2021年高中数学 《正弦定理、余弦定理的应用》教案(3) 苏教版必修5

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

「高中数学必修5正余弦定理教案」教案：高中数学必修5正余弦定理教学目标：1.了解正弦定理和余弦定理的概念和公式。

2.能够根据给定的边长和角度，求解三角形的其他边长和角度。

3.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

教学重点：1.理解正弦定理和余弦定理的概念和原理。

2.掌握正弦定理和余弦定理的应用方法。

教学难点：1.将实际问题转化为三角形求解问题。

2.独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

教学准备：1.教科书《高中数学必修5》。

2.教具：直尺、三角板。

3. PowerPoint课件和多媒体设备。

教学过程：一、导入（10分钟）1.引入三角形的概念，复习三角形的基本性质。

2.引出正弦定理和余弦定理的背景和重要性。

二、系统学习（30分钟）1.正弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出正弦定理的公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

b.通过示例和图示讲解正弦定理的应用方法。

c.引导学生推导正弦定理的公式。

2.余弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2abcosC。

b.通过示例和图示讲解余弦定理的应用方法。

c.引导学生推导余弦定理的公式。

三、案例分析与练习（40分钟）1.结合教科书上的例题，解析应用正弦定理和余弦定理解决问题的步骤和方法。

2.给学生提供一些练习题，让他们独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

a.从实际生活中选取一些与角度和边长相关的问题。

b.引导学生分析问题，设计求解方案。

c.学生独立解答问题，并讲解自己的解题思路和方法。

d.教师给予指导和点评，纠正错误。

四、总结与拓展（10分钟）1.总结正弦定理和余弦定理的概念及其应用方法。

2.引导学生思考其他情境中可以应用正弦定理和余弦定理的问题。

五、课堂小结（5分钟）1.学生回答课堂小结问题，检查掌握程度。

2.教师对本节课的教学进行总结，评价学生的表现。

六、作业布置（5分钟）1.布置练习题目，要求学生通过应用正弦定理和余弦定理计算求解。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、航海以及力学有关的实际问题，了解有关常用术语及其准确含义。

【重点难点】学习重点：从有关测量、航海、力学等实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

学习难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图，设A 、B 两点在河的两岸且不可到达，现要测量两点之间的距离，测量者站在A 的同侧C 点处。

问题1：利用学过的知识，测量者只要测出哪些量就可求出A 、B 两点间的距离？ 问题2：如何求A 、B 两点间的距离呢？二、知识建构与应用：例1 如图，为了测量河对岸两点A 、B 之间（不可到达）的距离，在河岸的这边取点C 、D ，测得∠ADC=45°，∠BDC=75°，∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=100m ，设A 、B 、C 、D 在同一平面内，试求A 、B 之间的距离（精确到1m ）．例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）。

(注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角)BC AD C B A 北北C B105°45°αO C B A例 3 作用于同一点的三个力321F F F 、、平衡。

已知N F N F 503021==，，1F 与2F 之间的夹角是60°，求3F 的大小与方向（精确到0.1°）。

F 3F 2F 1O例4 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？三、巩固练习：1．从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为o 30和o 45，o 45=∠BAC ，则这两个点之间的距离为 （精确到0.1m ）。

11.3正弦、余弦定理的综合应用（1）一、课题：正弦、余弦定理的综合应用（1）二、教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如。

三、教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌 握两个定理，应用自如。

四、教学过程：（一）复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。

1．正弦定理、三角形面积公式：R C c B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． 2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。

4．余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。

例１ 如图１１ ３ １，为了测量河对岸两点Ａ，Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＝４７°，∠ＢＣＤ＝７２°，ＣＤ＝１００ｍ．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１ｍ）．解 在△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＡＣＤ＝４７°，则∠ＤＡＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得 sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈１３４．０５（ｍ）． 在△ＢＤＣ中，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＢＣＤ＝７２°，则∠ＤＢＣ＝４８°． 又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得sin 100sin 60sin sin 48DC BDC BC DBC ∠︒==∠︒≈１１６．５４（ｍ）． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得 ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ＝134.05２＋116.54２－２×134.05×116.54ｃｏｓ２５°≈3233.95所以 ＡＢ≈５７（ｍ）．答 Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７ｍ．例２ 如图１１ ３ ２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海舰艇在Ａ 处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０１°，时间精确到１ｍｉｎ）．解 设舰艇收到信号后ｘｈ在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝２１ｘ，ＢＣ＝９ｘ，又ＡＣ＝１０，∠ＡＣＢ＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ，即（２１ｘ）２＝１０２＋（９ｘ）２－２×１０×９ｘｃｏｓ１２０°．化简，得３６ｘ２－９ｘ－１０＝０，解得ｘ＝２３（ｈ）＝４０（ｍｉｎ）（负值舍去）． 由正弦定理，得sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠︒∠=== 所以∠ＢＡＣ≈２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°答 舰艇应沿着方位角６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠近渔轮．例３ 作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡．已知Ｆ１＝３０Ｎ，Ｆ２＝５０Ｎ，Ｆ１与Ｆ２之间的夹角是６０°，求Ｆ３的大小与方向（精确到０１°）．解 Ｆ３应和Ｆ1，Ｆ2的合力Ｆ平衡，所以Ｆ３和Ｆ在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图１１ ３ ３，在△ＯＦ1Ｆ中，由余弦定理，得22305023050cos12070()F N =+-⨯⨯︒=．再由正弦定理，得150sin12053sin 7014F OF ︒∠== 所以∠Ｆ１ＯＦ≈３８．２°，从而∠Ｆ１ＯＦ３≈１４１．８°．答 Ｆ３为７０Ｎ，Ｆ３和Ｆ１间的夹角为１４１．８°．例４ 如图１１ ３ ４，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，ＯＡ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ＡＢＣ．问：点Ｂ在什么位置时，四边形ＯＡＣＢ面积最大？分析 四边形的面积由点Ｂ的位置惟一确定，而点Ｂ由∠ＡＯＢ惟一确定，因此可设∠ＡＯＢ＝α，再用α的三角函数来表示四边形ＯＡＣＢ的面积．解 设∠ＡＯＢ＝α．在△ＡＯＢ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．于是，四边形ＯＡＣＢ的面积为Ｓ＝121sin(54cos) 25sin33452sin()334AOB ABCS S Sααααπα=+=⨯⨯⨯+-=+=-+因为０＜α＜π，所以当5,326ππααπ-==，即∠ＡＯＢ＝56π时，四边形ＯＡＣＢ面积最大．。