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子群与拉格朗日定理

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研究群的子群的乘积的阶

研究群的子群的乘积的阶

研究群的子群的乘积的阶内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。

近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。

而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义，在很多领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。

我们知道，群的子群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。

那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。

当然，除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。

关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具有十分微妙的关系。

首先，我们看群的阶是如何定义的:如果一个有限群G中所包含的元素个数为n，则称n为群G的阶，并记为|G|=n。

无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。

其实群的阶就是指群中元素的个数，利用是否属于同一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类，且每一类中元素个数相同。

下面我们来看。

定义：设H是群G的一个子集，a G。

则称群G的子集aH={ax|x H}为群G关于子群H的一个左陪集。

而称Ha={xa|x H}为群G关于子群H的一个右陪集。

显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。

这是一个特殊情况。

须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定条件才可将子集改为子群。

这在下面还将作进一步讨论。

很显然，左陪集满足如下性质。

1. a aH证明：H是子群，e H，故a=ae aH2. aH aH=H证明：设aH=H。

则由1知，a aH，所以a H。

设a H，任取ax aH，因为H为子群，所以ax H，即aH H。

同样，任取x H，又a H，则x=ex==a()aH，即H aH。

3. b aH aH=bH证明：设aH=bH，由1得b bH，所以b aH。

子群的判定条件及其应用

子群的判定条件及其应用

子群的判定条件及其应用子群是群的一个重要概念，指的是一个群的一个子集，该子集同时也是一个群。

在群论中，有着许多子群的判定条件及其应用。

本文将介绍这些判定条件以及它们的应用。

（1）拉格朗日定理。

拉格朗日定理是群论中的一个基本定理，它指出群的任何一个子群的阶（元素数）都是原群阶的约数。

也就是说，如果H是G的一个子群，那么|H|一定是|G|的约数。

（2）子群判别法。

如果一个非空集合H满足以下三个条件，则H是一个群G的子群：① 乘法封闭性。

对于a，b∈H，必须有ab∈H。

② 逆元封闭性。

对于H中的每个元素a，都存在一个元素a-1∈H，使得aa-1=e，其中e是群G的单位元。

③ 结合律。

对于H中的每个元素a，b和c，必须满足(a·b)·c=a·(b·c)。

（3）循环子群判定法。

如果一个子集H由一个群G的某个元素a产生，即H={a^n|n∈Z}，那么H是G的一个循环子群。

（4）正/负因子子群。

如果G是一个乘法群，那么一个由G中的正元素（即，那些乘起来仍为正元素的元素）构成的子集H也是G的子群。

同样地，一个由G中的负元素（即，那些乘起来仍为正元素的元素的相反数）构成的子集也是G的子群。

2. 子群的应用（1）群分类。

子群可以帮助我们对群进行分类。

通过检查一个群的所有子群，我们可以确定该群的一些性质，例如是否是阿贝尔群（交换群）、有限群还是无限群、是否具有某些特殊的子群等等。

（2）群同构。

如果两个群具有相似的子群结构，那么它们就是同构的。

因此，我们可以通过比较它们的子群来确定群是否同构。

（3）应用于密码学。

群论在密码学中有着广泛的应用，其中就包括子群。

例如，如果我们将一些固定的数用来生成一个子群，那么这个子群的阶可以被用于加密和解密信息。

（4）应用于几何学。

几何学中的变换群涉及到一些子群，例如面对称群、球面旋转群等。

这些子群对于理解几何变换和对称性起着关键作用。

总之，子群的判定条件及其应用在群论中具有重要意义。

8 群论

8 群论

1、(G,*)为群, H是G的非空子集, (H,*)构成(G,*)的子 群当且仅当：(1)子集H在二元运算*下是封闭的； (2)如果x∈H, 那么x-1∈H 2、(G,*)为群, H是G的非空子集, (H,*)构成(G,*)的子 群当且仅对∀x, y∈H, xy-1∈H. (必要性显然成立，证明

另外，群G中元素a的阶满足如下 性质：
ord(an)=ord(a)/(ord(a), n)
群的概念及其基本性质 子群 循环群 同态和同构 陪集和拉格朗日定理

(G,*)是一个群, H是G的非空子集, 如果(H,*)也是群 ，则(H,*)为(G,*)的子群，有时也简称H为G的子群 ，记做H为 H ≤ G {e}和G本身必然是G的子群,为了与其他子群进行区 分, 称{e}和G为平凡子群, 其它子群为非平凡子群 如果子群H≠G, 我们称H为真子群, 记为H<G 在普通加法下, Z<Q, Q<R, R<C 在普通加法下, 无理数集不能构成实数集的子群

方程 x3=1的三个根 对于复数乘法构成一个交换群，单位元为1
1的逆元为1，阶为1； ε1的逆元为ε2 ，阶为3； ε2的逆元为ε1 ，阶为3

例: G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。 证： a2 = e a2 = a-1a a = a-1，所以
阶大于2的元素必有a a-1.又由于ord(a)=ord(a-1)所
观察如下序列
e, a, a2,… , an,… 序列中的元素都属于G, 且G是有限群, 所以该无限长序列 中必然存在重复的元素, 设重复的元素为am和an, 其中m>n, 即am=an,所以e = am a-n = am-n,其中m-n>0, 说明a的阶必为有 限数.

拉格朗日定理数论

拉格朗日定理数论

拉格朗日定理数论
拉格朗日定理是一个关于整数划分的定理，它指出任何正整数n 都可以表示成不同正整数之和的方式数等于n的不同正整数个数。

具体地说，设p(n)为n的不同划分个数，则拉格朗日定理表明：
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-...
其中，减号和加号交替出现，对应的数是一系列五边形数。

这个公式可以用来计算任意正整数的划分数，但实际上很难用来计算大数的划分数，因为需要计算很多项。

拉格朗日定理的证明比较困难，需要借助生成函数和复合逆的概念。

生成函数是一个数列的形式幂级数，它可以将数列转化为函数，从而方便计算其各种性质。

复合逆则是一种函数的逆运算，它可以将一个函数表示为另一个函数的复合形式，从而方便进行求导、积分等操作。

拉格朗日定理在数论、组合数学等领域有广泛应用，例如在计算机科学中，可以用它来估算算法的时间复杂度。

此外，拉格朗日定理的推广形式也在研究其他数学问题时发挥着重要作用。

- 1 -。

群论正规化子引理

群论正规化子引理

群论正规化子引理
群论中的正规化子引理（也称为拉格朗日定理）是一个非常重要的结果。

它描述了群的子群和正规子群之间的关系。

正规化子引理陈述如下：
设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。

则$H$在$G$中的左陪集的个数（记作$[G:H]$）等于$G$的阶数除以$H$的阶数，即$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$。

简言之，正规化子引理告诉我们，对于一个有限群$G$的子群$H$，左陪集的个数与$H$的阶数成正比。

特别地，如果
$H$是$G$的正规子群，则左陪集的个数是相同的，即$[G:H]=|G/H|$。

正规化子引理的证明比较简单，可以使用群的等价关系（左陪集的等价关系）和乘法原理来进行推导。

正规化子引理在群论中有广泛的应用。

例如，它可以用来证明某些群的阶数必须是特定形式的等结果。

另外，正规化子引理还可以用来推导群的同构定理，即如果存在一个群同构，那么它们的较小子群和正规子群之间的关系也是对应的。

总之，正规化子引理是群论中的一个基本结果，它揭示了子群和正规子群之间的重要关系，对于研究群结构和性质非常有价值。

离散数学(二)拉格朗日定理

离散数学(二)拉格朗日定理
离散数学二拉格朗日定理拉格朗日中值定理拉格朗日定理拉格朗日中值定理高考拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理例题拉格朗日微分中值定理拉格朗日中值定理应用拉格朗日四平方和定理拉格朗日插值定理
离散数学（二）第七讲
计算机学院: 焦晓鹏
拉格朗日定理
主要内容:
11 陪集 2
拉格朗日定理
重点和难点:
重点: 陪集的性质
3I=4I 2.5I∩3.4I=Ø
一、陪集
定理1：设<H , ∗>是群<G , ∗>的子群, aH和bH是任意二个左陪集, 那么, 或aH=bH或aH∩bH=Ø。
思路：令命题要证┐P→Q为真。即要证┐(aH∩bH=Ø)→aH=bH
定理4：(拉格朗日定理) 设<H, ∗>是有限群<G, ∗>的子群,且|G|=n， |H|=m，那么m|n。
说明：设H的不同左陪集有 k个，那么n=|G|=k|H|=km
推论1：质数阶的群没有非平凡子群。
说明：<{e}, *>和<G, *>叫做群<G, *>的平凡子群。
推论2：在有限群<G , ∗>中, 任何元素的阶必是|G|的一个因子。
作业： P217 习题6.7 15
二、拉格朗日定理
例3 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3 = {pi | i = 1,2,3,4,5,6}。
1 2 p1 = 1 2
1 2 p4 = 1 3
1 2 3 1 2 3 3 p2 = 2 1 3 p3 = 3 2 1 3
◇ p1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6
p2 p2 p1 p6 p5 p4 p3

近世代数中拉格朗日定理应用汇总

毕业论文（2016届）题目拉格朗日定理的若干应用学院数学计算机学院专业数学与应用数学年级2012级学号***********学生姓名苗壮指导教师王伟2016年5月8 日摘要拉格朗日定理是群论中一个非常重要的定理, 通过这个定理还可以得到许多群论中的数量关系,在近世代数中有着广泛的应用.首先介绍了群与子群的定义,其次介绍了子群的陪集和拉格朗日定理;并对拉格朗日定理用两种方法进行证明. 最后,通过讨论相关例题,总结运用拉格朗日定理证明与子群、阶有关的问题一些基本步骤和方法.关键词：群子群拉格朗日定理陪集AbstractLagrange law is a very important theorem in group theory, many quantitative relationships in group theory can be obtained through it, which is widely utilized in Modern Algebra. The definitions of groups and subgroups are introduced first. Then the coset of subgroup and Lagrange law are introduced and the law are proved on two ways. Finally, by talking about the relevant examples, certain primary methods and steps to use Lagrange law and to prove some problems about subgroups and order are concluded.Key words: group subgroup Lagrange law coset┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录1.引言................................................. 错误!未定义书签。

几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。

它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。

群论第二章考前复习总结

群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。

（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。

（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。

（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。

⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。

正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。

R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。

⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。

循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。

R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。

1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。

2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。

在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。

6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同 （背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。

群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。

其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。

这种情况不成⽴。

称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。

6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。

离散数学-群


.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定理11.17 设<G，>为有限群,那么当G的非空子
集H对 运算封闭时, <H，>即为G的子群.
定理11.18 设<H，>为<G，>的子群，那麽
（1）当gH时， gH = H（Hg = H）。 （2）对任意gG， gH = H （ Hg = H ）.
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.13
有限群G的每个元素都有有限阶, 且其阶数不超过群G的阶数 G .
.
群
1.1 群及其基本性质
定理11.14
设<G，>为群,G中元素 a 的阶为 k, 那么, an = e当且仅当 k 整除 n .
定理11.15
设<G，>为群，a为G中任一元素， 那么 a 与 a-1 具有相同的阶．
或者aH = bH（Ha = Hb）， 或者 aH∩bH = （Ha∩Hb = ）．
定理0 设<H，>为有限群<G，>的子群
那么H阶的整除G的阶．
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.11 设<H，>
为群<G，>的子群。
定义 G上H的左(右)
陪集等价关系～。
对任意a,bG a～b当且仅当a，b 在H的同一左（右） 陪集中
.
群
1.2 子群、陪集和拉格朗日定理
定义11.9
设<G，>为群．称<H，
G的子群(subgroups)，
如果<H，>为G的 子代数 ，且<H，>为一群．
.
群
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相应地可定义右陪集
陪集与代表元素
对于群G的一个子群，任取G中一个元素a，均 可以构造一个左陪集aH。a称为这个陪集的代 表元素。 任意两个不同的元素作为代表元素构造的左陪 集合未必不相同。
陪集的例子
设（I,+）是整数加群，I3={…-3, 0, 3, 6, 9,…} 是一个子群，则2I3={… -1, 2, 5, 8, 11,…}是一 个左陪集。 注意：实际上2I3=5I3。 S3={(1), (12),(13),(23),(123),(132)}, H={(1),(12)}是一个子群，(13)H={(13), (132)} 是一个左陪集。
[a]R=aH x∈[a]R ⇔ aRx ⇔ x-1a=h∈H ⇔ a=xh ⇔ x=ah-1 ∈aH
拉格朗日定理
每个左陪集与相应的子群等势 对任意的左陪集aH, f :H→aH: ∀h∈H, f(h)=ah是双 射 拉格郎日定理-有限群的子群的一个必要条件 设G是有限群，H是G的子群，则|H|能整除|G| 注意：对有限群，每个陪集元素个数有限且相同， 并等于|H|, 于是|G|=k|H|, k是左陪集的个数，称为H 在G中的指数，记为[G:H]
以上摘自 E.T.贝尔：《数学精英》
法国伟大的数学传统 – “4L” Lagrange(1736-1813); Laplace(1749-1827); Legendre(1752-1833); Lebesgue(1875-1941) – (拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、勒贝格)
严格的说， (H, ₀)中的运算是(G, ₀)中运算在H上的“限制” ₀ ₀
例子：偶数加系统是整数加群的子群 平凡子群
注意：结合律在G的子集上均成立。
关于子群定义的进一步思考
问题1：ab应该在哪儿？ 群G G a eH 子群H a-1H ab 问题2： eH是否一定是eG?
b
子群的判定 – 判定定理一
子群与拉格朗日定理
离散数学 第12讲
上一讲内容的回顾
系统公理与公理化系统 半群 独异点(单元半群) 群公理 群方程及其解 群与消去律 群表
子群与拉格朗日定理
子群的定义及其判定 有限群的子群的判定 陪集与集合的划分 陪集关系
陪集关系是等价关系
拉格朗日定理 拉格朗日定理的重要推论
子群的定义
设(G, ₀)是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的 运算构成群，即(H, ₀)也是群，则H是G的子群。
G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： ∀a,b∈H, ab-1∈H 证明 必要性：∀a,b∈H, 因为H是群，b-1∈H，由封闭性可知 ∀a,b∈H, H b ∈H ab-1∈ ∈H 充分性： 单位元素：因为H非空，任取a∈H, e=aa-1∈H 逆元素： ∀a∈H, 因为e∈H, 所以 a-1=ea-1∈H 封闭性： ∀a,b∈H, 已证b-1∈H，所以ab=a(b-1)-1∈H
生成子群
设G是群，a∈G，构造G的子集H如下： H = {ak | k是整数 } 则H构成G的子群，称为a生成的子群 〈a〉 〈 〉 证明：
H非空：a在H中 利用判定定理二： ∀am,al∈H, am(al)–1 =am-l∈H,
群的中心
设G是群，构造G的子集C如下： C = {a | a∈G, 且∀x∈G, ax=xa } 则C构成G的子群，称为G的中心 证明： C非空：单位元在C中 利用判定定理二：即证明对任意的a,b∈C, (即ax=xa, bx=xb对G中一切x成立)， (ab-1)x=x(ab-1) 也对G中一切x成立
拉格朗日定理的重要推论
有限群G中任何元素的阶一定是|G|的整除因 子
注意：|〈a〉|=a的阶 〈 〉
若G是质数阶的群，则必有a∈G, 满足： 〈a〉=G 〈 〉
实际上，除单位元素外，G中任何元素的生成子 群即G本身
拉格朗日定理推论的应用
6阶群G必含3阶子群 证明
如果G中有6阶元素a, 则b=aa是3阶元素，因此〈b〉是3阶子群 〈 〉 如果G中没有6阶元素，则根据拉格郎日定理的推论，G中元 素的阶只可能是1,2或3。 如果也没有3阶元素，即∀x∈G, x2=e, 因此， ∀x∈G, xy=(yx)2(xy)=yx, 即G是可交换群。因此{e,a,b,ab}构成4阶子 群，但4不能整除6，这与拉格郎日定理矛盾。 ∴G中必含3阶元素a, 由a生成的子群是3阶子群。
作业
pp.22821 22 23 24
拉格朗日(Joseph Louis Lagrange 1736-1813) 拉格朗日
“拉格郎日是数学科学界高耸的金字塔” - 拿破伦.波那巴 “在短得令人难以置信的时间内，他就完全靠自学掌握了他那个时代 的现代分析。十六岁时（可能不太准确），拉格郎日成了在都灵的皇 家炮兵学院的数学教授。然后开始了数学史上最光辉的经历之一。” “他的杰作《分析力学》是他作为一个十九岁的少年在都灵设想出来 的。” 这位十八世纪最伟大，最谦虚的数学家的最著名的语录是：“我不知 道。”
G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且 仅当：
∀a,b∈H, ab∈H, 并且 ∀a∈H, a-1∈H
（注意：这里a-1是a在G中的逆元，当H确定为群后，它必也是a在H中的逆元）
证明
=》必要性显然（注意群中逆元素的唯一性） 《= 充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中， 它即是H的单位元素。
子群的判定 – 判定定理二
注意: (13)H≠H(13)={(13)(123)}
陪集与分划
设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成G的分划
G中任意元素a一定在某个左陪集中：a∈aH ∀a,b∈G, aH=bH或者aH∩bH=∅
假设aH≠bH, 不失一般性，假设存在t=ah*∈aH, 但t∉bH。 假设aH∩bH≠∅, 即存在c∈aH∩bH, 令c=ah1=bh2, 则 a=bh2h1-1, 于是t=ah*=b(h2h1-1h*)∈bH, 矛盾，所以： aH∩bH=∅
子群的判定 – 有限子群
G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： ∀a,b∈H, ab∈H 证明 必要性显然
充分性：只须证明逆元素性 若H中只含G的单位元，H显然是子群。否则，任取H中 异于单位元的元素a, 考虑序列 a, a2, a3, ...
注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此，必 有正整数i,j(j>i), 满足：ai=aj, 因此： a-1=aj-i-1 ∈H
注意：a, b在同一子集内 当且仅当 a∈bH且b∈aH 当且 仅当b-1a∈H
左陪集关系
设H是群G的子群，定义G上的二元关系R如下：∀a,b∈G, (a,b)∈R 当且仅当b-1a∈H R是G上的等价关系 自反性：∀a∈G, a-1a=e
对称性：注意a-1b= (b-1a)-1 传递性：如果b-1a∈H, c-1b∈H, 则 a=c-1(bb-1)a=(c-1b)(b-1a)∈H
(ab-1)x = a(b-1(x-1)-1) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1 = a(xb -1) = x(ab-1)
左(右)陪集及其表示 右 陪集及其表示
若H是群G的一个子群，a是G中的任意一个元 素，定义集合aH如下： aH={ah|h∈H} aH称为H的一个左陪集
由群的封闭性可知，aH也是G的子集 ∀h∈H, ah∈H 当且仅当a∈H, (Why?)