【附加15套高考模拟试卷】广州市铁一中学2020届五月月考三模数学理科试题含答案

广东省广州市铁一中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．点A （－2,5）关于原点对称的点的坐标是 ( )A ．（2,5）B ．（2,－5）C ．（－2,－5）D ．（－5,－2） 2．对于函数y=21x ，下列说法正确的是（ ） A ．y 是x 的反比例函数 B ．它的图象过原点 C ．它的图象不经过第三象限 D ．y 随x 的增大而减小3．解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=-B ．()2x 23x 1-+=-C ．()()2x 231?x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=-4．如图，AB ∥CD ，DE ⊥CE ，∠1=34°，则∠DCE 的度数为（ ）A ．34°B ．56°C ．66°D ．54°5．如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ．212B ．12C ．14D ．216．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．7cm7．在平面直角坐标系xOy 中，若点P （3，4）在⊙O 内，则⊙O 的半径r 的取值范围是（ ）A ．0＜r ＜3B ．r ＞4C ．0＜r ＜5D ．r ＞58．如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.A ．线段GHB ．线段ADC ．线段AED ．线段AF10．在平面直角坐标系中，将点P （4，﹣3）绕原点旋转90°得到P 1，则P 1的坐标为（ ） A ．（﹣3，﹣4）或（3，4） B ．（﹣4，﹣3） C ．（﹣4，﹣3）或（4，3）D ．（﹣3，﹣4）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42cm ，则EF ＋CF 的长为 cm ．12．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10％，则该商品每件的进价为_________元．13．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（，4），则△AOC 的面积为 ．14．已知抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点()1,1，双曲线1y 2x=经过点()a,bc ，给出下列结论：bc 0①>；b c 0+>②；b ③，c 是关于x 的一元二次方程()21x a 1x 02a+-+=的两个实数根；a b c 3.--≥④其中正确结论是______(填写序号)15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 … y…3－2－5－6－5…则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－2的根是______． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确” 请回答：小亮的作图依据是______． 三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图1，在圆O 中，OC 垂直于AB 弦，C 为垂足，作BAD BOC ∠=∠，AD 与OB 的延长线交于D . （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）如图2，延长BO ，交圆O 于点E ，点P 是劣弧AE 的中点，5AB =，132OB =，求PB 的长 .18．（8分）如图1，AB 为半圆O 的直径，D 为BA 的延长线上一点，DC 为半圆O 的切线，切点为C ． （1）求证：∠ACD=∠B ；（2）如图2，∠BDC 的平分线分别交AC ，BC 于点E ，F ，求∠CEF 的度数．19．（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）20．（8分）如图，直线:3l y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，且与双曲线ky x=的一个交点为(1,)B m -，将直线l 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到一个“V ”形折线AMN 的新函数．若点P 是线段BM 上一动点（不包括端点），过点P 作x 轴的平行线，与新函数交于另一点C ，与双曲线交于点D ．（1）若点P的横坐标为a，求MPD的面积；（用含a的式子表示）（2）探索：在点P的运动过程中，四边形BDMC能否为平行四边形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．21．（8分）2018年春节，西安市政府实施“点亮工程”，开展“西安年·最中国”活动，元宵节晚上，小明一家人到“大唐不夜城”游玩，看美景、品美食。

2020年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，则（∁U M）∩N=（）A. {x|-3＜x＜-1}B. {x|-3＜x＜0}C. {x|-1≤x＜0}D. {x|-1＜x＜0}2.已知复数，若z为纯虚数，则|2a-i|=（）A. 5B.C. 2D.3.已知向量=（cos75°，sin75°），=（cos15°，sin15°），则|-|的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 34.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.5.已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A. B. C. D.6.记正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则使的最小的整数n是（）A. 4B. 5C. 6D. 77.记函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：p1：函数g（x）的最小正周期是2π；p2：函数g（x）在区间上单调递增；p3：函数g（x）在区间上的值域为[-1，2]．则下列命题是真命题的为（）A. （￢p2）∧p3B. p1∨（￢p3）C. p1∨p2D. p1∧p28.已知函数，则下列判断错误的是（）A. f（x）为偶函数B. f（x）的图象关于直线对称C. 关于x的方程f（x）=0.7有实数解D. f（x）的图象关于点对称9.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A. 4B.C.D. 810.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 27π11.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n-1行；则第61行中1的个数是（）A. 31B. 32C. 33D. 3412.已知函数f（x）=x2+x-a ln（x+1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0]B. [0，+∞）C. （0，1）∪（1，+∞）D. （-∞，0]∪{1}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列{a n}中，，则a2019的值为______．14.若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是______．15.已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）=f（x）+x2，且当x∈（-∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）-f（x-1）+4x＞0的解集为______．16.如图所示，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，一平行于平面A1BD的平面α与棱AB，AD，AA1分别交于点E，F，G，点P在线段A1C1上，且PG∥AC1，则三棱锥P-EFG的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（a＜b＜c），，sin B sin C=cos（A-C）+cos B．（1）求cos C．（2）点D为BC延长线上一点，CD=3，，求△ABC的面积．18.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数..（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①y=50.8x+169.7②3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：e5.46 1.435.54496.058341959.00表中．19.已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ACD折起至△ACP，使得二面角P-AC-B为60°，连结PB．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B-PA-C的余弦值．20.已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为．（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线与椭圆及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k2的取值范围．21.已知函数f（x）=2ln x-ax2，g（x）=（x+1）e x+3ax-4，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值且最大值是-1，求证：f（x）＜g（x）．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知a，b均为实数，且|3a+4b|=10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查描述法表示集合的定义，指数函数的单调性，以及补集、交集的运算.可求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可.【解答】解：M={x|x＜-1}，N={x|-3＜x＜0}，∴∁U M={x|-1≤x＜0}，∴（∁U M）∩N={x|-1≤x＜0}．故选C.2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．【解答】解：∵z=a+=a+=a-1+3i是纯虚数，∴a-1=0，即a=1．∴|2a-i|=|2-i|=．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题考查了向量数量积坐标运算以及应用,主要利用平方关系和两角差的余弦公式进行求解,考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模.由题意求出-的坐标,由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式,求出-的自身的数量积的值,即求出|-的模,【解答】解:由题意得,-=（cos75°-cos15°,sin75°-sin15°），∴∴|-|=1,故选B．4.答案：B解析：【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是4×4种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果,根据古典概型概率公式得到结果,本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是4×4=16种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,由于共有四个小组,则有4种结果,根据古典概型概率公式得到P=,故选B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80，得解．【解答】解：令x=1得（1+a）（2-1）5=2，解得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80.故选D．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题.由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求q，a1，进而可求a n，即可求解．【解答】解：∵，∴q≠1，∴，两式相除可得，，∵q＞0，解可得，q=，a1=3，∴a n=，∴2n-1＞30，∵24＜30＜25，∴满足条件的最小的整数n=6，故选C.7.答案：A解析：【分析】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．根据函数图象变换关系先求出g（x）的解析式，结合函数周期性，单调性以及最值性质分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），则g（x）的最小正周期T=，故p1错误，当x∈时，2x-∈（-，-），此时函数不单调，故p2错误，当x∈时，2x-∈[-，]，此时当2x-=-时，g（x）取得最小值g（x）=2sin（-）=-1，当2x-=时，g（x）取得最大值g（x）=2sin=2，即函数的值域为[-1，2]，故p3正确，故（￢p2）∧p3是真命题，其余为假命题，故选A．8.答案：D解析：【分析】利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f（x）=2cos4x-1，然后结合余弦函数的性质进行判断即可本题主要考查了辅助角公式和诱导公式在三角函数式化简中的应用及余弦函数的性质的综合应用．【解答】解：∵，=2[]-1=2sin（4x+）-1=2cos4x-1∵f（-x）=2cos（-4x）-1=2cos4x-1=f（x），故f（x）为偶函数，A正确；根据余弦函数对称轴处取得最值可知，当x=-时，f（x）取得最大值，故B正确；∵-1≤cos4x≤1可知-3≤f（x）≤1，从而可知C正确；令4x=k可得x=，k∈z，令x==-可知整数k不存在，故D错误故选：D．9.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AKF为等边三角形是解题的关键．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AK，∵AF的斜率等于，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．又焦点F（1，0），AF的方程为y-0=（x-1），设A（m，m-），m＞1，由AF=AK得=m+1，∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，∴△AKF的面积是×4×4sin60°=4，故选C．10.答案：B解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题.由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．解：如图所示：在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB=6，得CO=CF=，∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△PAB P-ABC的外接球球心，则外接球半径R=OC=，∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选B．11.答案：B解析：【分析】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．根据0-1三角数表求得第6次全行都是1的是第63行，然后你推第62行1的个数减半，第61行1的个数与第62行1的个数相同．【解答】解：由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n-1行，∵n=6时，26-1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1，故y=32.故选B．12.答案：D解析：【分析】本题考查函数的零点个数的问题解法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题.由题意可得f（0）=0，函数f（x）有且只有零点0，x2+x-a ln（x+1）=0，x≠0，x＞-1，可得a=，设g（x）=，求得导数，判断单调性和值域，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=x2+x-a ln（x+1），可得f（0）=0-a ln1=0，由题意可得函数f（x）有且只有零点0，令x2+x-a ln（x+1）=0，x≠0，x＞-1，可得a=，设g（x）=，=，设h（x）=（2x+1）ln（x+1）-x，当x＞0时，=2ln（x+1）+＞0，可得h（x）在（0，+∞）递增，即有h（x）＞h（0）=0，可得＞0，即g（x）在（0，+∞）递增，由g（x）-1=，x＞0，设m（x）=x2+x-ln（x+1），=2x+1-=＞0，可得m（x）＞m（0）=0，即有g（x）＞1恒成立；当-1＜x＜0时，可得=2ln（x+1）+＜0，可得h（x）＞h（0）=0，＞0，即g（x）在（-1，0）递增，由g（x）＞0，又=2x+1-=＜0，可得m（x）＞m（0）=0，即有g（x）＜1恒成立．可得实数a的取值范围为a≤0或a=1．故答案选D.13.答案：1解析：【分析】本题主要考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．根据题意，将a n+1=a n+变形可得a n+1-a n==-，利用“累加法”得到答案.【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1=a n+，变形可得a n+1-a n==-，则a2019=（a2019-a2018）+（a2018-a2017）+……+（a2-a1）+a1=+（1-）+（-）+……+（-）=+1-=1.故答案为1.14.答案：（-∞，1）解析：【分析】本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn 的取值范围．【解答】解：圆的方程x2+y2-4x-2y-4=0化为（x-2）2+（y-1）2=9，可得圆心C（2，1）．∵直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，∴圆心C在直线上，∴2m+2n-4=0，化为m+n=2．则又,所以所以mn的取值范围是（-∞，1）．故答案为（-∞，1）．15.答案：（-∞，0）解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．根据题意，原不等式变形可得f（x+1）+（x+1）2＞f（x-1）+（x-1）2，即g（x+1）＞g（x-1），分析可得g（x）为偶函数且在[0，+∞）上递减，据此可得g（x+1）＞g（x-1）⇒g（|x+1|）＞g（|x-1|）⇒|x+1|＜|x-1|⇒（x+1）2＜（x-1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）-f（x-1）+4x＞0⇒f（x+1）+2x＞f（x-1）-2x⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x-1）+（x-1）2，∴g（x+1）＞g（x-1），又∵g（x）=f（x）+x2，且f（x）为偶函数，∴g（-x）=f（-x）+（-x）2=f（x）+x2=g（x），即g（x）为偶函数，又∵当x∈（-∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，∴g（x+1）＞g（x-1）⇒g（|x+1|）＞g（|x-1|）⇒|x+1|＜|x-1|⇒（x+1）2＜（x-1）2，∴x＜0，即不等式的解集为（-∞，0）；故答案为：（-∞，0）．16.答案：2解析：【分析】利用正方体的特殊性得到PG与平面EFG垂直,设AG=x,建立体积关于x的函数,巧借不等式求得最大值,此题考查了三棱锥体积的求法和利用不等式求解最值等问题,难度适中. 【解答】解:在正方体中,易知AC1⊥平面A1BD,∵平面EFG∥平面A1BD,PG∥AC1,∴PG⊥平面EFG,设AG=x，则EG=x，,又,∴,∴PG=（3-x）,∴V P-EFG===2×=2（当且仅当x=2时取等号）,故答案为2．17.答案：解：（1）∵A+B+C=π，∴cos B=-cos（A+C），∴sin B sin C=cos（A-C）+cos B=cos（A-C）-cos（A+C）=2sin A sin C，∵C∈（0，π），∴sin C＞0，∴sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a．∵，代入b=2a，得：．由a＜b＜c,故而C是最大角，所以．（2）由余弦定理，AD2=AC2+CD2-2AC•CD cos∠ACD，，∴，∴b=2或1．∵b=2a，∴或．∴或．∴△ABC的面积为或．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a．结合，可求sin C的值，求得C的值，可求cos C的值．（2）由余弦定理解得b的值，解得a的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：解：（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．，，，∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好，2021年时，x=13，预测旅游人数为（万人）．解析：本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好.在（1）中的回归方程中，取x=13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．19.答案：解:（1）在矩形ABCD中,取AB中点O,连结DO,与AC交于点E,则AO=1,Rt△ACD与Rt△ODA中,,，∴Rt△ACD∽Rt△ODA,∴∠ADO=∠ACD,∴∠DAE+∠ADE=90°,即DO⊥AC,∵DC∥AO,∴,折起后,DE即为PE,则仍有PE⊥AC,EO⊥AC,则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角,即∠PEO=60°,连结PO,所以在△PEO中,,即∠POE=90°,即PO⊥OE,由前所证,AC⊥PE,AC⊥EO,PE∩EO=E,PE、EO平面PEO，∴AC⊥平面PEO,∵PO平面PEO，∴AC⊥PO,而AC∩EO=E,AC、EO⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC,又∵PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC,解:（2）如图,在平面ABC内,过点O作AB的垂线为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系．由（1）得PO=1.，,，设平面PAC的法向量为,则由得,取z1=1,则,由题意知平面PAB的法向量为,设二面角B-PA-C的平面角为θ,因为θ为锐角,则,即二面角B-PA-C的余弦值为．解析：（1）推导出Rt△ACD∽Rt△ODA,从而∠ADO=∠ACD,进而∠DAE+∠ADE=90°,DO⊥AC,折起后,DE 即为PE,则仍有PE⊥AC,EO⊥AC,则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角,即∠PEO=60°,连结PO,推导出AC⊥平面PEO,AC⊥PO,从而PO⊥平面ABC,由此能证明平面PAB⊥平面ABC,（2）过点O作AB的垂线为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAC的法向量和平面PAB的法向量,利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值.20.答案：解：（1）根据题意，C1的渐近线方程为，则设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2=3λ，b2=λ，∵曲线的焦距为4，则2c=4，即c=2，∴由a2+b2=c2⇒4λ=4⇒λ=1，故C1的方程为；（2）根据题意，将代入得，由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得，即，……①将代入得，由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B，则有，即且，……②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则得x1x2+y1y2＜6，而∴，解此不等式得k2＞1，或，……③由①，②，③得，或，故k2的取值范围为．解析：本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及双曲线的标准方程和几何性质的应用，关键是求出双曲线的标准方程,属于中档题.（1）根据题意，设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2=3λ，b2=λ，结合双曲线的焦距可得a2+b2=c2⇒4λ=4，解可得λ的值，代入双曲线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系可得，①，联立直线与双曲线的方程，进而可得，②，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合根与系数的关系以及向量数量积的计算公式可以用k表示，可得＜6，③，求出①②③三个式子中k的取值范围，综合即可得答案．21.答案：解：（1）函数f（x）=2ln x-ax2，=．（x∈（0，+∞））．a≤0时，＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．a＞0时，=，可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x=时取得最大值，f（）=-ln a-1=-1，解得a=1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．∵x＞0，∴e x＞1．∴要想证明＜e x只要证明2ln x-x2-3x+4≤x+1，即证明2ln x-x2-4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）=2ln x-x2-4x+3，x∈（0，+∞）．=-2x-4==，可得x0=-1时，函数h（x）取得极大值即最大值，+2x0-1=0．h（x0）=2ln x0--4x0+3=2ln x0-2x0+2．令,则当时，,所以t(x)在（0，1）上递增，所以∴2ln x-x2-4x+3≤0，在x∈（0，+∞）恒成立．∴＜e x在x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）函数f（x）=2ln x-ax2，=．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数即可得出单调性．（2）由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x=时取得最大值，f（）=-ln a-1=-1，解得a=1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．由x＞0，可得e x＞1可知，要想证明＜e x，可以只要证明2ln x-x2-3x+4≤x+1，即证明2ln x-x2-4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）=2ln x-x2-4x+3，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=6，化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ-6=0，将代入ρcosθ+ρsinθ=1可得直线l的方程为x+y-1=0，故直线l的参数方程为（t为参数）；（2）P的极坐标为（1，），在直线l上，设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得，则：，，∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：（I）∵|3a+4b|=10，∴100=（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）=25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|-|x-2|≤4，∴或或解可得，x＜-3或-3∴实数x的取值范围（-∞，]解析：（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。

高三数学5月三模试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 【答案】{2,3} 【解析】 【分析】根据交集的定义直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4 【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______【解析】 【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.【详解】52z i=-Q52z i ∴===-【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.4.函数()3sin cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】 【分析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x 的范围即为所求区间.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】 设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示） 【答案】0.568 【解析】 【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果.【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.8.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小 平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8 【解析】 【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x Q 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方 可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b -∴+== 本题正确结果；8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.10.若n a 是二项式(1)nx +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭L ______【答案】2 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.【详解】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m . 联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=u u u v u u u v推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BCλ-≥u u u v u u u v u u u v恒成立，则c bb c+的取值范围是______【答案】⎡⎣【解析】 【分析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v，可知EA BC ≥u u u v u u u v 恒成立，可知minEA u u u v 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围.【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v则BA BC BA BE EA λ-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v EA BC ∴≥u u u v u u u v恒成立 又min EA u u u v为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c b b c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.二、选择题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可.【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立； 当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立 则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件 本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.14.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. 5sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 右平移4π个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选C.15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中,,a b c r r r 都是非零向量，且,a b r r 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A. 至少有一个解B. 至多有一个解C. 至多有两个解D. 可能有无数个解【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈r r r，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=r r r ，由,a b rr 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈r r r则方程20ax bx c ++=r r r r 可变为：20ax bx a b λμ+++=r r r r r即：()()20x a x b λμ+++=r r r,a b Q rr 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=r rr r 至多有一个解本题正确选项：B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.16.如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先找到点M 的路线，把其路线分成六小段，分析从P 到1B 过程函数的单调性得解. 【详解】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，所以点M 在平面1B AC 上， 运动的路线为11B A C B →→→, 设点P 为B 1C 的中点，l=MA 1+MC 1+MD 中，MA 1+MD 是定值， PC 1是定值， MC 1221PC PM +当M 从C 到1B ,运动到1PB 段时，运动的路程x 慢慢变大时， PM 变大，MC 1变大， 所以函数是增函数，所以C 正确；（类似讨论由1B 到A ，由A 到C 的过程，l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ）． 故选：C ．【点睛】本题主要考查立体几何轨迹问题，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在直三棱柱111ABC A B C -中, 90ABC ∠=︒,11,2AB BC BB ===，求：（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面的距离．【答案】(1)25【解析】试题分析：（1）将11B C 平移到BC ，根据异面直线所成角的定义可知ACB ∠为异面直线11B C 与AC 所成角（或它的补角），在Rt ACB V 中求出此角即可；（2）根据1AA ABC ⊥平面，则1AA 就是几何体的高，再求出底面积，最后根据三棱锥1A ABC -的体积公式ABC 1V S AA 3V =⨯求解．试题解析：（1）因为11//B C BC ，所以1A CB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1A C 所成角.1分 因为,,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. 3分在1Rt A BC V 中,, 5分所以异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值为． 6分（2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯10分 可得55d =11分 直线11B C 与平面1A BC 25． 12分 考点：两条异面直线所成角的余弦值； 直线到平面的距离18.已知向量113,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭r 和向量()()1,b f x =r ，且//a b r r . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7BC =21sin B =，求AC 的长度. 【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】 【分析】由//a b r r 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果.【详解】由//a b r r 得：()11sin cos 222f x x x =+则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin A =sin A =由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=- 又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =- 则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：t x a=t OD a =5075t DF t a∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++(]0,25t Q ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号） 1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥即a的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知点F 1、F 2为双曲线222y C x 1b-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB|=2|OM|．【答案】（1）22y x 12-=；（2）-29；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）解：设F 2，M的坐标分别为))0y ,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C 的方程为22y x 12-=；（2）设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，再求出12PP PP 、和cos θ的值，即得12PP PP ⋅u u u r u u u r的值；（3）由题意，即证：OA ⊥OB ，分y 0≠0和y 0=0两种情况证明1212OA OB x x y y 0⋅=+=u u u r u u u r，原题即得证.【详解】（1）解：设F 2，M的坐标分别为))0y因为点M 在双曲线C 上，所以2202y 1b 1b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在Rt △MF 2F 1中，012MF F 30∠=，22MF b =，所以21MF 2b =由双曲线的定义可知：212MF MF b 2-==故双曲线C 的方程为：22y x 12-=（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=； 设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，则 则点P到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为P （x 0，y 0）在双曲线C ：22y x 12-=上，所以22002x y 2-=，又1cos θ3=，所以12PP PP ⋅u u u r u u u r•cos （π-θ）=-22002x y 3-•13=-29（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x+y 0y=2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：()()222200002y x x 4x x 2y 40-+-+= 所以：()()()2001212222202y 44x x x x x 2yx2y x ++=-=---，， 又()()()20102201201201222200002x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以()()()2222000012122222220000002y 442x y 82x OA OB x x y y 02y x 2y x 2y x u u u r u u u r +-+-⋅=+=-+==--- ②当y 0=0时，易知上述结论也成立． 所以1212OA OB x x y y 0⋅=+=u u u r u u u r综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M uu u r uuu r．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如果存在常数a ，使得数列{a n }满足：若x 是数列{a n }中的一项，则a-x 也是数列{a n }中的一项，称数列{a n }为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”．（1）若数列：2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值； （2）已知有穷等差数列{b n }的项数是n 0（n 0≥3），所有项之和是B ，求证：数列{b n }是“兑换数列”，并用n 0和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n }，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）a=9，m=7；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用“兑换数列”的定义得到a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7．（2）利用“兑换数列”的定义可证明数列{b n }是“兑换数列”， 又因为数列{b n }所有项之和是B ，所以B=()01n 0b b n 2+⋅=0an 2，即a=02B n ；（3）假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q＞1），通过推理得到q=1，与q ＞1矛盾，故不存在满足条件的数列{c n }． 【详解】（1）解：因为2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列” 所以a-m ，a-6，a-3，a-2也是该数列的项，且a-m ＜a-6＜a-3＜a-2， 故a-m=2，a-6=3，即a=9，m=7． （2）证明：设数列{b n }的公差为d ， 因为数列{b n }是项数为n 0项的有穷等差数列若b 1≤b 2≤b 3≤…≤0n b ，则a-b 1≥a-b 2≥a-b 3≥…≥a-0n b ， 即对数列{b n }中的任意一项b i （1≤i ≤n 0），a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i∈{b n }同理可得：b 1≥b 2≥b 3≥…≥0n b ，a-b i =b 1+（n 0-i ）d=0n b +1-i∈{b n }也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列{b n }是“兑换数列”；又因为数列{b n}所有项之和是B ，所以B=()01n 0b b n2+⋅=0an 2，即a=02B n ；（3）解：假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q ＞1），因为数列{c n}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜c n，则a-c1＞a-c2＞a-c3＞…＞a-c n，又因为数列{c n}为“兑换数列”，则a-c i∈{c n}，所以a-c i是正整数故数列{c n}必有穷数列，不妨设项数为n项，则c i+c n+1-i=a（1≤i≤n）①若n=3，则有c1+c3=a，c2=a2，又c22=c1c3，由此得q=1，与q＞1矛盾②若n≥4，由c1+c n=c2+c n-1，得c1-c1q+c1q n-1-c1q n-2=0即（q-1）（1-q n-2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列{c n}．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列，考查新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M { x | 0 x 1, x R}, N { x | x 2, x R} ，则（）A．MI N M B．MI N N C．M UN M D．M UN R2．若复数z满足方程z2 2 0 ，则z3 （）A．22 B．2 2 C．2 2i D．2 2i3．若直线kx y 1 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．[ 3, ) B．( , 3] C．(0, ) D．( , )4．已知p : x 1 2 ， q : 2 x 3 ，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设函数f (x) 2cos 1 x3 ，若对任意 x R 都有f ( x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则 x1 x2的最小2值为（）A．B．C．2 D．42 1AA1, CQ 1CC1，6．已知直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，若 P, Q 分别在 AA1, CC1上，且 AP3 3 则四棱锥 B APQC 的体积为（）A．1V B．2V 1 D．7VC．V6 9 3 9A 1 C1B 1P QA CB7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3 位同学．现从这10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为（）5B ． 934A ．C ．D ．1414778．已知直线 l : y x2 与 x 轴的交点为抛物线 C : y 22 px( p 0) 的焦点， 直线 l 与抛物线 C 交于 A, B两点，则 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为（）A ．8B ．6C ． 5D ． 49．等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 11, a 2 a 5 4 ，若 S n ≥ 4a n 8 (n N ) ，则 n 的最小值3为（ ）A ．8B ．9C ． 10D ． 1110．已知点 P( x 0, y 0 ) 是曲线 C : y x 3 x 2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线 y 8x 11 平行，则（ ）A ． x 02B ． x 04344 C ． x 0D ． x 02 或 x 02 或 x 03311．已知 O 为坐标原点，设双曲线x 2 y 20, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P 是双曲C : 2 2 1(aa b线 C 上位于第一象限上的点，过点 F 2 作 F 1PF 2 的平分线的垂线，垂足为A ，若 bF 1F 2 2 OA ，则双曲线 C 的离心率为（）5B ．45D ． 2A ．3C ．4312．已知函数 f (x)x 2 x 1, x 0 ，若 F ( x)f ( x) sin(2020 x) 1在区间 [ 1,1]上有 m 个零x2x 1, x ≥ 0点 x 1, x 2 , x 3, L , x m ，则 f ( x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) Lf ( x m ) （）A ．4042B ．4041C ． 4040D ． 4039二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在ax 1 ( x2 1)5的展开式中，x3的系数是15，则实数a ．xur uur ur uur ur uur的夹角为5，则实数 k 的值为15．已知单位向量e1与e2 的夹角为，若向量 e1 2e2 与 2e1 ke23 6．16．记数列{ a n}的前n项和为S n，已知anan 1 cosnsinn(n N ) ，且 m S2019 1009 ，n 2 21 9a1m 0 ，则的最小值为．a1 m三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（本小题满分12 分）△ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c．已知c 3 ，且满足ab sin C．3（ 1）求角C的大小；asin A b sin B c sin C（ 2）求b 2a的最大值．18．（本小题满分12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数x x ≤ 5 5 x 20 x≥ 20人数15 60 25（ 1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率；（ 2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数，求Y的分布列及数学期望 E (Y )．19．（本小题满分12 分）如图 1，在边长为 2 的等边△ABC中，D, E 分别为边 AC , AB 的中点．将△AED沿DE折起，使得AB AD， AC AE ，得到如图2的四棱锥 A BCDE ，连结 BD ， CE ，且 BD 与 CE 交于点 H ．（ 1）求证：AH 平面 BCDE ；（ 2）求二面角B AE D 的余弦值．AAE D E DHB C B图 2 C图 120．（本小题满分 12 分） 已知 e M 过点 A(3,0) ，且与 e N : ( x3) 2 y 2 16 内切，设 e M 的圆心 M 的轨迹为曲线 C ．（ 1）求曲线 C 的方程；（ ）设直线 l 不经过点 B(2,0) 且与曲线 C 相交于 P, Q 两点．若直线PB 与直线 QB 的斜率之积为12，2判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)( x 4)e x 3x 2 6x, g( x)a 1 x 1 ln x ．3（ 1）求函数 f ( x) 在 (0, ) 上的单调区间；（ 2）用 max{ m, n} 表示 m, n 中的最大值， f (x) 为 f (x) 的导函数．设函数 h( x)max{ f (x), g(x)} ，若 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 3）证明：111 L 1 1 ln 3 (n N ) ．nn 1n 2 3n 13n（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分）xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1 的参数方程为1 （ t 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为y2t3x, 3cos（为参数且）．2 2y 3 tan（ 1）求曲线 C 1 和 C 2 的普通方程；（ 2）若 A, B 分别为曲线 C 1, C 2 上的动点，求AB 的最小值．23．【选修 4—5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) 3x 6x a , a R ．（ 1）当 a 1 时，解不等式 f (x) 3 ；（ 2）若不等式 f ( x) 11 4x 对任意 x4,3成立，求实数 a 的取值范围．22020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案： A解析： M { x | 0 x 1, xR }, N { x | x 2, x } { x | 2 x 2, x R },MN ，RMINM ．2．答案： D解析： z 22 0, z 22, z2i, z 3 (2i) 32 2i ．3．答案： D解析：圆的标准方程为( x 1)2 ( y 2)2 4 ，圆心为 C( 1,2) ，半径 r 2 ，直线 kx y 1 0 过定点P(0,1) ，因为 CP2r ，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是 (, ) ．4．答案： B解析：由 x 1 2 ，得 x 1 2 或 x 1 2 ，解得 x 3 或 x 1 ，因为 { x | 2 x 3} { x | x3或 x 1} ，所以 p 是 q 的必要不充分条件．5．答案： C解析：由题可知 x 1 是函数 f ( x) 的最小值点， x 2 是函数 f (x) 的最大值点．所以 x 1 x 2 的最小值为函数f (x) 半个周期， T4 ,1T2 ．2A 1 C 16．答案： B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为 h ，则 V3a 2 h ， B 14PQ所以 V B APQC11ah3 a 3 a 2 h 2V ．AC33 21897．答案： CB解析：从 10 位同学中选取 5 人，共有 C 105252 种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1 人，则共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32 C 3136 72 108 种不同的选法，则所求概率为108 3 ．252 78．答案： A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为F (2,0) ，所以 p 4 ，将 yx 2 代入 y 28x ，得x 2 12x 40 ，设 A( x 1, y 1), B( x 2 , y 2 ) ， AB 中点 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 1 x 2 12 ， x 0 x 1x 26 ，2则点 M 到准线 x2的距离为 6 ( 2) 8．9．答案： C{ a n } 的公差为 d ，则 a 2 a 5 2a 125d4 ，解得 d 2解析：设等差数列 5d3 ．3所以a na 1 (n 1)d 1 2( n 1)2n 1 ， S n n(a 1 a n ) 1 n2，由 S n ≥ 4a n 8 ，化简得：3 3 3 2 3n 28n 20≥ 0 ， (n 2)( n 10) ≥ 0 ， n ≥ 10 ，即 n 的最小值为 10．10．答案： B解析：令 y3x 2 2x8，得 3x 22x 8， (3x 4)( x 2) 0 ，解得 x4 或 x2 ，43当 x2 时， y5 ，此时 M (2,5) 在直线 y 8x 11 上，故舍去，所以．x311．答案： CP解析：延长 F 2 A 交 PF 1 于点 B ，因为PA 是F 1PF 2 的平分线且 PA F 2B ，B可得 PBPF ，且 ABAF ，A22所以 OA 是 △ F 1 BF 2 的中位线，F 1O F 2所以 OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由 b F 1F 2 2 OA ，可得 b 2c 2a ，所以 b 2 (2c 2a) 2 ， c 2 a 24c 2 4a 28ac ，所以 3c 28ac 5a 2 0 ， 3e 2 8e 5 0 ， (3e 5)(e1) 0 ， e 5 ．312．答案： B解析： f ( x) x xx 1 ，所以 F ( x) f ( x) sin(2020 x) 1 x x x sin(2020 x) 为奇函数，m0，显然 F(1)F (0) F (1) 0 ，当0 ≤ x ≤ 1 时，由 F (x) x 2所以x ix sin(2020 x) 0 ，i1得 x 2xsin(2020 x) ，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤ 1) 和 y sin(2020 x) (0x ≤ 1) 的图象， ysin(2020 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间0, 1 , 1 , 2 , L L 1009 , 1010 内各有 2 个零点， 所以两函数在区间 (0,1] 内1010 1010 1010 1010 1010共有 2020 个交点，即 F ( x) 在 (0,1] 内共有 2020 个零点，由对称性， F ( x) 在 [ 1,0) 内也有 2020 个零点，又 F(0)0 ，所以 m 4041，所以 f (x 1)4041f (x 2 ) f ( x 3 ) L f ( x m )(x x x 1)4041 ．i 113．答案： 3 ， 3 （第 1 个空 2 分，第二个空 3 分）3解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1 ，高h 3 ，母线长 l 2，体积V 1 r 2h 3 ，表面积 S r 2 rl 3 ．3 314．答案： 5解析：ax 1 ( x2 1)5 ax ( x2 1)5 1 ( x2 1)5，x x而 ( x2 1)5的展开式中含x2的项为 C54 x2 ( 1)4 5x2 ，含 x4 的项为 C53 (x2 )2 ( 1)3 10 x4 ，所以ax 1 (x2 1)5的展开式中，x3的系数是5a 10 15 ，解得 a 5 ．x15．答案：10ur uur 1 3 r ur uur(2, r ur uur k 3k ，解析：不妨取 e1 (1,0), e2 , ，设 a e 2e 3) ，b 2e1 ke2 2 ,2 2 1 2 2 2r r 3r r a b 4 k k 32k 2 19k 10 0 ，则 cos a, b r r 2 ，两边平方，并整理得a b k 2 3 k2 27 22 4(k 10)(2 k 1) 0 ，解得k 10 或k 1 5k 0 ，所以k 10 ．，又因为 42216．答案： 16解析：当 n 2 时，得a2 a3 1, a2 a3 2 ；当n 4时，得a4 a5 1, a4 a5 4 ，2 4a2 a3 a4 a5 2 ，同理可得a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 L a2014 a2015 a2017 a2019 2 ，又a2018a2019 1,a2018a2019 2018 ，2018所以 S2019 a1 (a2 a3 a4 a5 ) ( a6 a7 a8 a9 ) L (a2018a2019)a1 504 2 2018 a1 1010 ，由 m S2019 1009 ，得 a1 m 1，所以19 1 9 (a1 m) 10 m9a1 ≥10 2 m 9a1 16 ．a1 m a1 m a1 m a1 m17．解：（ 1）根据正弦定理a b c， 得abc3．sin A sin B sin C b 2 c 2a 2因为 c3 ，所以 ab a 2 b 2c 2 【或 ab a 2 b 2 3 】．由余弦定理，得 cosC a2b 2c21【或 cosCa 2b 231】，因为 0 C ，所以C ．2ab 22ab 23（ 2）由已知与（ 1）知 c3 ， C．由正弦定理abc3 ， sin A sin Bsin C23sin3得 a2sin A ， b 2sin B2sin2A ．3所以 b2a2 A4sin A 5sin A3 cos A 2 7 sin( A) ，2sin3（其中 tan3）．因为 02 ， 0，所以 0 A5， 02 A．5366所以 A时， b 2a2 7 sin( A) 取得最大值 2 7 ．所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．218．解：（ 1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练 的天数不少于 20 天”记为事件为 A ，则 P( A)25 1 ．100 4设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数为，则 :B14， ．4所以恰好抽到 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率为22P2C 42 3127 ．4 4128（ 2）用分层抽样的方法从100 个马拉松训练者中抽取 12 个，则其中 “平均每月进行训练的天数不少于20天”有 3 个．现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的数量 Y 服从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则P(Y 0) C 30C 9321 ， P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 90 1 ． C 123， P(Y C 322022012所以 Y 的分布列如下：Y12 3P21 2727 15555220220所以EY 0211 272 2731 165=3 ． 5555220220 220 419．（ 1）证明 1：在图 1中，因为 △ ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BD AC ．在 △BCD 中， BD CD ，BC 2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D, E 分别为边AC, AB 的中点，所以 ED // BC ．在图 2 中，有DHED 1 ，所以 DH 1BD3 ．HBBC 233因为 ABAD ，所以 △ABD 为直角三角形．因为 AD1， BD3 ，所以 cosADB AD 3BD．3在 △ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 2 2AD DH cos ADB1 12 1 33 2 ，所以 AH 6 ．3 3 3 3 3在 △ADH 中，因为 AH 2DH 2 2 1 1 AD 2 ，所以 AH BD ． 同理可证 AH CE ．3 3因为 CEI BDH ，CE 平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH 平面 BCDE ．证明 2：在图 1中，因为 △ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BDAC ．在 △BCD 中， BDCD ，BC2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D , E 分别为边 AC, AB 的中点，所以ED// BC ．在图 2 中，有DHED1 ，所以 DH 1BD3 ． 在 Rt △ BAD 中， BD3，AD 1，HBBC 233在 △BAD 和 △ AHD 中，因为DBDA3 ，BDAADH ，所以 △BAD ∽△ AHD ．DA DH所以AHD BAD 90 ．所以 AH BD ． 同理可证 AH CE ．因为 CEI BDH ，CE平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH平面 BCDE ．（ 2）解法 1：以 E 为原点， EB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴，平行于 AH 的直线为 z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系E xyz ， 则 B(1,0,0), C (0, 3,0), A 0, 3 , 6 ，33zAE Duuur3 6 uuuruuur1 uuur13．EA0,,, EB(1,0,0), EDBC,,0 332 2 2ur设平面 ABE 的法向量为 m ( x 1 , y 1, z 1 ) ，ur uuur3 6ur则 m EA3 y 13 z 10 ，取 m (0, 2, 1) ．ur uuurm EB x 1 0r uuur36rn EAy 2z 2设平面 ADE 的法向量为( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则33r( 6, 2, 1)．n，取 nr uuur1x 23y 2n EDur r22ur r33m n所以 cos m, n urr3 3 ．m n 3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAE D 的余弦值为3 ．3解法 2：在四棱锥 ABCDE 中，分别取 AE ， AB 的中点 M ， N ，连接 DM ， MN ， ND ．因为 △ADE 为等边三角形，所以 DMAE ，因为 BEEC ， BE AH ，CEI AH H ，且 CE, AH平面 AEC ， 所以 BE 平面 AEC ．因为 AE平面 AEC ，所以 BEAE ．AMNED因为点 M ， N 分别为边 AE ， AB 的中点，H所以 NM // BE ．所以 NM AE ．B C 所以 DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形 ADE 中，因为 AD1，所以 DM3 ． 在 △ABE 中， MN 1EB 1 ．22 2在 Rt △ ABD 中， AD 1 ， BD3 ，所以 AB2． 所以 DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 21 226在 △DMN 中，由余弦定理得 cos 22 23 ． DMN3 12322所以二面角 B AE D 的余弦值为3．320．（ 1）解：设 e M 的半径为 R ，因为 e M 过点 A( 3,0)RMA，且与 e N 相切，所以，即MN4 RMN MA 4 ．因为 NA 4，所以点 M 的轨迹是以 N ， A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2y 2 1(a b 0) ， 则 2a4 ，且 ca 2b 23 ，a 2b 2所以 a2 ， b 1．所以曲线 C 的方程为x 2y 2 1 ．4（ 2）解法 1：依题意，直线 BP, BQ 的斜率均存在且不为0，设直线 BP 的斜率为 k (k0) ，则直线 BPyk (x 2)2222的方程为 y k( x2) ．由x 2，得 (1 4k )x 16k x 16k40 ，y214解之得 x 12， x 28k 2 2 ．因此点 P8k 2 24k1 4k2 的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线 BQ 的斜率为1，所以可得点 Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k 1 k 2 1 k 2当 k2kPQ=3k时，直线 l 的斜率为．22(1 2k 2 )所以直线 l 的方程为 y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2 )整理得 y2(1 3k 2 x 1 k 2 ．即 y 2(1 3k 2 x 2 ．2k ) 2k 2k ) 3此时直线 l 过定点2,0 ． 当 k2 时，直线 l 的方程为 x 2 ，显然过定点 2,0 ．32 3 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法 2：当直线 l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： xx 1 ．设点 P( x 1, y 1) ，则点 Q ( x 1 , y 1 ) ，依题意x 12 ，因为 kBPkBQy 1y 1x2y 1 241，所以 y 1 2x 124x 1 4 ．x2 x24x221 1 1 1因为x 12y 12 1，且 x 1 2 ，解得 x 1 2 ． 此时直线 l 的方程为 x 2 ．4 33当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： y kx m ．y kx m,由x 2 得 (4 k 2 1)x 2 8kmx 4( m 2 1) 0 ．y2 14需要满足(8km) 2 16(4 k2 1)(m2 1) 0 ，即 m2 4k 2 1 ．设点 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ，则有 x1 x28km， x1 x2 4(m2 1) ．4k 2 1 4k 2 1因为 y1 kx1 m ， y2 kx2 m ，所以 y1 y2 ( kx1 m)(kx2 m) m2 4k2 ．4k 2 1因为 k BP k BQy1 y2 y1 y2 1，所以 x1 x2 2 x1 x2 4 2 y1 y2．x1 2 x2 2 x1 x2 2( x1 x2 ) 4 24(m2 1) 16km4 2( m2 4k 2 ) 28km 2 0．所以 m2k 或m 2k．即4k 21 4k24k21，即 3m 4k1 3当 m 2 k 时，满足 m2 4k2 1 ，直线l的方程为 y k x 2 ，恒过定点 2 ,0 ．3 3 3当 m 2k 时，满足m2 4k 2 1 ，直线l的方程为 y k(x 2) ，恒过定点 (2,0) ，不合题意．显然直线 x 2 2，也过定点,03 3综上所述，直线 l 过定点2,0 ．321．（ 1）解：因为f ( x) (x 4)e x 3 x2 6x ，所以 f ( x) ( x 3)e x 3 2x 6 ( x 3)(e x 3 2) ．当 0 x 3 时，f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减；当x 3时， f (x) 0， f (x) 单调递增，所以函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,3) ，单调递增区间为 (3, ) ．（ 2）解：由（1）可知，当x [3, ) 时， f ( x) ≥ 0 ．所以要使 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，只需 g(x) ≥ 0 在区间 (0,3) 上恒成立即可．因为g( x) ≥ 0 a 1 x 1 ln x ≥ 0．3以下给出四种求解思路：思路 1：因为 x0 ，所以 a 1 x 1 ln x ≥ 0在区间0,3 上恒成立，3转化为 a ≥1ln x 1 在区间 0,3 上恒成立．x 3 令 m( x)1 ln x 1 ln xx ，则 m ( x) x 2 ．3因为当 x (0,1) 时， m (x) 0 ，当 x (1,3) 时， m ( x)0 ．所以 m( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,3) 上单调递减．所以 m( x) ≤ m(1)4 ．所以 a ≥ 4．所以实数 a 的取值范围为4 , ．3 3 3思路 2：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1(3a 1)x 3(0 x 3) ．33 x3x①若 a ≤ 10 在 (0,3) 上恒成立，所以 g( x) 在 (0,3) 上单调递减，，则 g ( x)3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥ 2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．②若1a ≤ 2 ，则 g ( x) ≤ 0 在 (0,3) 上恒成立，所以 g(x) 在 (0,3) 上单调递减，3 3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．③若 a2x3时， g ( x)3x3 时， g (x) 0 ．，则当 03a 0 ，当313a1所以函数 g( x) 在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递增．1 3a3a 1所以 g(x) ≥ g3ln 3 ，由3≥ 0 ，解得 a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数 a 满足 a ≥ 4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路 3：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1 ．33 x因为 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，则 g (1) a 1 1≥ 0 ，即 a ≥4 ．3 3 3因为 g ( x) a 1 1 在 (0,3) 上单调递增，3 x因为 g 1 10 ，【或 x 0 时，g ( x) 】 g (3) a20 ．a 3 3所以存在x0 (0,3) ，使得 g ( x0 ) a 1 1 0 ．3 x0当 x (0, x0 ) 时， g ( x0 ) 0 ，当 x ( x0 ,3) 时， g ( x0 ) 0 ．所以函数 g( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减，在( x0 ,3) 上单调递增．所以 g(x) ≥ g( x0 ) a 1x0 1 ln x0 ln a 1 ．3 3要使 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，只要 ln a 1 ≥ 0 ，解得 a ≥4．3 3 3 所以实数 a 的取值范围为4 , ．3思路 4：因为x 0 ，所以 a 1x 1 ln x ≥ 0在区间 (0,3) 上恒成立，3转化为 a 1x ≥ 1 ln x 在区间 (0,3) 上恒成立．3令 s(x) 1 ln x ，则 s ( x) 10 ， x (0,3) ．x所以 s(x) 在 (0,3) 上单调递增．而 y a 1s( x) 1 ln x 相切于点 (x0 , y0 ) ，x 是经过原点的直线，设过原点的直线与3则切线方程为 y y0 1 ( x x0 ) ，因为 y y0 1( x x0 ) 过原点，所以y0 1 ．x0 x0因为 y0 1 ln x0，所以x0 1．即切点为(1,1)．所以经过原点且与s( x) 1 ln x 相切的直线方程为y x ．所以 足a1 x ≥ 1 ln x 的条件是 a1 ≥ 1 ，解得 a ≥ 4．3 33所以 数 a 的取 范4 ,．3（ 3） 明 1：由（4 ，有 ln x ≤ x 1．即 ln( x 1) ≤ x ．2）可知，当 a31ln 1 1lnn1 ，n nn同理11 ln n2 ， 1 lnn 3，⋯，1ln3n1．n n 1 n 2 n 23n3n所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3n 1ln 3 1ln 3 ．n 1 23n 1 3nnn所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3 ． n 1 23n1 3n明 2：要11 1 L 1 1 1 ln 3，n n 1 n 23n 3n111L1111111即 e n n 1 n 2 3n 1 3n3 ，即 e n e n 1e n 2Le 3n 1 e 3 n3 ．先 明 e x 1 x ( x0) ，事 上， p( x) = e x 1 x ， p ( x) = e x1 ，当 x0 ， p ( x) = e x 1 0 ，所以 p( x) 在 (0,) 上 增．所以 p( x)p(0) 0 ，所以 e x1 x ( x 0) ．11111所以 e n en 1en 2L e3n 1e3nn 1 n 2 L 3n 3n 1 n n1 3n 1 3n所以11 1 n 1 L 11 n n 23n1+11+ 1L1+1 1+1nn 13n 13n3n 1 ．3n1．ln 3 3nx 3 t 22．解：（ 1）因 曲 C 1 的参数方程1 （ t 参数），消去参数 t ，得 2x y 5 0．y2t所以曲 C 1 的方程 2x y5 0 ．x3 ,因 曲 C 2 的参数方程 cos （ 参数），y3 tan则由 x3，得 cos3，代入 y3 tan 得 siny， 消去参数，得 x 2y 2 3 ．cosxx因为,2 ，所以 x 0 ．所以曲线 C 2 的方程为 x 2y 2 3 (x0) ．2（ 2）因为点 A ， B 分别为曲线 C 1 ， C 2 上的动点，设直线 2x y b 0 与曲线 C 2 相切，2x y b 0，消去 y 得 3x 24bx b 2 3 0． 所以(4b) 24 3 (b 23) 0 ，解得 b3 ．由y3x 2 2因为 x0 ，所以 b 3 ． 因为直线 2 x y 5 0 与 2x y3 0间的距离为：3 ( 5)85．所以 AB 的最小值85 ．d1)222 ( 5523．（ 1）解：因为 a 1 ，所以 f ( x) 3 x 2 x 1 ．当 x ≤ 1时，由 f (x) 7 4x 3 ，解得 x 1 ，此时 x．当 1 x2 时， f (x) 5 2x3 ，解得 x 1，此时 1 x 2 ．当 x ≥ 2 时， f (x)4x 7 3 ，解得 x552 ，此时 2 ≤ x．2综上可知， 1 x5 5．．所以不等式的解集为 1,22（ 2）解法 1：由 f ( x) 11 4x ，得 3 x 2 x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 x a 5 x ．问题转化为 x a5 x 对任意的 x4,3恒成立，22所以 x 5x a 5 x 【或 (x a)2(5 x)2 】． 所以 2x 5 a 5 ．因为当 x4,3时， (2 x5)max8 ．所以实数 a 的取值范围为 ( 8,5) ．2解法 2：由 f ( x)11 4x ，得 3 x 2x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 |x a | 5 x ．2问题转化为x a 5 x 对任意的 x4, 3 恒成立， 分别作出函数y x 5 与函数 y x a 的图2像，如图所示， 要使 xa5 x 对任意的 x4,3恒成立， 则当 x4, 3时，函数 y x 5 的22图像在函数 yx a 的图像的上方． 所以当 x4,3时，需要满足 a x5 x 且 x a 5 x ．2因为当 x4, 3 时， 2x 5max 8 ．2所以实数 a 的取值范围为8,5．。

2019-2020届高三数学第五次月考试题一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{1,2,3,4,5,6}I =,集合{}{1,3,5},3,4,6M N ==，则() I M N =U ð A. {1,2,4,5,6} B. {2} C. {3}D. ∅2.若941log 2x =-，则x = A.23B.32C.3D.3.已知i 是虚数单位，复数1232,14z i z i =-+=-，则复数12z z z =+在复平面内表示的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作①，那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是 A ①用随机抽样法，①用系统抽样法 B. ①用分层抽样法，①用随机抽样法 C ①用系统抽样法，①用分层抽样法D. ①用分层抽样法，①用系统抽样法5.已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( ) A.B.C.D.6.已知p①1x >①q①20x ->.则p 是q A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知等差数列{}n a 的前50项和为501000S =，则150a a +=.A. 40B. 50C. 60D. 708.两条平行直线3420,34120x y x y +-=+-=之间的距离是A. 2B.145C. D. 59.在△ABC 中，①A=90°①(),1AB k =u u u v ,()2,3AC =u u u v，则k 的值是A.23B.32C. 23-D. 32-10.已知点(2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5,则p 的值为（ ① A. 4B. 3C. 2D. 111.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点， 那么EF u u u v①( )A.1123AB AD -u u uv u u u v B.1142AB AD +u u uv u u u v C. 1132AB AD +u u uv u u u vD. 1223AB AD -u u uv u u u v12.下列函数中，偶函数的是 A. sin cos y x x = B. lg 1y x =- C. x x y e e -=- D. x x y e e -=+13.711711coscos sin sin 412412ππππ-=A. B.C. 12-D.1214.若0a b <<,则下列不等式中不能成立的是 A.11a b> B.11a b a>- C. a b >D.44a b >15.一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差A. 2s 2B. 2sC. 22sD. 42s二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如左下图所示，若130 ①140分数段的人数为90人，则90①100分数段的人数为___________17.已知,x y 满足不等式组0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值等于______18.在等差数列{}n a 中，已知14378,18a a a a +=+=，则此数列的通项n a =_____，前n 项和n S =_____19.已知双曲线222116x y b-=的离心率e =_______三、解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）20.已知ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 222a b c bc =++. ①1）求A 的值；①2）若045,B a ==b 值.21.如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体.①1）求多面体111B C D ABCD -的体积； ①2）求证：平面11//AB D 平面1C BD2019-2020届高三数学第五次月考试题一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{1,2,3,4,5,6}I =,集合{}{1,3,5},3,4,6M N ==，则() I M N =U ð A. {1,2,4,5,6} B. {2}C. {3}D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，先求得M N ⋃，再根据补集定义求得()I M N ⋃ð即可． 【详解】根据并集定义，可得{}1,3,4,5,6M N ⋃= 所以由补集定义可得(){}2I M N ⋃=ð 所以选B【点睛】本题考查了并集的简单运算，补集的基本求法，属于基础题． 2.若941log 2x =-，则x = A.23 B.32C.3【答案】A 【解析】 【分析】由对数与指数的互换公式，化简即可求得x ． 【详解】将对数式化为指数式可得1122942493x -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以选A【点睛】本题考查了指数式与对数式的互换，指数幂的简单运算，属于基础题． 3.已知i 是虚数单位，复数1232,14z i z i =-+=-，则复数12z z z =+在复平面内表示的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的加法运算，表示出复数z ，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．【详解】由复数加法运算可知12321422z z z i i i =+=-++-=--在复平面内表示的点坐标为()2,2--，所以所在象限为第三象限 所以选C【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题． 4.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作①，那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是A. ①用随机抽样法，①用系统抽样法B. ①用分层抽样法，①用随机抽样法C. ①用系统抽样法，①用分层抽样法D. ①用分层抽样法，①用系统抽样法【答案】B 【解析】 【分析】调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显①所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法①【详解】对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本 所以选B【点睛】本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样①属于基础题．5.已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( ) A.B.C.D.【答案】D【分析】圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】∵圆锥的底面周长为6π ∴圆锥的底面半径3r = 双∵圆锥的母线长8l =∴圆锥的高为h ==∴圆锥的体积为213V r h π== 故选D.【点睛】本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键． 6.已知p①1x >①q①20x ->.则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，“小范围”可以推出“大范围”，比较p 与q 范围大小即可． 【详解】命题q ：2x >，命题p ：1x > 所以p 表示x 的范围大，q 表示x 的范围小 所以q p ⇒ ，但p 不能推出q ． 所以p 是q 的必要不充分条件 所以选B【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用，属于基础题． 7.已知等差数列{}n a 的前50项和为501000S =，则150a a += A. 40 B. 50C. 60D. 70【答案】A 【解析】根据等差数列求和公式，可直接求得150a a +的值． 【详解】根据等差数列的前n 项和公式可得()15050502a a S +=代入501000S =，可解得15040a a += 所以选A【点睛】本题考查了等差数列求和公式的简单应用，属于基础题． 8.两条平行直线3420,34120x y x y +-=+-=之间的距离是 A. 2 B.145C. D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式可直接求得两直线间距离． 【详解】由平行线间距离公式d =，代入数据可得2d ==所以选A【点睛】本题考查了两平行线间距离公式的应用，属于基础题． 9.在△ABC 中，①A=90°①(),1AB k =u u u v ,()2,3AC =u u u v，则k 的值是 A.23B.32C. 23-D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】在△ABC 中，因为∠A=90°①所以0AB AC ⋅=u u u r u u u r①代入坐标即可求得k 的值．【详解】在△ABC 中，因为∠A=90°①所以0AB AC ⋅=u u u r u u u r①代入坐标可得2k+3=0 解得k=32- 所以选D【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，属于基础题．10.已知点(2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5,则p 的值为（ ① A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】y 2=2px (p ＞0)的焦点为(2p 5=解得4p = 11.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点， 那么EF u u u v①( )A. 1123AB AD -u u uv u u u v B.1142AB AD +u u uv u u u v C. 1132AB AD +u u uv u u u vD. 1223AB AD -u u uv u u u v【答案】D 【解析】在CEF ∆中，EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r∵点E 是DC 的中点∴12EC DC =u u u r u u u r∵点F 是BC 的一个三等分点∴23CF CB =u u u r u u u r∴121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.12.下列函数中，偶函数的是 A. sin cos y x x = B. lg 1y x =-C. xxy e e -=- D. x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数定义，()()f x f x =- ，代入依次检验即可得到答案．【详解】对于A ，()sin()cos()sin cos ()f x x x x x f x -=--=-≠，所以A 不是偶函数 对于B ，()lg 1lg 1()f x x x f x -=--=+≠，所以B 不是偶函数 对于C ，()()xx f x e e f x --=-≠，所以C 不是偶函数 对于D ，()()xx f x e e f x --=+=，所以D 是偶函数所以选D【点睛】本题考查了偶函数的定义，代入()f x -检验()()f x f x =-是否成立即可，属于基础题． 13.711711coscos sin sin 412412ππππ-=A. C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦的和角公式，逆用得到三角函数值，应用诱导公式即可求解． 【详解】由余弦的和角公式可得711711711cos cos sin sin cos 412412412ππππππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 2cos 23ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2cos cos 33ππ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12=- 所以选C【点睛】本题考查了余弦函数的和角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题．14.若0a b <<,则下列不等式中不能成立的是 A. 11a b > B. 11a b a >- C. a b > D. 44a b >【答案】B【解析】【分析】因为0a b <<，取a=-2，b=-1，代入检验即可．【详解】因为0a b <<，取a=-2，b=-1，代入检验：对于A ，代入后得1121>--，成立 对于B ，代入后得()11212>----，不成立 对于C ，代入后得21->-，成立对于D ，代入后得()()4421->-，成立所以选B【点睛】本题考查了不等式比较大小，注意特殊值法的应用，属于基础题．15.一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是A 2s 2B. 2sC. 22sD. 42s 【答案】C【解析】 试题分析：设原来数据的平均数为x ，则将该数据中每一个数据，都乘以2后，则新数据的平均数为2x ．∵方差S 2=222212n 1S [x x x x x x ]n=-+-+⋯+-Q 方差（）（）（）， ∴每个数据都乘以2后新数据的方差为222212n 1[2x 2x 2x 2x 2x 2x ]4ns 方差（）（）（）=-+-+⋯+-=，故选C ． 考点：本题主要考查平均数、方差的意义及其计算公式．点评：方差反映了一组数据的波动大小，方差小的表示稳定---较集中地稳定在平均数附近．本题可作为结论应用． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如左下图所示，若130 ①140分数段的人数为90人，则90①100分数段的人数为___________【答案】 810【解析】试题分析：高三年级总人数为，90~100分数段人数的频率为0.45， 90~100分数段的人数为,故填：810.考点：频率分布直方图.17.已知,x y 满足不等式组0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值等于______【答案】3【解析】【分析】根据不等式组，画出可行域，在可行域内平移目标函数，即可求得最小值．【详解】根据题意，画出线性约束条件表示可行域如下图：平移目标函数，可知在C 处取得最小值，因为C(3,0)将C 点坐标代入目标函数可得z=3【点睛】本题考查了线性规划求最值的简单应用，注意画图要标准，属于基础题． 18.在等差数列{}n a 中，已知14378,18a a a a +=+=，则此数列的通项n a =_____，前n 项和n S =_____【答案】 (1). 21n a n =- (2). 2n S n =【解析】【分析】 根据等差数列通项公式，代入即可求得首项1a 和公差d ，即可求得通项公式n a ；将首项和公差代入前n 项和公式即可求得等差数列的前n 项和n S ．【详解】设等差数列的公差为d ，则1437818a a a a +=⎧⎨+=⎩ ，即1111382618a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩ 的解方程组得112a d =⎧⎨=⎩所以通项公式()112n a n =+-⨯=21n -由等差数列前n 项和公式为1(1)2n nd n S na -=+代入首项与公差可得22(1)12n n n S n n -=⨯+= 【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的简单求法，注意基本量的计算，属于基础题．19.已知双曲线222116x y b-=的离心率e =_______ 【答案】y x =±【解析】【分析】 根据离心率为c e a= ，求得a 与c 的关系；再由双曲线中222c a b =+ ，可得a 与b 的关系，进而得到渐近线方程．【详解】因为c e a ==所以c = ，即222c a =又因为双曲线中222c a b =+，代入可得22a b =，即a b = 所以渐近线方程为b y x a=±所以y x =±【点睛】本题考查了双曲线方程中a 、b 、c 的关系，离心率、渐近线方程的简单应用，属于基础题． 三、解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）20.已知ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 222a b c bc =++.①1）求A 的值；①2）若045,B a ==b值.【答案】（1）0120A =（2）8【解析】【分析】 （1）根据余弦定理，结合表达式222a b c bc =++即可求得cosA 的值，根据三角形中角的取值范围即可求得A①（2）根据正弦定理，代入即可求得b 值．【详解】解：（1）由222a b c bc =++得222b c a bc +-=-由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===- ①00180A <<, ①0120A =(2)由（1）知0120A =①①045,B a == 由正弦定理sin sin a b A B=得0sin 8sin sin120a B b A ==== 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，注意三角形中角的取值范围，属于基础题．21.如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体.的的①1）求多面体111B C D ABCD -的体积；①2）求证：平面11//AB D 平面1C BD【答案】（1）203（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据多面体的结构特征，可用111A A B D V V --正方体得到多面体111B C D ABCD -的体积．（2）根据题意，可证明1//D A 平面1C BD ，11//D B 平面1C BD ，进而可得平面11//AB D 平面1C BD ．【详解】①1）解：∵1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体∴正方体的体积3128V == 三棱锥111A A B D -的体积111111111111422232323A AB D V A B A D AA -=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ∴多面体111BCD ABCD -的体积1111420833A AB D V V V -=-=-= ①2）证明：∵1111ABCD A BCD -为正方体,∴11111111//,D C A B D C A B =又1111//,AB A B AB A B =①∴1111//,D C AB D C AB =①∴11D C BA 为平行四边形，∴11//D A C B又11,D A C B ⊂平面1C BD ①∴1//D A 平面1C BD同理11//D B 平面1C BD又1111D A D B D ⋂=∴平面11//AB D 平面1C BD【点睛】本题考查了空间结构体体积的求法，面面平行的证明，属于基础题．。

广东省广州市铁一中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A ．B ．1C ．D ．2．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④3．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG ≌FDG △；②2GB AG ；③∠GDE =45°；④DG =DE 在以上4个结论中，正确的共有( )个A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个4．如图在△ABC 中，AC ＝BC ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，若BD ＝6，AE ＝5，则sin ∠EDC 的值为（ ）A ．35B ．725C ．45D ．24255．已知一元二次方程1–（x –3）（x+2）=0，有两个实数根x 1和x 2（x 1<x 2），则下列判断正确的是( )A ．–2<x 1<x 2<3B ．x 1<–2<3<x 2C ．–2<x 1<3<x 2D ．x 1<–2<x 2<36．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）A ．aB ．bC ．1aD ．1b7．下列运算正确的是（ ）A ．2a+3a=5a 2B ．（a 3）3=a 9C ．a 2•a 4=a 8D ．a 6÷a 3=a 2 8．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞ 9．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ★b ＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．10m-n ）A m n +B m n -C m nD m n11．据《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见》显示，全国6000万名师生已通过“网络学习空间”探索网络条件下的新型教学、学习与教研模式，教育公共服务平台基本覆盖全国学生、教职工等信息基础数据库，实施全国中小学教师信息技术应用能力提升工程．则数字6000万用科学记数法表示为（ ）A ．6×105B ．6×106C ．6×107D ．6×10812．若关于x 、y 的方程组4xy k x y =⎧⎨+=⎩有实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞4 B ．k ＜4 C ．k≤4 D ．k≥4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，如果四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，点E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点，那么△EGF 面积的最大值为_____．14．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AE AC=______．15．已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：_____．（只需写出一个）16．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b____c （用“＞”或“＜”号填空）17．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．18．如图，CD 是⊙O 直径，AB 是弦，若CD ⊥AB ，∠BCD=25°，则∠AOD=_____°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．20．（6分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．（6分）如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3）22．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：△APE∽△FPA；猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．23．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F.(1)线段AE＝______；(2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径．24．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23BC．如果AC=6，求AE的长；设AB a=，AC b=，求向量DE（用向量a、b表示）．25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．26．（12分）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．27．（12分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=1．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2,AB=2BC=22=4,D是AB的中点,CD=AB=4=2.E,F分别为AC,AD的中点,EF是△ACD的中位线.EF=CD=2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.2、C【解题分析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．48＜1．9，8应在③段上．故选C考点：实数与数轴的关系3、C【解题分析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，根据全等三角形性质可求得∠GDE=12ADC=45〫，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断④是错误的．【题目详解】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；∵△ADG≌△FDG，△DCE≌△DFE，∴∠ADG=∠FDG,∠FDE=∠CDE∴∠GDE=12ADC∠=45〫.③正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，④错误；∴正确说法是①②③故选：C【题目点拨】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度．4、A【解题分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE∥BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【题目详解】∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝63105 BDBC==，故选：A．【题目点拨】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质5、B【解题分析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【题目详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【题目点拨】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.6、D【解题分析】∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．∴1a＜a＜b＜1b，故选D．7、B【解题分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【题目详解】A、2a+3a=5a，故此选项错误；B、（a3）3=a9，故此选项正确；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误．故选：B．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．8、C【解题分析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．9、C【解题分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【题目详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误； 当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y ＝2★x 的解析式是解题的关键．10、B【解题分析】找出原式的一个有理化因式即可．【题目详解】故选B ．【题目点拨】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．11、C【解题分析】将一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正数，这种记数的方法叫做科学记数法，根据定义解答即可.【题目详解】解：6000万＝6×1． 故选：C ．【题目点拨】此题考查科学记数法，当所表示的数的绝对值大于1时，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1，当要表示的数的绝对值小于1时，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数，正确掌握科学记数法中n 的值的确定是解题的关键.12、C【解题分析】利用根与系数的关系可以构造一个两根分别是x ，y 的一元二次方程，方程有实数根，用根的判别式≥0来确定k 的取值范围．【题目详解】解：∵xy ＝k ，x +y ＝4，∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m 的新方程，设x ，y 为方程240m m k -+=的实数根．241640b ac k =-=-≥，解不等式1640k -≥得4k ≤．故选：C ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用和根与系数的关系．解题的关键是了解方程组有实数根的意义．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、4.1．【解题分析】取CD 的值中点M ，连接GM ，FM ．首先证明四边形EFMG 是菱形，推出当EF ⊥EG 时，四边形EFMG 是矩形，此时四边形EFMG 的面积最大，最大面积为9，由此可得结论．【题目详解】解：取CD的值中点M，连接GM，FM．∵AG＝CG，AE＝EB，∴GE是△ABC的中位线∴EG＝12 BC，同理可证：FM＝12BC，EF＝GM＝12AD，∵AD＝BC＝6，∴EG＝EF＝FM＝MG＝3，∴四边形EFMG是菱形，∴当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，∴△EGF的面积的最大值为12S四边形EFMG＝4.1，故答案为4.1．【题目点拨】本题主要考查菱形的判定和性质，利用了三角形中位线定理，掌握菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．14、1 5【解题分析】利用相似三角形的性质即可求解；【题目详解】解：∵ AB∥CD，∴△AEB∽△CED，∴AE AB1==EC CD4，∴AE1=AC5，故答案为15．【题目点拨】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．15、y=x2等【解题分析】分析：根据二次函数的图象开口向上知道a＞1，又二次函数的图象过原点，可以得到c=1，所以解析式满足a＞1，c=1即可．详解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．∵二次函数的图象过原点，∴c=1．故解析式满足a＞1，c=1即可，如y=x2．故答案为y=x2（答案不唯一）．点睛：本题是开放性试题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易出错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．16、＜【解题分析】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b<c.17、1.1【解题分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【题目详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DE BC CE=，∴1 32 DF=，∴DF=1.1，故答案为1.1．【题目点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.18、50【解题分析】由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，根据垂径定理的即可求得AD=BD，又由圆周角定理，可得∠AOD=50°．【题目详解】∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AD=BD，∵∠BCD=25°=，∴∠AOD=2∠BCD=50°，故答案为50【题目点拨】本题考查角度的求解，解题的关键是利用垂径定理.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）y1=0.85x，y2=0.75x+50 （x＞200），y2=x （0≤x≤200）；（2）x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【解题分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【题目详解】（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1=0.85x，乙商场写出y关于x的函数解析式y2=200+（x﹣200）×0.75=0.75x+50（x＞200），即y2=x（0≤x≤200）；（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，解得x＞500，即当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；由y1=y2得0.85x=0.75x+50，即x=500时，到两家商场去购物花费一样；由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，解得x＜500，即当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．20、（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解题分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×450=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=21 126=．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21、潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解题分析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD∠=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频22、(1)△CPD．理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PE•PF．理由参见解析.【解题分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【题目详解】解：（1）△APD ≌△CPD ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∠ADP=∠CDP ．又∵PD=PD ，∴△APD ≌△CPD （SAS ）．（2）∵△APD ≌△CPD ，∴∠DAP=∠DCP ，∵CD ∥AB ，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB ，又∵∠FPA=∠FPA ，∴△APE ∽△FPA （两组角相等则两三角形相似）．（3）猜想：PC 2=PE•PF ．理由：∵△APE ∽△FPA ， ∴AP PE FP PA=即PA 2=PE•PF ． ∵△APD ≌△CPD ，∴PA=PC ．∴PC 2=PE•PF ．【题目点拨】本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强．23、（1）5；（2）()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；（3）167t =时，半径PF ＝127；t ＝16，半径PF ＝12. 【解题分析】（1）由矩形性质知BC =AD =5，根据BE ：CE =3：2知BE =3，利用勾股定理可得AE =5；（2）由PF ∥BE 知AP AF AB AE=，据此求得AF =54t ，再分0≤t ≤4和t ＞4两种情况分别求出EF 即可得； （3）由以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时PF =PG ，再分t =0或t =4、0＜t ＜4、t ＞4这三种情况分别求解可得【题目详解】(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝5，∵BE ∶CE ＝3∶2，则BE ＝3，CE ＝2，∴AE ＝＝＝5.(2)如图1，当点P 在线段AB 上运动时，即0≤t≤4，∵PF ∥BE ， ∴＝，即＝，∴AF ＝t ，则EF ＝AE －AF ＝5－t ，即y ＝5－t(0≤t≤4)；如图2，当点P 在射线AB 上运动时，即t ＞4，此时，EF ＝AF －AE ＝t －5，即y ＝t －5(t ＞4)； 综上，()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩； (3)以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时，PF ＝FG ，分以下三种情况：①当t ＝0或t ＝4时，显然符合条件的⊙F 不存在；②当0＜t ＜4时，如解图1，作FG ⊥BC 于点G ，则FG＝BP＝4－t，∵PF∥BC，∴△APF∽△ABE，∴＝，即＝，∴PF＝t，由4－t＝t可得t＝，则此时⊙F的半径PF＝；③当t＞4时，如解图2，同理可得FG＝t－4，PF＝t，由t－4＝t可得t＝16，则此时⊙F的半径PF＝12.【题目点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质．24、（1）1；（2）2()3DE b a=-.【解题分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【题目详解】（1）如图，∵DE∥BC，且DE=23 BC，∴23 AE DEAC BC==．又AC=6，∴AE=1．（2）∵AB a=，AC b=，∴BC AC AB b a=-=-．又DE∥BC，DE=23 BC，∴22()33DE BC b a ==-【题目点拨】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．25、（1）见解析；（2）见解析；【解题分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【题目详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．∴四边形BFDE是平行四边形．26、(1) 45°．(1) MN1=ND1+DH1．理由见解析；（3）11.【解题分析】（1）先根据AG⊥EF得出△ABE和△AGE是直角三角形，再根据HL定理得出△ABE≌△AGE，故可得出∠BAE=∠GAE，同理可得出∠GAF=∠DAF，由此可得出结论；（1）由旋转的性质得出∠BAM=∠DAH，再根据SAS定理得出△AMN≌△AHN，故可得出MN=HN．再由∠BAD=90°，AB=AD可知∠ABD=∠ADB=45°，根据勾股定理即可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4，CF=x-2，再根据勾股定理即可得出x的值．【题目详解】解：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠D=90°，∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩， ∴△ABE ≌△AGE （HL ），∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠BAD=45°． （1）MN 1=ND 1+DH 1．由旋转可知：∠BAM=∠DAH ，∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ．在△AMN 与△AHN 中， AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMN ≌△AHN （SAS ），∴MN=HN ．∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH 1=ND 1+DH 1．∴MN 1=ND 1+DH 1．（3）由（1）知，BE=EG=4，DF=FG=2．设正方形ABCD 的边长为x ，则CE=x-4，CF=x-2．∵CE 1+CF 1=EF 1，∴（x-4）1+（x-2）1=101．解这个方程，得x 1=11，x 1=-1（不合题意，舍去）．∴正方形ABCD 的边长为11．【题目点拨】本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中．27、（2）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）2秒或2秒．【解题分析】（2）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=2-4=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．【题目详解】解：（2）如图2，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴AD AP BP BC=，∴AD⋅BC=AP⋅BP；（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=2，AB=6，∴AE=BE=3∴22，53∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=2-4=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（2）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=2×2，∴t=2或t=2，∴t的值为2秒或2秒．【题目点拨】本题考查圆的综合题．。

2020年广东省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黄冈中学2020届高三五月模拟考试数学试卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个长方体1111ABCD A B C D -截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．202．如图，过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．23y x ＝ 3．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，点E 在CD 上，且点E 是三等分点，靠近点D ，BE 与AC 的交点为F ，则BF AB ⋅u u u r u u u r=（ ）A ．445-B ．445 C ．4- D ．44．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-25．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知12,F F 是焦距为8的双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点，点2F 关于双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若14F =，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．38．已知函数31()1(,f x x a x e e e=-++≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3[0,4]e - B ．3[1,4]e - C ．3[1,3]e - D ．3[,3]e e - 9．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数3sin 2cos 2y x x =- 的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3⎤--⎦ 10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若42,,tan 43a C B π===，则ABC V 的面积等于（ ）A ．87B ．37C ．47D ．2711．已知1a >，过(,0)P a 作22:1O x y +=e 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则经过,,P A B 三点的圆的半径为A ．212a -B ．12a +C ．aD ．2a12．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。