2020年浙江省杭州高二(下)期中数学试卷解析版

高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则U A =ð （ ） A. {}0,1,2 B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1U A =--ð． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b r 与向量()2,1a =-r是共线向量，且b =r b =v （ ）A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b r 与a r 共线，可设()2,1b λ=-r ，再根据b =r λ的值，即可得出向量b v 的坐标．【详解】由题意，根据b r 与a r共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-r ；又b =r=，解得3λ=±；∴()6,3b =-r或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A.45B. 45-C.35D. 35-【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c r r r 满足||1,||2a b ==r r ，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=r r r r r r ，则||c r的最大值等于（ ）A. 1B. 2C. 1【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c v v v 满足1,2a b ==v v ，0a b ⋅=v v ，可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，由()0c b a c ⋅+-=v v v v，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径则c v的最大值为2r =，【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若FQ =，则AB = （ ）B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =，又由=3k =±，所以21AB x =-== 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)2()log 3f x x x =--，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)2()log 3f x x x =--，定义域为R ，且满足()))()22log 3log 3f x x x x x f x -=-+=+=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____．【答案】 (1). 2i 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i---===---，所以()2212, z i i z =--==故答案为：2i ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log =_____；满足log 1x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 1x <． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log ；把log 1x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得1242lg 21log lg 4lg 24===，由log 1log xx x >=，当01x <<时，得x >1x >时，得1x <<，∴实数x 的取值范围是1x <．故答案为：14；1x <．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a =∴53c e a ====， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=， 设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =， 又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =v ，向量a v在向量b v 上的投影为3，且a b -=v v b =v _____． 【答案】7．【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，然后对a b -=vv 两边平方，可得出2||670b b --=v v ，即可求解b v，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，且a b -=vv则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=vv v v v v v v v v ；整理得2||670b b --=v v ，解得7b =v或1-（舍去）．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置， 可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤， 从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤>令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A =I ，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A，,1,0)B -，0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则0,1),1,2),2)MC PB PC =-=--=-u u u u r u u u r u u u r，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，则1,0,2n ⎛= ⎝⎭r 设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉==u u u u r ru u u u r r u u u u r r 所以直线MC 与平面PBC所成角的正弦值为14．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A 3, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率3c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-， 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+，代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++， 即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x +=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-，恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee ee---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调最新Word增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥； 所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（ ） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（ ） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（ ）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（ ）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（ ）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零 【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（ ）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______． 【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+， 所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A ={2,3，5，9}，集合B ={4,5，6，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {5,9}B. {2,3}C. {1,8，10}D. {4,6，7}2.题中，真命题的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 43. 命题甲：f(x)是R 上的单调递增函数；命题乙：∃x 1<x 2，f(x 1)<f(x 2).则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤20≤x ≤1则z =2x +4y 的最大值是( )A. −4B. 2C. 6D. 85. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：(1)此函数一定有零点；(2)此函数可能没有零点；(3)此函数有奇数个零点；(4)此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 2−1e x，则f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，a =1，b =3，C =60°，则c =( )A. √7B. 7C. √13D. 138.若函数在上可导，下列说法正确的是()A. 若，对任意恒成立，则有B. 若，对任意恒成立，则有C. 若，对任意恒成立，则有D. 若，对任意恒成立，则有9.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1.若二面角C−AB−C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为()．A.B.C.D. 110.双曲线C：x24−y2=1的两条渐近线夹角(锐角)为θ，则tanθ=()A. 815B. 158C. 34D. 43二、单空题（本大题共3小题，共9.0分）11.已知函数f(x)=lnx+ax ，x∈(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤12恒成立，则实数a的取值范围是______．12.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F//BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是______.(写出所有真命题的序号)13. 已知函数f(x)={|2x +1|,x ≤1log 2(x −1),x >1，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等)，则实数x 1+x 2+x 3的取值范围为______．三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14. 已知复数z =i 6+1a+i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部为−1，则a = ，|z|= ． 15. 双曲线x 24−y 212=1的焦距是 (1) ，渐近线方程是 (2) ．16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．17. 设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，则f(f(−1))= (1) ，不等式f(x)≤3的解集是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x.(Ⅰ)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，f(c)=3，c =1，ab =2√3，求a ，b 的值．19. 已知函数f(x)=x +4x (其中常数a >0)．(Ⅰ)求证：f(x)在(0,2]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=√2，a=2，求△ABC面积的最大值．21.已知椭圆的焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于P1，P2，P3，P4试探究1|P1P2|+1|P3P4|是否为定值？并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．22. 已知函数f(x)={−e 2x +bx +c,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1(Ⅰ)若0<b <2e 2，试讨论函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性； (Ⅱ)若函数f(x)在x =0处取得极值1，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2,3，5，9}，集合B={4,5，6，7，9}，∴∁U A={1,2，4，6，7，8，10}，∁U B={1,2，3，8，10}，则(∁U A)∩(∁U B)={1,8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：此题考查四种命题及其真假的判断．故选C．3.答案：A解析：解：根据函数单调性的定义可知，若f(x)是R上的单调递增函数，则∀x1<x2，f(x1)<f(x2)成立，∴命题乙成立．若：∃x1<x2，f(x1)<f(x2)，则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：由已知不等式组得到平面区域如图：z=2x+4y变形为y=−12x+z4，此直线经过图中D(0,2)时，在y轴截距最大即z最大，所以z的最大值为2×0+4×2=8；故选D．先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．5.答案：B解析：解：函数f(x)是定义在R上的奇函数时，此函数一定有零点，因为f(x)在R上有定义，所以f(0)=0，0是f(x)的零点；所以(1)正确，(2)错误；根据奇函数的对称性知，函数f(x)有零点，则零点关于原点对称，再加上原点处，共有奇数个零点；所以(3)正确，(4)错误．综上知，正确的结论是(1)(3)，共2个．故选：B．根据奇函数的定义与性质，对题目中的命题判断正误即可．本题考查了函数的奇偶性与命题真假的判断问题，是基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，当x≥0时，f(x)=x2−1，则区间(0,1)上，f(x)<0，在区间(1,+∞)上，f(x)>0，排除D，e x当x→+∞时，f(x)→0，排除A，故选：C．根据题意，由f(x)满足f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，排除B，再分析f(x)>0与f(x)<0的区间，排除D，又由当x→+∞时，f(x)→0，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．7.答案：A解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用余弦定理列出关系式，将a，b及cos C的值代入即可求出c的值．解：∵在△ABC中，a=1，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1+9−3=7，则c=√7．故选A．8.答案：D解析：构造函数则函数为单调递增，A错误构造函数，则函数单调递减B错误构造函数则函数为单调递增，，C错误则函数 为单调递减 ，D 正确9.答案：A解析：取AB 中点D ，连接CD ，C 1D ，则∠CDC 1是二面角C −AB −C 1的平面角． 因为AB =1，所以CD =，所以在Rt △DCC 1中，CC 1=CD ·tan 60°=×=，C 1D ==．设点C 到平面C 1AB 的距离为h ， 由VC −C 1AB =VC 1−ABC ，得××1×ℎ=××1××，解得ℎ=.故选A10.答案：D解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到． 解：双曲线C ：x 24−y 2=1的两条渐近线分别为y =±12x ，则斜率分别为−12，12． 由两直线的夹角公式可得， tanθ=|12−(−12)1+12×(−12)|=43．故选D ．11.答案：a≥12解析：解：由f(x)=lnx+ax ，(a>0)，得到f′(x)=x−ax2∴f′(x0)=x0−ax02，且以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立则f′(x0)=x0−ax02≤12在(0,3]上恒成立，即a≥x0−12x02在(0,3]上恒成立，令g(x)=x0−12x02(0<x≤3)，可知g(x)max=g(1)=12，∴a≥12，故答案为：a≥12．切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′(x0)=x0−ax02≤12恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围．本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．12.答案：①②③④⑤解析：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F=AF，B′F=BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．解析：解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A=AF，B′B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F//BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点故答案为①②③④⑤．13.答案：(1,8)解析：本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．作出函数f(x)的图象，令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，由图象的对称性可得x1+x2=−1，由条件可得2<x3<9，即可得到答案．解：令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，作出函数f(x)图象，虚线为y=t，x=1时，f(1)=3，已知f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，则有x1+x2=−1，0<f(x3)<3．由y=3，即有log2(x−1)=3，x=9，即x3<9，y=0时，有log2(x−1)=0，解得x=2，即x3>2，即2<x3<9，可得x1+x2+x3的取值范围为(1,8)，故答案为：(1,8)．14.答案：0√2解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解．解：因为z=i6+1a+i =−1+a−ia2+1的实部为−1，所以−1+aa2+1=−1，解可得a=0，则z=−1−i，|z|=√2．故答案为：0，√2．15.答案：8y=±√3x解析：解：双曲线x24−y212=1的a=2，b=2√3，c=√4+12=4，可得2c=8，渐近线方程为y=±√3x.故答案为：8，y=±√3x.求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的焦距2c，渐近线方程y=±bax.，本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：563π解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1−13×12×1×1×1=56．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3． 因此其球的表面积是4π⋅(√32)2=3π．故答案为：56，3π．由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.答案：1[−1,27]解析：解：∵函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0], ∴f(−1)=(−1)2+2=3， f(f(−1))=f(3)=log 33=1，当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0； 当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，解得0<x ≤27， 综上不等式f(x)≤3的解集是[−1,27]． 故答案为：1，[−1,27]．推导出f(−1)=(−1)2+2=3，从而f(f(−1))=f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集．本题考查函数值、不等式的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1(2分)=2sin(2x +π6)+1(4分)∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，(6分)∴函数f(x)的值域为[0,3]. (7分) (Ⅱ)∵f(C)=3，∴2sin(2C +π6)+1=3，即sin(2C +π6)=1．∵0<C <π， ∴2C +π6∈[π6,13π6]，∴2C +π6=π2， ∴C =π6. (10分) 又c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =1，ab =2√3，cosC =√32，∴a 2+b 2=7.(12分)由{a 2+b 2=7ab =2√3，得 {a =2b =√3或 {a =√3b =2. (14分)解析：(Ⅰ)利用三角函数间的关系将f(x)化简为f(x)=2sin(2x +π6)+1，由x ∈[0,π2]；可求得2x +π6∈[π6,7π6]，从而可求得函数f(x)的值域．(Ⅱ)由f(C)=3可求得C ，利用余弦定理可求得a 2+b 2=7，通过解方程可求得a 、b 的值． 本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．19.答案：证明：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，所以x 1x 2>4，则：f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=x 1−x 2+4x 1−4x 2=x 1−x 2−4(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2>所以f(x)在[2,+∞)为单调增函数． 同理f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)在区间[2,4]上为增函数， f(2)=2+2=4，f(4)=4+1=5， 所以：值域为[4,5]．解析：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，可得：x 1x 2>4，由于f(x 1)−f(x 2)>0，即可证明f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理可证f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)函数f(x)在区间[2,4]上为增函数，计算f(2)，f(4)的值即可得解值域．本题的考点是函数单调性的判断与证明及函数的值域的求法，本题采取了定义法证明，考查了转化思想，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)∵14T =14⋅2πω=π8−(−π8)=π4，∴T=2πω=π，解得ω=2．根据五点法作图可得2×π8+φ=0，求得φ=−π4，∴函数f(x)=2sin(2x−π4).(Ⅱ)设锐角△ABC中，∵f(A)=2sin(2A−π4)=√2，∴sin(2A−π4)=√22，∴A=π4．∵a=2，由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosπ4≥(2−√2)bc，∴bc≤2−2=4+2√2，当且仅当b=c时，bc最大为4+2√2，故△ABC面积12bc⋅sinA的最大值为(2+√2)×√22=√2+1．解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据周期求得ω，再根据五点法作图求得φ，从而求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC中，由f(A)=√2，求得sin(2A−π4)的值，可得A的值．由余弦定理并利用基本不等式可得bc≤2−√2=4+2√2，由此求得△ABC面积12bc⋅sinA的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)由题意，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由焦点F2的坐标为(1,0)知a2−b2=1，①再由12a2+y2b2=1，整理得y=±b2a．∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，∴2b2a=3.②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为x24+y23=1.…(3分)(Ⅱ)若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是1|P1P2|+1|P3P4|=14+13=712.…(5分)若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k (x +1)消去x 得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0， ∴y 1+y 2=−6k 3k 2+4,y 1y 2=−93k 2+4， ∴|P 3P 4|=√1+k 2|y 1−y 2|=√1+k 2√36k 2(3k 2+4)2+363k 2+4=12(k 2+1)3k 2+4．同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，∴1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=4k 2+312(k 2+1)+3k 2+412(k 2+1)=712．∴综上知1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712(定值).…(9分)∵1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712≥2√1|P 1P 2||P 3P 4|，∴|P 1P 2||P 3P 4|≥(247)2=57649， ∴S max =12|P 1P 2||P 3P 4|≥28849．当且仅当|P 1P 2|=|P 3P 4|， 即12(k 2+1)4k 2+3=12(k 2+1)3k 2+4时，S 最小，此时解得k =±1，∴四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时， l 1、l 2的直线方程：y =±(x +1).…(13分)解析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知条件推导出a 2−b 2=1，2b 2a=3.由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)若l 1、l 2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712.若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k(x +1)得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，由韦达定理求出|P 3P 4|=12(k 2+1)3k 2+4.同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，由此能求出四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时，l 1、l 2的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)当x ≤1时，f′(x)=−2e 2x +b ，易知函数f′(x)为(−∞,1]上的减函数，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x =12ln b2， 因为0<b <2e 2，因此x =12ln b2<1，故导数值在(−∞,12ln b2)为正，在(12ln b 2,1]为负， 所以函数f(x)在(−∞,12ln b2)为增函数，在(12ln b2,1]为减函数； (Ⅱ)由题意当x =0时，f(0)=c −1=1， ∴c =2，当x <1时，f′(x)=−2e 2x +b ， 依题意得f′(0)=b −2=0， ∴b =2，经检验b =2，c =2符合条件，因此f(x)={−e 2x +2x +2,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1当−2≤x ≤1时，f(x)=−e 2x +2x +2，f′(x)=−2e 2x +2， 令f′(x)=0得x =0当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知f(x)在[−2,1]上的最大值为1． 当1<x ≤2时，f(x)=a(x 2lnx −x +1)+1． f′(x)=a(2xlnx +x −1)， 令g(x)=2xlnx +x −1，当1<x ≤2时，显然g(x)>0恒成立， 当a <0时，f′(x)=a(2xlnx +x −1)<0， f(x)在(1,2]单调递减，所以f(x)<f(1)=1恒成立． 此时函数在[−2,2]上的最大值为1； 当a =0时，在(1,2]上f(x)=1，当a >0时，在(1,2]上f′(x)=a(2xlnx +x −1)>0 所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数． ∴f(x)在(1,2]最大值为a(4ln2−1)+1，∵a(4ln2−1)+1>1，故函数f(x)在[−2,2]上最大值为a(4ln2−1)+1．综上：当a≤0时，f(x)在[−2,2]上的最大值为1；当a>0时，f(x)在[−2,2]最大值为a(4ln2−1)+1．解析：(Ⅰ)当x≤1时，f′(x)=−2e2x+b，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x=12ln b2，讨论各区间上导函数的符号，可得函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性；(Ⅱ)根据函数f(x)在x=0处取得极值1，可求出b，c的值，对a进行分类讨论，可得a取不同值时，f(x)在区间[−2,2]上的最大值．本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的单调性和最值，是分段函数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A. {1，2，5，6}B. {1}C. {2}D. {1，2，3，4}2.与命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A. 若a∉M，则b∉MB. 若b∈M，则a∉MC. 若a∉M，则b∈MD. 若b∉M，则a∈M3.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若变量x，y满足约束条件，且z=3x+y的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1），那么f（-1）等于（）A. -2B. -1C. 0D. 26.函数y=x ln|x|的大致图象是（）A. B.C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=sin B，则A=（）.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8.已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. [2，+∞）B. （4，+∞）C. （-∞，4]D. （-∞，4）9.如图，在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，记锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A.B.C.D.10.已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.复数（i为虚数单位）的共轭复数=______，|z|=______．12.曲线的离心率为______，渐近线为______．13.已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是______，表面积是______．14.已知函数，则f（f（ln2））=______，不等式f（3-x2）＞f（2x）的解集为______．15.设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为______．16.抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为______．17.已知函数，则函数y=f（g（x））-a的零点最多有______个．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．19.已知函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20.如图，已知四棱椎E-ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE=2，∠DAE=60°，BC∥AD，AB=BC=CD=AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE=，求直线CP与平面AED所成的角．21.如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2.【答案】B【解析】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定,属于基础题.根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：∵mα，nα，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x=2，y=-1，即C（2，-1），代入目标函数z=3x+y得z=3×2-1=5．即目标函数z=3x+y的最大值为5．故选：A．5.【答案】A【解析】解：根据题意，f（1）=1×（1+1）=2，又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=-2；故选：A．由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查函数的奇偶性性质的应用，是基础题，要灵活应用函数奇偶性的性质．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的作法，函数图象问题就是考查函数性质的问题．容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．【解答】解：令f（x）=x ln|x|，易知f（-x）=-x ln|-x|=-x ln|x|=-f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=x lnx，容易判断，当x→+∞时，x lnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得x lnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C 选项满足题意．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解析】解：已知等式sin C=sin B，由正弦定理化简得：c=b，代入a2-b2=bc得：a2-b2=3b2，即a=2b，∴cos A===0，则A=90°，故选：C．8.【答案】A【解析】解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）-f（x2）＞4（x1-x2），∴f（x1）-4x1＞f（x2）-4x2，令：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，有：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）=ax+-4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2-4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）=；x∈（0，+∞）；h′（x）=；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max=2∴a≥（）max=2；故选：A．先确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2-4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增是关键．属于难题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，二面角，考查空间想象能力，属于中档题．利用二面角的定义，数形结合即可求出结果．【解答】解：在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，棱台ABC-A1B1C1的侧棱延长交于P点，过P作在平面ABC上的射影H，设H到AB，BC，CA的距离分别为HC′，HA′，HB′，因为锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B 的大小为γ，所以，∴，∵α＞β＞γ，∴tanα>tanβ>tanγ，则HB′>HA′>HC′，故H所在区域如图所示(D为的垂心)，比较AA1，BB1，CC1，即比较HA，HB，HC，由图可知HC>HA>HB，∴CC1>AA1>BB1．故选D．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=c，即a1-a2=c，由e1=，e2=，可得-=，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2-e1=e2-=，可设2+e2=t（3＜t＜4），则==t+-4，由f（t）=t+-4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．11.【答案】1-i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：1-i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.【答案】y=±2x【解析】解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a=1，b=2，则c==，则双曲线的离心率e==，其渐近线方程y=±2x；故答案为：，y=±2x．根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质以及标准方程，属于基础题．13.【答案】，【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题．几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一侧面垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，一侧面垂直底面的三棱锥，棱锥的高为1，如图：AO=OD=1，BO=OC=，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V==．表面积为：故答案为：；．14.【答案】{x|-3＜x＜1}【解析】解：f（ln2）=e ln2=2，所以f（f（ln2））=f（2）=，当x＜0时，f（x）=，则f'（x）=x2-x＜0，所以f（x）在（-∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）=0 又当x≤0时，f（x）=e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）=0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3-x2）＞f（2x），得3-x2＞2x，所以-3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|-3＜x＜1}．故答案为：；{x|-3＜x＜1}．判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．本题考查了函数求值，和不等式的解法，属基础题．15.【答案】【解析】解：因为y=x n+1，故y′=（n+1）x n，所以x=1时，y′=n+1，则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，则x=1-=，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019=×××…×=．故答案为：．先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．本题主要考查导函数在求切线方程中的应用以及函数与数列的综合问题．在利用导函数求切线方程时，应知道切线的斜率为导函数在切点处的函数．16.【答案】【解析】解：∵|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，∴|AF|+|BF|=|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB===-1=．又|AF|+|BF|=|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥=-，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．17.【答案】6【解析】解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞），由y=f（g（x））-a=0，可得a=f[g（x）]，可令t=g（x），即y=f（t），当log35＜a＜2时，-7＜t＜-1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y=g（x）的图象，可得t=g（x）的交点个数为6个，则函数y=f（g（x））-a的零点最多6个．故答案为：6．分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）=a的t的范围，再求t=g（x）的x的个数，可得所求结论．本题考查分段函数的图象和运用，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=cos x（sin x+cos x）+=cos x sinx+cos2x+=cos2x+1=，∴f（x）的周期T=，由+2kπ（k∈Z），得-+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）==，∵x∈，∴2x-，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；（2）根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤．【解析】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题．（Ⅰ）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．20.【答案】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC=AD，PG∥AD，PG=，∴BC∥PG，BC=PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD=1，CD=2，则CO=，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE=，∴OC2+OE2=CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP=，∴tan，即∠CPO=60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．21.【答案】（1）解：由题意知，b=1，再由a2=b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，设M点横坐标为x0，则==，∵-＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和=2k+（2-k）=2k-2（k-1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设P点横坐标为x0，则==，由-＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理求解．考查直线的斜率公式，属于中档题．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，g（x）=-ln x，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知直线l：2x+y-1=0与直线l2：ax+y=0平行，若l1∥l2，则a=（）A. -2B.C. 2D.2.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 7D. 53.函数f（x）=cos x+sin x，则=（）A. B. C. D.4.方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示的曲线是（）A. 一个圆和一条射线B. 一个圆和一条直线C. 一个圆D. 一条直线5.已知函数y=f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则（）A. 函数y=f（x）的区间上单调递减B. 当x=3时函数y=f（x）取得极小值C.D. 当时函数y=f（x）取得极大值6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，（1）若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n则α∥β；（2）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n；（4）若m∥n，n⊥β，m⊂α则α⊥β其中真命题是（）A. （1）（2）B. （1）（4）C. （1）（3）D. （2）（4）7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=120°，，AA1=2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知点A（a，b），B（x，y）为抛物线y=-（x-1）2上两点，且x＜a，记|AB|=g（x）．若函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减，点A坐标不可能是（）A. （1，0）B. （0，-1）C. （-1，-4）D. （3，-4）9.抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，A，B物线上的两点．若A，B，C三点共线，且满足|AF|+|BF|=|AB|，设直线AB的斜率为k，则有（）A. B. C. D.10.在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E、D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为α、β、γ、δ，则（）A. α＜β且γ=δB. α＞β且γ=δC. α=β且γ＜δD. α=β且γ＞δ二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数（i是虚数单位），则复数z的共轭复数=______，|z|=______．12.已知双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，则m=______；双曲线C1的渐近线方程为______．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______．14.已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上．则ab= ______ ，直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是______ ．15.已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，AB为圆台母线，一只蚂蚁从点A出发绕圆台侧面一圈到点B，则蚂蚁经过的最短路径长度为______．16.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点．若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为______．17.已知函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．（1）求f（n+1）-f（n）；（2）用数学归纳法证明f（n）=（-1）n•n．19.已知点P（1，0），Q（4，0），一动点M满足|MQ|=2|MP|．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点A（2，3）的直线l与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程．20.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=2DC=2．△PAD为正三角形，二面角P-AD-C的大小为．（1）线段AD的中点为M．求证：平面PMB⊥平面ABCD；（2）求直线BA与平面PAD所成角的正弦值．21.已知抛物线C的对称轴为x轴，点P（1，2）在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA，PB的斜率为k1，k2，满足k1+k2=-4．（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线AB过定点；（3）当点P到直线AB距离最大时，求△PAB的面积．22.已知函数f（x）=x2-x-a ln x，a∈R．（1）若不等式f（x）＜0无解，求a的值；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，当恒成立时，求实数m的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2，∴2-a=0，解得a=2．故选：C．利用直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a-3=7．故选：C．3.【答案】C【解析】解：f′（x）=cos x-sin x，∴．故选：C．可以求出导函数f′（x）=cos x-sin x，带入即可求出的值．考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．4.【答案】B【解析】解：方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，①在直角坐标系中，方程x+y-2=0图象为一条直线，②x2+y2+2x=0，配方得（x+1）2+y2=1，方程表示以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆，故（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示一条直线和一个圆，故选：B．方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，进行分析，得结论．本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由导函数的图象，可知x∈（-4，），x∈（1，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x＜-4，x∈（-，1），x＞3时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以A函数y=f（x）的区间上单调递减不正确；当x=3时函数y=f（x）取得极小值正确；．所以C不正确；当时函数y=f（x）取得极小值，所以D不正确；故选：B．利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值点，即可推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】B【解析】解：m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（1），若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥β，正确．反之若α∩β=l，由m∥α，m∥β，由线面平行的性质定理可得m∥l，同样由n∥α，n∥β，由线面平行的性质定理可得n∥l，则m∥n，这与m⊥n矛盾，故（1）正确；（2），若m⊥β，α⊥β，由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系可得m∥α或m⊂α，故（2）错误；（3），若α⊥β，m⊥α，可得m∥β或m⊂β，又n∥β，则m，n平行或相交或异面，故（3）错误；（4），若m∥n，n⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故（4）正确．故选：B．考虑α、β相交，运用线面平行的性质定理，推得m∥n，即可判断（1）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断（2）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断（3）；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断（4）．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质的运用，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：取AA1的中点为E，AC的中点为D，A1B1的中点为F，AB的中点为H，连接DE，EF，FH，HD，FD，因为EF∥B1A，ED∥A1C，即∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，在直角三角形FHD中，可得FD2=FH2+HD2=22+（）2=，又易得EF=ED=，在三角形DEF中，由余弦定理可得：cos∠FED==-，即异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为，故选：D．由异面直线所成角的作法可得：∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，再由异面直线所成角的求法利用余弦定理即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意可知，当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），则|AB|==2，当B（0，-1）时，|AB|==3，而1＞0且2＞3，显然这与函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减矛盾，即A的坐标不可能是（3，-4）．故选：D．考虑当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），和B（0，-1），计算两点的距离|AB|，结合单调性的定义，即可得到所求结论．本题考查抛物线的方程和运用，以及两点的距离公式，函数单调性的定义，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设A（x1，y1）B（x1，y1）AB所在直线方程为y=k（x+）联立方程整理得，k2x2+p（k2-2）x+=0x1+x2=p（），x1x2=如右图，由抛物线的定义可知||AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，|AB|==|x1-x2|==，∵，∴x1+x2+p=×即p（）+p=×解得k2=故选：A．画出示意图，设出直线的方程，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，进而求解．考察对抛物线定义的理解，以及两点间公式与方程根和斜率的关系．10.【答案】D【解析】解：在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E的平面角分别为α、β，则α=β，当λ=时，如图：当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线O，O到BC的距离大于O到CE的距离，所以D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为γ、δ，γ＞δ，故选：D．利用已知条件判断α=β，然后利用λ的特殊值，判断γ、δ的大小，即可得到选项．本题考查二面角的平面角的判断，以及重要结论的应用，是基本知识的考查．11.【答案】-1+i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：-1+i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，求其共轭复数，再由复数模的计算公式求模．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】5【解析】解：双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，可得2+m=16-9，解得m=5，双曲线C1：．渐近线方程为．故答案为：5；．通过双曲线与椭圆的焦点相同，列出方程求解m．然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.【答案】3+【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：该几何体为正方体，沿面的对角线在左下角和右上角各截去一个三棱锥体．故：V==，S==6-3+=3+故答案为：，3+首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14.【答案】1；[，]【解析】解：∵圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，∴ab=1，圆心到直线的距离d==，∵a∈[1，2]，∴b∈[，1]，∴d∈[，]，∴直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是[，]故答案为1，[，]．由圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，可得ab，利用弦长公式，可得结论．本题考查直线与圆位置关系的运用，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设截得圆台的圆锥的顶点为O，将圆锥沿AB所在母线展开如图，设A点展开图中的点为A'，依题意，蚂蚁经过的最短路径长度为A'B，则因为圆台上底面半径为，下底面半径为，所以OB=，AB=2，设展开图的圆心角为θ，则θ==，所以三角形OAB为等边三角形，又B为OA的中点，所以A'B=4×sin=2．故答案为：2．将截得圆台的圆锥沿AB所在母线展开，将曲面上两点的最短距离问题转化为平面内两点的最短距离，即线段的长处理即可．本题考查了曲面上两点的最短距离问题，将曲面问题转化为平面距离问题是解决问题的关键．本题属于基础题．16.【答案】【解析】解：A1（-a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（-x，-y），=（a-x，-y），∵使AP垂直PO，所以=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．代入使AP垂直PO（a＞b＞0），整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（a4-4a2b2+4b4）=a2（a2-2c2）2≥0，∴对称轴满足 0＜-＜a，∴＜1，∴＞，又 0＜＜1，∴＜e＜1，即椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为：．故答案为：．由AP垂直PO，转化可得y2=ax-x2＞0，故 0＜x＜a，代入椭圆得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，结合图形，能求出椭圆的离心率e的范围．然后求解椭圆的离心率的最大值．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，体现了数形结合的数学思想．17.【答案】（-∞，--ln2）【解析】解：e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=-ax．∴函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．g′（x）=e x-x=h（x），h′（x）=e x-，可得x=-ln2时，函数h（x）取得极小值，h（-ln2）=+ln2．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，∴-a＞+ln2时，函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．∴实数a的取值范围是（-∞，--ln2）．故答案为：（-∞，--ln2）．e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=ax．函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．利用导数研究函数的单调性、切线斜率即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线斜率、方程的解转化为曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．∴f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）证明：（i）n=1时，f（1）=-1成立．（ii）假设n=k∈N*时成立，即f（k）=（-1）k•k．则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k+1（2k+1-k）=（-1）k+1（k+1）．∴n=k+1时也成立．综上可得：对于任意n∈N*，f（n）=（-1）n•n．【解析】（1）由f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．可得f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）利用数学归纳法及其（1）的结论即可得出．本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）设M（x，y），由|MQ|=2|MP|有：，∴x2+y2=4，∴M点的轨迹方程为x2+y2=4．（2）直线l与M点的轨迹有且只有一个公共点即为直线l与圆M相切，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为：x-2=0；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y-3=k（x-2），圆心（0，0）到直线l的距离等于半径，即，此时，∴直线l的方程为5x-12y+26=0．【解析】（1）设点M的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可；（2）直线与曲线相交有且只有一个公共点，即为相切，可以用几何关系：圆心到直线的距离等于半径．求点的轨迹方程，求哪个点最好就设哪个点的坐标，再根据已知，用数学关系式表述x 与y之间的关系，化简即可；（2）中主要考查直线与圆相切的情况，属于基础题．20.【答案】（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，由已知可得AD=2，AE=1，则DE=，∴∠BAD=，则△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，又PM∩BM=M，∴AD⊥平面PBM，而AD⊂平面ABCD，∴平面PMB⊥平面ABCD；（2）解：在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则AO为AB在平面PAD内的射影，∴∠BAO为直线BA与平面PAD所成角，在等边三角形ABD中，由AB=2，求得BM=，由二面角P-AD-C的大小为，可得，∴BO=，又AB=2，∴直线BA与平面PAD所成角的正弦值为．【解析】（1）由题意画出图形，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，求解三角形可得△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面PBM，从而得到平面PMB⊥平面ABCD；（2）在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则∠BAO 为直线BA与平面PAD所成角，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面角的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），点P（1，2）在抛物线上，可得22=2a×1，解得a=2，则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设A（，y1），B（，y2），又P（1，2），可得k1+k2=+=-4，化为y1y2=-3（y1+y2）-8，①则直线AB的方程为y-y1=（x-），即为y=x+，将①代入上式可得y=（x-2）-3，由x=2可得y=-3，则直线AB恒过定点M（2，-3）；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由k AB k PM=-1，可得k AB=-=，则直线AB的方程为y+3=（x-2），即x=5y+17，代入抛物线方程y2=4x可得y2-20y-68=0，△=202+4×68＞0成立，y1+y2=20，y1y2=-68，|AB|=•=•=8，则△PAB的面积为S=|PM|•|AB|=×8=52．【解析】（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），将P（1，2）代入抛物线方程，解得a，可得所求抛物线方程；（2）设A（，y1），B（，y2），由直线的斜率公式可得PA，PB的斜率，由条件可得y1，y2的关系，由点斜式方程可得直线AB的方程，化简整理，结合直线恒过定点的求法，可得证明；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由两直线垂直的条件可得此时AB的斜率，以及直线AB的方程，代入抛物线方程消去x，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线恒过定点的求法，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f（x）=x2-x-a ln x（x＞0），则f'（x）=，f（1）=0，∵不等式f（x）＜0无解，∴f（x）极小值=f（1），∴f'（1）=2-1-a=0，∴a=1；（2）∵函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，∴f'（x）在（0，+∞）上有两个不相等的实根，即x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，∴，．令，则0＜t＜1，∴==-==，令g（t）=（0＜t＜1），则g'（t）=，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）=0．∵当恒成立，∴m＞g（t）在（0，1）上恒成立，∴m≥g（1）=0，∴实数m的最小值为0．【解析】（1）根据f（1）=0和不等式f（x）＜0无解，可得f（x）极小值=f（1），进一步得到f'（1）=0，解方程求出a的值；（2）根据条件可知x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，然后令，由条件可得=．构造函数g（t）=（0＜t＜1），由恒成立，可知m＞g（t）在（0，1）上恒成立，进一步求出m的最小值．本考查了不等式无解问题，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想和函数思想，属难题．。

2020-2021学年浙江省杭州地区重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知抛物线C：y2=2x，则抛物线C的焦点到准线的距离为()A. 14B. 12C. 1D. 22.设函数f(x)=x3−x，则f(x)在(1,0)处的切线斜率为()A. 0B. 2C. 3D. 13.若复数z=i(1+i)，则|z|=()A. 1B. √3C. √2D. 24.已知直线l1：2x+ay+b=0和l2：3x+3y+b+1=0，则“a=2”是“l1//l2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.关于不同的直线m，n与不同的平面α，β，下列四个选项正确的是()A. m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB. m//α，n//β，且α//β，则m//nC. m⊥α，n//β，且α⊥β，则m⊥nD. m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，它与另一条渐近线、x轴都相切，则该双曲线的离心率为()A. 3B. √3C. √2D. 27.如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA=PB=12AC=√2，AB=BC=2，平面PAB⊥平面ABC，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为()A. √66B. √53C. √33D. √638.已知定义在(a,b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)、g′(x)的图象如图所示，g′(x)图象在x2处与f′(x)的图象相切，则关于函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的判断正确的是()A. 在区间(x 1,x 2)上先增后减B. x 2为极小值点C. 在区间(x 1,x 3)上单调递减D. 有1个极大值点，1个极小值点9. 若曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0与曲线C 2：y =1+√−x 2−2x 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围为( ) A. (34,+∞) B. (−43,−1) C. (−43,−1] D. (34,1] 10. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63时，经过E ，F ，G 三点的截面的面积为( )A. 2√6B. 7√64 C. √17 D. 7√66二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 在空间直角坐标系中，已知M(−1,2，3)，N(1,4，−1)，则|MN|= ______ ；M 关于N 的对称点坐标为______ ．12. 母线长为1的圆锥，其侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥底面周长为______ ；高为______ ．13. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为______ ，最长棱的棱长为______ ．14. 已知直线l ：(3λ+1)x +(1−λ)y +6−6λ=0(λ为实数)过定点P ，则点P 的坐标为______ ．15. 将分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为8，则不同的排法共有______ 种.16. 已知A ，B 是椭圆x 29+y 24=1的左、右顶点，点M ，N 分别在矩形ABCD的边BC ，CD 上，|AD|=4，且AM 与BN 的交点P 在椭圆上(第一象限内)，则|BM||CN|= ______ ．17.已知函数f(x)=(x2+2x+a)e x有两个极值点x1，x2，若f(x)存在最小值，且满足不等式f(x1)⋅f(x2)>−2e−4，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）2−2a n=n2+1，n∈N∗．18.设正项数列{a n}满足a1=1，a n+1(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2，AC=2√2，∠B1BC=60°，四边形ABB1A1为正方形，E、F分别为BC与A1C1的中点．(1)求证：EF//平面ABB1A1；(2)求直线EF与平面ACC1A1所成角的正弦值．20.已知圆C的圆心C为(0,1)，且圆C与直线2x−y+6=0相切．(1)求圆C的方程；(2)圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l：x=x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的距离为d．(ⅰ)当x 0=1时，求d |BN|的值．(ⅰ)当−2<x 0<2时，试问d |BN|是否为定值，并说明理由．21. 设函数f(x)=x −alnx +a −b ，其中a ，b ∈R ，e =2.71828…为自然对数的底数．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0恒成立，求证：b −a 2<2．22. 已知抛物线C ：x 2=4y ，过点A(1,2)的动直线l 与抛物线C 相交于不同两点P ，Q ．(1)若A 恰为PQ 的中点，求|PQ|的值；(2)若存在点B ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λQB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1).当|AB|最小时，求λ的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=2x，焦点坐标(12,0)，准线方程为：x=−12，抛物线C的焦点到准线的距离为：1．故选：C．利用抛物线方程，转化求解抛物线C的焦点到准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵f(x)=x3−x，∴f′(x)=3x2−1，则f′(1)=3×12−1=2．∴f(x)在(1,0)处的切线斜率为2．故选：B．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．3.【答案】C【解析】解：∵z=i(1+i)=−1+i，则|z|=√2，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：直线l1：2x+ay+b=0和l2：3x+3y+b+1=0，当l1//l2时，23=a3≠bb+1，解得a=2且b≠2，因此当a=2时，不能推出l1//l2；所以“a=2”是“l1//l2”的必要不充分条件．故选：B．先求出l1//l2对应的a的取值，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．本题主要考查两直线平行的充要条件的应用，以及充分条件，必要条件的判断，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由m⊥α，α⊥β，可得m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故A正确；由m//α，α//β，得m⊂β或m//β，又n//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α⊥β，得m⊂β或m//β，又n//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故C错误；由m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n或m与n异面，故D错误．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：如图，双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程分别为y=−bax和y=bax，设圆C的圆心C(x0,bax0)，由题意可知，C到x轴的距离等于C到直线y=−bax的距离，则|ba x0|=|bx0+a⋅bax0|√a2+b2=|2bx0|c，即ba =2bc，∴e=ca=2．故选：D．不妨设圆心在双曲线一条渐近线y=ba x上，设出C的坐标，由C到x轴的距离等于到直线y=−bax的距离列式求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．7.【答案】A【解析】解：取AB的中点M，连接PM，可得PM⊥AB，由平面PAB⊥平面ABC，可得PM⊥平面ABC，在平面ABC内，过C作CH//AB，且CH=AB，则∠PCH(或补角)为异面直线PC，AB所成角．由四边形ABCH是边长为2的正方形，可得MH=√4+1=√5，由△PMH为直角三角形，可得PH=√PM2+MH2=√1+5=√6，由BC⊥AB，PM⊥平面ABC，可得BC⊥PB，则PC=√2+4=√6，在△PCH中，cos∠PCH=PC2+CH2−PH22PC⋅CH =6+4−62×√6×2=√66．故选：A．取AB的中点M，连接PM，在平面ABC内，过C作CH//AB，则∠PCH(或补角)为异面直线PC，AB所成角．由面面垂直的性质定理，以及勾股定理、余弦定理，计算可得所求值．本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)，由图象可知：x<x1时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减；x1<x<x3时，ℎ′(x)>0，此时函数ℎ(x)单调递增；x>x3时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减．于是：x1为函数ℎ(x)的极小值点，x3为函数ℎ(x)的极大值点．可得：ABC不正确，D正确．故选：D．函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)，结合本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0，可得y =14x 2或ky +x −3k =0；曲线C 2：y =1+√−x 2−2x ，由−x 2−2x ≥0，y ≥1．可得−2≤x ≤0；那么(y −1)2=−x 2−2x ，即(x +1)2+(y −1)2=1，圆心为(−1,1)，半径为1，作出图象，通过图象可知y =14x 2与曲线C 2交于A ，只有一个交点；那么ky +x −3k =0与曲线C 2必有2个交点；ky +x −3k =0直线恒过(0,3)点，当直线ky +x −3k =0与曲线C 2交，切B 点时，可得k =−43；当直线ky +x −3k =0恰好过A 点时，可得k =−1；∴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围为(−43,−1]；故选：C ．曲线C 1：(x 2−4y)(ky +x −3k)=0看成两条曲线问题，与半圆交点有三个，即可求解k 的取值范围． 本题主要考查直线与圆的位置关系，作出的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，G(0,1，0)，E(2,0，32)，F(2,2，2λ)，则GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)， 设平面EFG 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0n ⃗ ⋅GF⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，可得n ⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 由题意，|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=1√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320(舍)， ∴F 为四等分点(靠近B)，延长EF ，AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，摘出五边形EFKGH 如图，求解三角形可得等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32， 则截面面积为S =12×2√2×√3+12×(√2+2√2)×√32=7√64． 故选：B ． 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63求得λ，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积作和得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】2√6 (3,6，−5)【解析】解：根据题意，M(−1,2，3)，N(1,4，−1)，则|MN|=√4+4+16=2√6，设点P 是要求的点，则P 的坐标为(x,y ，z)，M 与P 关于点N 对称，则N 是M 和P 的中点，则{1=x−124=y+22−1=z+32，解可得{x =3y =6z =−5， 即要求点的坐标为(3,6，−5)；故答案为：2√6，(3,6，−5)．根据题意，由空间两点距离公式可得|MN|的值，设点P 是要求的点，则P 的坐标为(x,y ，z)，分析可得N 是M 和P 的中点，由中点坐标公式可得x 、y 、z 的值，即可得答案．本题考查空间点的坐标，涉及空间两点间距离的计算，属于基础题．12.【答案】4π3 √53 【解析】解：母线长为1的圆锥，其侧面展开图的圆心角等于43π， 所以侧面展开图对应的扇形的弧长是43π×1=4π3， 即该圆锥底面周长为43π；底面圆的半径为r =4π32π=23， 高为ℎ=√12−(23)2=√53． 故答案为：4π3，√53． 根据圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，由此求出底面圆的半径和高．本题考查了圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，以及圆锥的底面周长是侧面展开图的扇形弧长应用问题．13.【答案】8 2√10【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面PAB ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；过点P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，则PO =4，三棱锥P −ABC 的体积为13×12×6×2×4=8；三棱锥P −ABC 的各条棱长为AB =6，BC =2，AC =√62+22=2√10，PA =√42+22=2√5，PB =√42+42=4√2，PC =√22+(4√2)2=6；所以最长的棱是AC =2√10．故答案为：8，2√10根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积与最长的棱长即可．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．14.【答案】(0,−6)【解析】解：直线l：(3λ+1)x+(1−λ)y+6−6λ=0(λ为实数)，即λ(3x−y−6)+(x+y+6)=0，该直线经过3x−y−6=0和x+y+6=0的交点P(0,−6)，故答案为：(0,−6)．在直线的方程中，分离参数，再让参数的系数等于零，可得不含参数的部分也等于零，解方程组求得定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．15.【答案】64【解析】解：根据题意，数字1，2，3，4，5，6中任选2个，和为8的情况有2、6和3、5两种；分2步进行分析：①在2、6和3、5中，任选1组，安排在中间行，有C21A22=4种情况，②将剩下的4个数字安排在其他4个位置，有4×2×A22=16种情况，则有4×16=64种排法，故答案为：64．根据题意，有数字1，2，3，4，5，6中任选2个，和为8的情况有2、6和3、5两种；据此分2步分析中间行和其余两行的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】23【解析】解：由题意，P在第一象限，则AM、BN的斜率都存在，设P(x0,y0)，直线AM：y=k1(x+3)，取x=3，可得M(3,6k1)，直线BN：y=k2(x−3)，取y=4，可得N(3+4k2,4)，∴|BM|=6k1，|CN|=x C−x N=−4k2，∴|BM||CN|=−32k1k2，∵P(x0,y0)在椭圆x29+y24=1上，∴x029+y024=1，即y02=4−4x029=49(9−x02)，而k1k2=y0−0x0+3⋅y0−0x0−3=y02x02−9=−49，∴|BM||CN|=−32k1k2=−32×(−49)=23．故答案为：23．由已知可知AM、BN的斜率都存在，设P(x0,y0)，直线AM：y=k1(x+3)，直线BN：y=k2(x−3)，求出M、N的坐标，可得|BM||CN|=−32k1k2，再由P在椭圆上，结合斜率公式求得k1k2，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】(12,1]【解析】解：f′(x)=(x2+4x+a+2)e x，∵函数f(x)=(x2+2x+a)e x有两个极值点x1，x2，∴方程x2+4x+a+2=0有两个不等实数根x1，x2，∴△=16−4(a+2)>0，解得a<2．则x1+x2=−4，x1x2=a+2．不妨设x1<x2，x→−∞时，f(x)→0；x→+∞时，f(x)→+∞．因此x1为极大值点，x2为极小值点．若f(x)存在最小值，则f(x2)≤0，(x22+2x2+a)e x2≤0，∵x22+4x2+a+2=0，∴x22+2x2+a=−2−2x2，∴−2−2x2≤0，∴x2≥−1，−a=x22+4x2+2=(x2+2)2−2≥−1，解得a≤1．∵f(x)满足不等式f(x1)⋅f(x2)>−2e−4，∴(x12+2x1+a)e x1(x22+2x2+a)e x2>−2e−4，∵x12+4x1+a+2=0，x22+4x2+a+2=0，∴x 12+2x 1+a =−2−2x 1，x 22+2x 2+a =−2−2x 2，∴(−2−2x 1)(−2−2x 2)e x 1+x 2>−2e −4，∴4(1+x 1)(1+x 2)e −4>−2e −4，∴1+x 1+x 2+x 1x 2>−12，∴1−4+a +2>−12， 解得a >12，∴12<a ≤1，则a 的取值范围(12,1]．故答案为：(12,1]．f′(x)=(x 2+4x +a +2)e x ，根据函数f(x)=(x 2+2x +a)e x 有两个极值点x 1，x 2，可得方程x 2+4x +a +2=0有两个不等实数根x 1，x 2，于是△>0，解得a 范围．可得根与系数的关系．不妨设x 1<x 2，x →−∞时，f(x)→0；x →+∞时，f(x)→+∞.可得x 1为极大值点，x 2为极小值点．若f(x)存在最小值，且满足不等式f(x 1)⋅f(x 2)>−2e −4，代入化简可得a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)设正项数列{a n }满足a 1=1，a n+12−2a n =n 2+1，n ∈N ∗． 可得n =1时，a 2=2，n =2时，a 3=3，n =3时，a 4=4．(2)猜想a n =n ，下面用数学归纳法证明a n =n ，①当n =1时，a 1=1，等式成立．∴当n =1时成立；②假设当n =k 时，猜想成立，即a k =k ，那么当n =k +1时，a k+12=2a k +k 2+1=(k +1)2，正项数列{a n }，所以a k+1=k +1，∴当n =k +1时猜想也成立，由①②可得猜想成立．【解析】(1)利用数列的递推公式求解数列的前几项．(2)猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．本题主要考查归纳推理，数学归纳法，数列的通项等相关基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力和化归思想19.【答案】(1)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，A 1G ，因为E ，F 分别为BC ，A 1C 1的中点，所以EG//AC//A 1F ，且EG =12AC =12A 1F ， 所以四边形A 1GEF 为平行四边形，故EF //A 1G ，因为A 1G ⊂平面ABB 1A 1，EF ⊄平面ABB 1A 1，所以EF//平面ABB 1A 1；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB =BC =2，AC =2√2，所以AC 2=AB 2+BC 2，所以AB ⊥BC ，因为四边形ABB 1A 1为正方形，所以AB ⊥BB 1，又因为BB 1∩BC =B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，因为∠B 1BC =60°，所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，√3)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+(1，0，√3)+(−1，1，0)=(1，1，√3)， 设平面ACC 1A 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， {AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +√3z =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x −2y =0，令x =√3，n ⃗ =(√3,√3,−1)， 所以直线EF 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗ |=√3√5⋅√7=√10535． 【解析】(1)只须证明EF 平行于平面平面ABB 1A 1内直线A 1G 即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)圆C 的半径r =|−1+6|√22+(−1)2=√5，则圆C 的方程为x 2+(y −1)2=5；(2)(ⅰ)由x 2+(y −1)2=5，取y =0，可得x =±2．∴A(−2,0)，B(2,0)，圆C 与动直线l ：x =x 0交于M ，N 两点，则{x 2+(y −1)2=√5x =x 0x 0=1，解得{x =1y =3或{x =1y =−1， ∴M(1,3)，N(1,−1)，则直线AM 的方程y −0=31−(−2)(x +2)，即x −y +2=0．圆心到直线AM 的距离d =√2=√22， |BN|=√(2−1)2+(0+1)2=√2，∴d |BN|=√22√2=12；(ⅰ)由圆C 与动直线l ：x =x 0交于M ，N 两点，设M(x 0,y 1)，N(x 0,y 2)，联立{x 2+(y −1)2=5x =x 0，解得M(x 0,1+√5−x 02)，N(x 0,1−√5−x 02)， ∴直线AM ：y =1+√5−x 02x 0+2(x +2)．圆心(0,1)到直线AM 的距离d =|−1+2+2√5−x 02x 0+2|√(1+5−x 02)(x 0+2)2+1=|2√5−x 02−x 0|√10+4x 0+2√5−x 02．|BN|=√(x 0−2)2+(1−√5−x 02)2=√10−4x 0−2√5−x 02． 则d |BN|=|2√5−x 2−x |√10+4x 0+2√5−x 02√10−4x 0−2√5−x 02=|2√5−x 02−x 0|√4(−3x 02−4x 0√5−x 02+20)=12． ∴d |BN|为定值12．【解析】(1)求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；(2)(ⅰ)当x 0=1时，可得直线l ：x =1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN|，则答案可求； (ⅰ)联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN|，整理即可求得d |BN|为定值12．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=x −alnx +a −b ，x ∈(0,+∞)．f′(x)=1−a x =x−a x ，a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．a >0时，函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：∵f(x)≥0恒成立，a >0．∴b ≤x −alnx +a ，由(1)可得：y =x −alnx +a 的最小值为2a −alna ．∴b ≤2a −alnab −a 2≤2a −alna −a 2，∴要证明b −a 2<2，即证明：2a −alna −a 2<2即可．令g(a)=2a −alna −a 2，g′(a)=1−lna −2a =ℎ(a)，ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，ℎ(12)=ln2>0，ℎ(1)=−1<0， 因此存在唯一x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0=1−lnx 0−2x 0．函数g(a)在x 0处取得最大值，g(x)≤g(x 0)=x 0(2−lnx 0−x 0)=x 0(1+x 0)=(x 0+12)2−14<2．因此结论成立．【解析】(1)f(x)=x −alnx +a −b ，x ∈(0,+∞).f′(x)=1−a x =x−a x ，对a 分类讨论即可得出单调性．(2)由f(x)≥0恒成立，a >0.可得b ≤x −alnx +a ，由(1)可得：y =x −alnx +a 的最小值为2a −alna ． b ≤2a −alna ，得到b −a 2≤2a −alna −a 2，要证明b −a 2<2，即证明：2a −alna −a 2<2即可．令g(a)=2a −alna −a 2，利用导数研究函数的单调性、极值，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由题意可设直线l 的方程为y −2=k(x −1)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 12=4y 1，x 22=4y 2，两式相减可得(x 1−x 2)(x 1+x 2)=4(y 1−y 2)，可得k =y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=24=12，所以直线l 的方程为y −2=12(x −1)，与抛物线的方程x 2=4y 联立，可得x 2−2x −6=0，可得x 1+x 2=2，x 1x 2=−6，则|PQ|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52×√4+24=√35； (2)设直线l 的方程为y =kx −k +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，B(x 0,y 0)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1−2)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2−2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 1,y 0−y 1)，QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x 2,y 0−y 2)， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λQB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0且λ≠1)，所以B 也在直线l 上， 所以{x 1−1=λ(x 0−x 1)x 2−1=−λ(x 0−x 2)，解得x 0=2x 1x 2−(x 1+x 2)x 1+x 2−2， 由{y =kx −k +2x 2=4y，可得x 2−4kx +4k −8=0，可得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4k −8， 所以x 0=2(4k−8)−4k 4k−2=2k−82k−1=1−72k−1， y 0=k(1−72k−1)−k +2=2−7k 2k−1， 所以|AB|=√(1−72k−1−1)2+(2−7k 2k−1−2)2=7√1+k 2(2k−1)2， 令t =2k −1，则k =t+12，|AB|=7√1+(t+1)24t 2=7√54t 2+12t +14 =7√54(1t+15)2+15， 所以当1t =−15即t =−5时，|AB|取得最小值7√55． 即k =−2，x 0=125，y 0=−45，B(125,−45)， 由{x 1−1=λ(x 0−x 1)x 2−1=−λ(x 0−x 2)，可得−λ2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1x 02−x 0(x 1+x 2)+x 1x 2=−16+8+114425−125×(−8)−16=−2532， 解得λ=5√28． 【解析】(1)可设直线l 的方程为y −2=k(x −1)，由点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，可得k ，联立直线l 的方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；(2)设直线l 的方程为y =kx −k +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，B(x 0,y 0)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，化简整理，解得B 的坐标和|AB|，由二次函数的最值，可得k ，求得B 的坐标，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系和向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（ ） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12， 故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−； 易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=， 所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍）， 所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =， 则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ， 因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=， 由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅， 直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++， 则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−， 如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ， 所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==， 由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =， 所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合， 在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =， 由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M， 设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ， 因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−， 所以OM ON ⋅∈[]3,21−． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（ ） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确； 设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=； 由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++； 所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+， 可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−， 可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上； 又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=； 所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++； 所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（ ） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠， 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确． 【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2， 所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误； 对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=， 又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=， 因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+， 二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②， 由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=， 配方得2271()416x y +−=，2y ≠， 所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆， 设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确． 故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>， 当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或 【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =， 所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线， 令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=， 所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =， 故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可； 法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠， 联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=， 所以1232x x b +=−，()212314b x x −=， 则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+， 因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−， 联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ， 因为22222AC BC OC AC +==， 所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++， 整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=， 因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=， 所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=， 则2203563614242532244b b b b b b ++  −++=  − + +−× ， 整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=， 所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+， 又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=， 所以1322D b b=+，1322E b b =−， 因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-， 当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去， 当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ， 对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+， 则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称． （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】 解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−， 则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++； 由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=， 所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=， 化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ； 所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， 的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=， 解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=． 将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−． 整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−； （2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】 设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+， 即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++， 同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+， 整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===， 设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−， 则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==， 【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)， 满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=， 显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<） 可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

2020浙江⾼⼆下学期期中联考数学试题含答案数学试题注意事项：1. 本科⽬考试分试题卷和答题卷，考⽣须在答题卷上作答。

2. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （▲）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满⾜i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平⾯内对应的点在（▲） A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知 2log ,0()3,0x x x f x x >?=?≤?，则=)]21([f f （▲）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（▲） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,mααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥?，则αβ⊥5．等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（▲）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件 6．若某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积是（▲）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x 的左、右焦点，若双曲线右⽀上存在点A ，使1230F AF ∠=o ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离⼼率是（▲）42251055俯视图左视图正视图A. 32+B. 3C.332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x π23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最⼩值时，()f x 的单调递减区间是（▲） A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 9．在ABC ?中，⾓C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最⼩值是（▲）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ?],[，使得函数)(x f 满⾜：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错．误．的是（▲） A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间” B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间” C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=x c c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（⾮选择题部分，共110分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是▲，离⼼率是▲． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最⼤值时，=n ▲．≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最⼤值为▲；22)1()1(++-y x 的最⼩值为▲．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ?+->?==??为奇函数，则=a ▲，=-)]2([g f ▲．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满⾜不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲．16.正⽅体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成⾓的取值范围是▲．17．设M 是ABC ?内⼀点，32=?，?=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ,,的⾯积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是▲．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分。

高二数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ð（ ）A. {}3B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5【答案】B【解析】 {}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B⋂=（）ð,故选B. 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知函数2,0(){,0x x f x x x ≥=-<，则((2))f f -=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求得(2)2f -=，进而可求得[(2)]f f -的值，得到答案． 【详解】由题意，函数2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，可得(2)2f -=，所以()2[(2)]224f f f -===，故答案为4． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD. 不存在 【答案】B【解析】【分析】求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.【详解】由题得2()1)1f x x =--（，所以函数的增区间为1+∞（，）， 故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若函数()(31)5f x k x =-+在R 上是增函数，则k 的范围是( ) A. 1(,)3-∞- B. 1(,)3-+∞ C. 1(,)3+∞ D. 1(,)3-∞ 【答案】C【解析】【分析】直接利用一次函数的单调性求解.【详解】因为函数()(31)5f x k x =-+在R 上是增函数， 所以1310,3k k ->∴>. 故选：C【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数求导运算正确的个数为( )①3(3)3log x x e '=；②21(log )ln 2x x '=③()x x e e '=；④1()ln x x '=；⑤()31x x x e '⋅=+A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 根据()x x a a lna '=，1(log )x a xlna '=，1()lnx x'=即可作出判断． 【详解】①(3)33x x ln '=，故错误； ②21(log )2x x ln '=g ，故正确； ③()x x e e '=，故正确； ④211()lnx x ln x'=-g ，故错误； ⑤()x x x x e e x e '=+g g，故错误． 故选：B ．【点睛】此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．6.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( )A. ()3f x x =-B. 2()3f x x x =- C. ()1f x x =-+ D.()f x x=【答案】D【解析】【分析】 利用函数的图像判断每一个选项得解.【详解】A. ()3f x x =-,在(0,)+∞上为减函数；B. 2()3f x x x =-，在(0,)+∞上不是单调函数；C. ()1f x x =-+，在(0,)+∞上为减函数；D. ()f x x =，在(0,)+∞上为增函数.故选：D【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A. 2 B. 12 C. 12- D. 2- 【答案】D【解析】 【详解】32221(1)221,|(1)(1)(31)2x x x y y x x =--+==-=-=----'',直线10ax y ++=的斜率为-a.所以a=-2, 故选D8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. 2y x =C. x y xe -=D. 2y x x=+ 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.【详解】A. 3y x =，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B. 2y x =，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；C. x y xe -=，()()()x f x x e f x -=-≠-，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D. 2y x x=+,22()()()f x x x f x x x -=--=-+=-，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在)∞+∞（-上是增函数，在（上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数32()(6)1f x x x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2)-B. (,3)(6,)-∞-+∞UC. (3,6)-D. (,1)(2,)-∞-+∞U【答案】B【解析】2()326f 'x a x ax =+++根据题意可得： 2412(6)(3)(6)0a a a a ∆=-+=+->，解得6a >或3a <-，故选C. 点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”x 轴即可.10.已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( )A. 2-B. 3-C. 4-D. 1-【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】1()f x x '=Q ， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切， ∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=， 得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.设集合{1,}A m =，{2,3}B =，若{3}A B ⋂=，则m =________；A B =U _________.【答案】 (1). 3 (2). {1,2,3}【解析】【分析】由{3}A B ⋂=求出m 的值，再求A B U .【详解】因为{3}A B ⋂=，所以m=3.所以={12,3}A B U ，. 故答案为：3，{1,2,3}【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.曲线ln y x =在点(,1)M e 处的切线的斜率是__________ ；切线方程为_________．【答案】 (1).1e (2). 0x ey -=【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. 【详解】由题得11(),f x k x e '=∴=， 所以切线的斜率为1e， 所以切线的方程为11(),0y x e x ey e -=-∴-= 故答案为：10x ey e -=；【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.若函数321()3f x x x =-在[1,1]-，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】 (1). 43-(2). 0 【解析】【分析】 先求出函数的导数2()=2f x x x '-，再令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.【详解】由题得2()=2f x x x '-， 令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0， 因为42(1),(0)0,f(1)33f f -=-==-， 所以函数的最小值是43-，最大值为0. 故答案为：4;0.3-【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知函数321()(1)253f x x f x x '=-++，则(1)f '=______ ；(2)f '=_________.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由题得2()2(1)2f x x f x ''=-+，再依次求出(1),(2)f f ''.【详解】由题得2()2(1)2f x x f x ''=-+， 所以(1)12(1)2(1)=1f f f '''=-+∴，所以2()22f x x x '=-+，所以(2)442=2f '=-+.故答案为：1；2【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞单调递减，则b 的取值是________. 【答案】(-∞，1]-.【解析】【分析】由函数在(1,)-+∞上是减函数，得()0f x '…，求导后分离参数b 得答案. 【详解】由题意可知()02b f x x x '=-++…在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x +…在(1,)x ∈-+∞上恒成立，令2()(2)2f x x x x x =+=+，(1,)x ∈-+∞，()1f x ∴>-，∴要使(2)b x x +…，需1b -…，故b 的取值范围为(-∞，1]-.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．【答案】2【解析】【分析】 根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】因为()()f x g x alnx a '=+， 所以2()a x b g x x a -'=+． 又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a a b a b b-=+=+…， 所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．17.若函数()f x 同时满足：(1)对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；(2)对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有，1212()()0f x f x x x -<-则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个函数中：①1()f x x =； ②2()f x x =； ③21()21x f x x -=+；④22,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．【答案】（4）【解析】分析】由“理想函数”的定义可知：若()f x 是“理想函数”，则()f x 为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．【详解】若()f x 是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，1212()[()()]0x x f x f x --<，12x x ∴<时，12()()f x f x >，即函数()f x 是单调递减函数． 故()f x 为定义域上的单调递减的奇函数．（1）1()f x x=在定义域R 上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”； （2）2()f x x =在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；（3）21()21x f x x -=+不是奇函数，所以不是“理想函数”； （4）220()0x x f x xx ⎧-=⎨<⎩…，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故答案为：（4） 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.设全集U =R ，集合{}26A x x =-<<，{}12B x x =<<.(1)求集合U C B ；(2)求集合U A C B ⋂．【答案】(1){|12}x x x ≤≥或;(2){-2<x 12x<6}≤≤或.【解析】分析】(1)利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.【详解】（1）由题得={|12}U C B x x x ≤≥或.（2）由题得={x|-2<x 12x<6}U A C B ≤≤I 或.【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数32()f x x ax b =++满足(1)0f =且在2x =时函数取得极值．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 单调递减区间.【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)【解析】【分析】（1）通过f '（2）0=及f （1）0=，计算即得结论；（2）通过对函数32()32f x x x =-+求 导，进而可判断单调递减区间.【详解】（1）32()f x x ax b =++Q ，2()32f x x ax ∴'=+，Q 函数()f x 在2x =时函数取得极值，f ∴'（2）0=，即1240a +=，3a ∴=-，又f Q （1）130b =-+=，2b ∴=，综上3a =-、2b =；（2）由（1）可知32()32f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x ∴'=-=-，02x <<Q 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,2)上单调递减；∴函数()f x 的单调递减区间为：(0,2).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数()ln 2f x x x =+.（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()y f x ax =+在区间 (),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 10x y -+=;（2）2a -….【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函数()()2F x f x ax xlnx ax =+=++，求得导数，由题意可得在区间(,)e +∞上，()0F x '…恒成 立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得a 的范围；【详解】（1）求导得()1f x lnx '=+，又因为f （1）2=，f '（1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10x y -+=；（2）设函数()()2F x f x ax xlnx ax =+=++，求导，得()1F x lnx a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，所以()10F x lnx a '=++…在区间(,)e +∞上恒成立， 即1a lnx --…恒成立，又因为函数()1h x lnx =--在区间(,)e +∞上单调递减，所以()h x h <（e ）2=-，所以2a -….【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．21.已知函数()ln x a f x x x-=-，其中a 为常数． （1）若曲数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线y=-x+1平行，求函数()f x 极小值；（2）若函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为13，求a 的值． 【答案】(1)ln2；（2）13e .【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由已知可得f '（1）11a =-=-，即2a =，再利用导数求函数 的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.【详解】（1）由()x a f x lnx x -=-，得221()x x a x a f x x x x -+-'=-=， Q 函数()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与直线y=-x+1平行，f ∴'（1）11a =-=-，即2a =.此时函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），所以函数的极小值为(2)ln 2f =.（2）由（1）知，当1a …时，()0f x '…在[1，3]上恒成立，()f x 在[1，3]上为增函数， ∴1()(1)13min f x f a ==-=，得413a =>（舍)；当13a <<时，由()0f x '=，解得(1,3)x a =∈，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，当(,3)x a ∈时，()0f x '>， ()f x ∴在(1,)a 上为减函数，()f x 在(,3)a 上为增函数， ∴1()()3min f x f a lna ===，解得13a e =； 当3a …时，()0f x '<在(1,3)上恒成立，()f x 在(1,3)上为减函数， ∴1()(3)3133min a f x f ln ==+-=，解得4332a ln =-<（舍)． 综上，13a e =．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.已知函数()22f x x a x x =-+，a R ∈.(1)若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；(2)若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1≤a ≤1.【解析】【分析】（1）若0a =，根据函数奇偶性的定义即可判断函数()y f x =的奇偶性；（2）根据函数单调 性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a 的取值范围；【详解】（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，()||2()f x x x x f x ∴-=--=-，∴函数()y f x =为奇函数；（2）22(22),2()(22),2x a x x a f x x a x x a ⎧+-=⎨-++<⎩…， 当2x a …时，()f x 的对称轴为：1x a =-； 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -+剟时，()f x 在R 上是增函数，即11a -剟时，函数()f x 在R 上是增函数. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，掌握分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．。