北京新课改高考理科数学最后一题(创新题)汇编

北京高考数学2023最后一题一、概述北京高考数学2023年最后一题引发了广泛的讨论和争议。

该题涉及到了数学、物理和哲学等多个领域的知识，题目设计极具挑战性，考生们面对这道题纷纷表示困惑和困难。

本文将对该题进行深入分析和讨论，希望能够为读者们清晰解读这道具有代表性的数学难题。

二、题目内容题目描述如下：一个质点在一维势场V(x)作用下运动，其动能T和势能U之和为一常量E，即T(x) + U(x) = E。

试证明：对于力势能V(x)，在考虑x的范围内至少存在r个驻点。

三、题目解析1. 动能和势能题目中提到了一个质点在一维势场V(x)中运动，动能T和势能U之和为常量E。

这是一个经典的物理学问题，其中动能和势能之间的关系是一个常见的物理学概念。

2. 驻点的概念驻点是指函数在某一点的导数为零的点。

在数学上，驻点是指函数的局部极值点或拐点。

题目要求在考虑x的范围内至少存在r个驻点，这是一个与函数极值点相关的问题。

四、数学证明根据题目要求，我们可以对该问题进行数学证明。

我们需要考虑该质点在势场V(x)中的运动方程。

根据运动方程，可以得出动能T和势能U之和为常量E的关系。

接下来，我们可以根据该关系来推导出驻点的存在性。

要证明在考虑x 的范围内至少存在r个驻点，需要对势场V(x)作出合理的假设和推导，以证明这一结论。

五、物理理论除了数学推导外，我们还可以从物理学角度来解析该题目。

在物理学中，势能V(x)对物体的运动具有重要的影响。

如果势能V(x)的形式已知，我们可以通过物理定律和运动规律来分析质点在势场中的运动特性，进而得出驻点的存在性。

六、哲学思考该题目涉及到了数学、物理等自然科学领域的知识，同时也涉及到了哲学领域的思考。

驻点的存在性与整个宇宙的运行规律有着密切的通联，考察这一问题也能够引发对宇宙运行规律的深入思考。

七、结论通过对北京高考数学2023最后一题的深入分析和讨论，我们可以清晰地理解这道题目所涉及的数学、物理和哲学等多个领域的知识。

2013届高三课改教改创新题汇编之十年高考数学创新题-北京（理）1．(03北京理)（本小题满分14分）设)(xfy=是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件，①0)1()1(==-ff②对任意的u、]1,1[-∈v，都有|||)()(|vuvfuf-≤-（Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x，都有xxfx-≤≤-1)(1；（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈vu都有1|)()(|≤-vfuf；（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(xfy=且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[|||)()(|]21,0[|||)()(|uvvuvfufuvvuvfuf若存在请举一例，若不存在，请说明理由．2．(04北京理)（本小题满分13分）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r 2；如此继续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、……，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止．（I ）判断r r r N 12,,, 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数; （II ）当构成第n （n<N ）组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明; （III ）对任何满足条件T 的有限个正数，证明：N ≤11．3．(05北京理)（本小题14分）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）（I ）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；（III ）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.11501-->-n Ln r n4．(06北京理)（本小题共14分）在数列{}na中，若12,a a是正整数，且12||,3,4,5,n n na a a n--=-=，则称{}na为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}na中，20213,0a a==，数列{}nb满足12n n n nb a a a++=++，1,2,3,n= ，分别判断当n→∞时，n a与n b的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.5．(07北京理)（本小题共13分）已知集合{}12(2)kA a a a k=，，，≥，其中(12)ia i k∈=Z，，，，由A中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A=∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A=∈∈-∈，，，．其中()a b，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a A∈，总有a A-∉，则称集合A具有性质P．（I）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2k kn-≤；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论。

2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解1．（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）设()f n 是对一切正整数n 有定义的函数，且(1)1f =，()(1)k f n =-（1n >，k 是n 的素约数的个数）．令()()d nF n f d =∑（其中d n 表示d 是n 的约数，上式表示对n 的一切约数d 的函数()f d 求和），则(9)F = ；(2011)F = ．【解析】 1-；0．解法一：依据定义：11(9)(1)(3)(9)1(1)(1)1F f f f =++=+-+-=-；∵2011是素数，∴1(2011)(1)(2011)1(1)0F f f =+=+-=． 解法二：来计算()F n 的表达式．根据算术基本定理，可以设1212s t t t s n p p p =⋅⋅⋅ ，其中12,,,s p p p 为n 的全部素因子，1(1)i t i s ≥≤≤．设d 是n 的约数，根据f 的定义，当1212i i i k k rrri i i d p p p =⋅⋅⋅ 时，()(1)k f d =-，且(1)f 正好可以视作0k =的情形．而|()()d nF n f d =∑，求和是对n 的全体约数d 求和．由于()f d 的取值只可能是(1)k -，所以只需计算出，取值(1)k -的约数d 的个数即可．这等价于求n 的只有k 个素因子的约数d 的个数．0k =时，显然只有1d =，个数为1；1k =时，11i ri d p =，其中1111,1i i i s r t ≤≤≤≤，d 只能取12222111222,,,,,,,,,,,,s t t t s ssp p p p p p p p p ，个数是121ss i i t t t t =+++=∑ ；一般地对于k 为任意的情形，当d 的素因子取12,,,k i i i p p p 时，1212i i i k k rr r i i i d p p p =⋅⋅⋅ ，由于i j r 能取1到j i t ，由乘法原理，这种情况下的d 的个数是12k i i i t t t ⋅⋅⋅ ；由于d 的素因子可以取任意k 个，所以总的只有k 个素因子的约数d 的个数是12121k k k i i i i i i st t t σ=⋅⋅⋅∑≤≤≤≤≤；由此可知，|1()()1(1)sk k d nk F n f d σ===+-⋅∑∑；考虑多项式12()()()()s h x x t x t x t =--- ．由韦达定理可知： 12()()()()s h x x t x t x t =---1212(1)(1)n n n k n k s k s x x x x σσσσ---=-⋅+⋅-+-⋅++-在上式中两边赋值1x =即得121()1(1)(1)(1)(1)(1)sk k s k F n h t t t σ==+-⋅==---∑∴当1212s t t t s n p p p =⋅⋅⋅ 时，12()(1)(1)(1)s F n t t t =--- ； ∵293=，∴(9)121F =-=-；∵120112011=，∴(2011)110F =-=．2．（10-11年上学期海淀高三期末统考理8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F ∥面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{}2B ．255⎧⎫⎨⎬⎩⎭A 1B 1D 1C 1A BC DEC ．{}|222t t ≤≤ D ．2|525t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤【解析】 C ．过平面Γ外一点P 能作无穷多条直线l 平行于平面Γ，这无穷多条直线构成一个过P 点且与Γ平行的平面； 由此可知：过1B 且平行于平面1A BE 的直线有无穷多条，这些直线构成一个平面．先作出这个平面如右图所示：作11B M A E ∥交1CC 于M ，作11B P A B ∥交AB 的延长线于P ，那么11B PM A BE ∥；于是F 既在面1B PM 上又在侧面11CDD C 上，F 的轨迹为两者的交线； 为作出交线，如图所示：延长1B M 交BC 的延长线于R ，连接PB 交DC 的延长线于Q ，则QM 即为平面1B PM 与平面11CDD C 的交线；延长QM 交11C D 于N ，则MN 为F 的轨迹（F 限定在正方体的侧面上而不是整个侧面平面上）；设正方体棱长为2，易知M 是1CC 中点，2PB =，2CR =，111QC CM MC C N ====．任取MN 上一点F ，由于1C 是1B 在平面11CDD C 上的射影，所以1B F 与平面11CDD C 所成的角即为11B FC ∠，其正切为111B C C F ；111max 1C F C M C N ===，1122min 22C F C M ==，∴112tan 22B FC ∠≤≤；选C ；3．（10-11年上学期海淀高三期末统考理14）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ．【解析】 4；32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示． 先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k==+； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．【点评】 这题用数形结合，采用直角距离的几何意义加分类讨论不难解决，如用函数定义来做也是可以的，但是显然不如几何意义来得直观有效．4． （10-11年上学期海淀高三期末统考文14）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为C P M 2M 1M 3N 3N 2xy O N 1Q BS F E N MR QP DC BA C 1D 1B 1A 11212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 ．【解析】 4；3．解法一（定义法）：12, 2(,)10123, 2121, 1x x d B M x y x x x x x --<-⎧⎪=-+-=-++=-⎨⎪+>⎩≤≤最小值为3．解法二（数形结合）：用直角距离的几何意义，参见上题．5． （10-11年上学期西城高三期末统考理14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=上一点与直线2250x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ．【解析】 5，52． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线2250x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ：则()5,0M，()0,25N ；当点Q 在MN 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,d O Q d O M ≥，min (,)(,)5d O Q d O M ==，当Q 点与M 点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P Q PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P 作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111P HPQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：∴111152PQ PH =；求水平距离11PQ 的最小值即为求11P H 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11P H 取到最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；∵2525OH ==，1OP =，∴1PH =，5522PQ PH ==， ∴115min (,)2d P Q PQ ==，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号．6．（10-11年上学期西城高三期末统考文14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）Q 2Q 1H 2H 1H Q PP 2P 1NM y O x【解析】 ①③④．O 1-1xyyx -11O -22MN yx-11O①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得1122x x y ++-=-，画出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得12x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．7．（10-11年上学期东城高三期末统考理8文8）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤【解析】 C ．()f x m x ≤⇔0x =时(0)0f =，0x ≠时()f x m x≤，即过原点的弦斜率有界．①()0f x =显然满足上面性质；②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时()f x x x=无界；③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠；④2()1xf x x x =++，(0)0f =且0x ≠时2()1413f x x x x =++≤； ⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又1212()()2f x f x x x--≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()2f x x≤（也可以直接取20x =得到）．8．（10-11年上学期东城高三期末统考理14）Oxy已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数,p q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 [15,)+∞．(1)(1)(1)(1)(1)(1)f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+，然后1p +，1q +可以作为整体换元； ∴题中条件等价于在区间(1,2)内对于任意两个实数12x x <，都有2121()()1f x f x x x ->-；解法一：也就是区间(1,2)内任一割线斜率都大于1；我们证明这与区间(1,2)内任一切线斜率都大于1等价．如图所示，若区间(1,2)内任一割线斜率都大于1，由于对区间内任一点C ，都存在割线AB 平行于过C 点的切线；而AB 斜率大于1，所以C 点的切线斜率也大于1，由C 的任意性，所以任一切线斜率都大于1； 反之，若区间(1,2)内任一切线斜率都大于1，由于任一条割线AB ，都存在,A B 间一点C ，使得C 点的切线与割线AB 平行；所以AB 的斜率必定大于1；所以任一割线斜率都大于1；∴1212x x ∀<<<，2121()()1f x f x x x ->-12t ⇔∀<<，()1f t '>解法二：1212x x ∀<<<，2121()()1f x f x x x ->- 2121()()f x f x x x ⇔->-2211()()f x x f x x ⇔->- ()f x x ⇔-在区间(1,2)内单调递增 ()f x x ⇔-的导数为正()10f x '⇔-> 12t ⇔∀<<，()1f t '>∴()211af t t t '=->+在区间(1,2)上恒成立；即(12)(1)a t t >++在区间(1,2)上恒成立；而(12)(1)t t ++在区间(1,2)上单调递增且在端点2处趋向于15， ∴15a ≥（可以取到等号），所以a 的取值范围是[15,)+∞．9． （10-11年上学期朝阳高三期末统考理8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点． 已知下列判断： ①1AC ⊥平面1B EF ； ②1B EF ∆在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关． 其中正确判断的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 B ．①显然错误，用特殊值法很容易举出反例：例如E 和1D 重合，F 和B 重合，这时平面1B E F 就是对角面11BB D D ，此时1111A C BB D D ⊥但1AC 显然与11A C 不重合，111AC BB D D ⊥不成立； ②如图，设E 在1CC 上的射影为M ，则1B EF ∆在侧面11BCC B 上F EDCB A A 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1C D E MR21C BA yO x的正投影就是1B MB ∆，其面积1212B MB S a ∆=为定值，a 为正方体棱长；③∵平面1B EF 与平面ABCD 不重合且共点F ，故必有交线l ，∴平面1111A B C D 内只要是平行于l 的直线都将平行于平面1B EF ；事实上如图，延长1B F 交1A A 延长线于N ，连接EN 交AD 于R ，则RF 就是平面1B EF 与平面ABCD 的交线，平面1111A B C D 内只要平行于RF 的直线（不经过1B ）必定平行于平面1B EF ； ④分别取F 点与B 点、A 点重合的情形就知道该命题错误； 事实上，由于RF 就是平面1B EF 与平面ABCD 的交线，而1B 在平面ABCD 内的射影为B ，故过B 作BS RF ⊥的延长线于S ，则1B SB ∠就是两个平面的二面角；二面角的大小由BS 长决定．F 位臵不但影响到BF 长，还影响到N 点位臵，进而影响到R 点位臵和BFS ∠大小． 综上知①④错误，②③正确．10．（10-11年上学期朝阳高三期末统考理14）已知数列*{} ()n a n ∈N 满足：*1log (2) ()n n a n n +=+∈N ，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数* ()k k ∈N 叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 ．【解析】 2026．123234(1)log 3log 4log 5log (2)k k a a a a k +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ln3ln 4ln5ln(2)ln(2)ln 2ln3ln 4ln(1)ln 2k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+ 若k 为企盼数，则123k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数设为t ，则ln(2)ln 2k t +=，则有22t k +=，也就是2k +必须为2的整数幂次；由于12011k ≤≤，∴322013k +≤≤，这个范围内2的整数幂次只有4,8,16,32,64,128,256,512,1024∴[1, 2011]内所有的企盼数的和为481632641282565121024292026++++++++-⨯=．11．（10-11年上学期朝阳高三期末统考文8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1条 D ．不存在 【解析】 A ．∵平面1D EF 与平面11ADD A 不重合且共点1D ，所以必有交线l ，1D EF ∴平面11ADD A 内只要是平行于交线l 的直线都与平面平行，故必有无数条满足题设的直线；为了看得更清楚，如图所示，设DC 中点为M ，11D C 中点为N ，则平面EMN ∥平面11ADD A ．设MN 与1D F 交于点S ，则ES 就是平面EMN 与平面1D EF 的交线；过S 作SR CD ∥交1DD 于R ，连接AR ，则AR ES ∥，于是平面11ADD A 内只要与AR 平行的直线（不经过1D ）都必定与平面1D EF 平行．12． （10-11年上学期丰台高三期末统考理14）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（x π⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． 【解析】 γαβ>>．()g x x =，()1g x '=，∴1α=；F E DC B A A 1B 1C 1D 1SD 1C 1B 1A 1AB C D E FMNR()ln(1)h x x =+，1()1h x x '=+，∴1ln(1)1ββ+=+；()cos x x ϕ=，()sin x x ϕ'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，，∴3π4γ=因为11y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴两者有唯一交点，即β有唯一解；∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+ ，∴01β<< ∴γαβ>>13．（10-11年上学期丰台高三期末统考文14） 若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．【解析】 ②④．①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉ ； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．14． （10-11年上学期石景山高三期末统考文8）已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论：（1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】 A ．如下图所示，用一个表格来表示这个二元函数的取值，用行代表m 的取值，用列代表n 的取值．n m 1 2 3 4 5 6 1 1 3 5 7 9 11 2 2 4 6 8 10 12 3 4 6 8 10 12 14 4 8 10 12 14 16 18 5 16 18 20 22 24 26那么根据条件①，行m 固定时，每行的数成为一个公差为2的等差数列；根据条件②，1n =时，第一列的数构成一个公比为2的等比数列；据此不难写出每行每列的值，容易验证3个结论全部成立，所以选A ．15． （10-11年上学期昌平高三期末统考文8）在集合{}a b c d ，，，上定义两种运算⊕和⊗如下：a ab b bc ad a a d ac a a bd a那么()d a c ⊗⊕=（ ）A ． aB ．bC ．cD ．d【解析】 A ．直接读图知道，a c b ⊕=；d b a ⊗=．16． （10-11年上学期房山区高三期末统考理14文14，2009崇文一模理7文8）平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()sin πf x x =；②2()π(1)3f x x =-+；③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）【解析】 ②④．①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ；②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭： 当2,m m ∈Z ≤时221()33m m f m --⎛⎫== ⎪⎝⎭都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -；④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(), ,f m n m n =∈Z ，则315nm ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于3,5互素，左边当且仅当0n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；⑤1()1f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．17．（2010北京卷理8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ） A ．与x ，y ，z 都有关 B ．与x 有关，与y ，z 无关 C ．与y 有关，与x ，z 无关 D ．与z 有关，与x ，y 无关【解析】 D ；如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上．所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥交BC 于P '，作1P M B C '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平面11BCC B ．11P M A B CD '⊥．且2cos 452P M P C z ''=︒=． 所以体积与z 有关，与x ，y 无关．选D ．P 'D 1C 1B 1A 1PQMFED C B A QP FEB 1C 1D 1A 1D C BA18．（2010北京卷文8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，点Q 在棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若1EF =，DP x =，1A E y =（x y ,大于零），则三棱锥P EFQ -的体积（ ）A ．与x y ,都有关B ．与x y ,都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 【解析】C ； 如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上．所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥交BC 于P '，作1P M B C '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平面11BCC B ．11P M A B CD '⊥．且2cos 452P M P C x ''=︒=． 体积与x 有关，与y 无关．故选C ．19．（2010北京理14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______． 说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．【解析】 4；π1+．xyOAB CP C (A )P (B )A (C )P C B (P )BPCBA上图给出了正方形PABC 一个完整周期的滚动情况．初始时边PA 在x 轴上，首次滚动是以A 为圆心顺时针旋转90︒，这时B 到了x 轴上，P 到了原先B 的位臵，P 的轨迹是以A 为圆心1为半径的90︒弧；第二次滚动以落到x 轴上的B 点为圆心顺时针旋转90︒，然后C 到了x 轴上，A 到了原先C 的位臵，P 的轨迹是以B 为圆心2为半径的90︒弧；第三次滚动以落到x 轴上的C 点为圆心顺时针旋转90︒，然后P 到了x 轴上，B 到了原先P 的位臵，P 的轨迹是以C 为圆心1为半径的90︒弧；第四次滚动以落到x 轴上的P 点为圆心顺时针旋转90︒，然后A 到了x 轴上，C 到了原先A 的位臵，P 点在这个滚动中静止不动．这时PA 边又回到了x 轴上，下一次滚动又以A 为圆心开始，故这4次滚动构成一个周期．由图像知()f x 的最小正周期就是P 连续两次落到x 轴上之间的距离，即正方形的周长4；所围成的面积2221π11π11π121π122222222S =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅=+．yxOCBAPQP FEB 1C 1D 1A 1D C B AP 'D 1C 1B 1A 1PQM FED C BAl 3l 2l 1P 0P 3P 2P 120．（2010北京卷文14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______．说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．【解析】 4；π1+．解析与上题完全类似．21． （2009北京理8）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”【解析】 A本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型． 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，，∵A ，B 在2y x =上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩ 消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ①∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程①恒有实数解，∴应选A ．22．（2009北京理14）已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，n *∈N ，则2009a =________；2014a =_________．【解析】 1，0．本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====． ． ∴应填1，0．23． （2009北京卷文8）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合{}0|123i S P P D PP PP i =∈=，≤，，，，则集合S 表示的平面区域是（ ）A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域【解析】 D ．本题结合平面几何，考察集合的知识． 如图，(123)i l i =，，是线段0i P P 的中垂线，每条中垂线都将y=x-1y=x 2yxPOB Ay xO BC A P平面分成两部分，满足0i PP PP ≤的点P 的集合为直线i l 包含0P 的那一侧．因此S 表示的平面区域如图阴影所示．24．（2009北京卷文14）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．【解析】 6；设集合{}D a b c =，，满足要求，其中a b c <<，因为1c D +∉，所以要使c 不是“孤立元”，只能1c D -∈，于是只能1b c =-；同样的，因为1a D -∉，所以1a D +∈，从而1b a =+． 因此满足要求的集合只能是连续三个数组成的集合，即只有{123}{234}，，，，，， {345}{456}{567}{678}，，，，，，，，，，，满足条件．集合与新概念结合的题型，有一定的难度，考察对数学新定义的理解能力．25． （2008北京卷理8文8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）【解析】 B过M N ，两点分别作1AA 的平行线，交AB BC ，（或AD CD ，）于点M N ''，，连结M N ''，交BD于点O ，则MM N N ''为平面四边形．又MN ⊥平面11BB D D ，故1MN BB ⊥，从而MN MM '⊥；又MM '⊥平面ABCD ，故MM M N '''⊥，故MM N N ''为矩形，从而y M N ''=． 当11322x BD a <=时，23BO x =，2263y MN M N BO x ''====；当11322x BD a >=时，23BO x =， ()2222263y MN M N DO BD BO a x ''====-=-； 故图象大致为B ．26．（2008北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．【解析】 (1, 2)，(3, 402)211x x =+，32112x x x =+=+，…，54114x x x =+=+，65115x x x =+-=，……，于是5111k x x +==，522k x +=，533k x +=，544k x +=，*555()k x k +=∈N ；PNMABCD A 1B 1C 1D 1DCBAxyOx yOx y OOy x543211y y y y y =====，6512y y =+=，……，于是51525354551k k k k k y y y y y k +++++=====+．故第6棵树的种植点的坐标为(1, 2)；200854013=⨯+，20083x =，2008402y =，故第2008棵树的种植点坐标为(3, 402)．27．（2010海淀一模理8）已知数列()1212:,,,0,3n nA a aa a a a n <<< ≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ；② 数列0,2,4,6具有性质P ； ③ 若数列A 具有性质P ，则10a =； ④ 若数列123a a a ，，具有性质P ，则1322a a a +=． 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 B ．①∵134+=，132-=-都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P ； ②容易验证数列0,2,4,6具有性质P ；③取i j n ==，n n n a a a +>不在数列中，则0j i a a -=在数列中，而数列中最小的数10a ≥，因此10a =；④由③的分析知，10a =．由于210a a >=，32a a +3a >不在数列中，因此32a a -必然在数列中．又32a a >，故3210a a a ->=，于是322a a a -=，等式1322a a a +=成立．28．（2010海淀一模理14）在平面直角坐标系中，点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|4,0,340B x y x y x y =-≤≥≥，则 ⑴ 点集{}1111(,)|3,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵ 点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】 π；18π+；点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是如图所示的直角三角形OMN ，其中4OM =，3MN =．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横坐标加3纵坐标加1得到的，即都进行了一个向量(3,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(3,1)，所以面积依旧是π； ⑵ 点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+ ，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集． 而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在OMN ∆里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在OMN ∆边界上滑动时，分别得到矩形ONQP ，矩形NMSR ，矩形MOUT ；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积21111π118π2S ON NM MO OM ON =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+ 【点评】 解决本题的关键在于发现实质P 是A 的平移，Q 是A 的全体平移的并．如果只从集合,P Q 的描述性表示入手的话是很抽象的．本题可以推广到一般情形：如果,A B 是两个闭图形，则{}1212|,A B X X X A X B +=+∈∈都是A 的全体平移2X A +的并．yxM N O P QRS TU45-129．（2010海淀一模文14）若点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则 ⑴点集{}1111(,)|1,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x yA x yB ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ ．【解析】 π；12π+；点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是边长为2的正方形KLMN ，如图所示．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横纵坐标均加1得到的，即都进行了一个向量(1,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(1,1)，所以面积依旧是π； ⑵点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+ ，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在正方形KLMN 里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在KLMN 边界上滑动时，分别得到4个长为2宽为1的矩形；在顶点滚动时，得到4个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积π424412π4S =+⨯+⨯=+．30．（2010朝阳一模理14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．【解析】 21n -； 1 (1)3 (2)4 6 (3)n n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩≥．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-；为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程： 1n =时，只有1个数x ；2n =时，共有3个数：3x x x →+↓- 3n =起，生成的所有数形成了一个双排单链表3A ，其中箭头代表生成过程：3633x x x x xx →+→+↓-+←---4n =时的链表4A 如下：TS V UR QPOLKNMy O x-2-12133696336x x x x x x x x x x -→+→+→+↑↓-+←-+←-←----这个链表k A 具有这样的规律： ①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的x 与第二排的x -对应； ②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数；③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；④从n k =到1n k =+时，根据③，链表k A 的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成1k A +两排的新尾项；k A 第二排首项为两排左边各加一项，变成1k A +两排的新首项；⑤根据④，1k A +的链表每排项数比k A 的链表多2，3A 每排有3项，4A 每排有5项，∴(3)k A k ≥每排有23k -项；⑥当1x =时，k A 的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而k A 列出了前k 次生成的所有不同的数；∴n T 为链表n A 的项数，即46(3)n T n n =-≥；另外23T =，11T =． 下面给出了链表k A ：3(3)3(2)3(1)3(2)3(3)3(2)x k x x k x k x k x k x x k --→→+-→+-↑↓-+-←-+-←-←---31．（2010朝阳一模文14）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则4T = ．【解析】 21n -；10．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-； 4n =，1x =时，生成的所有数为：21471052147-→→→↑↓←←-←--∴410T =．32．（2010东城一模理14） 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：①()f x x =； ②()sin g x x = (0,π)x ∈； ③()ln h x x = [2,)x ∈+∞， 是“Л型函数”的序号为 ．【解析】 ①③；若,,0a b c >，a b c +>，则a b a b c +>+>，故①满足；若,,2a b c ≥，a b c +>，则(1)(1)1a b ab a b --⇒+≥≥，ln ln ln()ln()ln a b ab a b c +=+>≥，故③满足；②反例：3a b ==，π2c =时，,,a b c 构成三角形，但πsin sin 1sin 2a b +<=，故sin ,sin ,sin a b c 不构成三角形．33． （2010石景山一模理14文14）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2,n n *∈N ≥，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n -是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （k *∈N ，k 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ①②③④．由定义可知，{}2n a 是公差为p 的等差数列，①正确；()()221110(2,*)n n n n -⎡⎤⎡⎤---=∈⎣⎦⎣⎦N ≥为常数，故(){}1n -是等方差数列，②正确；若221(2,*)n n a a p n n --=∈N ≥，则()()()22222222(1)1121(1)kn k n kn kn kn kn kn k k n a a a a a a a a kp -----+--=-+-++-= 为常数，③对；设{}n a 公差为d ，则221111()()()n n n n n n n n p a a a a a a d a a ----=-=-+=+，结合11()()n n n n p d a a p d a a +-=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得2110()20n n d a a d d +-=-=⇒=，故{}n a 是常数列，④对．34．（2010西城一模理14）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．【解析】 2m ≥；11a -≤≤．第一问，依定义，22()x m x +≥在[1,)-+∞上恒成立，即220mx m +≥在[1,)-+∞上恒成立；由于0m ≠，分两种情况讨论：①0m <时，若2mx >-，22mx m <-，矛盾；所以这种情形不存在；②0m >时，在[1,)-+∞上，一次函数22mx m +在1x =-处取到最小值22m m -+，根据题意，只需要最小值220m m -+≥即可，解得2m ≥； ∴实数m 的取值范围是2m ≥； 第二问，用数形结合的思想来解决．如图所示，先作出()y f x =的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与x 轴有三个交点2(2,0)a -、(0,0)、2(2,0)a ；极大值点22(,)a a -；极小值点22(,)a a -； 而(4)f x +是()f x 沿x 轴向左平移4个单位得到的图象，当且仅当(4)f x +的右端直线整体处于()f x 的左端直线上方时，才有(4)()f x f x +≥恒成立（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当22242a a --≤时()f x 才是4高调函数，解得a 的取值范围是[]1,1-．35．（2010西城一模文14）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．y=f (x+4)y=f (x )2a 2-a 2a 2yO x。

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（ ）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a在向量b 上的投影向量的模长为（ ）A ．6B ．3C ．2D 3．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（ ）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===A BCD -的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ）A ．a b c＜＜B ．c b a＜＜C ．b a c＜＜D ．b c a＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（ ）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM +=，则双曲线1C 的离心率等于（ ）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）A ．若复数1i1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈R C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（ ）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（ ）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥ 时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为 .14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cos CAB ∠=2AB PC ==PA =.(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3, 1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

高考数学创新题一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C2． （福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,oC ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

2023北京高考数学最后一题摘要：一、引言1.介绍2023 年北京高考数学最后一题2.强调数学在高考中的重要性3.引起读者对题目的兴趣二、题目解析1.题目难度及考查知识点2.题目具体内容3.解题思路与方法三、解题过程1.分析题目，理解问题2.运用相关知识点进行解答3.总结解题过程中的关键步骤四、答案及解析1.给出题目答案2.分析答案的正确性及合理性3.对题目进行总结，强调数学思维的重要性五、结论1.回顾解题过程，总结经验2.对即将参加高考的学生提出建议3.鼓励学生积极应对高考，取得好成绩正文：【引言】随着我国教育改革的不断深入，高考作为选拔人才的重要手段，其考试内容和形式也在不断调整。

数学作为高考的重要科目之一，其最后一题往往成为检验学生综合运用知识能力的关键。

本文将分析2023 年北京高考数学最后一题，以期为广大考生提供一定的参考。

【题目解析】2023 年北京高考数学最后一题是一道难度较高的题目，考查了学生的逻辑思维能力和数学素养。

题目具体内容如下：设函数f(x) = ax^3 - 3x^2 + b，已知f(x) 在区间[0,1] 上单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3，求a 和b 的值。

【解题过程】为了求解该题目，我们需要先分析题目，理解问题的关键点。

通过观察题目，我们可以发现该题目主要考查了函数的单调性和函数的零点，需要运用导数的相关知识进行解答。

接下来，我们可以根据已知条件建立方程组，求解a 和b 的值。

具体过程如下：由f(0) = 1，可得b = 1由f(1) = 3，可得a - 3 + 1 = 3，解得a = 3因此，a = 3，b = 1。

【答案及解析】根据上述解题过程，我们得到题目答案为a = 3，b = 1。

通过对答案的分析，我们可以发现该答案的正确性及合理性。

【结论】回顾解题过程，我们可以发现数学思维在解题过程中的重要性。

北京市2025届高三最后一卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．3．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．15．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<-D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-7．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e- D ．2e-8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1329．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-10．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．要得到函数312y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度12．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C 2D 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

18．已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=﹣5时，f（x）取得极值．①若m≥﹣5，求函数f（x）在上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数f′（x），当a=1时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅱ）①当x=﹣5时f（x）取得极值可得f′（﹣5）=0，由此求得a值，从而利用导数可求得f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间内、外讨论f（x）的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；②对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x），利用导数易求得函数在内的最大值、最小值；解答：解：（Ⅰ）f′（x）=+（2x+1）=，当a=1时，f′（x）=x（x+3）e x，解f′（x）＞0得x＞0或x＜﹣3，解f′（x）＜0得﹣3＜x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，+∞），单调减区间为（﹣3，0）．（Ⅱ）①当x=﹣5时，f（x）取得极值，所以f′（﹣5）=，解得a=2（经检验a=2符合题意），f′（x）=，当x＜﹣5或x＞0时f′（x）＞0，当﹣5＜x＜0时f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣5）和（0，+∞）上递增，在（﹣5，0）上递减，当﹣5≤m≤﹣1时，f（x）在上单调递减，f min（x）=f（m+1）=m（m+3），当﹣1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在上单调递减，在上单调递增，f min（x）=f（0）=﹣2，当m≥0时，f（x）在上单调递增，f min（x）=f（m）=（m+2）（m﹣1），综上，f（x）在上的最小值为；②令f′（x）=0得x=0或x=﹣5（舍），因为f（﹣2）=0，f（0）=﹣2，f（1）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣2，所以对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=2．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．19．已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出；（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），D（x2，y2）．由消去y得到，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8﹣2m2＞0，解得﹣2＜m＜2．∴，．∴==．点A到直线BD的距离d==．∴===．当且仅当m=∈（﹣2，2）时取等号．∴当时，△ABD的面积取得最大值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．20．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c n}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．（II）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，经检验，只有公比q=1时，数列{c n}才有唯一的一个创新数列．（III）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件；数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列．当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e m} 不存在．由此得出结论．解答：解：（I）根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n}有：3，5，1，2，4．3，5，1，4，2．3，5，2，1，4．3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．…（4分）（II）存在数列{c n}的创新数列为等比数列．…（5分）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．…（6分）若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m﹣1），所以q≥1．…（7分）当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m．…（9分）当q＞1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m 不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． …（10分） （3）设存在数列{c n }，使它的创新数列为等差数列，…（11分） 设数列{c n }的创新数列为{e m }，因为e m 为前m 个自然数中最大的一个，所以e m =m ．若 {e m }为等差数列，设公差为d ，因为 e k+1≥e k （k=1，2，3…m ﹣1），所以 d ≥0．且d ∈N *． …（12分） 当d=0时，{e m }为常数列，满足条件，即为数列 e m =m ， 此时数列{c n }是首项为m 的任意一个排列，共有个数列； …（14分）当d=1时，符合条件的数列{e m }只能是1，2，3…m ，此时数列{c n }是1，2，3…m ，有1个； …（15分）当d ≥2时，∵e m =e 1+（m ﹣1）d ≥e 1+2（m ﹣1）=e 1+m+m ﹣2 又 m ＞3，∴m ﹣2＞0． ∴e m ＞m 这与 e m =m 矛盾，所以此时{e m } 不存在． …（17分） 综上满足条件的数列{c n }的个数为（m ﹣1）!+1个． …（18分）18.（本小题共13分）已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,1log ,21n a n n n k a a n k --⎧==⎨-+=+⎩*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）写出3a ，4a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S 的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+= (0a >).（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111ln ln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为110a =,所以110222a a ==,1032221log 1log 29a a =-+=-+=,942512a ==.……3分（Ⅱ）当n 为奇数时,221221log 1log 21n a n n n a a a ---=-+=-+=-,即21n n a a --=-．所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列．所以当n 为奇数时，1121()(1)22n n n a a --=+⋅-=．当n 为偶数时，121(1)1122222n n nn a a ----===，所以112*2,2,(N )21,2 1.2nn n k a k n n k -⎧=⎪=∈⎨-⎪=-⎩………………10分（Ⅲ）因为偶数项11220n n a -=>，奇数项212n na -=为递减数列，所以n S 取最大值时n 为偶数．令2210k k a a -+≥(*N k ∈)， 即112121202kk --++≥．所以11211k k -≥-．得11k ≤．所以nS 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．……………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，所以1c =．因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b =2a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………4分 （Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，所以PTS STN PST ∠=∠=∠．又因为S 为PM 的中点，所以12PT PS PM ==．即0142x =-．因为点P 在椭圆C 上，所以22003(1)4x y =-，代入上式可得 202(1)(1)0x t t -+-=．因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ，所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立．所以21010t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =．所以存在定点T ，使得PTN∠的平分线过PM 中点，此时定点T 的坐标为(1,0)．…………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．因为ln 1()ax f x x+=，所以2ln ()ax f x x -'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a =．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1x a=时，1()()f x f a a ==最大值．…………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解．…………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x -≤，当1x =等号成立．所以11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k k k k --<-，所以得到当*N k ∈且2k ≥时，1111ln 234k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<．…………10分 由（Ⅰ）得 ln 11x x+≤，变形得ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以33ln 122<-，44ln 133<-，55ln 144<-， (11)ln1k k k k++<-，所以得到当*N k ∈且2k ≥时，11111ln 2234k k +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+．又因为1ln ln22k k +<，所以当*N k ∈且2k ≥时，1111ln ln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<．……13分18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率e =(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b的前m 项和m T ． 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为b =………………1分由2c e a a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分。

一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C.2．已知1i i z=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+ C ．1i − D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−.故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6−C ．D ．5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立；()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立；()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．生物丰富度指数1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N=C ．2321N N = D ．3221N N = 为（ ）.A ．1B ．2C D分别取,AB CD 的中点,E F ，连接则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE 可知AB ⊥平面PEF ，且AB 所以平面PEF ⊥平面ABCD 过P 作EF 的垂线，垂足为PEF 平面ABCD 平面ABCD 根据题意可得：PE 9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d =1S <D ．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。

2023年，北京高考数学考试备受关注的一道数学题成为了备受争议的焦点。

这道题目是整个试卷的最后一题，发挥着决定性的作用。

让我们来看看这个引起了热议的数学难题。

一、题目描述题目为一道数学综合题，题干为：“某作物的生长模型符合递推公式Fn+1=Fn+Fn-1，即每一年的产量为前两年的产量之和。

已知第一年的产量为1，第二年的产量为2，求第10年的产量。

”二、争议焦点这道数学题引起了众多考生和教育界人士的争议，主要原因包括但不限于以下几点：1. 难度过高很多人认为这道题目的难度过高，超出了高考数学的范围。

由于这是一道需要使用递推公式的复杂问题，很多学生在高考复习中并没有接触过类似的题目，因此在考试中很难有所准备。

2. 考查范围不明确有人质疑这道题目考查的是数学的哪个范围，是否偏离了高考数学应有的范围。

一些人认为这道题目涉及了数列和数学归纳法的知识，而这些知识并不在高考数学的考纲范围内，因此很多学生在备考中并没有系统地学习过。

3. 解题方法多样针对这道题目，有人提出了多种解题方法，包括递推公式的直接求解、数学归纳法的运用、以及利用斐波那契数列的性质等等。

这也导致了不同考生在解题过程中的思路和方法不一，容易出现答案的差异。

三、解题思路针对这道题目，我们可以给出以下几种解题思路：1. 直接使用递推公式求解我们可以利用已知的递推公式Fn+1=Fn+Fn-1，结合已知的第一年产量为1和第二年产量为2，依次迭代计算得到第十年的产量。

2. 使用数学归纳法数学归纳法是一种常见的数学证明方法，我们可以利用数学归纳法来证明递推公式成立，并求解第十年的产量。

3. 利用斐波那契数列的性质递推公式Fn+1=Fn+Fn-1与斐波那契数列的定义是一致的，我们可以利用斐波那契数列的性质来简化计算，求得第十年的产量。

四、结论在解题过程中，我们可以看到这道题目确实涉及了复杂的数学知识，并且解题方法也有多样性。

对于一些备考充分的学生来说，这道题目可能并不算难题；但对于大部分学生来说，这确实是一道需要深入思考和灵活运用知识的数学难题。

m O P Q M N 2019届高考数学创新题专题1、已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）A ．3240B ．3120C ．2997D ．28892、函数f(x)=a 2x +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x=－2b a对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ）A. {}1,2 B .{}1,4 C .{}1,2,3,4 D. {}1,4,16,643、对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列；② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0 B.1 C.2 D.34、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =， 那么()f x 的图象大致是（ ） A B C D5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下性质： (1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ， ||||||||||X X λλ=⋅（注：此处点乘号为普通的乘号）。

2023年北京高考数学卷最后一题一、题目概述2023年北京高考数学卷的最后一题是一道综合性的数学题，涉及到了多个知识点和解题思路。

该题要求学生对已经学过的数学知识进行整合和应用，考查了学生的数学综合运用能力和解题技巧。

下面将对这道题目进行详细的分析和解答。

二、题目内容2023年北京高考数学卷最后一题内容如下：已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，其中x∈[0,π]。

（1）求函数 f(x) 的最大值和最小值。

（2）设函数 g(x) = (f(x))^2 - 2f(x) + 2，则 g(x) 的最小值为多少？（3）求证当x∈[0,π] 时，有f(x) ≥ √2。

三、解题分析要完成这道题目，首先要熟练掌握三角函数的性质和运用，能够对给定函数进行求导和最值的求解。

在解答第（2）小题时，需要运用到函数的平方和完成平方配方法。

在证明部分需要运用三角函数的性质和相关不等式进行推导。

下面将逐一进行解答。

四、解题步骤（1）求函数 f(x) 的最大值和最小值对于 f(x) = sin(x) + cos(x)，首先求导得到 f'(x) = cos(x) - sin(x)。

令 f'(x) = 0，解得x = π/4。

又根据 f''(x) = -sin(x) - cos(x)，可以得出当x = π/4 时，f''(x) = -√2 < 0。

函数 f(x) 在x = π/4 处取得最大值，最大值为f(π/4) = √2。

同理，由 f''(x) 可得到 f(x) 在x = 5π/4 处取得最小值，最小值为f(5π/4) = -√2。

（2）设函数 g(x) = (f(x))^2 - 2f(x) + 2，则 g(x) 的最小值为多少？将 f(x) = sin(x) + cos(x) 代入 g(x) 中得到 g(x) = (sin(x) + cos(x))^2 - 2(sin(x) + cos(x)) + 2。

近五年北京高考数学最后一题
近五年北京高考数学最后一题，计算题所占比例在逐年递增。

这
些题目难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。

在此，我想分享一些我对数学学习的体会和建议，希望能给大家提供一
些思路和启示。

首先，数学学习必须从打牢基本功开始。

高考数学内容固然繁多，但基础内容如整数、分数、小数的相互转化、代数式的简化、解方程、不等式的求解以及平面几何的基本定理等，都需要学有所掌握。

在日
常学习中，我们可以通过做练习册、背公式及相关定理，加强对基本
知识点的理解和记忆。

其次，数学学习需要大量的练习和思考。

在高考数学中，计算题
虽然比较直接，但是题设意图常常包含隐藏的思考点。

在作题时，我
们需要逐步理解题目所涉及的问题，推导出问题的解题思路。

平常可
以多做一些模拟试题和真题，加深对解题思路的理解，提高解题能力。

另外，数学学习也需注重思考和总结，针对经典题型，我们可以分析
归纳其解法，推广形成对应的方法或技巧。

最后，数学学习还需注重学科跨界的思考。

数学学科本身涉及到
形式逻辑、抽象思维以及计算能力等多个方面，但是数学思维也能够
渗透到其他学科和领域中。

以化学为例，解题时同样需要运用代数公式，而在物理学中，数量积与向量内积也是这个方向的一个重要篇章。

因此，我们在学习数学时，也可以配合跨学科、拓宽视野进行学习，
达到高效提升的目的。

考前最重要的是心态调整，保持心态平和、积极乐观，将复习中
学到的知识内化于心、外化于行，最终取得优异的成绩。

北京新高考数学真题2021年北京新高考数学真题如下：一、选择题部分：1.已知实数$x$满足$3x-2\leqslant1$，则$x$的取值范围是（）A. $x\geqslant1$B. $x\leqslant1$C. $x\geqslant1/3$D.$x\leqslant1/3$2.若$a+b=1$，则$ab$的最大值是（）A. $1/4$B. $1/2$C. $1$D. $2$3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2$，则$a_1$等于（）A. $1$B. $-1$C. $2$D. $-2$4.平面直角坐标系中，点$A(3,4)$关于原点对称点为$B$，则线段$AB$的中点坐标是（）A. $(3/2,2)$B. $(2,3/2)$C. $(-3/2,-2)$D. $(-2,-3/2)$5.函数$y=2^x$的图像在点$(0,y)$的切线方程是（）A. $y=2x+1$B. $y=2x$C. $y=2$D. $y=1$二、填空题部分：1.曲线$y=x^2$与直线$y=4x$所围成的面积为\_\_\_\_.2.过点$(3,-2)$且垂直于直线$2x-y=4$的直线方程为\_\_\_\_.3.若$x^2+y^2=1$，则函数$y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$的定义域是\_\_\_\_.4.下列函数中，有界函数是\_\_\_\_.5.若$a^2+b^2=2$，则$(a+b)\cdot(a^2-2b^2)$的最大值为\_\_\_\_.三、解答题部分：1.证明：对任意实数$x$，都有$2x^2-5x+3\geqslant0$.2.已知函数$f(x)=x^3-2ax^2+3ax-1$有极值点$(1,-1)$，求$a$的值.3.若$a,b,c,d$是方程$3x^4-2ax^3+7bx^2-2cx+d=0$的四个不相等的实根，且$d=6$，求$a+b+c+d$的值.4.已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的图像过点$(1,1)$和$(2,4)$，且$f'(x)\geqslant0$，求$a,b,c,d$的值.5.在三角形$ABC$中，已知$AB=AC$，$\angle B=3\angle C$，求$\angle A$的度数.以上是2021年北京新高考数学真题的部分内容，请同学们认真思考，如有疑问可在答题卡纸上提出。

2021年新课标高考数学最后一卷押题卷（理科）2021高考数学押题卷最后一卷（含答案）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合M?{xx?3?4}，集合N?{xx?2?0,x?Z}，那么MN?（） x?1A.{x?1?x?1} B. {?1,0} C．{0} D．{0,1}→2. 已知→a＝(cos40?，sin40?)，→b＝(cos80?，sin80?)，则→a・b = （） 312A. 1 B. 2 C．2 D．2 3.复数z?lg(x?3)?(4?42x?x?1)i(x?R)，z是z的共轭复数，复数z在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知f?x?的定义域为R，f?x?的导函数f??x?的图象如图所示，则 ( ) A．f?x?在x?1处取得极小值 B．f?x?在x?1处取得极大值 C．f?x?是R上的增函数D．f?x?是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数- 1 -5.下列结论错．误．的个数是（）①命题“若p，则q”与命题“若?q,则?p”互为逆否命题；x2②命题p:?x?[0,1]e则p?q为真； ,?，1命题q:?x?R,x?x?1?0,③ “若am2?bm2,则a?b”的逆命题为真命题；④若p?q为假命题，则p、q均为假命题．A. 0B. 1 C．2 D．3 6.由曲线xy?1，直线y?x,y?3所围成的平面图形的面积为 A.（）32 B. 2?ln3 C．4?ln3 D．4?ln3 9 C．30( ) D．407.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为?，则?的数学期望是 A．20B．25π8. 函数f(x)＝lgsin(－2x)的一个增区间为( )43π7πA．(8，8)7π9πB．(8，8)5π7πC．(8，8) 7π3πD．(－8，－8)9. 如图，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D 在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP?ABCD?16， 3则球O的体积是（）A．16? 3B．8?C．16? D．32? 310. 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上的一点，，则双曲线方程是( ) PF1?PF2且PF1?PF2＝2x2y2x2??1 B. ?y2?1 A.423x2y2y22?1 ??1 D．x?C.43211. 在如图所示的程序框图中，当n?N?n?1?时，函数*fn?x?表示函数fn－1?x?的导函数，若输入函数f1?x?＝sinx＋cosx，则输出的函数fn?x?可化为( )A. 2sin(x＋ππ) B．－2sin(x－) 42n?2021 ππC. －2sin(x－) D．2sin(x＋)44- 2 -?2?x?1(x?0)12. 已知函数f(x)??，若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等的实数根，f(x?1)(x?0)?则实数a的取值范围是（）A.(－∞，1)B.(0,1)C.(－∞，1]D.[0，＋∞)第Ⅱ卷 (非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 如图所示两个立体图形都是由相同的小正方体拼成的．图(1)的正(主)视图与图(2)的________视图相同． x＋y≥1，??14.若x，y满足约束条件?x－y≥－1，??2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是 .15.已知两点A(?2,0),B(0,2)，点C是圆x2?y2?2x?0上任意一点，则?ABC面积的最小值是 .16. （理）在?ABC中，a,b,c分别是?A,?B,?C的对边长，已知2sinA?3cosA.且有a2?c2?b2?mbc,则实数m? ．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f?(x)?6x?2，数列{an}的前n 项和为Sn，点(n,Sn)(n?N*)均在函数y?f(x)的图像上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?的最小正整数m.18. (本小题满分12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．（Ⅰ）在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；（Ⅱ）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦大小；19. (本小题满分12分)某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件- 3 -m3*对所有n?N都成立,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?20anan?1进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。