数学物理方法课件(北师大版)5

• 傅里叶变换：


B( )

1


f ( ) sin( )d
一个函数的傅里 叶变换反映了该 函数的频谱成分！
• 奇函数傅里叶正弦积分 • 偶函数傅里叶余弦积分
例1. 试将矩形脉冲函数f(x)=h rec(t/2T)展开为傅里叶积 分。p75
h
2π/T 3π/T
-T
T
π/T
∞
• 引入不连续变量ωk=kπ/ℓ (k=0,1,2,…), ∆ωk=ωk-ωk-1=π/ℓ， 如果f(x)在(-ℓ, ℓ)积分有限，则
f ( x ) a0 ∑ (ak cos k x bk sin k x),
k 1 ∞
1 lim a0 lim f ( )d 0. →∞ →∞ 2 ∞ 1 lim ∑ [ f ( ) cos k d ] cos k x →∞ k 1 lim ∑ [
一般地：
1 F[ f1 ( x) f 2 ( x) f 2 ( x)] F1 ( ) * F2 ( ) ** F2 ( ) 2
讨论：卷积的意义。
（四）相关函数*
相关函数： R12 ( x) f1 ( ) f 2 ( x)d
R21( x) f1 ( x) f 2 ( )d
-ℓ
ℓ
讨论：对于一个实际问题，究竟做偶延拓还是奇延拓？
根据函数在端点的性质来确定；
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
• 前面讨论的是周期函数的傅里叶级数展开；对于有限
区间的函数，通过延拓方式变为周期函数，从而得到
该区间的傅里叶级数展开形式。 • 对于无限区间x ∈(- ∞ ,+∞)中的非周期函数，能否做



( x)dx 1
例2. 阶跃函数的求导
0, x 0 H ( x) 1, x 0
求导数
x0 0, H ( x) 不存在, x 0
• δ 函数的形式定义：
0, x 0 ( x) , , x 0



( x)dx 1
ce ∑
ikx /
1 ck f ( )[eik / ]* d . 2
（五）有限区间上的函数的傅里叶展开
• 如果函数只在有限区间(0,ℓ)定义，则采用延拓的办法， 将函数变成在整个实轴上以2ℓ为周期的函数，然后再做 傅里叶级数展开；
例1：设 f(x) =x，x ∈(0, ℓ)，试将其展开成余弦级数。
7) 卷积定理： F[ f1 ( x) * f 2 ( x)] 2F1 ( ) F2 ( )
f1 ( x) * f 2 ( x) f1 ( ) f 2 ( x - )d

1 F1 ( ) * F2 ( ) 卷积逆定理： F[ f1 ( x) f 2 ( x)] 2
(2 ) ikr f (r ) F (k )e dk x dk y dk z , 1 (2 )3

f ( x, y , z )e
i ( k x x k y y k z z )
F (k )

ikr f (r )e dxdydz
§5.3 δ函数
0 0
• 傅里叶积分定理： 若 函数f(x) 在x∈(-∞,+∞)上满足： (1) 在任一有限区域上满足狄里希利条件； (2) 在(-∞,+∞)上绝对可积， 则f(x)可以表示成傅里叶积分形式，且
1 [ f ( x - 0) f ( x 0)] A( ) cos(x) B( ) sin(x)dx 0 2 1 A( ) f ( ) cos( )d
f ( x) 在连续点x 函数f ( x)的Fourier展开 1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 在间断点x 2
（三）傅里叶正弦级数和余弦级数展开
若函数 f(x) 是奇函数，则展开成傅里叶正弦级数
kπ f(x) = ∑ bk sin x. k =1
3. 完备性：即任意一个周期函数均可以做傅里叶展开； 讨论：（1）正交性和完备性的意义； （2）函数内积与向量点乘的比较； （3）基族函数与几何空间中基矢的关系。
（二）傅里叶级数展开的收敛性
• 狄里希利定理：若函数f(x) 满足条件： （1）处处连续，或在每个周期内只有有限个间断点； （2）在每个周期内只有有限个极值点， 则上述傅里叶展开的级数收敛，且
例1. 计算
n x 1 ( x) cos l dx,
5
n x 1 ( x) cos l dx
5
2 2 例2. 证明 x a
1 ( x a) x a 2|a|
第五章 傅里叶变换
• §5.1 傅里叶级数 • §5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 • §5.3 δ 函数
§5.1 傅里叶级数
（一）周期函数的傅里叶级数展开
如果函数f(x)以2ℓ为周期，f(x+2ℓ)=f(x)，则取三角 函数族{1, cosπx/ℓ, cos2πx/ℓ, …, coskπx/ℓ, …
其中
1 F ( ) 2



f ( x)e-ix dx
f ( x) F -1[ F ()]
• 符号表示： F () F[ f ( x)],
例2. 求矩形脉冲f(t)=h rect(1/2T)的复数形式的傅里叶 变换。p78
（三）傅里叶变换的基本性质
1) 导数定理： F[ f ' ( x)] iF () 1 F ( ) 2) 积分定理： F[ ( x ) f ( )d ] i 3) 相似性定理：F[ f (ax)] 4) 延迟定理： 5) 位移定理：


( x) f ( x)dx lim ( x) f ( x)dx
0

lim
t 0


t ( x) f ( x)dx n ( x) f ( x)dx
lim
n


lim
a 0
a ( x) f ( x)dx
（一）δ 函数的概念
δ 函数的引入：物理量的奇异性 例1. 单位质量分布的线密度
0, ( x ) 1 2 , x , x ,
0
质点、点电 荷等概念！
这些都是 不连续函 数！
( x)
0, ,
x0 x0
1 k bk f sin d

基函数族的基本性质：
1. 具有倍频的关系；
2. 正交性：即任意两个基函数的乘积在一个周期的积 分为0；
1 kππ nππ 1 kππ nππ sin sin dx nk cos cos dx nk 1 kππ nππ sin cos dx 0
• δ 函数具有密度的特征；
• 位于x0的点电荷密度等可以表示成：ρ(x)=qδ(x-x0)
• δ 函数是一种广义函数，因为上述分布函数的极限本身并 不存在，它们只是在积分的意义下符合δ 函数的定义。
（二）δ 函数的性质
1. δ(x)是偶函数，δ(-x)=δ(x), δ’(-x)=-δ(x).



S ( ) R( x)e ix d


讨论：相关函数的物理意义？
（五）多重傅里叶积分
f ( x, y, z ) F (k x , k y , k z )e F ( x, y , z ) 1
3 i (kx xk y ykz z )
dk x dk y dk z , dxdydz .
傅里叶级数展开呢？
• 答案：否！但是可以考虑其推广形式。
（一）实数形式的傅里叶变换
• 首先将定义在无限区间的非周期f(x)视作某个周期为2ℓ的 周期函数g(x)的极限情形，
kπ kπ g( x ) = a 0 + ∑ (a k cos x + b k sin x) k =1
• 当ℓ∞时，上式就是非周期函数f(x)的傅里叶展开。 • 对于连续周期（相邻周期的间隔无限小），求和将变成积 分形式。
4π/T
ω
f (t ) A( )

0
A( ) cos td
0

2
f (t ) cos tdt
2h sin T


讨论：上述变换的意义？
（二）复数形式的傅里叶积分
类似地，可以得到复形式的傅里叶积分定理：
f ( x) F ( )eix d

互为逆变换！
∞
若函数 f(x) 是偶函数，则展开成傅里叶余弦级数 ∞ kπ f(x) = a0 + ∑ ak cos x. k =1
（四）复数形式的傅里叶级数
基函数：1, e f x
∞ k k -∞ ix /
,e ,
2 ix /
, , e
ikx /
,
1 ikx / inx / * e [e ] dx nk 2
• 分布意义下的极限定义：
t ( x )
1 2a t e
x2 4 a 2t
t 0
sin(nx) n ( x) x
n
δ(x)
a ( x)
a a2 x2
a 0
• δ 函数可以看作是如下意义下的极限，即对于任何光滑的 函数 f(x)，有

→∞ k 1 k →0 ∞

0
1


f ( ) cos k d ] cos k xk 1

傅里叶积分 表示！