四个命题和充要条件第一课时

1.3.1四种命题及充要条件 8月13日一、高考目标：1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

2、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

二、教学重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

教学难点：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

三、知识梳理：1、命题：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题。

其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 。

3、充要条件与必要条件（1）如果q p ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；（2）如果既有,q p ⇒，又有p q ⇒，记作，则p 是q 的 条件简称 。

四、典例例题：考点一：四种命题及其关系例1、下列命题中正确的是 （ ）①“若022≠+y x ，则y x 、不全为0”的否命题②“R c b a ∈,,，若22bc ac >，则b a >”的逆命题③“若0>m ，则m x x -+2=0有实根”的逆否命题 ④“若3-x 是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A. ①②③④B. ①③④C. ②③④D. ①④考点二：充分条件与必要条件的判定例2、给出下列命题：试分别指出p 是q 的什么条件。

（1）0)3)(2(:,02:=--=-x x q x p 。

（2）:p 两个三角形相似；:q 两个三角形全等。

（3）:;30:q x p <<21<-x 。

（4）（2011山东理）对于函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =的图像关于y 轴对称”是“R x x f y ∈=),(是奇函数”的 。

考点三：充分条件与必要条件的应用例3、(1)若p ：两条直线互相垂直，q ：两条直线的斜率互为负倒数则p 是q 的什么条件？（2）若p ：243>-x ， q ：0212>--x x ，则p ⌝是q ⌝的什么条件？★例4．已知{}{}m x m x S x x x P +≤≤-=≤--=11,02082， （1） 是否存在实数m ，使P x ∈是S x ∈的充要条件，若存在，求出m 的范围。

《充分条件和必要条件》说课稿（第一课时）一、教材分析充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。

教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。

从学生学习的角度看，教学时间的前移，学生初步具备了一定的逻辑推理水平，通过本节的教学，能使学生的学习要求达到规定的“初步掌握充要条件”的要求。

从教材编写角度来看，教材的定义显得更简洁精炼，教材的例题、练习题和习题量均大比较多。

显然，教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这个的教学观。

当然，一次性给出定义也增加了学生理解上的困难，也是教学中必须突破的难点。

尤其是必要条件的理解。

基于上述理解，我对本节内容的教学目标和重难点作如下考虑：二、教学目标知识方面：理解充分、必要条件的概念；初步掌握充分、必要条件的判断方法。

水平方面：培养学生的阅读理解水平、逻辑推理水平和归纳总结的水平。

情感方面：让学生感受“如何实行合理的数学思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。

三、教学重难点教学重点：充分、必要条件的概念和判断方法。

教学难点：理解充分、必要条件的概念。

四、教法与学法（一）在教学方法上，主要是采用讲练结合法实行教学。

教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法。

因为这是充要条件的概念起始课，文字信息量比较大，教师能够借助多媒体辅助教学手段，提升学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，提升教学效益。

（二）整个教学过程中表达“创设情景”——“引入概念”——“总结提升”——“练习巩固”的学习环节，从三个方面引发学生的学习思维活动：1、通过问题情境的创设，学生通过对具体命题的正反辨析，对“充分的”和“必要的”这两个词汇产生感性化的理解，自然引入充分、必要条件的概念。

学习目标核心素养１．结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．（重点）２．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．（重点、难点）３．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.１．符号⇒与的含义命题真假“若p则q”为真“若p则q”为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q２．充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件（q是p的必要条件）p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p思考：（２）以下五种表述形式：１p⇒q；２p是q的充分条件；３q的充分条件是p；４q是p的必要条件；５p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] （１）相同，都是p⇒q（２）等价１．“x>２”是“x２—３x＋２>0”成立的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由x２—３x＋２>0得x>２或x<１，故选Ａ．]２．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（）Ａ．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件Ｂ．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件Ｃ．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件Ｄ．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]３．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件D[本题采用特殊值法：当a＝３，b＝—１时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝—３，b＝—１时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]４．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．（１）“a２＋b２＝0”是“a＝b＝0”的________条件．（２）两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．（３）“a２>0”是“a>0”的________条件．（４）“sin α>sin β”是“α>β”的________条件．（１）充要（２）充分不必要（３）必要不充分（４）既不充分也不必要[（１）a２＋b２＝0成立时，当且仅当a＝b＝0．故应填“充要”．（２）因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．（３）因为a２＞0a＞0，如（—２）２＞0，但—２＞0不成立；又a＞0⇒a２＞0，所以“a２＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．（４）因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．（１）在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；（２）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠２或y≠6；（３）p：（a—２）（a—３）＝0，q：a＝３；（４）p：a＜b，q：错误!＜１．[思路探究] 判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断綈q是綈p的什么条件．[解] （１）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．（２）因为x＝２且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以p是q的充分不必要条件．（３）由（a—２）（a—３）＝0可以推出a＝２或a＝３，不一定有a＝３；由a＝３可以得出（a—２）（a—３）＝0．因此，p是q的必要不充分条件．（４）由于a＜b，当b＜0时，错误!＞１；当b＞0时，错误!＜１，故若a＜b，不一定有错误!＜１；当a＞0，b＞0，错误!＜１时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，错误!＜１时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法１．定义法２．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．３．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．１．（１）设a，b是实数，则“a>b”是“a２>b２”的（）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件D[令a＝１，b＝—１，满足a>b，但不满足a２>b２，即“a>b”不能推出“a２>b２”；再令a ＝—１，b＝0，满足a２>b２，但不满足a>b，即“a２>b２”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a２>b ２”的既不充分也不必要条件．]（２）对于二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（）１Δ＝b２—４ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；２Δ＝b２—４ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；３Δ＝b２—４ac>0是函数f（x）有零点的必要条件；４Δ＝b２—４ac<0是函数f（x）没有零点的充要条件．Ａ．１４Ｂ．１２３Ｃ．１２３４Ｄ．１２４D[１Δ＝b２—４ac≥0⇔方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点，故１正确．２若Δ＝b２—４ac＝0，则方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点，故２正确．３函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b ２—４ac>0，也可能有Δ＝0，故３错误．４Δ＝b２—４ac<0⇔方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）无零点，故４正确．]充要条件的探求与证明Ａ．0<x<４Ｂ．0<x<２Ｃ．x>0 Ｄ．x<４（２）已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：错误!<错误!的充要条件是xy>0．[思路探究] （１）先解不等式x２—４x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x２—４x<0的解集的子集．（２）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] （１）由x２—４x<0得0<x<４，则充分不必要条件是集合{x|0<x<４}的子集，故选Ｂ．[答案] B（２）法一：充分性：由xy>0及x>y，得错误!>错误!，即错误!<错误!.必要性：由错误!<错误!，得错误!—错误!<0，即错误!<0．因为x>y，所以y—x<0，所以xy>0．所以错误!<错误!的充要条件是xy>0．法二：错误!<错误!⇔错误!—错误!<0⇔错误!<0．由条件x>y⇔y—x<0，故由错误!<0⇔xy>0．所以错误!<错误!⇔xy>0，即错误!<错误!的充要条件是xy>0．１．探求充要条件一般有两种方法：（１）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．（２）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．２．充要条件的证明（１）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．（２）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．２．（１）不等式x（x—２）<0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．x∈（0,２）Ｂ．x∈[—１，＋∞）Ｃ．x∈（0,１）Ｄ．x∈（１,３）B[由x（x—２）<0得0<x<２，因为（0,２）[—１，＋∞），所以“x∈[—１，＋∞）”是“不等式x（x—２）<0成立”的一个必要不充分条件．]（２）求证：关于x的方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明] 假设p：方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１，q：a＋b＋c＝0．１证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝１是方程ax２＋bx＋c＝0的根，∴a×１２＋b×１＋c＝0，即a＋b＋c＝0．２证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝—a—b.∵ax２＋bx＋c＝0，∴ax２＋bx—a—b＝0，即a（x２—１）＋b（x—１）＝0．故（x—１）（ax＋a＋b）＝0．∴x＝１是方程的一个根．故方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１的充要条件是a＋b＋c＝0．充分、必要条件的应用[探究问题]１．若集合A B，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．２．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．３．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥２}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝２；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是（２，＋∞）．【例３】已知p：x２—8x—２0≤0，q：x２—２x＋１—m２≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究] 错误!→错误!→ 错误!{m|m≥9}（或[9，＋∞））[由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0），得１—m≤x≤１＋m（m>0）．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qD p.即{x|—２≤x≤１0}是{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}的真子集，所以错误!或错误!解得m≥9．所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]１．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x２—8x—２0≤0得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0）得１—m≤x≤１＋m （m>0）因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p q.则{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}{x|—２≤x≤１0}所以错误!，解得0<m≤３．即m的取值范围是（0,３]．２．若本例题改为：已知P＝{x|a—４<x<a＋４}，Q＝{x|１<x<３}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解] 因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以错误!解得—１≤a≤５即a的取值范围是[—１,５]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围１．化简p、q两命题，２．根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，３．利用集合间的关系建立不等关系，４．求解参数范围．１．充分条件、必要条件的判断方法：（１）定义法：直接利用定义进行判断．（２）等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．（３）利用集合间的包含关系进行判断．２．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．（）（２）命题“若p则q”为假，记作“q⇒p”．（）（３）若p是q的充分条件，则p是唯一的．（）（４）若“p q”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）×２．“x２—４x—５＝0”是“x＝５”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件B[由x２—４x—５＝0得x＝５或x＝—１，则当x＝５时，x２—４x—５＝0成立，但x２—４x—５＝0时，x＝５不一定成立，故选Ｂ．]３．若“x＜m”是“（x—１）（x—２）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．（—∞，１] [由（x—１）（x—２）＞0可得x＞２或x＜１，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞２或x＜１}，∴m≤１．]４．求证：关于x的方程x２＋mx＋１＝0有两个负实数根的充要条件是m≥２．[证明] （１）充分性：因为m≥２，所以Δ＝m２—４≥0，所以方程x２＋mx＋１＝0有实根，设两根为x１，x２，由根与系数的关系知，x１·x２＝１>0，所以x１，x２同号．又x１＋x２＝—m≤—２<0，所以x１，x２同为负数．即x２＋mx＋１＝0有两个负实根的充分条件是m≥２．（２）必要性：因为x２＋mx＋１＝0有两个负实根，设其为x１，x２，且x１x２＝１，所以错误!即错误!所以m≥２，即x２＋mx＋１＝0有两个负实根的必要条件是m≥２．综上可知，m≥２是x２＋mx＋１＝0有两个负实根的充分必要条件．。

要 条件，q也是p的 充要 条件．
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二、四种命题及其关系
1．四种命题间的相互关系
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2．四种命题间的真假关系：
(1)互为逆否的两个命题 等价(同真同假)． (2)互逆或互否的两个命题 不等价．
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1．(教材习题改编)|x|>1是x>1的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
(
)
C．充分必要条件
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[考题范例] (2011· 全国大纲卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分
而不必要的条件是
A．a>b＋1 C．a2>b2
(
B．a>b－1 D．a3>b3
)
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[失误展板] 错解：由a>b可得a3>b3或a>b－1，故选B或D. 错因：解答本题错因在于颠倒了充分性与必要性，题目所
问是使a>b成立的充分而不必要的条件，即由选择支推出
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5．(教材习题改编)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则 “a＝1”是“N⊆M”的________条件．
解析：若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝± 1或 a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
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1．充分条件与必要条件的两个特征．
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要) 条件，则p是r的充分(必要)条件．
“x∈C”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 ( )
D．既不充分也不必要条件