2017九年级数学上方法技巧训练：圆中常见的计算题型 (人教版)最新版

新人教版九年级数学上册小专题 圆的有关计算类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题【例1】(黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A1位置时，求点A 经过的路线长.【方法总结】从点A 第一次翻滚到点A1位置时，先确定翻转过程中点A 每一次旋转角及旋转半径大小，再求各弧长，最后求和.求运动的轨迹长问题要扣住两点：一是理清运动的轨迹，二是分析每段轨迹的运动规律. 变式练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示)变式练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=3,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)变式练习3 (恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )A.2π+21B.2π+1 C.π+1 D.π+21 变式练习4 如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O ′A ′B ′的位置，点O 到O ′所经过的路线长为( ) A.πB.34π C.35πD.2π变式练习5 (日照中考)如图，正六边形ABCDEF 是边长为2 cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P 运动的路径长为( ) A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm变式练习6 如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚.(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，A 落在点A 1位置； (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长.类型2 圆中不规则图形的面积问题【例2】(盐城中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，求线段AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积.【方法总结】求阴影面积(或不规则图形面积)时常用图形割补的方法(图形变换)，或用几个特殊图形的面积的和或差来求.变式练习7 (泰安中考)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.(2π-1) cm 2B.(2π+1) cm 2C.1 cm 2D.2πcm 2变式练习8 (重庆中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.25π-6B.225π-6 C.625π-6 D.8258-6 变式练习9 (乐山中考)如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1-S 2=______变式练习10 (河南中考)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为CC ′，则图中阴影部分的面积为______变式练习11 (襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处.再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的弧AC,弧AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积.参考答案类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题【例1】如图，由A ″C 1=5，则 弧AA ′=180390⨯π=23π，弧A ′A ″=180490⨯π=2π，弧A ″A 1=180590⨯π=25π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为弧AA ′+弧A ′A ″+弧A ″A 1=23π+2π+25π=6π.变式练习1 （2π+50） 变式练习2 4π+3π变式练习3 C变式练习4 B 变式练习5 B变式练习6 (1)60度时；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为： l=弧AA 1+弧A 1A 2=3)13(2π+.类型2 圆中不规则图形的面积问题 【例2】∵∠BAC ＝90°，∴BC 2＝AB 2＋AC 229.∵S 阴影＝S 扇形CBB1＋S △A1B1C -S △ABC -S 扇形CAA1， 又∵△ABC 旋转得到△A 1B 1C ， ∴S △ABC ＝S △A1B1C .∴S 阴影＝S 扇形CBB1-S 扇形CAA1 =258π(cm2). 变式练习7 A 变式练习8 D 变式练习9 413π-9. 变式练习104π-3+23. 变式练习11(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°. ∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB=∠ECB ，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC.∴∠AFB+∠FAB=90°. ∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG. ∴∠CFG=∠FAB=∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF=EC ，AF=FG ，∴EC=FG.∴四边形EFGC 是平行四边形.∴EF ∥CG. (2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB=BE=21AB=1.∴AF=5. 在△FEC 和△CGF 中,∵EC=FG ，∠ECB=∠CFG ，FC=CF ，∴△FEC ≌△CGF. ∴S △FEC =S △CGF .∴S 阴影=S 扇形BAC +S △ABF +S △FGC -S 扇形FAG =425π-。

有关圆的计算教案知识点：（十二）和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2EM·MD=BM·MGCN·NH=DN·NE（十三）圆和圆的位置关系如图6－9若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：1、两圆外离⇔d ＞R＋r；2、两圆外切⇔d = R＋r；3、两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r（R＞r）4、两圆内切⇔d = R－r；（R＞r）5、两圆内含⇔d＜R－r。

（R＞r）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6－10，O1，O2为圆心，则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分（十四）两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。

d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13， OO1C为直角三角形。

d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。

（十五）相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14（十六）正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

圆上当算及综合训练（讲义）课前预习1.半径为 r的圆的周长为，面积为．2.如图，圆心角为 n°的扇形的弧长为，面积为．n°r3.已知圆上一段弧长为 4π cm，它所对的圆心角为 120 °，则圆的半径为．4.默写圆周角定理的有关推论：推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：；．推论 3 ：圆内接四边形对角互补．5.我们知道扇形可以围成圆锥，如图，从半径为 4 的⊙O上剪下一个圆心角度数为 n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰巧相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为．n°46.依据给出的圆锥的有关信息，画出圆锥的三视图，并标明有关线段长．Rh主视图左视图r俯视图知识点睛1.圆中的计算公式弧长公式：．扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：=+．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①；②．2.圆中办理问题，往常的思虑方向有：①找圆心、连半径；②遇弦，作垂线，配合建等式；③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆周角）④遇切线，；⑤由弧找角，由角看弧．精讲精练1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠ BAC=36°，则劣弧 BC的长是．A B'OCB A B第1 题图第2题图2.如图，直径 AB 为6的半圆，绕 A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点 B′，则图中暗影部分的面积是．3.如图，一把翻开的雨伞可近似地当作一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）尾端各点所在圆的直径 AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞起码需要绸布面料平方分米．BBA CA C4. 一个几何体的三视图如下图，此中主视图和左视图都是腰长为4、底边为 2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面睁开图的面积为．AB F44O22C E左视图主视图俯视图第 4题图D第5 题图5.如图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，若⊙ O 的半径为4，则图中阴影部分的面积为．6.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应当是．7.如图 1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1 cm 的圆形，使之恰巧围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为．图1图28.如图， Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC= 3 ，∠ACB=90°，∠ A=30°．若Rt△ ABC 由此刻的地点向右无滑动地翻转，则当点 A 第3 次落在直线l 上时，点 A 所经过的路径长为．（结果保存π）AlC B9.如图，在三角板 ABC 中，∠ ACB=90°，∠ B=30°， AC=1．三角板绕直角极点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应B′点 A′落在 AB 边的开端地点上时即停止转动，则点 B 转过的路径长为．C（结果保存π）A A′B10. 如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，已知 AO=45 cm， CO= 5 cm，当 AC绕点 O 顺时针旋转90°时，则雨刷器AC 扫过的面积为2cm（结果保留π ）．A'AA C C'O PCB第 10题图第11题图1.如图，在 Rt △ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且知足∠=∠，则线段CP 的最小值为．PAB PBC12.如图， CD 是⊙ O 的直径，且 CD=2 cm，点 P 为 CD 的延伸线上一点，过点 P 作⊙ O 的切线 PA，PB，切点分别为点 A，B．（ 1）连结AC，若∠ APO=30°，试证明△ACP 是等腰三角形．（ 2）填空：①当DP=cm 时，四边形AOBD是菱形；②当 DP=cm 时，四边形AOBP是菱形．ACO D PB13. 如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A， B 重合的一个动点，延伸BP到点，使= ，D是AC的中点，连结，．C PC PB PD PO（1）求证：△CDP≌△POB．（ 2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连结 OD，当∠ PBA 的度数为时，四边形 BPDO是菱形．CPDA O B14.如图，在 Rt △ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB 为直径作⊙ O 分别交 AC， BM于点 D，E．（1）求证：MD=ME．（ 2）填空：连结OD，OE，当∠A的度数为时，四边形 ODME是菱形．ADMOEB C︵︵15.已知：如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB = AC，点 D 在边BC 上， AE∥ BC， AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）假如点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形 AGCE是平行四边形．A EOB D C【参照答案】课前预习1.2πr；πr2n r 22.n；360r3. 4.1806 cm直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5.906.图形略知识点睛1.n Rl．180R2n lR① S；② S．3602S=π lr ．全面积；侧面积；底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；②圆锥的侧面积等于扇形面积．2.②垂径定理；勾股定理；③直径；④连半径精讲精练21.52. 63.54π4.4π165.36.18°7.15 cm10.500 π8.(49.333)2017-2018九年级数学上册圆中计算及综合训练讲义(新版)新人教版我爱你中国亲爱11. 212.（ 1）证明略；（ 2）① 1；②2 113.（ 1）证明略．（ 2）① 4；② 60°．14.（ 1）证明略．（ 2）60°．15.（ 1）证明略；（ 2）证明略．。

初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。

3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。

二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。

2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。

3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。

4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。

5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。

三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。

2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。

3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。

4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。

5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。

通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。

圆大题题型总结1 垂径定理1.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．2．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠AOB；（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．2 圆周角定理3．如图，AE是⊙O的直径，半径OC⊥弦AB，点D为垂足，连接BE、EC．（1）若∠BEC＝26°，求∠AOC的度数；（2）若∠CEA＝∠A，EC＝6，求⊙O的半径．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=4√2，AE＝2，求⊙O的半径．3 切线的判定5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．6．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．4 三角形的内切圆与内心7．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．8．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若弧EF＝弧DE，如图．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）当AD＝8，BC＝10时，求⊙O的半径．9．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DÊ的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2√3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．10 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC=1 2，求图中阴影部分的面积．10．如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？（2）求出该圆锥的底面半径是多少？圆大题题型总结1 垂径定理1.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，∴BD̂=CD̂，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AC=12×6＝3，在Rt△OBE中，∵BE＝4，OE＝3，∴OB=2+OE2=√42+32=5，即OD＝OB＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．2．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠AOB；（2）若AE ＝2，BC ＝6，求OA 的长．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵OA ⊥BC ， ∴AB̂=AC ̂， ∴∠ADC =12∠AOB ； （2）解：∵OA ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =12×6＝3， 设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，OE ＝r ﹣2， 在Rt △OBE 中，32+（r ﹣2）2＝r 2，解得r =134， 即OA 的长为134．2 圆周角定理3．如图，AE 是⊙O 的直径，半径OC ⊥弦AB ，点D 为垂足，连接BE 、EC ．（1）若∠BEC ＝26°，求∠AOC 的度数； （2）若∠CEA ＝∠A ，EC ＝6，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OC ⊥AB ， ∴AĈ=BC ̂， ∴∠CEB ＝∠AEC ＝26°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠AEC＝52°；（2）连接AC∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝∠ACE＝90°，∴∠AEB+∠A＝90°，∵∠CEA＝∠A，∠CEB＝∠AEC，∴∠A＝∠AEC＝30°，∴AE=ECcos30°=4√3，∴⊙O的半径为2√3．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=4√2，AE＝2，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE=12CD=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2√2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．3 切线的判定5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；（2）证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC+∠OBC＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．26．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO ＝90°． ∴EF 是⊙O 切线．（2）解：在△FEA 与△FBE 中， ∵∠F ＝∠F ，∠FEA ＝∠FBE ， ∴△FEA ∽△FBE ， ∴AF EF=EF BF=AE BE，∴AF •BF ＝EF •EF ，∴AF ×（AF +15）＝10×10， 解得AF ＝5． ∴BF ＝20． ∴1020=AE BE，∴BE ＝2AE ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴AE 2+BE 2＝152， ∴AE 2+（2AE ）2＝225， ∴AE ＝3√5．4 三角形的内切圆与内心7．如图，已知⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，且∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12．（1）求BF 的长； （2）求⊙O 的半径r ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC=√AB2−BC2=√132−122=5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．8．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若弧EF＝弧DE，如图．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）当AD＝8，BC＝10时，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∴∠B+∠DOE＝90°，同理可得∠C+∠EOF＝90°，∵EF̂=DÊ，∴∠DOE＝∠EOF，∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OA，如图，∵AD、AF为切线，∴OA平分∠BAC，∵△ABC为等腰三角形，∴OA⊥BC，∴点A、O、E共线，∴BE＝CE＝5，∵BD＝BE＝5，∴AB＝AD+BD＝13，在Rt△ABE中，AE=√132−52=12，设⊙O的半径为r，则OA＝12﹣r，在Rt△OAD中，r2+82＝（12﹣r）2，解得r=10 3，即⊙O 的半径为103．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理和勾股定理．5 扇形面积9．如图，已知AB ，CD 为⊙O 的直径，过点A 作弦AE 垂直于直径CD 于F ，点B 恰好为DE ̂的中点，连接BC ，BE ．（1）求证：AE ＝BC ；（2）若AE ＝2√3，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BD ， ∵AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴∠CBD ＝∠AEB ＝90°， ∵点B 恰好为DE ̂的中点， ∴BD̂=EB ̂， ∴∠A ＝∠C ，∵∠ABE ＝90°﹣∠A ，∠CDB ＝90°﹣∠C ， ∴∠ABE ＝∠CDB ，∴AE ̂=BC ̂， ∴AE ＝BC ；（2）解：∵过点A 作弦AE 垂直于直径CD 于F ， ∴AC ̂=EC ̂， ∵AÊ=BC ̂， ∴AĈ=BE ̂=12AE ̂， ∴∠A =12∠ABE ， ∴∠A ＝30°，在Rt △ABE 中，cos ∠A =AEAB， ∴AB =AE cos30°=2√332=4，∴⊙O 的半径为2． （3）连接OE ， ∵∠A ＝30°， ∴∠EOB ＝60°， ∴△EOB 是等边三角形， ∵OB ＝OE ＝2， ∴S △EOB =12×2×2×√32=√3， ∴S 阴＝S 扇形﹣S △EOB =60π×22360−√3=2π3−√3．10 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得∠ACQ ＝∠ABC ．（1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC=1 2，求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO．∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，∴直线PQ是⊙O的切线．（2）连接OE，∵sin∠DAC=12，AD⊥PQ，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．∴∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAO＝∠DAC+∠CAB＝60°，又∵OA＝OE，∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE ＝60°． ∴S 阴影＝S 扇形﹣S △AEO ＝S 扇形−12OA •OE •sin60° =60π360×22−12×2×2×√32=2π3−√3．∴图中阴影部分的面积为2π3−√3．6 圆锥的计算10．如图所示，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？ （2）求出该圆锥的底面半径是多少？【解答】解：（1）圆锥的侧面积=120⋅π⋅62360=12π（cm 2）；（2）该圆锥的底面半径为r ， 根据题意得2πr =120π⋅6180， 解得r ＝2．即圆锥的底面半径为2cm ．。