线性方程组的平方根解法

平方根的计算与运用一、简介平方根是数学中常见的一种数学运算，其运用非常广泛。

本文将介绍平方根的计算方法以及在实际生活中的应用。

二、平方根的计算方法1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解方程近似解的方法，在计算平方根时也可以使用。

其基本思想是通过不断逼近方程 f(x)=0 的根来获得方程的解。

对于求解平方根，可以将问题转化为求解方程 x^2-a=0，其中 a 为待求的数。

具体计算步骤如下：步骤1：初始化，给定一个初始近似解 x0；步骤2：计算迭代公式，得到迭代的下一个近似解 xn+1，公式为xn+1 = (xn + a/xn)/2；步骤3：判断是否满足精度要求，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。

2.二分法二分法是一种逐步逼近的算法，它通过不断缩小一个区间来逼近方程的解。

在计算平方根时，可以将问题转化为求解方程 x^2-a=0，其中a 为待求的数。

具体计算步骤如下：步骤1：初始化，给定一个区间 [l, r]，其中 l=0，r=a；步骤2：计算区间中点 m，公式为 m = (l + r)/2；步骤3：判断 m 的平方是否接近 a，如果接近则停止迭代，否则进入下一步；步骤4：根据 m 的平方与 a 的大小关系，调整区间的左右边界，继续迭代。

三、平方根的运用1. 几何学中的应用平方根在几何学中有广泛的应用。

例如在直角三角形中，勾股定理可以描述三边长度之间的关系，其中涉及到平方根的运算。

通过计算平方根，可以求得直角三角形的斜边长度。

2. 统计学中的应用在统计学中，方差是衡量数据分散程度的一个指标，其计算要用到平方根。

具体而言，方差是各个数据与均值之差的平方和的平均值，通过对平方根的运算可以获得方差的真实值。

3. 物理学中的应用平方根在物理学中也有许多应用，例如在牛顿第二定律中，计算加速度所需用到的运算中就包含了平方根。

通过求取平方根，可以获得物体的加速度信息。

4. 工程中的应用在工程学中，平方根有着广泛的应用。

浅析线性方程组的平方根解法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU 分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。

一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵A 是非奇异的2) 正定矩阵A 的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵A 的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A 的特征值均大于零 5) 正定矩阵A 的行列式必为正数定义一 线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵，那么Ax=b 是对称正定线性方程组。

定义二 如果方阵A 满足A=AT ，那么A 是对称阵。

2.1.4 平方根法和改进的平方根法如果A 是n 阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若A 为n 阶对称矩阵，且A 的各阶顺序主子式都不为零，则A 可惟一分解为：A ＝LDLT ，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。

证明 因为A 的各阶顺序主子式都不为零，所以A 可惟一分解为：A ＝LU 因为 ，所以可将 U 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn u u u U 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11122211112 u u u u u u n nn n 1DU =其中 D 为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A ＝LDU1＝L(DU1)因为A 为对称矩阵，所以，A ＝AT ＝U1TDTLT ＝U1T(DLT)，由 A 的 LU 分解的惟一性即得：L ＝U1T ，即U1＝LT ，故A ＝LDLT 。

平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序2、数学原理1、平方根法解n阶线性方程组Ax=b的choleskly方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A是有要求的，需要A是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的形式，其中L是下三角矩阵，将其代入Ax二b 中，可得：进行如下分解：那么就可先计算y,再计算x,由于L 是下三角矩阵，是上三角矩阵，这样的计算比直接使用A计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A进行Cholesky分解，我再描述一下过程吧：如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。

设，即其中第1步，由矩阵乘法，故求得一般的，设矩阵L的前k-l列元素已经求出第k步，由矩阵乘法得于是2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算，所以用计算；其中，；得按行计算的元素及对元素公式对于、、计算出的第行元素后，存放在的第行相置，然后再计算的第行元素，存放在的第行、的对角元素存放在的相应位置、对称正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开放计算。

求解, 的计算公式分别如下公式。

3、程序设计1、平方根法function[x]二pfpf(A,b)%楚列斯基分解求解正定矩阵的线性代数方程A二LL'先求LY二b再用L' X二Y即可以求出解X[n,n]=size(A) ;L(1, l)=sqrt(A(l, 1)) ；for k=2：nL(k, l)=A(k, 1)/L(1,1) ； endfor k=2： n-1 L(k, k) =sqrt (A(k, k)_sum(L(k, 1：k-1) > 2)) ； for i=k+l:n L(i,k) = (A(i,k)-stun(L(i, l：kT)、*L(k, l：kT)))/L(k,k)； endendL (n, n)=sqrt (A(n, n) -sum(L(n, 1: n-1)、2)) ； %解下三角方程组Ly二b相应的递推公式如下，求出y矩阵y二zeros (n, 1) ；%先生成方程组的因变量的位置，给定y的初始值for k=l： n j=l： k-1； y (k) = (b(k)-L(k, j) *y (j))/L(k, k) ； end%解上三角方程组L' X=Y 递推公式如下，可求出X 矩阵x二zeros (n, 1) ；U=L；%求上对角矩阵for k=n： -1:1 j=k+l：n； x(k) = (y (k)-U(k,j)*x(j))/U(k,k)；end » A二[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,- 2,1,3,2,01,14,1,-8,-3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,- 1,22,4,-10,-34,3,-3,-4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-4,2,19]；>〉b=[0；-6；20；23；9；-22；-15；45]；» x=pfpf(A,b)x =121、148160、152810、91202、01852、改进平方根法function[x]=improvecholesky(A,b,n)%用改进平方根法求解Ax=bL=zeros(n,n)； %L为n*n矩阵D=diag(n, 0) ； %D 为n*n 的主对角矩阵S=L*D； for i=l: n %L 的主对角元素均为 1 L(i, i) = l； endfor i=l: n for j=l：n %验证 A 是否为对称正定矩阵if (eig(A)<=0) (A(i, j)~=A(j,i))%A的特征值小于0或A非对称时，输出wrongdisp(wrong) ； break； endendendD(1,1)=A(1, 1) ；%将A 分解使得A=LDLTfor i二2：n for j=l：i~l S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,l：j~ l)*L(j,l： j-1))； L(i,l：i-l)=S(i,l：i-l)/D(l：i-l,l：i-l); end D(i, i)=A(i, i)-sum(S(i, 1： i-l)*L(i, 1： i-1)) ； endy=zeros (n, 1) ； % x, y 为阶矩阵x=zeros (n, 1); for i=l: n y(i) = (b(i)-sum(L(i, 1： i-l)*D(l： i-1,1： i-l)*y (1： i-1)))/D(i, i) ；%通过LDy=b 解得y 的值endfor i=n：-1:1 x(i)=y(i)-sum(L(i+l：n, i)*x(i+l：n)) ；%通过LTx=y 解得x 的值end» A二[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,-2,1,3,2,01,14,1,-8,- 3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,-1,22,4,-10,-34,3,-3,- 4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-4,2,19]；>> b=[0；-6；20；23；9；-22；-15；45]；» n=8；»x=improvecholesky(A,b,n)x =121、148160、152810、91202、01854、结果分析和讨论平方根法和改进平方根法求解线性方程组的解为x二(121、1481, -140、1127,29、7515,-60、1528,10、9120,-26、7963,5、4259, -2、0185) To与精确解相比较也存在很大的误差，虽然系数矩阵的对角元素都大于零，原则上可以不必选择主元，但由于矩阵的数值问题较大，不选主元的结果就是产生很大的误差，所以在求解的过程中还是应该选择主元以此消除误差，提高精度。

平方根的计算方法
平方根的计算方法主要有以下几种：
1. 迭代法：选择一个初始值作为近似解，然后通过无限迭代的方式不断逼近真实的平方根。

迭代法的基本思路是通过当前的近似解不断修正，使得修正后的结果更接近真实的平方根。

常见的迭代公式有牛顿迭代法和二分法。

2. 牛顿迭代法：设待求的平方根为x，可以将平方根的计算问
题转化为求解方程x^2-a=0的问题（其中a为待开方数）。

首
先取初始值x0，然后通过迭代公式不断更新x的值直到收敛，即满足|x^2-a|<ε（其中ε为预设的误差范围）。

具体的迭代公
式为：xn+1 = xn - (xn^2-a)/(2xn)。

3. 二分法：对于给定的待开方数a，可以将平方根的取值范围
设定为[0, a]。

首先取初始的左右边界值为0和a，计算中间值mid=(left+right)/2，并计算mid的平方。

根据mid的平方与a
的大小关系，调整左右边界的取值范围。

如果mid的平方小
于a，则将mid作为新的左边界；反之，如果mid的平方大于a，则将mid作为新的右边界。

不断迭代，直到找到满足条件
的mid，即满足|mid^2-a|<ε。

4. 牛顿-拉弗森法：这是一种更高阶的迭代法，可以更快地逼
近平方根的值。

具体的迭代公式为：xn+1 = xn - (f(xn)/f'(xn))，其中f(x) = x^2 - a，f'(x)为f(x)的导数。

通过不断迭代，可以逐步逼近真实的平方根。

浅析线性方程组的平方根解法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU 分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。

一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵A 是非奇异的2) 正定矩阵A 的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵A 的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A 的特征值均大于零 5) 正定矩阵A 的行列式必为正数定义一 线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵，那么Ax=b 是对称正定线性方程组。

定义二 如果方阵A 满足A=AT ，那么A 是对称阵。

2.1.4 平方根法和改进的平方根法如果A 是n 阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若A 为n 阶对称矩阵，且A 的各阶顺序主子式都不为零，则A 可惟一分解为：A ＝LDLT ，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。

证明 因为A 的各阶顺序主子式都不为零，所以A 可惟一分解为：A ＝LU 因为 ，所以可将 U 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn u u u U O 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11122211112M O ΛΛu u u u u u n nn n 1DU =其中 D 为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A ＝LDU1＝L(DU1)因为A 为对称矩阵，所以，A ＝AT ＝U1TDTLT ＝U1T(DLT)，由 A 的 LU 分解的惟一性即得：L ＝U1T ，即U1＝LT ，故A ＝LDLT 。

解平方根方程的公式有:
1. 开方法:x = ±√a。

这是解开方程x2 = a的公式,其中a为大于零的数。

2. 乘除法:x = √(a/b)或x = √(ab)。

这是解开方程x2 = a/b或x2 = ab的公式,其中a和b为大于零的数。

3. 平方完成法:x = √(a ± b)。

这是解开方程x2 ± 2bx + b2 = a的公式,其中a和b为大于零的数。

4. 代入法:将开方数代入原方程,看是否成立。

如果成立,则这个开方数就是方程的解。

这主要用于解二次开方方程,如x2 - 6x + 9 = 0,可将x = 3代入,3的平方减6乘3加9等于0,所以x = 3是该方程的一个解。

5. 化为一元二次方程:ax2 + bx + c = 0,可化为(x + b/2a)2 = b2/4a - c,得出x = -b/2a ± √(b2/4a - c),这是解一元二次开方方程的公式。

6. 配方法:将开方数运算放在括号内,根据平方公式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,进行配等运算。

这是解形如(x + a)2 = b(x + c)等方程的公式。

7. 系数变换:将剩余的未知数系数移到等号一侧,化为完全平方形式,再开方得到解。

以上就是解开方程及平方根方程的主要公式与方法。

通过对这些公式与方法的熟练掌握,可以解决绝大多数中学阶段的开方方程问题。

如果遇到更复杂的方程,还需要灵活运用这些公式,并根据方程的具体
情况,选择恰当的解题策略。

平方根方程解题方法和技巧
平方根方程是一种常见的高中数学题型，它的解题过程需要掌握一定的方法和技巧。

下面介绍几种解平方根方程的方法：
1. 移项消元法
平方根方程的主要特点是方程中含有根号。

为了消去根号，我们可以将方程两边平方，得到一个新的方程。

但是需要注意，平方根方程的解集可能会发生变化，因此需要检验解是否合法。

2. 代数变形法
有些平方根方程不同于一次方程，不容易直接求解。

这时，我们需要通过代数变形来简化方程，使其变成容易求解的形式。

比如，将根号下的式子分解成两个数的积，或者将方程中的常数项移到方程的一边。

3. 图像法
有些平方根方程可以通过图像法求解。

我们可以将方程两边移项，得到根号下的式子等于一个常数。

然后，将方程化为平方的形式，得到一个二次函数的图像。

通过分析二次函数的图像，我们可以得到方程的解集。

在解平方根方程时，还需要注意一些技巧，比如有理化分母、提取公因数等。

此外，对于一些特殊的平方根方程，也需要掌握相应的解题方法。

通过不断练习，我们可以掌握解平方根方程的方法和技巧，提高数学解题能力。

- 1 -。