《概率论与数理统计》课程练习计算题 2

《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。

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1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

概率论与数理统计(二)（02197）1[计算题]设随机变量X的概率密度为2[计算题]设随机变量X服从[0,0.2]上的均匀分布，随机变量Y的概率密度为且X与Y相互独立，求(X,Y)的概率密度。

综合题]设（X,Y）的分布律为：且X与Y相互独立，求常数和的值。

[综合题]设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为求二维随机变量(X,Y)的分布律。

[应用题]五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以千克计）分别记为随机变量.已知，，，，，且它们相互独立，求这五家商店两周的总销量的均值和方差?解:设随机变量X指五家商店两周的总销量，则由已知可得（1）这五家商店两周的总销量的均值（2）这五家商店两周的总销量的方差[应用题]设电压（以计），将电压施加于一检波器，其输出电压为，求输出电压Y的均值？[计算题][计算题][综合题]设随机变量X的分布律为记综合题]设离散型随机变量X的分布律为[应用题]已知甲进行一次射击的命中率为，求：“甲进行三次独立的射击，至少一次命中”的概率？应用题]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002试求总体均值的矩估计值?[计算题][计算题]12把钥匙中有4把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。

综合题]设袋中有依次标着-1，0，1，2，3，4数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求:(1)X的分布律；(2)的概率分布。

[综合题]设二维随机变量(X,Y)的分布律为(1)求(X,Y)分别关于X,Y的边缘分布律；(2)试问X与Y是否相互独立，为什么？[应用题]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一个人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A表示“男人”，B表示“女人”，C表示“这人有色盲”，则由贝叶斯公式可得：应用题]某同学的钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是0.7,0.2,0.1，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.2,0.2，试求他找到钥匙的概率？解：设：A1 =“钥匙掉在宿舍里”，A2=“钥匙掉在教室里”，A3=“钥匙掉在路上”，B=“钥匙被找到”，已知。