人教版九年级上册《圆的证明与计算》专题讲解

九年级数学圆的知识点讲解在九年级数学学科中，圆是一个重要的几何概念。

它不仅在几何学中起到基础作用，还在其他学科中得到广泛应用。

本文将对九年级数学中关于圆的知识点进行逐一讲解。

1. 圆的定义和性质圆是平面上一组离一个定点距离相等的点的集合。

这个定点称为圆心，到圆心距离称为半径。

圆的性质有：圆上任意两点之间的距离相等；圆是由无数个点组成的集合；圆的半径相等；圆上的任意直径将圆分成两等分。

2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一周的长度，也称为圆的周长。

圆的周长公式是C = 2πr，其中r是圆的半径，π（pi）约等于3.14。

圆的面积是指圆所围成的面积，也称为圆的面积。

圆的面积公式是 A = πr²。

3. 弧、弦和扇形在圆上，两个点之间的部分称为弧。

两个弧之间的部分称为弦。

当两个弦的交点在圆的内部时，被这两个弦所围成的部分称为扇形。

扇形的面积公式是A = ½r²θ，其中r是扇形的半径，θ是扇形的对应圆心角的度数。

4. 圆与直线的位置关系直线和圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

当直线与圆不相交时，它们是相离的；当直线与圆有且只有一个交点时，它们是相切的；当直线与圆有两个交点时，它们是相交的。

5. 切线和割线当直线与圆相交时，如果直线只与圆有一个交点，并且与该交点的切线垂直，那么这条直线称为切线。

如果直线与圆有两个交点，并且不与任何交点的切线垂直，那么这条直线称为割线。

6. 相似圆如果两个圆的圆心在同一条直线上，并且两个圆的半径成比例，那么这两个圆称为相似圆。

相似圆之间的半径比值等于它们的周长比值，也等于它们的面积比值。

7. 圆锥圆锥是由一个圆和一条从圆心指向圆外一点的线段组成的几何体。

从圆心的直线叫做母线，连接圆心和圆外一点的线段叫做侧面生成线。

圆锥的体积公式是V = 1/3πr²h，其中r是圆的半径，h是圆锥的高。

通过以上对九年级数学圆的知识点的讲解，我们可以看出圆在几何学中起到了重要的作用。

)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求

即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质 有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线 有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关 的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)

《中考聚焦：圆的有关计算与证明》教学设计任课教师：薛芊【教学目标】1．知识目标：①结合模拟考试，梳理圆中的概念、性质和定理；②再次掌握垂径定理，圆周角、圆心角定理，圆切线的性质和判定，并会用来解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法，以及直角三角形、相似在解决圆问题中的作用。

2．能力目标：①通过对圆类型题目的探究和归纳，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①通过归纳，找到做题的突破口，树立自信，从而发现数学的美；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用，圆周角、圆心角定理及其应用，圆切线的性质判定及其应用。

【教学难点】在圆中构造直角三角形、在圆中利用相似解决问题。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】多媒体课件、三角板、圆规等。

【教学设计】一、垂径定理及其推论命题角度：1. 垂径定理的应用；2. 垂径定理的推论的应用．例1 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16厘米，则球的半径为________厘米．[解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连结OF，设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.二、圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．例2 如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？说明理由．[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.三、圆周角定理及推论命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．例3 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝________°.[解析] 连结OC，∵OA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠ADC＝12∠AOC＝25°.四、圆的切线的性质命题角度：1. 已知圆的切线得出结论；2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例4 如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．(3)求AC.[解析](1)连结OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行进行证明；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．(3)在圆与直角三角形同时出现求线段长度的时候，还要考虑通过证明特殊三角形相似来解决问题.解：(1)证明：连结OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.(3)由Rt△BOD∽Rt△BAC，得BO/AB=OD/AC,即AC=8×3/5=4.8五、圆的切线的判定方法命题角度：1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．例5 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求PD的长．[解析] (1)首先连结OA，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，利用等边对等角求得∠P AO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；(2)由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．解：(1)证明：连结OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC, ∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP, ∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°. ∴OA⊥AP, 故AP是⊙O的切线．(2)连结AD. ∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°.∴AD＝AC·tan30°＝3×33＝ 3.∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠P AD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，∴∠P＝∠P AD，∴PD＝AD＝ 3.六、小结做题技巧：1. 求弦求一半，用弦用一半(垂径定理)；2. 用切线时连接过切点的半径，证切线时仍然连接过切点的半径；3．在圆中求线段长度时，首先考虑构造直角三角形利用相似、勾股定理或锐角三角函数解题。

人教版数学九年级上册《24.1.1圆》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.1圆》这一节的内容，主要介绍了圆的定义、圆心、半径等基本概念，以及圆的性质。

这是学生学习圆相关知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于圆这一概念，学生可能在生活中有所接触，但对其精确的数学定义和性质可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实例中抽象出圆的数学定义，进一步理解和掌握圆的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解圆的定义、圆心、半径等基本概念，掌握圆的性质，能够运用圆的知识解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.重点：圆的定义、圆心、半径等基本概念，圆的性质。

2.难点：圆的性质的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探究，合作学习。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的空间想象能力和理解能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的圆的实例，引导学生思考圆的数学定义，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍圆的定义、圆心、半径等基本概念，引导学生理解圆的性质。

3.实例分析：通过几何画板展示圆的性质，引导学生观察、实验、推理，加深对圆的理解。

4.小组讨论：让学生分组讨论圆的性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

5.总结提升：对圆的性质进行总结，引导学生掌握圆的知识。

6.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

7.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程。

合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。

(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。

类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。

(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。

第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。

（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。

2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。

（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。

注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。

2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。

以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。

小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。

注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。

（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。

5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，

圆的证明与计算中考专题复习圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，对部分学生是难点，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、圆的切线证明1、判断一条直线是圆的切线的方法有三种：①直线与圆只有一个交点；②圆心到直线的距离等于半径；（即证d=r）③切线的判定定理，即：经过圆心的线段，并且的直线是圆的切线。

（即证垂直）2、证切线常见的辅助线添法即证法：①若切不点明确，则作②若切点明确，则连例1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1) 求证：AC平分∠DAB；例2、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；二、圆的证明与计算的几大几何理论依据：1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用半径相等.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系 以及中点等等. 用来计算弦长和半径。

(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. 用来计算圆心角或者圆周角。

(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. 其中一个重要应用就是圆的直径所对的圆周角等于90度，90度圆周角所对应的的弦是直径。

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。

2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.基础训练：一、垂径定理的应用，圆心角和弧以及圆周角的转换例1、如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长例2、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．三、解题思想与方法计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。

C D Ｏ B
E
练习1、如图已知直线AB过⊙O上 的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线 Ｏ B
例２、如图：点O为∠ABC平分 线上一点，OD⊥AB于D，以O 为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作⊙O相切。 A
D
Ｏ B
A
C
连结OC
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中直线与圆已有 当已知条件中没有明确直线与 一个公共点时 圆是否有公共点时 辅助线：是连结圆心和这 个公共点。 再证明这条半径与直线垂直。 辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
图形变式3： 如图7：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D， C DE切⊙O于点D交CB于点E。 D E 基本结论有： A B 证明：① DE=BE=CE；即E是 CB中点。 O ②∠CED=2∠A。 图形变式4： 如图8，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC 于点F ， DE⊥AC 基本结论有： 证明：①DE切⊙O； ②⊿DFC是等腰三角形； ③EF=EC； （4）D是 弧BF 的中点，则AD是∠BAC的角平分线。
C E F D A O B
半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切 线，
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思考:
如右图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径 OA与 l 垂直吗？ 由于 l 是⊙O的切线，圆心O到 直线 l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到AB的距离，因此 l AB
九年级数学
• 圆的证明和计算 • 一、考点聚焦： • 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定 切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求 线段长②求面积③求线段比…

CF=2,求^ABC的周长.
3.
预习归纳
1.垂直于弦的直径 ,并且平分.
2.平分弦（不是直径）的直径 ,并且平分弦
例题讲解
【例】 如图，AB是。O的弦，半径OC、OD分别交AB于E、F,且AE=BF,求证：OC = OF.
基础题训练
1.。O中，弦AB的长为6cm,圆心O到AB的距离为4cm,则。O的半径长为（
基础题训练
1.在同一平面内与已知点 。的距离等于3cm的所有点组成的图形是
2.下列说法正确的是( )
A.直径是弦，弦是直径B.过圆心的线段是直径
C.圆中最长的弦是直径D.直径只有一条
3.下列说法：①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有 ()
A.0B.1C.2D.3
5.如图，AB是。O的直径，点C、D在。O上，/BOC=110° ,AD//OC,则/AOD的 度数（）
第二十四章 圆
1.
预习归纳
1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 。旋转一周，另一个端点A所形成的图形 叫做,其固定的端点 。叫做,线段叫做.
2.连接圆上任意两点的线段叫做 ,经过圆心的弦叫做.
3.圆上任意两点间的部分叫做.
例题讲解
【例】 如图，已知OA、OB是。。的两条半径，C、D分别为OA、OB上一点，且AC=BD,求证：AD=BC.
A . 3cm B. 5cm C. 4cm D . 6cm
2. AB是。O的弦，半径OA=6, /AOB = 120°,则AB =.
3.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A . 6.5米B.9米C.13米D.15米
4.（2014•南宁）在直彳仝为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图，若油面的 宽AB=160cm,则油的最大深度为（ ）

人教版
第二十四章 圆
专题(八) 与切线有关的证明与计算
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以 CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°.
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE， ∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若△ABC的边长为4，求EF的长．
解：(1)证明：如图，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝ 60°.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD.∵点D在⊙O上，∴DE是 ⊙O的切线
(2)如图，连接 AD，BF，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴AF⊥BF，AD⊥ BD.∵△ABC 是等边三角形，边长为 4，∴DC ＝21 BC＝2，FC＝21 AC＝2.∵∠EDC＝30°，
∴EC＝12 DC＝1，∴EF＝FC－EC＝1
3．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
(2)如图，连接 EF，ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD－DF＝4，∵CO＝ OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE 为⊙O 的直径，∴∠EFC＝ 90°，∴EF＝ DE2－DF2 ＝4 2 ，∴BE＝ BF2＋EF2 ＝4 3
2．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D， 交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。

2.掌握圆的基本性质。

3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。

考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形． 正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值， 此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8． 故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意； 其中正确的有①①①， 故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（ ） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围． 【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==， 故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒， 又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=， 故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠． （1）求证：AE 是①O 的切线； （2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。

园的有关证明与计算
大新镇第二初级中学 莫 丽
园的有关证明与计算 （一）、基础热身 1.垂径定理？
2.切线性质定理？判定定理？
3.弧、弦、圆心角关系定理？推论？ 4. 圆心角，圆周角定理？推论？
5. 切线长定理？推论？
（二）、基础题型
园的有关证明与计算
2.如图，AB是半圆O的直径，点C是弧AB的中点， 点D是弧AC的一点，如果BD一AD=√2 。 求CD 的长。
园的有关证明与计算三针对训练一知识点二解题方法园的有关证明与计算四课堂总结园的有关证明与计算如图已知o的直径ab垂直于弦cd于e连接adbdocod且od5
一、情境创设 1. 天上掉下一个圆环形馅饼，如图，知AB长， 就能计算圆环馅饼面积，请用圆有关知识解释 ?
二、引入新课
专题项复习（七） (贵港中考第24题)
（三）、针对训练
园的有关证明与计算
3.如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过 BC的中点D，且DE⊥AC． （1）求证：DE是圆O的切线； （2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的 半径．
（四）、课堂总结
园的有关证明与计算
一、知识点 二、解题方法
（五）、课后练习
园的有关证明与计算
4. 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E， 连接AD、BD、OC、OD，且OD=5． 3 （1）若siO=4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积 （结果保留π）．