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有限元课后习题答案1.1有限元法的基本思想和基本步骤是什么首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
1.2有限元法有哪些优点和缺点优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
1.3有限元法在机械工程中有哪些具体的应用静力学分析模态分析动力学分析热应力分析其他分析2.1杆件结构划分单元的原则是什么？1）杆件的交点一定要取为节点2）阶梯形杆截面变化处一定要取为节点3）支撑点和自由端要取为节点4）集中载荷作用处要取为节点5）欲求位移的点要取为节点6）单元长度不要相差太多2.2简述单元刚度矩阵的性质。
单元刚度矩阵是描述单元节点力与节点位移之间关系的矩阵。
2.3有限元法基本方程中每一项的意义是什么？{Q}---整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束力）;{}---整个结构的节点位移列阵；[K]---结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
2.4简述整体刚度矩阵的性质和特点。
对称性奇异性稀疏性主对角上的元素恒为正2.5位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
2.6写出平面刚架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式2.7推导平面刚架局部坐标系下的单元刚度矩阵。
2.8简述整体坐标的概念。
单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’O’Y’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
有限元分析与应用大作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII有限元分析及应用大作业课程名称: 有限元分析及应用班级:姓名:试题2：图示薄板左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m作用，板厚度为0.3cm；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。
1)三节点常应变单元；（2个和200个单元）2)四节点矩形单元；（1个和50个单元）3)八节点等参单元。
（1个和20个单元）图2-1 薄板结构及受力图一、建模由图2-1可知，此薄板长和宽分别为2m和1.5m，厚度仅为0.3cm，本题所研究问题为平面应力问题。
经计算，平板右边受均匀载荷P=33.33MPa，而左边被固定，所以要完全约束个方向的自由度，如图2-2所示。
取弹性模量E=2.1×11Pa，泊松比μ=0.3。
P=33.33MPa图2-2 数学模型二、第一问三节点常应变单元（2个和200个单元）三节点单元类型为PLANE42，设置好单元类型后，实常数设置板厚为0.3M。
采用2个单元的网格划分后的结果如图2-3,200个单元的网格划分图如图2-6所示。
约束的施加方式和载荷分布如图2-2中所示。
约束右边线上节点全部自由度。
计算得到的位移云图分别如图2-4、7所示，应力云图如图2-5、8所示。
图2-3 2个三角形单元的网格划分图图2-4 2个三角形单元的位移云图图2-5 2个三角形单元的应力云图图2-6 200个三角形单元的网格划分图图2-7 200个三角形单元的位移云图图2-8 200个三角形单元的应力云图三、第二问四节点矩形单元的计算四节点单元类型为PLANE42，设置好单元类型后，实常数设置板厚为0.3M。
采用1个单元的网格划分后的结果如图2-9,50个单元的网格划分图如图2-12所示。
约束的施加方式和载荷分布如图2-2中所示。
约束右边线上节点全部自由度。
计算得到的位移云图分别如图2-10、11所示，应力云图如图2-13、14所示。
金属坯料挤压过程有限元分析一、前言：金属挤压是将放在挤压模具内的金属锭坯从一端施加外力，强迫其从特定的模孔中流出，获得所需要的断面形状和尺寸的制品的技术。
冷挤压时由于材料是在冷态下成形，而且变形量一般都很大，挤压过程中作用在模具上的单位压力很大,此时模具有开裂破坏的可能，对压力机也构成威胁，金属坯料在通过模具过程中，坯料与模具之间产生相当大的应力，这就要求模具需要有相当大的强度、硬度、以及耐磨性，因此冷挤压时要进行挤压力的计算。
挤压力的计算是模具设计的重要依据，也是选择挤压设备的依据。
模具角度、接触表面的摩擦系数、坯料变形量都会影响应力变化，在保证加工要求的前提下，应当通过适当方式降低坯料及模具之间的应力。
通过有限元分析，得出应力分布图，分析变形区域、死区，对模具进行优化改进。
二、有限元介绍：ANSYS概述ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件，可广泛地用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、计算流体力学分析、设计优化、接触分析、自适应网格划分及利用ANSYS参数设计语言扩展宏命令功能。
ANSYS软件功能强大，主要特点有：实现多场及多场耦合分析；实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化；具有多物理场优化功能；强大的非线性分析功能;多种求解器分别适用于不同的问题及不同的硬件设备；支持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、数据文件全部兼容；强大的并行计算功能支持分布式并行及共享内存式并行；多种自动网格划分技术；良好的用户开发环境。
ANSYS不仅支持用户直接创建模型，也支持与其他CAD软件进行图形传递，其支持的图形传递有：SAT、Parasolid、STEP。
相应地，可以进行接口的常用CAD 软件有：Unigraphics、Pro/Engineer、I-Deas、Catia、CADDS、SolidEdge、SolidWorks等。
致奋战在有限元考试一线的兄弟姐妹们期末考试接近尾声了，估计咱都是剩下两门左右没考。
这两天我看了一下有限元，许多问题有些棘手。
相信大家的感觉跟我差不多。
现在是元旦假期，知道大家许多都“拖家带口”的，不容易，呵呵……小生相对来说清闲一点，就趁着这几天整理了一下有限元教材课后题的答案。
在这里，我不得不说：答案不好找。
所以找的不是太全。
而且肯定有许多疏漏之处，仅供大家参考。
希望能对大家有所帮助。
以下是我整理的答案：（温馨提示：在word2000中编辑的公式无法粘到日志当中，有关公式请大家参考教材。
）习题有限元法的基本思想：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？①离散：将连续区域分散成有限多个子区域；②给每个单元选择合适的位移函数来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因为节点位移个数是有限的，故无限自由度问题就转变成了有限自由度的问题；③有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。
1.2 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？①节点力：节点对单元的作用力。
节点荷载：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效荷载，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等；②相对于整体结构来说，节点力是内力，节点荷载是外力。
（注：我不太确定）③节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。
1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？①单刚：对称性，奇异性。
姓名:学号:班级:有限元分析及应用作业报告一､问题描述图示无限长刚性地基上的三角形大坝,受齐顶的水压力作用,试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析,并对以下几种计算方案进行比较:1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算;2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算;3)当选常应变三角单元时,分别采用不同划分方案计算｡二､几何建模与分析图1-2力学模型由于大坝长度>>横截面尺寸,且横截面沿长度方向保持不变,因此可将大坝看作无限长的实体模型,满足平面应变问题的几何条件;对截面进行受力分析,作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布,两端面不受力,满足平面应变问题的载荷条件｡因此该问题属于平面应变问题,大坝所受的载荷为面载荷,分布情况及方向如图1-2所示,建立几何模型,进行求解｡假设大坝的材料为钢,则其材料参数:弹性模量E=2.1e11,泊松比σ=0.3三､第1问的有限元建模本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算｡1)设置计算类型:两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题,故均取Preferences为Structural2）选择单元类型:三节点常应变单元选择的类型是PLANE42(Quad 4node42),该单元属于是四节点单元类型,在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元;六节点三角形单元选择的类型是PLANE183(Quad 8node183),该单元属于是八节点单元类型,在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元｡因研究的问题为平面应变问题,故对Element behavior(K3)设置为plane strain｡3)定义材料参数4)生成几何模a. 生成特征点b.生成坝体截面5)网格化分:划分网格时,拾取所有线段设定input NDIV 为10,选择网格划分方式为Tri+Mapped,最后得到200个单元｡6)模型施加约束:约束采用的是对底面BC全约束｡大坝所受载荷形式为Pressure,作用在AB面上,分析时施加在L AB上,方向水平向右,载荷大小沿L AB由小到大均匀分布(见图1-2)｡以B为坐标原点,BA方向为纵轴y,则沿着y方向的受力大小可表示为:ρ (1)P-=gh=ρg=-98000{*}98000)(Y10y其中ρ为水的密度,取g为9.8m/s2,可知P max为98000N,P min为0｡施加载荷时只需对L AB插入预先设置的载荷函数(1)即可｡网格划分及约束受载情况如图1-3(a)和1-4(a)所示｡7)分析计算8)结果显示四､计算结果及结果分析4.1计算结果(1)三节点常应变单元(4 node 42)图1-3(a)常应变三节点单元的网格划分及约束受载图图1-3(b)常应变三节点单元的位移分布图(2)六节点三角形单元图1-4(a)六节点三角形单元网格划分及约束受载图图1-4(b) 六节点三角形单元的变形分布图根据以上位移和应力图,可以得出常应变三节点单元和六节点三角形单元的最小最大位移应力如表1-1所示｡4.2 结果分析由以上各图和数据表可知,采用三节点和六节点的三角形单元分析计算:（1）最大位移都发生在A点,即大坝顶端,最大应力发生在B点附近,即坝底和水的交界处,且整体应力和位移变化分布趋势相似,符合实际情况;（2）结果显示三节点和六节点单元分析出来的最大应力值相差较大,原因可能是B点产生了虚假应力,造成了最大应力值的不准确性｡（3）根据结果显示,最小三节点和六节点单元分析出来的最小应力值相差极为悬殊,结合理论分析,实际上A点不承受载荷,最小应力接近于零,显然六节点三角形单元分析在这一点上更准确｡（4）六节点的应力范围较大,所以可判断在单元数目相同的前提下,节点数目越多,分析精度就越大;但是节点数目的增多会不可避免地带来计算工作量增加和计算效率降低的问题｡五､第2问的有限元建模及计算结果此次分析选择的单元类型为常应变三节点单元｡选用三种不同单元数目情况进行比较分析｡具体做法如下:有限元建模步骤与第1小题类似,只是在划分网格时,依次设置NDIV值为5,10,50,所获得的单元数目依次为23(图1-9(a))､80(图1-10(a))､1850(图1-11(a));分别计算并得到位移变化图如图1-9(b)､1-10(b)､1-11(c)所示;分别计算并得到应力变化云图如图1-9(c)､1-10(c)､1-11(c)所示｡(1)NDIV取5时的常应变三节点单元(单元数23)图1-9(a) NDIV为5的网格划分及约束受载图图1-9(b) NDIV为5的位移分布图(2)NDIV为10的常应变三节点单元(单元数80)图1-10(a)NDIV为10的网格划分及约束受载图图1-10(b)NDIV为10的位移分布图图1-10(c)NDIV为10的应力分布图(3)NDIV为50的常应变三节点单元(单元数1850)图1-11(a)NDIV为50的网格划分及约束受载图图1-11(b) NDIV为50的位移分布图图1-11(c)NDIV为50的应力分布图由以上不同单元数目的位移应力分布图可以看出,大坝截面所受位移和应力的变化趋势是相同的,最大应力都发生在坝底和水的交界点附近,最小应力发生在大坝顶端;最大变形位移也是发生在坝顶｡不同单元数目下计算的数据如表1-2所示｡表1-2 不同单元数目下计算数据表(4)结果分析由以上分析结果可知:（1）随着单元数目的增加,最大位移变化不大,应力变化范围逐步增大;（2）随着单元数目的增加,即网格划分越密,分析的结果准确度将会提高;但是单元数目的增加和节点数目的增加都会造成计算量的增加和计算速度的下降的问题｡(3)对于本次计算结果,仍可能存在虚假应力,应力的准确值无法准确得出,只是网格划分越密,计算结果越精确｡所以减少虚假应力影响的措施之一就是增加单元的数目,提高网格划分的密度｡五､第3问的有限元建模及计算结果由图1-1所示的划分方案可知,需采用手动划分网格:首先创建6个节点,然后采用不同的方式连接节点创建单元,从而分别得到两种不同的网格划分方式,见下图1-12所示｡对底边的三个节点施加全约束;载荷建立方程式并创建table;其他的处理方式与第1小题相同｡图1-12方案一和二的划分方案图有限元模型建立完成后进行求解,则可得到方案一和方案二的的位移图和应力图,如图1-13(a)､1-13(b)､1-14(a)､1-14(b)所示｡图1-13(a)方案一网格划分方式下的位移图图1-13(b)方案一网格划分方式下的应力图图1-14(a) 方案二网格划分方式下的位移图图1-14(b)方案二网格划分方式下的应力图由以上两种方案的位移和应力图可得出的最大位移和最小最大应力如表1-3所示:表1-3 方案一和方案二计算数据表由以上分析结果可知,由于方案一和二都只有四个单元,所以在计算应力和位移的时结果的准确度较低｡分析应力图可知,方案二得出的最大应力不在坝底和水的交界处,不符合实际情况,而方案一的最大应力所在位置符合实际情况,所以总体来说,方案一的分析结果优于方案二｡原因是方案一具有整体几何保形性的单元数目多于方案二的数目｡六､总结和建议通过以上分析情况可以看出,如果要使分析结果较为精确,单元的类型选择要恰当｡由第(1)小问计算结果可知,不同的单元类型会造成结果的不同,节点较多可以保证计算精度较高;由第(2)小问的计算结果可知,划分网格时,单元数目也不能太少,单元数目的增加也可以提高计算的精度;但是对于实际工程而言,采用较多节点的单元反而会增加计算的工作量,影响工作效率和经济性｡因此在保证网格划分大小适当和均匀的前提下,使应力集中处划的密集些,这样也能得到较为精确的结果｡实验四试题4:图示为带方孔(边长为80mm)的悬臂梁,其上受部分均布载荷(p=10Kn/m)作用,试采用一种平面单元,对图示两种结构进行有限元分析,并就方孔的布置进行分析比较,如将方孔设计为圆孔,结果有何变化?(板厚为1mm,材料为钢)一､物理模型:图示为带方孔(边长为80mm)的悬臂梁,其上受均布载荷(p=10Kn/m)的作用,试采用一种平面单元,对图示两种结构进行有限元分析比较,如将方孔设计为圆孔,结果有何变化?(板厚为1mm,材料为钢)(图略)采用平面单元结构solid:quad 4nodes 42结构施加载荷:线载荷于上边的一半长度处施加约束:左侧完全刚固,限制所有自由度网格划分:NDIV取10,默认smart划分选择网格划分方式为Tri+free竖方孔有限元模型竖方孔位移云图竖方孔应力云图横方孔有限元模型横方孔位移云图横方孔应力云图圆孔有限元模型圆孔位移云图圆孔应力云图结果是较为精确的,也符合实际情况在上述三种悬臂梁中,可以得到以下结论:1､对于同种孔不同的开口位置:横孔的最大位移大于竖向开孔,但其最小应力和最大应力均显著小于竖向开孔,说明横向开孔的应力集中现象相对较小,但刚度略差｡2､对于不同的开孔形状,圆孔在最大位移方面优于方孔,最小应力差于方孔,最大应力与横方孔持平,好于竖方孔｡所以横方孔或圆孔是我们在悬臂梁设计中应该采用的工艺措施｡加筋板建模ANSYS 作业一､加筋板建模加筋板的几何图形如图1所示｡图1 加筋板的几何模型四边简支的板,受到均布压力0.1Mpa 的作用,求变形和应力｡ 要求:使用shell63和beam188单元｡（1） 两个计算模型:无加筋板和加筋板(如图1)｡ （2） 取图:两个计算模型的:a ､几何模型､有限元模型(把边界条件和加载显示出来)b ､加筋板把截面形状显示出来,即分别取图显示角钢L15010010⨯⨯和T 型材2020028100⨯⊥⨯的截面形状｡c ､计算结果云图｡位移云图和应力云图｡(3)下结论｡横向加强筋加筋板有限元模型普通平板几何模型普通平板有限元模型T 型材几何模型L型材几何模型加筋板应力云图普通板应力云图有限元参数:弹性模量:2.1e11,泊松比:0.3,NDIV为10,平板采用shell63单元,梁采用beam188单元｡模型施加约束:四边简支,限制UX,UY,UZ三个方向自由度模型施加载荷:施加载荷于面上,均布载荷选择网格划分方式为Tri+free与实际相比,正确性良好,基本反映了真实的变形与应变情况｡结论:可以看到,加筋板在减少变形以及减轻应力方面的巨大作用｡加筋板的最大位移和最小应力比普通平板少了一个数量级,最大应力也远小于普通平板｡因此在强度和刚度两方面指标上,加筋板远胜于普通平板｡。
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。
（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。
（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。
（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。
（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。
（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。
（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
（）二．单项选择题（共20分，每小题2分）1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为________________。
（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。
（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。
（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。
（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。
（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。
