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一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1 , A→ 1A0 , B→BA , B→ 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A→0, A→ 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S → 00S, S → 11S, S → 00, S → 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1, A→ 1A0}, A)9、影响层次聚类算法结果的主要因素有（计算模式距离的测度、（聚类准则、类间距离门限、预定的类别数目））。
10、欧式距离具有（ 1、2 ）；马式距离具有（1、2、3、4 ）。
（1）平移不变性（2）旋转不变性（3）尺度缩放不变性（4）不受量纲影响的特性11、线性判别函数的正负和数值大小的几何意义是（正（负）表示样本点位于判别界面法向量指向的正（负）半空间中；绝对值正比于样本点到判别界面的距离。
一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2）(3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1 , A→ 1A0 , B→BA , B→ 0}, A) （2）({A}, {0, 1}, {A→0, A→ 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S → 00S, S → 11S, S → 00, S → 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A→01, A→ 0A1, A→ 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些？（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分)(1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
答：（1）（4分）的绝对值正比于到超平面的距离平面的方程可以写成式中。
机器视觉与模式识别试题一、简答题（每题10分，共10题）1. 请简要解释机器视觉的概念，并举例说明其在实际应用中的作用。
2. 什么是图像分割？请简要介绍常用的图像分割方法。
3. 请解释什么是特征提取，并描述至少两种常用的特征提取方法。
4. 什么是机器学习？简要描述监督学习和无监督学习的区别。
5. 请简要介绍常见的分类器，并说明它们的优缺点。
6. 什么是物体检测？请简要介绍常用的物体检测算法。
7. 请解释什么是模式识别，并举例说明其应用领域。
8. 简要介绍支持向量机（SVM）的原理及其应用。
9. 什么是深度学习？简要解释深度学习与传统机器学习的区别。
10. 简要介绍卷积神经网络（CNN）及其在图像分类中的应用。
二、分析题（共20分）1. 请分析图像分割的难点和挑战，并提出解决方案。
2. 请分析特征提取的关键问题，并探讨如何改进现有的特征提取方法。
3. 请分析支持向量机（SVM）的优势和不足，并提出使用SVM解决模式识别问题的注意事项。
4. 以人脸识别为例，分析深度学习模型相较于传统机器学习模型的优势和局限性。
三、应用题（共30分）1. 设计一个图像分类系统，能够将手写数字图像分为0~9十个类别。
请详细描述你的设计思路并给出实现代码。
2. 以目标检测为任务，设计一个基于卷积神经网络（CNN）的物体检测系统。
请详细描述你的设计思路并给出实现代码。
四、论述题（共40分）请综合所学的机器视觉与模式识别相关知识，自选一个课题进行深入探讨，并撰写一篇论文。
论文应包括问题定义、相关工作综述、解决方案设计和实验结果分析等内容。
请确保论文结构合理，逻辑清晰，表达准确。
以上是机器视觉与模式识别试题，根据题目要求，正文不再重复。
请根据试题内容自行判断和格式化撰写。
一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2）(3)(4)6、线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A®01, A® 0A1 , A® 1A0 , B®, B® 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A®0, A® 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S ® 00S, S ® 11S, S ® 00, S ® 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A®01, A® 0A1, A® 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些？（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分) (1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
大学模式识别考试题及答案详解Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A?01, A? 0A1 , A? 1A0 , B?BA , B? 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A?0, A? 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S ? 00S, S ? 11S, S ? 00, S ? 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A?01, A? 0A1, A? 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些？（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分)(1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
模式识别期末试题及答案正文：模式识别期末试题及答案1. 选择题1.1 下列关于机器学习的说法中，正确的是：A. 机器学习是一种人工智能的应用领域B. 机器学习只能应用于结构化数据C. 机器学习不需要预先定义规则D. 机器学习只能处理监督学习问题答案：A1.2 在监督学习中，以下哪个选项描述了正确的训练过程？A. 通过输入特征和预期输出，训练一个模型来进行预测B. 通过输入特征和可能的输出，训练一个模型来进行预测C. 通过输入特征和无标签的数据，训练一个模型来进行预测D. 通过输入特征和已有标签的数据，训练一个模型来进行分类答案：D2. 简答题2.1 请解释什么是模式识别？模式识别是指在给定一组输入数据的情况下，通过学习和建模，识别和分类输入数据中的模式或规律。
通过模式识别算法，我们可以从数据中提取重要的特征，并根据这些特征进行分类、聚类或预测等任务。
2.2 请解释监督学习和无监督学习的区别。
监督学习是一种机器学习方法，其中训练数据包含了输入特征和对应的标签或输出。
通过给算法提供已知输入和输出的训练样本，监督学习的目标是学习一个函数，将新的输入映射到正确的输出。
而无监督学习则没有标签或输出信息。
无监督学习的目标是从未标记的数据中找到模式和结构。
这种学习方法通常用于聚类、降维和异常检测等任务。
3. 计算题3.1 请计算以下数据集的平均值：[2, 4, 6, 8, 10]答案：63.2 请计算以下数据集的标准差：[1, 3, 5, 7, 9]答案：2.834. 综合题4.1 对于一个二分类问题，我们可以使用逻辑回归模型进行预测。
请简要解释逻辑回归模型的原理，并说明它适用的场景。
逻辑回归模型是一种用于解决二分类问题的监督学习算法。
其基本原理是通过将特征的线性组合传递给一个非线性函数（称为sigmoid函数），将实数值映射到[0,1]之间的概率。
这个映射的概率可以被解释为某个样本属于正类的概率。
逻辑回归适用于需要估计二分类问题的概率的场景，例如垃圾邮件分类、欺诈检测等。
大学模式识别考试题及答案详解Last revision on 21 December 2020一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A01, A 0A1 , A 1A0 , B BA , B 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A0, A 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S 00S, S 11S, S 00, S 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A01, A 0A1, A 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分)(1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2）(3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A?01, A? 0A1 , A? 1A0 , B?BA , B? 0}, A) （2）({A}, {0, 1}, {A?0, A? 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S ? 00S, S ? 11S, S ? 00, S ? 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A?01, A? 0A1, A? 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些？（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分) (1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
答：（1）（4分）的绝对值正比于到超平面的距离平面的方程可以写成式中。
大学模式识别考试题及答案详解HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】一、填空与选择填空（本题答案写在此试卷上，30分）1、模式识别系统的基本构成单元包括：模式采集、特征提取与选择和模式分类。
2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量；句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。
3、聚类分析算法属于（1）；判别域代数界面方程法属于（3）。
（1）无监督分类 (2)有监督分类（3）统计模式识别方法（4）句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量，则一般采用（4）进行相似性度量。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有（1）（3）（4）。
（1）（2） (3)(4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在（2）中进行。
（1）二维空间（2）一维空间（3）N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有（1）；线性可分、不可分都适用的有（3）。
（1）感知器算法（2）H-K算法（3）积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有（1）（2）（4）。
（1）({A, B}, {0, 1}, {A01, A 0A1 , A 1A0 , B BA , B 0}, A)（2）({A}, {0, 1}, {A0, A 0A}, A)（3）({S}, {a, b}, {S 00S, S 11S, S 00, S 11}, S)（4）({A}, {0, 1}, {A01, A 0A1, A 1A0}, A)二、(15分)简答及证明题（1）影响聚类结果的主要因素有那些？（2）证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
答：（1）分类准则，模式相似性测度，特征量的选择，量纲。
（2）证明：(2分)(2分)(1分)设，有非奇异线性变换：(1分)(4分)三、(8分)说明线性判别函数的正负和数值大小在分类中的意义并证明之。
模式识别期末考试试题# 模式识别期末考试试题## 一、选择题（每题2分，共20分）1. 模式识别中，特征提取的目的是什么？A. 降低数据维度B. 提高计算效率C. 增强数据的可解释性D. 以上都是2. 在K-近邻算法中，K值的选择对结果的影响是什么？A. 无影响B. 影响分类的准确性C. 影响算法的运行时间D. 影响数据的可读性3. 决策树算法中，信息增益的计算是基于以下哪个概念？A. 熵B. 互信息C. 条件熵D. 联合熵4. 支持向量机（SVM）的主要思想是？A. 寻找数据点之间的最大间隔B. 寻找数据点之间的最小间隔C. 寻找数据点的平均间隔D. 寻找数据点的中心点5. 以下哪个算法属于聚类算法？A. K-近邻B. 决策树C. K-均值D. 支持向量机## 二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述主成分分析（PCA）的基本原理及其在模式识别中的应用。
2. 解释什么是过拟合（Overfitting）现象，并给出避免过拟合的几种常用方法。
3. 给出神经网络在模式识别中的基本工作原理，并说明其优缺点。
## 三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定以下数据点，使用K-均值算法将它们分为两个簇，并说明算法的步骤：- 数据点：(1, 2), (2, 3), (5, 6), (8, 7), (9, 8)2. 假设有一个二维数据集，其中包含两类数据点，分别用圆形和三角形表示。
数据点的特征如下表所示：| 特征1 | 特征2 | 类别 || | | - || 1.5 | 2.5 | 圆形 || 2.0 | 3.0 | 圆形 || 3.5 | 4.5 | 三角形 || 4.0 | 5.0 | 三角形 |使用线性判别分析（LDA）方法，找出最佳线性边界，并将数据点分为两类。
## 四、论述题（共30分）1. 论述深度学习在图像识别领域的应用，并讨论其与传统机器学习方法相比的优势和局限性。
## 五、案例分析题（共30分）1. 假设你是一名数据科学家，你的团队正在开发一个用于识别手写数字的系统。
《模式识别》试题库一、基本概念题1.1 模式识别的三大核心问题是：、、。
1.2、模式分布为团状时，选用聚类算法较好。
1.3 欧式距离具有。
马式距离具有。
（1）平移不变性（2）旋转不变性（3）尺度缩放不变性（4）不受量纲影响的特性1.4 描述模式相似的测度有：。
（1）距离测度（2）模糊测度（3）相似测度（4）匹配测度1.5 利用两类方法处理多类问题的技术途径有：（1）；（2）；（3）。
其中最常用的是第个技术途径。
1.6 判别函数的正负和数值大小在分类中的意义是：，。
1.7 感知器算法。
（1）只适用于线性可分的情况；（2）线性可分、不可分都适用。
1.8 积累位势函数法的判别界面一般为。
（1）线性界面；（2）非线性界面。
1.9 基于距离的类别可分性判据有：。
（1）1[]w BTr S S-（2）BWSS（3）BW BSS S+1.10 作为统计判别问题的模式分类，在（）情况下，可使用聂曼-皮尔逊判决准则。
1.11 确定性模式非线形分类的势函数法中，位势函数K(x,x k)与积累位势函数K(x)的关系为（）。
1.12 用作确定性模式非线形分类的势函数法，通常，两个n维向量x和x k的函数K(x,x k)若同时满足下列三个条件，都可作为势函数。
①（）；②（ ）； ③ K(x,x k )是光滑函数，且是x 和x k 之间距离的单调下降函数。
1.13 散度J ij 越大，说明ωi 类模式与ωj 类模式的分布（ ）。
当ωi 类模式与ωj 类模式的分布相同时，J ij =（ ）。
1.14 若用Parzen 窗法估计模式的类概率密度函数，窗口尺寸h1过小可能产生的问题是（ ），h1过大可能产生的问题是（ ）。
1.15 信息熵可以作为一种可分性判据的原因是： 。
1.16作为统计判别问题的模式分类，在（ ）条件下，最小损失判决规则与最小错误判决规则是等价的。
1.17 随机变量l(x ρ)=p( x ρ|ω1)/p( x ρ|ω2)，l( x ρ)又称似然比，则E {l( x ρ)|ω2}=（ ）。
在最小误判概率准则下，对数似然比Bayes 判决规则为（ ）。
1.18 影响类概率密度估计质量的最重要因素是（ ）。
1.19 基于熵的可分性判据定义为)]|(log )|([1x P x P E J i ci i x H ρρωω∑=-=，J H 越（ ），说明模式的可分性越强。
当P(ωi | x ρ) =（ ）(i=1,2,…,c)时，J H 取极大值。
1.20 Kn 近邻元法较之于Parzen 窗法的优势在于（ ）。
上述两种算法的共同弱点主要是（ ）。
1.21 已知有限状态自动机Af=(∑，Q ，δ，q0，F)，∑={0，1}；Q={q0，q1}；δ：δ(q0，0)= q1，δ(q0，1)= q1，δ(q1，0)=q0，δ(q1，1)=q0；q0=q0；F={q0}。
现有输入字符串：(a) 00011101011，(b) 1100110011，(c) 101100111000，(d)0010011，试问，用Af 对上述字符串进行分类的结果为（ ）。
1.22 句法模式识别中模式描述方法有： 。
（1）符号串 （2）树 （3）图 （4）特征向量1.23设集合X={a,b,c,d }上的关系，R={(a,a),(a,b),(a,d),(b,b),(b,a),(b,d),(c,c),(d,d),(d,a),(d,b)}，则a,b,c,d 生成的R 等价类分别为 （ [a]R= ，[b]R= ，[c]R= ，[d]R= ）。
1.24 如果集合X 上的关系R 是传递的、（ ）和（ ）的，则称R 是一个等价关系。
1.25一个模式识别系统由那几部分组成？画出其原理框图。
1.26 统计模式识别中，模式是如何描述的。
1.27 简述随机矢量之间的统计关系：不相关，正交，独立的定义及它们之间的关系。
1.28 试证明，对于正态分布，不相关与独立是等价的。
1.29 试证明，多元正态随机矢量的线性变换仍为多元正态随机矢量。
1.30 试证明，多元正态随机矢量X ρ的分量的线性组合是一正态随机变量。
第二部分 分析、证明、计算题 第二章 聚类分析2.1 影响聚类结果的主要因素有那些？ 2.2 马氏距离有那些优点？2.3 如果各模式类呈现链状分布，衡量其类间距离用最小距离还是用最大距离？为什么？2.4 动态聚类算法较之于简单聚类算法的改进之处何在？层次聚类算法是动态聚类算法吗？比较层次聚类算法与c-均值算法的优劣。
2.5 ISODATA 算法较之于c-均值算法的优势何在？ 2.6 简述最小张树算法的优点。
2.7 证明马氏距离是平移不变的、非奇异线性变换不变的。
2.8 设，类pω、qω的重心分别为px ρ、qx ρ，它们分别有样本pn 、qn 个。
将和qω合并为l ω，则 lω有qp l n n n +=个样本。
另一类 k ω的重心为 k x ρ。
试证明 k ω与 l ω的距离平方是2222pqlk q p kq lk q kp lk p kl D n n n n D n n n D n n n D +-+++=2.9 （1）设有M 类模式ωi ，i=1,2,...,M ，试证明总体散布矩阵S T 是总类内散布矩阵S W 与类间散布矩阵S B 之和，即S T ＝S W ＋S B 。
（2）设有二维样本：x1=(-1,0)T，x2=(0,-1)T，x3=(0,0)T，x4=(2,0)T和x5=(0,2)T。
试选用一种合适的方法进行一维特征特征提取y i= W T x i。
要求求出变换矩阵W，并求出变换结果y i，(i=1,2,3,4,5)。
（3）根据（2）特征提取后的一维特征，选用一种合适的聚类算法将这些样本分为两类，要求每类样本个数不少于两个，并写出聚类过程。
2.10 （1）试给出c-均值算法的算法流程图;（2）试证明c-均值算法可使误差平方和准则∑∑∈=--=)()()()()(1)(kjixkjiTkjicjk zxzxJωρρρρρ最小。
其中，k是迭代次数；)(kjzρ是)(kjω的样本均值。
2.11 现有2k+1个一维样本，其中k个样本在x=-2处重合，另k个样本在x=0处重合，只有1个在x=a>0处。
若a=2(k+1)，证明，使误差平方和准则Jc最小的两类划分是x=0处的k个样本与x=a处的1个样本为一类，其余为另一类。
这里，c N jJc = ∑∑(x i-m j)2j=1 i=1其中，c为类别数，Nj是第j类的样本个数，xi∈ωj，i=1,2,...,Nj，mj是第j类的样本均值。
2.12 有样本集}1,55,45,54,44,1,{⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛，试用谱系聚类算法对其分类。
2.13 设有样本集S=},...,,{21nxxxρρρ，证明类心zρ到S中各样本点距离平方和∑=--niiTizxzx1)()(ρρρρ为最小时，有∑==niixnz11ρρ。
2.14 假设s为模式矢量集X上的距离相似侧度，有,0,(,)0x y s x y∀>>且当0a>时，(,)/(,)d x y a s x y=。
证明d是距离差异性测度。
2.15 证明欧氏距离满足旋转不变性。
提示：运用Minkowski不等式，对于两矢量T1[,,]lx x x=L和min min max max m m (),(),(),()()ss ss ss ss ss ss ss ssavg avg ean ean d s d s d s d s d s ，满足1/1/1/111()()()ppplllpppi i i i i i i y y x x ≤+===+∑∑∑2.16证明：（a ）如果s 是类X 上的距离相似侧度，,0,(,)0x y s x y ∀>>，那么对于 0a ∀>，(,)s x y a +也是类X 上的距离测度。
（b ）如果d 是类X 上的距离差异性测度，那么对于0a ∀>， d a +也是类X 上的距离差异性测度2.17 假设:f R R ++→是连续单调递增函数，满足()()(),,f x f y f x y x y R ++≥+∀∈d 是类X 上的距离差异性测度且00d ≥。
证明()f d 也是类X 上的距离差异性测度。
2.18 假设s 为类X 上的距离相似侧度，有,0,(,)0x y s x y ∀>>， :f R R ++→是连续单调递增函数，满足111()()(),,x yf x f y f x y R ++≥∀∈+证明()f x 是X 上的距离相似侧度。
2.19 证明：对于模式矢量集X 上任意两个矢量x r 和 y r 有21(,)(,)(,)x y x y x y d d d ∞≤≤r r r r r r2.20 （a ）证明公式1/(,)1(,)()qF l q q x y i i i s x y s ==∑r rr r 中 (,)F s x y r r的最大最小值分别是和 1/0.5q l 。
（b ）证明当q →+∞时，公式1/(,)1(,)()qqFlq x y i i i s x y s ==∑r rr r 中1(,)max (,)i l i i Fx y s x y s ≤≤=r r r r2.21 假设d 是模式矢量集X 上的差异性测度，max s d d =-是相应相似测度。
证明max (,)(,),,pspsavg avg x C x C x X C Xs d d =-∀∈⊂其中ps avgs和ps avgd是分别根据s 和d 所定义的。
ps avgψ的定义来自于下面公式，其中第一个集合只含有一个矢量。
提示：平均亲近函数1(,)(,)i ji jps avg i j x D y D D D D D x y n n ∈∈ψ=ψ∑∑，其中iD n 和jD n 分别是集合i D 和j D 的势。
即使 ψ是测度，显然ps avgψ不是测度。
在公式中，i D 和j D 中的所有矢量都参与计算。
2.22 假设,{0,1}l x y ∈。
证明2(,)x y d =。
2.23 考虑一维空间的两矢量，T 1[,,]l x x x =L 和T1[,,]l y y y =L ，1max {}j l ij ijyy x x =-=-K K ，定义距离(,)nx y d为1,1(,)[(2)/2]lniiiij j ix y l l yydx x =≠=-+---∑这个距离曾被提议作为欧氏距离的近似值。
（a ）证明nd 是距离。
（b ）比较nd和2d的计算复杂度。
