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习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
习 题 三1．下列映射哪些是单射、满射或双射.（1）()⎩⎨⎧=→.0;1,:是偶数是奇数m m m Z Z σσ （2）{}()⎩⎨⎧=→.1;0,1,0:是偶数是奇数m m m N σσ （3）()52,:-=→r r R R σσ解：(1) σ既不是单射也不是满射。
(2) 是满射但不是单射.。
(3) 双射。
2．设A 和B 是有限集，试问有多少A 到B 的不同的单射和双射.解：设 |A|=m , |B|=n .(1) 若 B A →:σ是单射, 则必有 |A|<=|B|, 即 m<=n .a) 当m= n 时, 共有m!个单射;b) 当m<n 时, 共有 !m m n C ⋅ 个单射;(2) 若B A →:σ是双射时, 则必有|A|=|B|, 即 m=n 。
于是, 共有n!个双射。
3．设()A B B A ρτσ→→:,:且定义如下：对于()(){}b x A x b B b =∈=∈στ,试证明，若σ是满射，则τ是单射，其逆成立吗？证明：设B A →:σ是满射。
任取2121,,,b b B b b ≠∈，则存在 A A A ⊆⊆∅21,, 使得 }{)(},{)(2211b A b A ==σσ。
于是, 2211)(,)(A b A b ==ττ 。
若)()(21b b ττ=, 即21A A =, 则存在 21A A a I ∈, 使得21)(,)(b a b a ==σσ,从而21b b =。
矛盾。
故21A A ≠。
.即τ是单射。
若τ是单射, 则σ不一定是满射。
例如, 令A={1,2}, B={x , y} ,∅====)(},2,1{)(,)2()1(y x x ττσσ.于是, τ是单射, 但σ不是满射。
4．设σ是A 到B 的映射，τ是B 到C 的映射，试证明：（1）若σ和τ是满射，则στ⋅是满射；（2）若σ和τ是单射，则στ⋅是单射；（3）若σ和τ是双射，则στ⋅是双射；证明：(1) 设τ和σ是满射, 则对任意的z ∈C, 有y ∈B, 使得τ(y)= z 。
离散数学课后答案习题一6.将下列命题符号化。
（1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：（1）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语14.将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服.(4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语.(7)他一面吃饭, 一面听音乐.(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班.(9)只有天下大雨, 他才乘班车上班.(10)除非天下大雨, 他才乘班车上班.(11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2与4都是素数, 这是不对的.(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.答：(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.(12) ¬ (p∧q)或¬p∨¬q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.(13) ¬ ¬ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.16.19.用真值表判断下列公式的类型:(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q(3) ¬ (q→r) ∧r(4)(p→q) →(¬q→¬p)(5)(p∧r) ↔( ¬p∧¬q)(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)(7)(p→q) ↔ (r↔s)答：(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式习题二9.用真值表求下面公式的主析取范式.(1) (pνq)ν(¬pΛr)(2) (p→q) →(¬p↔q)答：(1)(2)p q (p → q) →(¬p ↔ q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0从真值表可见成真赋值为01, 10.于是(p → q) →(¬p ↔ q) ⇔ m1 ∨ m211.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式；(1) (pνq)Λr(2) p→(pνqνr)(3) ¬(q→¬p)Λ¬p15.用主析取范式判断下列公式是否等值:(1) (p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬(pΛq)与(¬pνq)答：(1)(p→q) →r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔ p¬∧q ∨ r ⇔p¬∧q∧(r¬∨r) ∨(p¬∨p) ∧(q¬∨q)∧r ⇔p¬∧q∧r ∨p¬∧q∧¬r ∨ p ∧q∧r ∨ p∧¬q∧r ∨¬p∧q∧r ∨¬p∧¬q∧r = m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨m101 ∨ m011 ∨ m001 ⇔m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 = ∑(1, 3, 4, 5, 7).而 q→(p→r) ⇔¬q ∨(¬p∨r) ⇔¬q ∨¬p ∨r ⇔(¬p∨p)¬∧q∧(¬r∨r) ∨¬p∧(¬q∨q)∧(¬r∨r) ∨(¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r ⇔(¬p¬∧q∧¬r)∨(¬p¬∧q∧r)∨(p¬∧q∧¬r)∨(p¬∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p ∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬ (p∧q)与¬ (p∨q)答：(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7所以(p→q) →r) k q→ (p→r)(2)¬ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2¬ (p∨q) ⇔m0所以¬ (p∧q) k ¬ (p∨q)习题三15.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提: p→ (q→r), s→p, q 结论: s→r(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u答：(1)证明: ① s 附加前提引入② s→p 前提引入③ p ①②假言推理④ p→(q→r) 前提引入⑤ q→r ③④假言推理⑥ q 前提引入⑦ r ⑤⑥假言推理(2)证明: ① P 附加前提引入② p∨q ①附加③ (p∨q) → (r∧s) 前提引入④ r∧s ②③假言推理⑤④化简⑥ s∨t ⑤附加⑦ (s∨t) →u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理16.在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s 结论: ¬p(2)前提: p∨q, p→r, q→s 结论: r∨s答：(1)证明: ① P 结论否定引入② p→¬q 前提引入③¬q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ③④析取三段论⑥ r∧¬s 前提引入⑦ r ⑥化简⑧¬r∧r ⑤⑦合取⑧ 为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明: ①¬ (r∨s) 结论否定引入② p∨q 前提引入③ p→r 前提引入④ q→s 前提引入⑤ r∨s ②③④构造性二难⑥¬ (r∨s) ∧ (r∨s) ①⑤合取⑥为矛盾式, 所以推理正确.18.在自然推理系统P中构造下面推理的证明.(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(1)令 p: 今天是星期六;q: 我们要到颐和园玩;r: 我们要到圆明园玩;s:颐和园游人太多.前提: p→ (q∨r), s →¬q, p, s. 结论: r.证明① p 前提引入② p→q∨r前提引入③q∨r①②假言推理④s前提引入⑤ s →¬q前提引入⑥¬q ④⑤假言推理⑦ r ③⑥析取三段论r ¬q s →¬q sq∨r p→q∨r p(2)令p: 小王是理科生,q: 小王是文科生,r: 小王的数学成绩很好.前提: p→r, ¬q→p, ¬r 结论: q证明：① p→r 前提引入②¬r 前提引入③¬p ①②拒取式④¬q→p 前提引入⑤ q ③④拒取式习题四在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.(3)乌鸦都是黑色的.(4)有的人天天锻炼身体. 没指定个体域, 因而使用全总个体域.答：(1) ¬∃x(F(x) ∧¬G(x))或∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x为有理数, G(x): x能表示成分数.(2) ¬∀x(F(x) →G(x))或∃x(F(x) ∧¬G(x)), 其中, F(x): x在北京卖菜,G(x): x是外地人.(3) ∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x是乌鸦, G(x): x是黑色的.(4) ∃x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x是人, G(x): x天天锻炼身体.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.答：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是轮船, H(x,y):x比y快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是汽车, H(x,y):x比y快.(3) ¬∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y))) 或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧¬H(x,y))), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y快.(4) ¬∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)) 或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧¬H(x,y) ), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y慢.9.给定解释I如下:(a)个体域DI为实数集合\.(b)DI中特定元素⎯a =0.(c)特定函数⎯f (x,y)=x−y, x,y∈DI.(d)特定谓词⎯F(x,y): x=y,⎯G(x,y): x<y, x,y∈DI.说明下列公式在I下的含义, 并指出各公式的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))答：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x−y=0) →x<y), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x−y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x−y<0) → (x=y)), 真值为0.习题五5.给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}.(b)⎯f (x)为⎯f (3)=4,⎯f (4)=3.(c)⎯F(x,y)为⎯F(3,3)=⎯F(4,4)=0,⎯F(3,4)=⎯F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))答：(1) ∀x∃yF(x,y)⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔(0∨1)∧(1∨0) ⇔1(2)∃x∀yF(x,y)⇔(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔(0∧1)∨(1∧0)⇔0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔(F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4))) ⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)⇔112.求下列各式的前束范式.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y);(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y);答：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y) ⇔∃x(F(x) →∀yG(x, y))⇔∃x∀y(F(x) → G(x, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y) ⇔ (∀xF(x, y) →∃xG(x, y)) ∧ (∃xG(x, y) →∀xF(x, y)) ⇔ (∀x1F(x1, y) →∃x2G(x2, y)) ∧ (∃x3G(x3, y) →∀x4F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2(F(x1, y) → G(x2, y)) ∧∀x3∀x4(G(x3, y) → F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2∀x3∀x4((F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ (G(x3, y) → F(x4, y))).13.将下列命题符号化, 要求符号化的公式全为前束范式:(1) 有的汽车比有的火车跑得快.(2) 有的火车比所有的汽车跑得快.(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的.(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的.答：(1)令F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y))⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x, y)).(2)令F(x):x是火车, G( y): y 是汽车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∀y(G(y)→ H(x,y)))⇔∃x∀y(F(x)∧(G y)→H(x,y))).;错误的答案:∃x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)).(3)令F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得快.¬∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)→(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))(不是前束范式)⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y)).(4)令F(x):x是飞机,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得慢.¬∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y)))⇔¬∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y))(不是前束范式)⇔∀x∀y¬(F(x)∧G(y)∧H(x,y))⇔∀x∀y(F(x)∧G(y)→¬H(x,y)).21.24.在自然推理系统F中, 构造下面推理的证明:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合) 答：令 F(x): x 喜欢步行, G( x): x喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车.前提:∀x(F(x)→¬G(x)), ∀x(G(x)∨H(y)),∃x¬H(x).结论:∃x¬F(x).② ∀x(G(x) ∨ H(y)) 前提引入② G(c) ∨ H(c) ①UI③∃x¬H(x) 前提引入④¬H(c) ③UI⑤ G(c) ②④析取三段⑥∀x(F(x) →¬G(x)) 前提引入⑦ F(c) →¬G(c) ⑥UI⑧¬F(c) ⑤⑦拒取⑨∃x¬F(x) ⑧EG习题七12.设A={0, 1, 2, 3}, R是A上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2,1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉} 给出R的关系矩阵和关系图.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2为A上的关系, 其中R1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 求R1·R2, R2·R1,R1²,R2³. R1·R2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R2·R1={〈c,d〉}, R1²={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R2³={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}20.设R1和R2为A上的关系,证明: (1)(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1答：(1)(R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∪R2)−1⇔〈y,x〉(∈R1∪R2)⇔〈y,x〉∈R1∨ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∨〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∨R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1 任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∩R2) −1⇔〈y,x〉(∈R1∩R2)⇔〈y,x〉∈R1∧ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∧〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∧R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∩R2−126.33.43.16.47.。
第十五章习题解答1. ()()x xS x xR ∃∧∀)1(())()()()()()()(c S b S a S c R b R a R ∨∨∧∧∧解：())()()2(x Q x P x →∀))((()()()()())()(c Q c P b Q b P a Q a P →∧→∧→解：)()()3(x xP x P x ∀∨⌝∀)(()()()())()()(c P b P a P c P b P a P ∧∧∨⌝∧⌝∧⌝解：2. 指出下列命题的真值：⎝⎛-=>=>∨→∀}6,3,2{,5:,"5:")(,"3:")(,"23:",)())(((1)D e x x R x x Q P e R x Q P x 论域其中).2.(:时不成立为当假解-x 。
论域其中，}2{,"4:")(,"3:")()()(()2(==>→∃D x x Q x x P x Q x P x解：真。
3. 在一阶逻辑中，将下列命题符号化： （1）凡有理数均可表示为分数。
解：P(x)： x 是有理数； Q （x ）:x 可表示为分数。
))()((x Q x P x →∀())())()((.:,:)(,:)(:.,)4())()((.:)(:)()3()(:)(:)()2(x S x P x W W x x S x x P x Q x P x x x Q x x P x Q x P y x x Q x x P ∧∃→→⌝∀∧∃∃明天天气好是学生是公园解有一些学生将去公园如果明天天气好是有理数是实数，解：数。
并非所有实数都是有理。
是有理数。
是实数，解：有些实数是有理数。
);()),()((,,:)()())()(()1(.,.4|))))()(|,(),(()()0,((),(:)(,:),(:.|)()(|:,),,(,0)6())).,()(()((:),(,:)(:)()5(00000x R x Q x P x x z z Q x xR x Q x P x x f x f G N n G n N x S G x b a x x S y x y x G x f x f N n N b a x x y G y Q y x P x y x y x G x x Q x x P n n 第二个是的作用域是第一个约束变元自由变元解并指出各量词的作用域变元和约束变元指出下列公式中的自由解时有使当都存在对任意给是实数是正实数，解：在大于该实数的实数。
对任意的正实数，都存∧∀∧∀→∧∀-∧∀∃→∧∀∀∈><->∈>∧∃→∀>εεεεε(2)))()(())(()((z Q x xP y Q y x P x →∀∨∃∧∀解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。
第一个的作用域为第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的作用域为 Q(y) （3）)()())()((z s y yR x Q x P x ∧∃∧↔∀ 解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。
))()((x Q x P x ↔∀的作用域为解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。
))()((x Q x P x ↔∀的作用域为 y ∃的作用域为R(y)（4）)),()((y x yH x F x ∃→∀解：无自由变元，约束为元：x ，y 。
x ∀的作用域为：))()((y x yH x F ，∃→ y ∃的作用域为：H(x,y)(5)),()(y x G x xF →∀解：自由变元:y 与G(x,y)中的x,约束变元:F(x)中的xx ∀的作用域：F(x)(6)),()),(),((y x xH z x Q y x R y x ∃∧∧∀∀解：自由变元:Z 与H(x,y)中的y;约束变元:x,y 。
x ∀和y ∀的作用域：()),(),((z x Q y x R ∧ x ∃的作用域：),(y x H5．设谓词公式。
判定以下改名是否正确 ：x ∀)),(),((z x Q y x P ∨(1)u ∀)),(),((z x Q y u P ∨ 错误 (2))),(),((z u Q y u P u ∨∀ 正确 (3))),(),((z u Q y u P x ∨∀ 错误 (4))),(),((z x Q y x P u ∨∀ 错误 (5))),(),((z y Q y y P y ∨∀错误6.(1) 解：真 (2) 解：假 (3) 解：真 (4) 解：真7.判断下列公式的恒真性和恒假性 (1) 解：恒真 (2) 解：恒真 (3) 解：恒真 (4) 解：恒假 (5) 解：满足 8．（1）H x xG H x G x →∃⇔→∀)())((Hx xG H x xG H x G x H x G x H x G x →∃⇔∨∃⇔∨∀⇔∨∀⇔→∀)())((7)(7))(7())((（2）H x xG H x G x →∀⇔→∃)())((Hx xG H x xG H x G x H x G x H x G x →∀⇔∨∀⇔∨∃⇔∨∃⇔→∃)())((7)(7))(7())((9.（1）)()(y x xG y y x yG x ，，∀∀⇔∀∀证：设D 是论域，I 是G （x ，y ）的一个解释。
（a ）若)(y x yG x ，∀∀在 I 下的为真，则在 I 下，对任意的D y x ∈,，),(y x G 即),(y x xG y ∀∀是真命题。
若),(y x yG x ∀∀在 I 下的为假,则在 I 下,必存在,00D y D x ∈∈或使得G （x0,y ）或G （x, y0）为假，于是，此xo 或yo 亦弄假 ),(y x xG y ∀∀ （2）)()(y x xG y y x yG x ，，∃∃⇔∃∃证：设D 是论域，I 是G （x, y ）的一个解释。
（a)若)(y x yG x ，∃∃在 I 下的为真，则在 I 下,有,00D y D x ∈∈与使G（x0,y0）为真命题，于是，)(y x yG x ，∃∃也是真命题， 反之亦然。
)()()()(()()()()(:)()()2())()(()()()()(:)()()1(:.10.,)(,),(,,,)()(x G x F x x xG x F x x xG x xF x xG x xF x xG x xF x G x F x x G x x xF x xG x xF x xG x xF y x xG y y x G D y x I y x yG x b ∨⌝∃⇔∃∨⌝∃⇔∃∨⌝∀⇔∃→∀∃→∀⌝∧∀⇔⌝∀∧∀⇔⌝∃∧∀⌝∃∧∀∃∃∈∃∃解解前束范式将下列公式化成等价的反之亦然亦为假，故均为假则对任意下为假在，若(3)解：),())(),((y x xH y yG y x xF ∀→∃→∀),())()),((7(),())(),((y x xH y yG y x xF y x xH y yG y x xF ∀→∃∨∀⇔∀→∃→∀),())(),(7(),())()),(7((y x xH z G y x F z x y x xH z zG y x F x ∀→∨∃∃⇔∀→∃∨∃⇔ ),())(7),((y u uH z G y x F z x ∀∨∧∀∀⇔ )),())(),(((y u H z G y x F u z x ∨∧∀∀∀⇔(4))),()((y x yQ x P x ∃→∀解：)),()(7()),()(7()),()((y x Q x P y x y x yQ x P x y x yQ x P x ∨∃∀⇔∃∨∀⇔∃→∀ 11．给出下面公式的skolem 范式： (1))),()((7z y zQ y x xP ∀∃→∀)),(7)((),(7)(()),()((7z y Q x P z y x z y Q z y x xP z y zQ y x xP ∧∀∃∀⇔∃∀∧∀⇔∀∃→∀∴所求为: ))),((7)((z x f Q x P z x ∧∀∀(2)))))),())(,())(,(((),(7(z y E x g z zE x g y E y o x E x →∀∧∃→∀解:原式: )))),())(,())(,(((),(7(z y E x g z E x g y E z y o x E x →∧∀∃→∀⇔)))),()(,())(,(((7),(7(z y E x g z E x g y E z y o x E x ∨∧∀∃→∀⇔ )))),()(,())(),((7(),(7(z y E x g v E x g y E v u o x E x ∨∧∀∀→∀⇔)),()))(,(7()))(),((7((),(7(z y E x g v E x g u E v u o x E x ∨∨∀∀→∀⇔ )),()))(,(7()))(,(7((),((z y E x g v E x g u E o x E u x ∨∨∨∨∀∀∀⇔即为所求(3)))()((7y yP x xP ∃→∀ 解：))()(7(7))()(7(7))()((7y yP x P x y yP x xP y yP x xP ∃∨∃⇔∃∨∀⇔∃→∀))(7)(()))()(7((7y P x P y x y P x P y x ∧∀∀⇔∨∃∃⇔12．假设)(y x yM x ，∀∃是公式G 的前束范式，其中M （x, y ）是仅仅包含变量x ，y 的母式，设f 是不出现在M （x, y ）中的函数符号。
证明：G 恒真当且仅当 ))(,(x f x yM x ∀∃ 恒真。
证：设)(y x yM x G ，∀∃=恒真。
若))(,(x f x xM ∃不真，则存在一个解释I, 使得对任意的 D x ∈0（论域），))(,(00x f x M 为假。
于是，G 在I 下也为假。
此为矛盾。
反之，设))(,(x f x xM ∃恒真。
若)(y x yM x ，∀∃不是恒真，则存在一个解释I ’，使得对任意 D x i ∈，存在D y i ∈，使)(i i y x M ，为假。
由于f 是不出现在)(y x M ，中的函数符号，故可定义函数，D D f →:使得i i y x f =)(。
于是，))(,(x f x xM ∃在I ’下为假。
矛盾。
故结论成立。
13．证明))()()(())()()(())()()((x R x P x x R x Q x x Q x P x →∀⇒→∀∧→∀证明:（1）))()()((x Q x P x →∀前提引入（2）)()(y Q y P →US ，（1） （3）))()()((x R x Q x →∀前提引入（4）)()(y R y Q → US ，（3） （5）)()(y R y P →假言推理(2)(4) （6）))()()((x R x P x →∀UG ，（5）14．构造下面推理的证明前提: ))()(()),()((x H x G x x H x F x →∀∧⌝∃ 结论: ))(7)((x F x G x →∀ 证明:（1）))()((x H x F x ∧⌝∃前提引入（2)))(7)((x F x H x →∀ 等值替换（1） （3)))(7)(7(x H x F x ∨∀ 等值替换（2） （4))(7)(y F y H → US ，（3） （5))()(c E c G ∧假言推理(2)(4)（6))()(y H y G →US ，（5） )6)(4()(7)()7(假言三段论y F y G →)8())(7)(()8(规则UG x F x G x →∀15．指出下面两个推理的错误。
