大一高数课件讲义第十一章11-2
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11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
高数第十一章课件第一节
课件目录
课程简介
课程目标
课程内容
课程安排
课程考核
参考资料
课件简介
主题：高数第十一 章课件第一节
内容：介绍高数第 十一章的基本概念、 定理和公式
目的：帮助学生理 解高数第十一章的 内容，提高学习效 率
适用人群：高数第 十一章的学习者
课件内容
第三章
知识点梳理
极限的四则运算法则
函数极限的定义和性质
高数第十一章课件 第一节
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 课件概览 03 课件内容 04 课件特色
05 课件使用建议
单击添加章节标题
第一章
课件概览
第二章
课件封面
● 课程名称：高数第十一章课件第一节
● 授课教师：XXX
● 授课时间：XXXX年XX月XX日
● 课程内容： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
大一高等数学第十一章无穷级数习题 ppt课件
n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
( 3 ) 极 限 审 敛 法
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如 果 n l i m nn ul0(或 n l i m nn u),
则 级 数 un发 散 ;
n1
如果有p1, 使得n l i mnpun存在,
则级数 un收敛.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n1
nn
n1 (n 1)n;
nnn nn (n 1 )n
n
nn (1 1 )n ,
n2
ln i (m 1n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
limnn
1
limxx
expli{m1lnx}
n
x
x x
n1
则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 , 否则称为发散点.
n1
函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3) 和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
数学第十一章知识点
数学第十一章知识点
哇塞，朋友们！咱今天来讲讲数学第十一章的知识点呀！
先说函数，这可太重要啦！就好比你去超市买东西，商品的价格和数量之间的关系，那就是个函数嘛！你看，假如一个苹果 5 块钱，要买 3 个，那总价不就是 15 块嘛，这 5 块钱和数量的对应，不就是函数关系嘛！
接着说说不等式哦！想象一下，你和小伙伴比赛跑步，你规定自己一定要比他跑得快，这就是一种不等式的表现呀！比如你说你的速度必须大于他的速度，这不就是个不等式嘛！
再来看看几何图形啊！像三角形，那可神奇了！就像一个稳定的小团队一样。
就好比你们几个好朋友总是一起玩，相互支持，三角形也是三个边相互支撑着呢！
还有坐标系呢！这不就像是给每个点都找到了一个家呀！就像你们每个人都有自己的家一样，在坐标系里每个点都有它特定的位置。
哎呀，这些知识点是不是特别有意思呢？
反正我觉得数学第十一章的知识点太重要啦！函数让我们明白各种关系，不等式让我们有目标和比较，几何图形让我们看到形状的奇妙，坐标系让我们能精准定位。
这些知识就像一个个宝藏，等着我们去挖掘和掌握呢！大家一定要好好学呀，真的超级有用！以后遇到好多问题都能靠这些知识解决呢！你们说是不是呀？
以上就是我对数学第十一章知识点的一些看法啦！。
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
第十一章 线性代数
大一高数第十一章知识点总结
大一高数第十一章知识点总结第十一章是大一高数的最后一章，也是整个课程的重点和难点之一。
本章主要涉及到了一元函数积分的概念、性质和计算方法。
在学习这个章节时，我们需要掌握一些基本概念和定理，以及一些常用的积分求解方法。
下面就让我们来一起总结一下这些知识点。
一、不定积分的概念和性质不定积分是积分学中最基本的概念之一。
它表示一个函数的原函数。
如果函数f(x)是函数F(x)的导函数，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
不定积分的计算可以用积分表或者运用常用的积分公式来完成。
在计算时，我们需要注意不定积分具有线性性质和可加性，以及积分与导数的基本关系。
二、定积分的概念和性质定积分是积分学中另一个重要的概念。
它表示了函数在一个闭区间上的平均值。
定积分的计算方法有很多，包括用定积分的性质来计算、用微元法进行计算、利用换元法进行计算等。
在计算定积分时，我们需要掌握换元法和分部积分法，并且需要注意定积分与不定积分的基本关系。
三、变限积分和定积分的换元法当我们计算某些复杂函数的不定积分或定积分时，可以利用换元法来简化计算过程。
换元法可以将原来的积分问题转化成一个更易处理的积分问题。
在应用换元法时，我们需要注意选择合适的换元变量和变限积分的变量范围，从而得到正确的结果。
四、微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一。
它建立了不定积分和定积分之间的关系。
根据微积分的基本定理，我们可以通过计算一个函数的原函数来求解相应的定积分。
同时，基本定理还提供了一种方法来计算带有变限积分的定积分。
五、换元法的应用换元法是微积分中一种非常常用的积分计算方法。
在具体应用中，我们可以通过选取不同的变量进行变量替换，将原来的积分问题简化为更易于计算的问题。
换元法的应用范围非常广泛，包括三角换元法、指数换元法、对数换元法等。
在使用换元法时，我们需要仔细观察被积函数的性质，选择合适的换元方式。
六、分部积分法的应用分部积分法也是微积分中的一种常用的积分计算方法。
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
大一上高数课件—1112数列极限
n
xn A , l i m xn A
p4.5.(a )不存在;( 若 lim( xn yn )存在, 则
n 则 l i m z n 存 在. 由 于yn zn xn
n
5. ( a ) 不 存 在 , 因 为, 若 存 在 , 令z n x n y n
1 1 2) xn , yn n 2n
福 州 大 学
2018/12/19
lim xn 0 lim yn
n
5
n
k
当k K 1时,
k
x2k A x 2 k 1 A .
又 l i m x 2 k 1 A, 所 以, 对 以 上 正 整 数 K2 当k K 2时, 取 N m ax{ 2 K 1 ,2 K 2 1}, 当n N时 由 以 上 知
1 1 二、 2. 解 : 取P1点 为 数 轴 原 点 , 点P2坐 标 为 1, 则 P3为 1, 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 P4 为 ,2 P5为 P 1 , , 2 3, , P4 为 1 为 5 2 4 2 4 8 2 2 2 2 2 111 1 11 1 2当n 时, P 的 极 n1 2 n P 为 ( ) ( 1) n 2 3 n Pn 为 1 n2 2 4 8 2 2 2 2 2 1 n1 1 1 [1 1 ( ) ]n12 2 ( ) 1 4 2 ] 1 1 2 lim 限位置坐标为 l i m [ n 1 3 2 6 3 n 2 1 ( ) 1 1 2 2 3. 证 :由 于{ x n }有 界, 所 以 存 在 M 0使 x n M , 0
又 : l i m yn 0,因 此 0, 正 整 数 N , 当n N时
xn A , l i m xn A
p4.5.(a )不存在;( 若 lim( xn yn )存在, 则
n 则 l i m z n 存 在. 由 于yn zn xn
n
5. ( a ) 不 存 在 , 因 为, 若 存 在 , 令z n x n y n
1 1 2) xn , yn n 2n
福 州 大 学
2018/12/19
lim xn 0 lim yn
n
5
n
k
当k K 1时,
k
x2k A x 2 k 1 A .
又 l i m x 2 k 1 A, 所 以, 对 以 上 正 整 数 K2 当k K 2时, 取 N m ax{ 2 K 1 ,2 K 2 1}, 当n N时 由 以 上 知
1 1 二、 2. 解 : 取P1点 为 数 轴 原 点 , 点P2坐 标 为 1, 则 P3为 1, 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 P4 为 ,2 P5为 P 1 , , 2 3, , P4 为 1 为 5 2 4 2 4 8 2 2 2 2 2 111 1 11 1 2当n 时, P 的 极 n1 2 n P 为 ( ) ( 1) n 2 3 n Pn 为 1 n2 2 4 8 2 2 2 2 2 1 n1 1 1 [1 1 ( ) ]n12 2 ( ) 1 4 2 ] 1 1 2 lim 限位置坐标为 l i m [ n 1 3 2 6 3 n 2 1 ( ) 1 1 2 2 3. 证 :由 于{ x n }有 界, 所 以 存 在 M 0使 x n M , 0
又 : l i m yn 0,因 此 0, 正 整 数 N , 当n N时
大一高数课件第十一章 11-2
∞
证明 当ρ为有限数时 , 对∀ε > 0,
un+1 ∃ N , 当n > N时, 有 − ρ < ε, un
un+1 即 ρ −ε < < ρ +ε un
(n > N )
当ρ < 1时, 取ε < 1 − ρ, 时
使r = ε + ρ < 1,
∞
uN + 2 < ruN +1 ,
uN + m < r
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
例6
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 的收敛性. 2 n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
故由定理知原级数绝对收敛. 故由定理知原级数绝对收敛
∞
四、小结
∞
∞
6.比 值 敛 ( 朗 尔D Alembert 别 ) 6.比 审 法 达 贝 D’Alembert 判 法 ： 尔
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
5.极 限 敛 ： 5.极 审 法
设
∑u 为正项级数,
n=1 n
n→ ∞ n→ ∞
∞
lim 果 如 limnun = l > 0 (或 nun = ∞),
级 则 数
∑u 发散;
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比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n11)2nn12,
级数
1
n2
n1
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un是 正 项 级 数 ,如 果 ln i m nun n1
(为数 或 ),则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
而级数 rm1uN1收敛 ,
m1
uNm un收敛 , 收敛
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
大一高数课件第十一章11-2
精品
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s 1 s 2 s n
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理
正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
3.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
(1) si1 n;
n1 n
1
(2)n13nn1 ;
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3 n n n 1 3n
lim n 1
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D’Alembert判 别 法 )：
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
则nsn 不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推 论 :若un收 敛 (发 散 )
n1
且 vnkn u (nN )k (n u vn),则 vn收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨 论 P-级 数
121p31p41p n 1p 的 收 敛 性 .(p0)
解
设p1,
例如 , 设级数 1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0(n ) 级数收敛.
二、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或(1)nun(其u中 n0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un un1 (n1,2,3,);(ⅱ)nl im un 0, 则级数收敛,且其和su1,其余项rn 的绝对值 rn un1.
(1)
u n1 ( n 1)!
un
1
1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
n 1 (n ), 10
故级n数 11n0!n 发散 .
( 3 ) liu m n 1lim (2n1 )2n 1, n u n n (2n1 )(2n2)
设 n 1u n是 正 项 级 数 , 如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
证明 当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有 un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
当1时, 取 1, 使 r1,
l,
则(1) 当 0l时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 v n 收敛,则 u n 收敛;
n1
n1
(3) 当 l时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由limun l v n
n
对于 l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnun3 2 lvn (nN )
由比较审敛法的推论, 得证.
5 . 极 限 审 敛 法 ：
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
例 3 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例
级数
1发散 ,
n1n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
1 np
1, n
则P级数发. 散
y
设p1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn12 1p3 1p n 1p
y
1 xp
(p1)
112d xpx nn1d xpx
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1p11(1n1p1) 1
1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
P级数 当 当pp 11时 时,,
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln im a2n1
3, 2
lim别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :
1
(1) ;
n1n!
n!
(2) n11n 0; 1
1
(3)
.
n1(2n1)2n
解
证明 u n 1 u n 0 , s 2 n ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 n 1 u 2 n )
数列 s2n是单调增, 加的 又 s 2 n u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 2 n 2 u 2 n 1 ) u 2 n
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n1)
证明 1 1 , n(n1) n1
而级数 1 发散 ,
n1n1
级数
1
发散 .
n1 n(n1)
4.比较审敛法的极限形式:
设 un
n1
与 vn 都是正项级数,如果
n1
lim un n vn