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第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式是用来计算贝塞尔函数（Bessel function）的数学公式。
贝塞尔函数是常见的特殊函数之一，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数是由欧拉和贝塞尔在18世纪末和19世纪初研究振动问题时引入的。
它们是满足贝塞尔微分方程的解，该方程出现在许多物理问题中，如电磁波，声波和热传导等。
贝塞尔函数通常表示为J_n(x)，其中n是整数，x是实数。
贝塞尔函数的计算可以使用贝塞尔公式，该公式可以表示为：
J_n(x) = (1/π) ∫_0^πcos(nθ- x sinθ) dθ
其中，θ是积分变量，cos和sin是三角函数，π是圆周率，n和x是函数的参数。
这个公式告诉我们如何计算任意x和n的贝塞尔函数。
它涉及积分，因此可能需要数值计算来获得精确的结果。
贝塞尔函数在微积分，波动问题和量子力学等领域中广泛使用。
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
特殊函数及其应用特殊函数是数学中的一类特殊形式的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的特殊函数及其应用。
一、阶乘函数阶乘函数是一种特殊的函数，用符号"！"表示。
它的定义如下：n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1阶乘函数在组合数学、概率论等领域中有广泛的应用。
例如，在组合数学中，排列和组合问题中经常会涉及到阶乘函数。
在概率论中，阶乘函数可以用来计算排列和组合的概率。
二、调和函数调和函数是一种特殊的函数，用符号"H(n)"表示。
它的定义如下：H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n调和函数在数论、物理学等领域中有广泛的应用。
例如，在数论中，调和函数可以用来估计素数的分布情况。
在物理学中，调和函数可以用来描述振动系统的行为。
三、贝塞尔函数贝塞尔函数是一类特殊的函数，用符号"Jn(x)"表示。
它的定义如下：Jn(x) = 1/π ∫[0,π] cos(nθ - x*sinθ) dθ贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，贝塞尔函数可以用来描述电磁波在圆柱坐标系中的传播情况。
在信号处理中，贝塞尔函数可以用来处理带限信号。
四、伽玛函数伽玛函数是一种特殊的函数，用符号"Γ(x)"表示。
它的定义如下：Γ(x) = ∫[0,+∞] t^(x-1) * e^(-t) dt伽玛函数在统计学、概率论等领域中有广泛的应用。
例如，在统计学中，伽玛函数可以用来定义正态分布的密度函数。
在概率论中，伽玛函数可以用来计算连续随机变量的期望值和方差。
五、贝特函数贝特函数是一类特殊的函数，用符号"B(x,y)"表示。
它的定义如下：B(x,y) = ∫[0,1] t^(x-1) * (1-t)^(y-1) dt贝特函数在概率论、统计学等领域中有广泛的应用。
