假设检验的公式运用总结

第三节u检验和t检验u检验和t检验可用于样本均数与总体均数的比较以及两样本均数的比较。

理论上要求样本来自正态分布总体。

但在实用时，只要样本例数n较大，或n小但总体标准差σ已知时，就可应用u检验；n小且总体标准差σ未知时，可应用t检验，但要求样本来自正态分布总体。

两样本均数比较时还要求两总体方差相等。

一、样本均数与总体均数比较比较的目的是推断样本所代表的未知总体均数μ与已知总体均数μ0有无差别。

通常把理论值、标准值或经大量调查所得的稳定值作为μ0.根据样本例数n大小和总体标准差σ是否已知选用u检验或t 检验。

（一）u检验用于σ已知或σ未知但n足够大[用样本标准差s作为σ的估计值，代入式（19.6）]时。

以算得的统计量u，按表19-3所示关系作判断。

表19-3 u值、P值与统计结论例19.3根据大量调查，已知健康成年男子脉搏均数为72次/分，标准差为6.0次/分。

某医生在山区随机抽查25名健康成年男子，求得其脉搏均数为74.2次/分，能否据此认为山区成年男子的脉搏高于一般？据题意，可把大量调查所得的均数72次/分与标准差6.0次/分看作为总体均数μ0和总体标准差σ，样本均数x为74.2次/分，样本例数n为25.H0：μ=μ0H1：μ＞μ0α=0.05（单侧检验）算得的统计量u=1.833＞1.645，P＜0.05，按α=0.05检验水准拒绝H0，可认为该山区健康成年男子的脉搏高于一般。

（二）t检验用于σ未知且n较小时。

以算得的统计量t，按表19-4所示关系作判断。

表19-4 ｜t｜值、P值与统计结论例19.4 若例19.3中总体标准差σ未知，但样本标准差已求出，s=6.5次/分，余数据同例19.3.据题意，与例19.3不同之处在于σ未知，可用t检验。

H0：μ=μ0H1：μ＞μ0α=0.05（单侧检验）本例自由度v=25-1=24，查t界值表（单侧）（附表19-1）得t0.05（24）=1.711.算得的统计量t=1.692＜1.711，P＞0.05，按α=0.05检验水准不拒绝H0，尚不能认为该山区成年男子的脉搏高于一般。

3.1 假设检验1．假设检验是统计推断的一个基本问题，在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，先对总体的分布类型或总体分布的参数做某种假设，然后根据样本提供的信息，对所作的假设作出是接受，还是拒绝的决策，这一过程就是假设检验。

2．定义1 对总体分布类型或未知参数值提出的假设称为待检假设或原假设，用表示。

对某问题提出待检假设的同时，也就给出了相对立的备择假设，用1H 表示。

3．假设检验的基本原理：首先提出原假设，其次在成立的条件下，考虑已经观测到的样本信息出现的概率。

如果这个概率很小，这就表明一个概率很小的事件在一次实验中发生了。

而小概率原理认为，概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的，也就是说在成立的条件下导出了一个违背小概率原理的结论，这表明假设是不正确的，因此拒绝，否则接受。

4．假设检验的两类错误假设检验中作出推断的基础是一个样本，是以部分来推断总体，因此不可避免地会犯错误。

第一类错误（弃真错误）：0H 为真而拒绝，；第二类错误（取伪错误）：0H 不真而接受0H 。

犯第一类错误的概率记为{}00P H H 当为真拒绝，犯第二类错误的概率记为{}00P H H 当不真接受。

我们当然希望犯两类错误的概率都很小，但是，进一步讨论可知，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大。

若要使犯两类错误的概率都减小，则须增加样本容量。

在给定样本容量的情况下，一般来说，我们总是控制犯第一类错误的概率，使它不大于α，即令{}00P H H α≤当为真拒绝，通常取0.1,0.05,0.01等。

这种只对犯第一类错误的概率加以控制。

而不考虑犯第二类错误的概率的检验，成为显著性检验。

α是一个事0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H 0H α先指定的小的正数，称为显著性水平或检验水平。

5．假设检验的步骤（1）提出原假设和备择假设1H（2）给定n α及（3）选取检验统计量及确定拒绝域的形式（4）令{}00P H H α≤当为真拒绝，求拒绝域（5）由样本值作出决策：拒绝0H 或接受0H 。

常见的假设检验一般地说，根据样本对总体某项或某几项作出假设，并对该假设作出接受或拒绝的判断，这种方法称为假设检验。

u—检验法检验的是：在大样本（n>30）的情况下，某一随机变量的期望是否等于一个常数C。

t检验法/学生检验检验的是：在小样本（n<30）的情况下，两个变量的平均值差异程度。

对于两个变量的解释：可以看作是两个不同的样本；也可以看作是抽样样本和总体。

据此就分为：单样本T检验、配对样本T检验和独立样本T检验例子：难产婴儿和总体婴儿对比；治疗前后对比；北京人和南京人对比χ2检验法（卡方检验）检验的是：两个及其以上的频率/构成比例之间的差异分析，对比的数是“比例”案例：某咨询公司想了解南京和北京的市民对最低生活保障的满意程度是否相同。

他们从南京抽出600居民，北京抽取600居民，每个居民对满意程度(非常满意、满意、不满意、非常不满意)任选一种，且只能选一种。

南京和北京居民对最低生活保障满意程度比例相同吗？检验的是：来自不同总体的两个样本的方差是否存在差异。

F检验又叫方差齐性检验。

简单的说，检验两个样本的方差是否有显著性差异。

从两个研究总体中随机抽取样本，要对这两个样本进行比较的时候，首先要判断两总体方差是否相同，即方差齐性。

若两总体方差相等，则直接用t检验，若不等，可采用t'检验或变量变换或秩和检验等方法。

要判断两个总体方差是否相等，就可以用F检验。

（在OLS中，假设随机扰动项是0均值、同方差——方差齐性、非序列相关）。

在两样本t检验（两个样本的均值差异性检验）中要用到F检验。

这是选择何种T检验（等方差双样本检验，异方差双样本检验）的前提条件。

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差 σ2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

至于两组数据之间是否存在系统误差，则在进行F检验并确定它们的精密度没有显著性差异之后，再进行t检验。

计算方法：检验的是：比较两个独立样本的分布是否存在差异适用范围：在实践中我们常常会遇到以下一些资料，如需比较患者和正常人的血铁蛋白、血铅值、不同药物的溶解时间、实验鼠发癌后的生存日数、护理效果评分等，这类资料有如下特点：（1）资料的总体分布类型未知；（2）资料的总体分布类型已知，但不符合正态分布；（3）某些变量可能无法精确测量；（4）方差不齐。

应用数理统计之假设检验1. 概述假设检验是数理统计中一种重要的推论方法，用于对统计总体的某些特征提出假设，并通过收集样本数据进行检验，以确认这些假设是否成立。

在实际应用中，假设检验可以帮助我们对某些问题做出明智的决策，比如判断广告效果是否显著、产品质量是否达标等。

2. 基本概念2.1 零假设和备择假设•零假设（H0）：通常表示我们希望进行检验的假设，可以是一种默认的状态或者旧观点。

例如，H0：广告对销售额没有显著影响。

•备择假设（Ha）：与零假设相对立的假设，通常体现了研究者的猜想或者新观点。

例如，Ha：广告对销售额有显著影响。

2.2 显著水平和p值•显著水平（α）：在假设检验中设定的判断标准，通常取0.05或0.01。

当p值小于等于显著水平时，我们拒绝零假设。

•p值：表示观察到的样本数据对应的统计量取得更极端情况的概率。

当p值越小时，表明数据发生的概率越低，从而支持备择假设。

3. 假设检验的步骤3.1 确定假设首先要明确研究问题，提出零假设和备择假设。

3.2 选择适当的检验方法根据实验设计和数据类型，选择合适的假设检验方法，包括单样本t检验、双样本t检验、方差分析等。

3.3 收集数据并计算统计量根据样本数据，计算相应的统计量，如t值、F值等。

3.4 判断显著性计算p值，并与显著水平进行比较，判断是否拒绝零假设。

3.5 得出结论根据假设检验的结果，综合考虑实际问题，得出结论并做出相应的决策。

4. 假设检验的举例4.1 单样本t检验假设我们想要验证某药物的疗效，零假设为“该药物对疗效没有显著影响”，备择假设为“该药物对疗效有显著影响”。

我们进行了对照组和实验组的实验，通过单样本t检验计算得到的p值为0.03，显著水平为0.05。

根据检验结果，我们拒绝了零假设，认为该药物对疗效有显著影响。

4.2 双样本t检验假设我们想比较两种产品的质量表现，零假设为“两种产品的平均质量没有显著差异”，备择假设为“两种产品的平均质量存在显著差异”。