多个点，A点与这些点连接后，用分类方法来寻找三角形则简单些.答案：C．例2：下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．1cm，2cm，5cm B．4cm，8cm，12cmC．5cm，5cm，15cm D．6cm，8cm，9cm思路点拨：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.答案：D．例3：如图，在△ABC中，∠A＝ ．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2010，得∠A2010．则∠A2010＝．思路点拨：根据外角的性质∠A=∠ACD-∠A BC, ∠A1=∠A1CD-∠A1BC,,而且∠ACD=2∠A1CD，∠A BC=2∠A1BC，所以∠A=2∠A1，同理∠A1=2∠A2，以此类推.答案：20092α练习 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是()A ．1cm ， 2cm ， 3．5cmB ．4cm ， 5cm ， 9cmC ．5cm ，8cm ， 15cmD ．6cm ，8cm ， 9cm2.如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝40°，延长CB 到D ，则∠ABD ＝ 度．答案：1. D 2. 100°最新考题1．（2010·山西省太原市）如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.52.（2010·福建省龙岩市）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．（2010·辽宁省铁岭市）如图所示，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°， 则E ∠的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°答案：1. D 2. D 3. B知识点2：全等三角形C BB 'A '例1：如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠= ，35D ∠= ，则AEC ∠等于（ ）A ．60B ．50C ．45D ．30答案：A.例2：如图2，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠=__________度．思路点拨：折叠得到全等图形，对应的边、角相等，等腰三角形判定与性质。

专题1.6 角角边判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 角角边判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE ≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式1-1】（2020秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件，则可由ASA 证明△ABC≌△DCB．【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式1-2】（2020秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE 于点F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△BED．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：添加的条件是：BC＝ED，在△ABC 和△BED 中，{AB =BE ∠ABC =∠E BC =ED，∴△ABC ≌△BED （SAS ）．添加的条件是：∠A ＝∠EBD ，在△ABC 和△BED 中，{∠A =∠EBD AB =BE ∠ABC =∠E，∴△ABC ≌△BED （ASA ）．添加的条件是：∠ACB ＝∠D ，在△ABC 和△BED 中，{∠ACB =∠D ∠ABC =∠E AB =BE，∴△ABC ≌△BED （AAS ）．故答案为：BC ＝DE 或∠A ＝∠EBD 或∠ACB ＝∠D ．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．【变式1-3】（2020秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC 的是（ ）A ．AB ＝6，BC ＝5，∠A ＝50°B ．∠A ＝50°，∠B ＝80°，BC ＝8 C ．AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13D ．∠A ＝40°，∠B ＝50°，∠C ＝90°【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A 、已知AB 、BC 和BC 的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B 、已知两角和一边，能画出唯一△ABC ，故本选项符合题意；C 、∵AB +BC ＝5+6＝11＜AC ，∴不能画出△ABC ；故本选项不符合题意；D 、根据∠A ＝40°，∠B ＝50°，∠C ＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【题型2 角角边判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2019秋•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是．【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，{∠B=∠C∠ACB=∠ADE AB=AE，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．【变式2-1】（2020秋•黄陂区期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是．【分析】根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等，根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】解：∵在△ABE和△DCE中{∠AEB=∠DEC，AB=DC∴△ABE≌△DCE（AAS）；∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°，故答案为：25°【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据AAS推出△ABE和△DCE全等．【变式2-2】（2020秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB ＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，{∠C=∠EDE=BC，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．【变式2-3】（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠C的度数．【分析】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中{∠B=∠ADE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【题型3 角角边判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2020秋•合浦县期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（）A．3B．4C．5D．6【分析】证△ABC≌△DEF（AAS），得出BC＝EF，则BF＝CE＝5m，由FC＝BE﹣BF﹣CE即可得出答案．【解答】解：∵AB ∥DE ，AC ∥DF ，∴∠B ＝∠E ，∠ACB ＝∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E ∠ACB =∠DFE AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴BC ＝EF ，∴BC ﹣FC ＝EF ﹣FC ，即BF ＝CE ＝5m ，∴FC ＝BE ﹣BF ﹣CE ＝14﹣5﹣5＝4（m ）；故选：B ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-1】（2020秋•南京期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是CB 延长线上的点，BD ＝BA ，DE ⊥AC 于E ，交AB 于点F ，若DC ＝2.6，BF ＝1，则AF 的长为（ ）A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.6【分析】根据AAS 证明△DBF 与△ABC 全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE ⊥AC 于E ，∴∠FDB +∠C ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠D +∠DFB ＝90°，∴∠C ＝∠BFD ，在△DBF 与△ABC 中，{∠C =∠BFD ∠ABC =∠DBF =90°AB =DB，∴△DBF ≌△ABC （AAS ），∴BF ＝BC ，∵DC ＝2.6，BF ＝1，∴AF ＝AB ﹣BF ＝BD ﹣BF ＝DC ﹣BF ﹣BF ＝2.6﹣1﹣1＝0.6，故选：A ．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【变式3-2】（2020秋•陇县期末）如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ，CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ．若CE ＝6，BF ＝3，EF ＝2，则AD 的长为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【分析】由“AAS ”可证明△ABF ≌△CDE ，可得AF ＝CE ＝6，BF ＝DE ＝3，即可求AD 的长．【解答】解：∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠A +∠D ＝90°，∠C +∠D ＝90°，∠CED ＝∠AFB ＝90°，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CDE 中，{∠A =∠C ∠AFB =∠CED =90°AB =CD，∴△ABF ≌△CDE （AAS ），∴AF ＝CE ＝6，BF ＝DE ＝3，∴AD ＝AF ﹣EF +DE ＝6﹣2+3＝7．故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF ≌△CDE 是本题的关键．【变式3-3】（2020秋•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB ＝∠DBC ＝90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点F ，且AB ＝DE ．若BD ＝8cm ，则AC 的长为 ．【分析】由DE ⊥AB ，可得∠BFE ＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC +∠DEB ＝90°，由∠ACB ＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC +∠A ＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A ＝∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD ＝BC ，AC ＝BE ，由E 是BC 的中点，得到BE =12BC =12BD ＝4．【解答】解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE ＝90°，∴∠ABC +∠DEB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ABC +∠A ＝90°，∴∠A ＝∠DEB ，在△ABC 和△EDB 中，{∠ACB =∠DBC ∠A =∠DEB AB =DE，∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝BC ，AC ＝BE ，∵E 是BC 的中点，BD ＝8cm ，∴BE =12BC =12BD ＝4cm ．故答案为：4cm【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．【题型4 角角边判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可，利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB ∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式4-1】（2021春•深圳期中）如图，把一个长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，测得BM ＝6m ，梯子沿墙下滑到CD 位置，测得∠ABM ＝∠DCM ，DM ＝8m ，求梯子下滑的高度．【分析】由全等三角形的判定定理AAS 得到△ABM ≌△DCM ，则其对应边相等：BM ＝CM ，AM ＝DM ，故AC ＝DM ﹣BM ＝2m ．【解答】解：∵在△ABM 与△DCM 中，{∠AMB =∠DMC∠ABM =∠DCM AB =DC，∴△ABM ≌△DCM （AAS ），∴BM ＝CM ＝6m ，AM ＝DM ＝8m ，∴AC ＝AM ﹣CM ＝2m ．即梯子下滑的高度是2m ．【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．【变式4-2】（2020春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN 的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A ，B 两地，两车行进的路线平行．那么A ，B 两地到路段MN 的距离相等吗？为什么？【分析】要判断A ，B 两地到路段MN 的距离是否相等，可以由条件证明△AEM ≌△BFN ，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：A ，B 两地到路段MN 的距离相等．理由：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，∴∠AFN ＝∠AEM ＝90°．∵AM ∥BN ，∴∠M ＝∠N ．在△AEM 和△BFN 中，{∠AEM =∠BFN ∠M =∠N AM =BN，∴△AEM ≌△BFN （AAS ），∴AE ＝BF ．∴A ，B 两地到路段MN 的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．【变式4-3】（2020秋•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD 的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，{∠ACB =∠A′FB ∠2=∠3AB =A′B，∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）；∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ，∴CD ＝AE ＝1.5；∴BC ＝BD ﹣CD ＝2.5﹣1.5＝1（m ），∴A 'F ＝1（m ），即A '到BD 的距离是1m ．（2）由（1）知：△ACB ≌△BF A '∴BF ＝AC ＝1.5m ，作A 'H ⊥DE ，垂足为H ．∵A 'F ∥DE ，∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD ﹣BF ＝2.5﹣1.5＝1（m ），【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【题型5 角角边判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•西城区期末）如图，AB ∥CD ，点E 在CB 的延长线上，∠A ＝∠E ，AC ＝ED ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）连接BD ，求证：∠ABD ＝∠EBD ．【分析】（1）由“AAS ”可证△ABC ≌△ECD ，可得BC ＝CD ；（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD ＝∠CDB ，由平行线的性质和平角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠DCE ，在△ABC 和△ECD 中，{∠A =∠E ∠ABC =∠DCE AC =DE，∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC ＝CD ；（2）如图，连接BD ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∵AB ∥CD ，∴∠ABD +∠CDB ＝180°，又∵∠CBD +∠EBD ＝180°，∴∠ABD ＝∠EBD ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•苏州期末）如图，AD ，BF 相交于点O ，AB ∥DF ，AB ＝DF ，点E 与点C 在BF 上，且BE ＝CF ．（1）求证：△ABC ≌△DFE ；（2）求证：点O 为BF 的中点．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABC ≌△DFE ；（2）由“AAS ”可证△ACO ≌△DEO ，可得EO ＝CO ，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥DF ，∴∠B ＝∠F ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DFE 中，{AB =DF ∠B =∠F BC =EF，∴△ABC ≌△DFE （SAS ）；（2）∵△ABC ≌△DFE ，∴AC ＝DE ，∠ACB ＝∠DEF ，在△ACO 和△DEO 中，{∠ACB =∠DEF ∠AOC =∠DOE AC =DE，∴△ACO ≌△DEO （AAS ），∴EO ＝CO ，∴点O 为BF 的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式5-2】（2020秋•宽城区期中）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BE 、CD 交于点F ，AE ＝AD ，∠1＝∠2．（1）求证：AB ＝AC ；（2）求证：BF ＝CF ．【分析】（1）根据AAS即可证明△ABE≌△ACD，根据该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）欲证明BF＝CF，只需推知∠FBC＝∠FCB即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵{∠1=∠2∠A=∠A AE=AD，∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC．（2）方法一：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠1＝∠2，∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，即∠FBC＝∠FCB．∴BF＝CF．方法二：可用全等证明【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式5-3】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；（2）证明△BDC ≌△FDC （SAS ），由全等三角形的性质得出∠BCD ＝∠FCD ．【解答】证明：（1）∵CE ∥AB ，∴∠ABD ＝∠CED ，∠BAD ＝∠DCE ，∵BD 是△ABC 中AC 边上的中线，∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，{∠ABD =∠CED ∠BAD =∠DCE AD =CD，∴△ABD ≌△CED （AAS ）；（2）∵△ABD ≌△CED ，∴BD ＝DE ，又∵DE ＝DF ，∴BD ＝DF ，∵∠ADF ＝∠CDE ，∠CDE ＝∠ADB ，∴∠ADB ＝∠ADF ，∴180°﹣∠ADB ＝180°﹣∠ADF ，∴∠BDC ＝∠FDC ，在△BDC 和△FDC 中，{BD =DF ∠BDC =∠FDC DC =DC，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠BCD ＝∠FCD ，∴CA 平分∠BCF ．【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【题型6 角角边判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020秋•呼兰区期中）如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ．（1）若∠ABF ＝63°，求∠ADE 的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BF A＝∠AED＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【变式6-1】（2020春•雁塔区校级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD ＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．【分析】在BC 上截取GH ＝GC ，可得△EHC 是等腰三角形，进而得出AB ∥EH ，再证△BDF ≌△HEF （AAS ），通过线段之间的转化即可得出结论．【解答】解：FG ＝BF +CG ，理由如下：在BC 上截取GH ＝GC ，连接EH ，如图所示：∵EG ⊥BC ，GH ＝GC ，∴HE ＝EC ，∴∠EHC ＝∠C ，又AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠EHC ＝∠ABC ，∴EH ∥AB ，∴∠DBF ＝∠EHF ，∠D ＝∠DEH ，∵BD ＝CE ，∴HE ＝BD ，在△BDF 和△HEF 中，{∠DBF =∠EHF ∠D =∠DEH BD =HE，∴△BDF ≌△HEF （AAS ），∴BF ＝FH ，∴FG ＝FH +HG ＝BF +GC ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•华容县期末）如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F ．（1）求证：EF ＝CF ﹣BE ．（2）若点P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【分析】（1）由BE ⊥AP ，CF ⊥AP 可以得出∠AEB ＝∠AFC ＝90°，根据∠BAC ＝90°就可以求出∠BAE ＝∠ACF ，就可以得出△ABE ≌△CAF ，而得出AE ＝CF ，BE ＝AF 得出结论；（2）如图2，同样由BE ⊥AP ，CF ⊥AP 可以得出∠AEB ＝∠AFC ＝90°，根据∠BAC ＝90°就可以求出∠BAE ＝∠ACF ，就可以得出△ABE ≌△CAF ，而得出AE ＝CF ，BE ＝AF 得出结论EF ＝BE +CF ．【解答】解：（1）证明：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°．∴∠F AC +∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE +∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF ．在△ABE 和△CAF 中，{∠AEB =∠AFC ∠BAE =∠ACF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ），∴AE ＝CF ，BE ＝AF ．∵EF ＝AE ﹣AF ，∴EF ＝CF ﹣BE ；（2）EF ＝BE +CF理由：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°．∴∠F AC +∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE +∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF ．在△ABE 和△CAF 中，{∠AEB =∠AFC ∠BAE =∠ACF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ），∴AE ＝CF ，BE ＝AF ．∵EF ＝AE +AF ，∴EF ＝BE +CF ．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．【变式6-3】（2020秋•金东区期中）已知：△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ．（1）如图1，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC ＝45°．求证：①△BDF ≌△ADC ；②FG +DC ＝AD ；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴F A＝FG；∴FG+DC＝F A+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠F AE+∠DFB＝∠F AE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握．。