七年级数学《乘法公式》课件
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浙江省浦江县第四中学七年级数学下册 3.4 乘法公式课件1 (新版)浙教版
1)左边为两个数的和与差的积,右边为两个 数的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整改建一个 边长为 a(m)的正方形养鸡场, 计划纵向扩大3m,横向缩短 3m,改建为长方形养鸡场.问 改建后的养鸡场面积有没有 变化?如果有变化,变化多少?
练习2： 运用平方差公式计算:
1 、 ( 2a 3b)( 2a
2
3b)
2
( 2a) ( 3b) 2a 3b
2 2
2、5678×5680-56792 =(5679-1)(5679+1)-56792 =56792 -1 -56792 = -1
运用平方差公式计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
5米
(X+5)米
x 米
5米
(X-5)米
(1) (a+2) (a-2) =? (2) (3-x)(3+x) = ? (3) (2m+n)(2m-n) = ?
观察以上算式，你发现了什么规律？
运算出结果，你又发现了什么？ (a+b)(a-b) = a2-b2
两数和与这两数差的积， 等于这两数的平方差。
(a+b)(a-b)
= a2-b2
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
苏科版数学七年级下册乘方公式--完全平方公式课件
9.4 乘法公式（1） ——完全平方公式
学习目标： 1．会推导完全平方公式 2. 并能运用公式进行简单的计算；
一、阅读教材第75--76页的内容，并完成下列问题：
1、如果把它看成一个大正方形，那么它的
a
面积为__（__a_+_b_)_2 ______.
b
2、如果把它看成是由2个小长方形和2个小
正方形组成，那么它的面积为_a_2_+_2a_b_+_b_2.
=12a-36
3
a
四、拓展延伸：
1.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么常数k=
；
+6 √
±6
-6 √
变式训练：
若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m=
；
分析：2(m-3)=±8 ∴2(m-3)=8或2(m-3)=-8 ∴m=7 或 -1
四、拓展延伸： 2.已知：完全平方式：(六个式子需要整理到书上） 由（a+b)2=a2+2ab+b2可得：a2+b2=（a+b)2-2ab...① 由（a-b)2=a2-2ab+b2可得：a2+b2=（a-b)2+2ab...② 由①、②可得：（a+b)2=（a-b)2+4ab...③
=4x2-28xy+49y2;
(-2a-5)2=[(-2a）-5]2
逆用去括号的法则：
(-2a-5)2=[-(2a+5）]2=(2a+5）2
二、典型例题： 例3：计算： （1）9982；
（2）20012.
解：（1） 9982 ＝(1000-2)2
学习目标： 1．会推导完全平方公式 2. 并能运用公式进行简单的计算；
一、阅读教材第75--76页的内容，并完成下列问题：
1、如果把它看成一个大正方形，那么它的
a
面积为__（__a_+_b_)_2 ______.
b
2、如果把它看成是由2个小长方形和2个小
正方形组成，那么它的面积为_a_2_+_2a_b_+_b_2.
=12a-36
3
a
四、拓展延伸：
1.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么常数k=
；
+6 √
±6
-6 √
变式训练：
若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式，则m=
；
分析：2(m-3)=±8 ∴2(m-3)=8或2(m-3)=-8 ∴m=7 或 -1
四、拓展延伸： 2.已知：完全平方式：(六个式子需要整理到书上） 由（a+b)2=a2+2ab+b2可得：a2+b2=（a+b)2-2ab...① 由（a-b)2=a2-2ab+b2可得：a2+b2=（a-b)2+2ab...② 由①、②可得：（a+b)2=（a-b)2+4ab...③
=4x2-28xy+49y2;
(-2a-5)2=[(-2a）-5]2
逆用去括号的法则：
(-2a-5)2=[-(2a+5）]2=(2a+5）2
二、典型例题： 例3：计算： （1）9982；
（2）20012.
解：（1） 9982 ＝(1000-2)2
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
11.2 乘法公式(第4课时 乘法公式的应用)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解：原式＝9－ a 2 －( a － a 2 )＋ a
＝9－ a 2 － a ＋ a 2 ＋ a
＝9，
∴式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的取值无关.
5. [2024承德期末]若 x － ＝3，求 x2＋
解：∵ x － ＝3，
∴
−
∴ x2＋
沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除
11.2 乘法公式
第4课时 乘法公式的应用
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1. 熟练运用公式求代数式的值和计算，提高学生解决问题的能
力．（重难点）
2．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数
已知实数 m ， n 满足(2 m2＋ n2＋1)(2 m2＋ n2－1)＝80，
试求2 m2＋ n2的值.
解：设2 m2＋ n2＝ t ，则原方程变为( t ＋1)( t －1)＝80，
整理得 t2－1＝80，∴ t2＝81，
∴ t ＝±9，
∵2 m2＋ n2≥0，
∴2 m2＋ n2＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在
+ −
2
2
= 22 + 2 2 ,
+
2
= 9, +
2
这样， 2 + 2 =
当 +
2
+ −
2
2Leabharlann = 2 − 2 + 2 ，
＝9－ a 2 － a ＋ a 2 ＋ a
＝9，
∴式子(－ a ＋3)( a ＋3)－ a (1－ a )＋ a 的值与 a 的取值无关.
5. [2024承德期末]若 x － ＝3，求 x2＋
解：∵ x － ＝3，
∴
−
∴ x2＋
沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除
11.2 乘法公式
第4课时 乘法公式的应用
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1. 熟练运用公式求代数式的值和计算，提高学生解决问题的能
力．（重难点）
2．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数
已知实数 m ， n 满足(2 m2＋ n2＋1)(2 m2＋ n2－1)＝80，
试求2 m2＋ n2的值.
解：设2 m2＋ n2＝ t ，则原方程变为( t ＋1)( t －1)＝80，
整理得 t2－1＝80，∴ t2＝81，
∴ t ＝±9，
∵2 m2＋ n2≥0，
∴2 m2＋ n2＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在
+ −
2
2
= 22 + 2 2 ,
+
2
= 9, +
2
这样， 2 + 2 =
当 +
2
+ −
2
2Leabharlann = 2 − 2 + 2 ，
11.2 乘法公式(第2课时 完全平方公式)(教学课件)-2024-25学年七年级数学上册(沪教版)
长为( B
)
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm
10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2，
则代数式3 x2－6 x －5＝
－2
.
11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为
a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝
－ bc － ac 的值吗？试求出这个值.
【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时，
原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数
+ ( )
4
4
3
3
1 2 1
4 2
=
− + .
16
3
9
4 ൫− 3 + 23 )2 ;
2
4 ( − 3 + 2 3 )
2
2
= ( − 3 ) + 2 ⋅ −3 ⋅ 2 3 + (23 )
= 6 − 43 3 + 4 6 .
课堂练习
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9 ;
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9
= 4 2 − 9 4 2 − 9
2
= (4 2 ) − 2 ⋅ 4 2 ⋅ 9 + 92
= 16 4 − 72 2 + 81.
6 + − 2.
)
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm
10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2，
则代数式3 x2－6 x －5＝
－2
.
11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为
a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝
－ bc － ac 的值吗？试求出这个值.
【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时，
原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数
+ ( )
4
4
3
3
1 2 1
4 2
=
− + .
16
3
9
4 ൫− 3 + 23 )2 ;
2
4 ( − 3 + 2 3 )
2
2
= ( − 3 ) + 2 ⋅ −3 ⋅ 2 3 + (23 )
= 6 − 43 3 + 4 6 .
课堂练习
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9 ;
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9
= 4 2 − 9 4 2 − 9
2
= (4 2 ) − 2 ⋅ 4 2 ⋅ 9 + 92
= 16 4 − 72 2 + 81.
6 + − 2.
湘教版七年级数学下册第二章《运用乘法公式进行计算》课件
（1）(a+b+c)2； 解：(a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
方公式呢？ （2）(a+b-c)2. 解：(a+b-c)2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= [(a+b)-c]2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
= (a+b)2-2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2
湘教版数学七年级（下）
本节内容
2.2.3 运用乘法公式进行计算
我们已经学了哪些乘法公式？
（1） 平方差公式:
(a+b)（a-b）= a²-b²
（2）完全平方公式：
（a+b）2 = a²+2ab+b²
（a-b）²= a²-2ab+b² 注意： 公式中的 a 与 b既可以是数 ，又可以是单项式 和 多项式.
解：原式=(x+1)(x-1)(x2+1) 解：原式=〔(a+3)(a-3)〕2
平 方 差
= （x2-1)(x2 +1 ) = x4-1 平方差公
式
= （a2-9）2 平方差公 = a4-18a+81 式
公
式 （3）(x+y+4)(x+y-4)
完全平方公式
解：原式= [(x+y）+4] [（x+y）-4]
3、灵活应用公式进行求值计算.
乘法公式 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
归纳
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.
例1 计算：
(1) (x+3y )2；
(2)
1 3
ab
cm
2
;
(3) (－4a－3b)2 .
解：(1) (x+3y )2 = x 2+2x (3y )+(3y )2 =x 2+6xy+9y 2 .
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并
同类项；对于(2)可以把底数(a－b)、(a＋b)分别
看成一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算； 对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积， 再利用完全平方公式进行计算．
解：(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1) ＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1 ＝－5x 2－10x；
m
2
；
(6)
2 x
1 3
2
y
.
解： (1)(1＋a)2＝1＋2a＋a 2.
(2)(2a－1)2＝4a 2－4a＋1.
(3)(3a＋b)2＝9a 2＋6ab＋b 2.
(4)
2n
1 4
2
4n2
n
1 16
.
(5)
2n
2 3
2
m
4n2
8 3
n
4 9
m2.
(6)
2 x
1 3
y
2
4x2
4 3
b
形成四块实验田，以种植
不同的新品种(如图).
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(a+b)(a-b)
=
a2 -
2
ab + ba - b
=
a2
-
2
b
現在我們四種乘法 公式都學過啦， 一起複習一下吧！
10
二項式乘積公式： (a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b)2 = a2 + 2ab +b2 差的完全平方公式：
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2 平方差公式：
a-b
（a-b)2 =
a 2b -
2ab
+b 2
這個公式是怎麼來的呢a2 -？ab
2
+b
-ab
a-b
(讓（請注我a-意們b看）2用圖形以中下淺的黃色圖部形分來的=面說a2積-明2變a：化b )+b2
ab a
b
ab
b2 b
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2
7
差的(完全)平方公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
a2
ab a
(a+b)2= a2 +2ab +b2
讓我們用左邊的
ab
b2 b
圖形來說明
5
和的(完全)平方公式：
我們可以用代數的方式得到同樣的結果
(a+b)(a+b) = a 2 + ab + ba + b2 = a 2 + 2ab + b2
= a2 ab
ab
b2
a2 + ab ba + b2
6
差的(完全)平方公式：
3
二項式乘積公式：
由乘法對加法的分配律，我們可以得到以下的式子
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc+ bd
ac bc
ac
bc
ad
bd
Hale Waihona Puke adbd4和的(完全)平方公式：
若將二項式成績公式中的
a
b
c用a代換，d用b代換 我們可以得到以下的結果
(a+b)(ac+bd)= aac + abd + bac + bbd = a2 + ab + ba + b2
(a-b)(a-b) = a 2 - ab - ba + b2 = a 2 - 2ab + b2
瞭解了嗎 ？
8
平方差公式：
a
(a+b)(a-b) =
a2- b2
b
a+b
這個公式是怎麼來的呢？
讓我們用以下的圖形來說明：
a-b
a2a2- b2
(a+b)(a-b) =b2a2- b2
9
平方差公式：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
a
這個公b式是怎麼我來們的可呢以用？兩種方式來
讓我們用以下的圖表形示來大說長方明形：的面積：
用原長方形的長×寬來算
ac
bc
c 長×寬＝ （a+b）（c+d）
甲 ad
乙
丙 bd d
丁
用（甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面 積來算 （甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面積 ＝ ac + ad + bc + bd
（a+b）（c+d）= ac + ad + bc + bd
(a+b)(a-b) = a2- b2
11
乘法公式
1
乘法公式
二項式乘積公式： (a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b)2 = a2 + 2ab +b2 差的完全平方公式：
（a-b)2 = a2 - 2ab +b2 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2- b2
2
二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd