下载文档原格式
第三篇：级数理论第一部分：数项级数与广义积分第九章：数项级数1 预备知识：数列的上极限和下极限一、 定义：对于有界数列{}n a ，{}n a 未必收敛，但它有收敛的子列。
这里我们考虑数列{}n a 具有特殊性质的子列{}nj a ，它的极限值最大（或者最小）。
例如：{}(1)n-={}n a ，2na=1→1，21n a -=-1→-1。
在{}n a 去掉最前面的k 项以后 ，剩下来的仍是一个有界数列，证这个数列{}k ja +的上确界为kβ，下确界为k α，即：k β=sup n k>{}n a =sup {}1,2,k k a a ++随着k 的增大在变小k α={}{}1,2,inf inf k k k n ka a a ++>=随着k 的增大在变大令k=1,2,3,……，可得新的数列{}k β及{}k α。
显见，{}kβ，{}kα。
由单调有界准则知{}k β，{}k α均收敛，分别证：,lim lim k k k k H h βα→∞→∞==分别称H ，h 为数列{}n a 的上极限与下极限，记为H=lim n n a →∞,h=lim n →∞n a 。
即：H=lim nx a →∞={}lim sup n k n ka →∞>；h=lim n →∞n a {}liminf n k n ka →∞>≤。
由上、下极限的定义，显然有：h H 。
（事实上，',k k ∀有{}{}'','''sup inf ,,lim H ,n n k k k k k k n kn ka a H k βαβαα→∞>>≥≥=≥≥→∞故故即：再令，有h H ≤）对于无界数列{},n a 可以补充规定：1;lim n a n =∞→∞______规定：（）如果数列无上界，级数H=（2）如果数列{}n a 无下界，级数.lim n n h a →∞==-∞这样，对于任何的数列，上极限和下极限h 均有定义。
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
142第九章 级 数无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。
基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式； 基本理论：极限的理论；本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。
课标导航1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件； 3．掌握-p 级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件； 4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数； 一、知识梳理与链接 （一）.基本概念 1．数项级数【定义】如果给定一个数列 ,,,,21n u u u 则由这些数列构成的表达式∑+∞==++++121n n n u u u u 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。
其中：级数的第n 项n u 叫做级数的通项或一般项，级数的前n 项和叫做级数的部分和，记为n s .即n n u u u s +++= 21；如果级数部分和数列n s 极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s ，否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为n r .2．正项级数、交错级数级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。
3．绝对收敛与条件收敛如果级数∑+∞=1n n u 各项的绝对值所构成的正项级数∑+∞=1n n u 收敛，则称级数∑+∞=1n n u 绝对收敛；如果级数∑+∞=1n n u 收敛，而级数∑+∞=1n n u 发散，则称级数∑+∞=1n n u 条件收敛。
