北师大版七年级数学角规律及最后一题专题练习

4.4 角的比较专题一角的比较与运算、角平分线的定义1．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20．25°，则（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠22．已知点P和∠MAN，现有四个等式：①∠PAM=∠NAP；②∠PAN=∠MAN；③∠MAP=∠MAN；④∠MAN=2∠MAP．其中一定能推出AP是角平分线的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（）A．B．45°﹣C．45°﹣αD．90°﹣α4．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．145°5．如图，∠ABC=90°，则∠DBE的度数是．6．已知∠AOB=40°，过点O引射线OC，若∠AOC∶∠COB=2∶3，且OD平分∠AOB，则∠COD=．7．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系．8．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．（2）若将这幅三角尺按图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．状元笔记：【知识要点】1．比较角的大小．2．角的分类及角的和差倍分．3．角平分线的概念．【温馨提示】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解，根据题意画出图形是解题的关键．参考答案：1．A2．A3．B 解析：∵∠AOC=90°，∠COB=α，∴∠AOB=90°+α．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠AOB=（90°+α）=45°+，∠COD=∠AOC﹣∠AOD=90°﹣（45°+）=45°﹣．4．C 解析：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC=64°，∠DON=46°，∴∠MOE=∠MOC=×64°=32°，∠NOF=∠DON=×46°=23°，∴∠EOF=180°﹣∠MOE﹣∠NOF=180°﹣32°﹣23°=125°．5．50°解析：根据图形，易得∠DBE=∠ABC﹣∠ABE﹣∠COD=90°﹣30°﹣10°=50°．6．4°或100°解析：如图（1），射线OC在∠AOB的内部，图（2）射线OC在∠AOB的外部．（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x=40°，∴x=8°，∠AOC=2x=16°，∠AOD=×40°=20°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°﹣16°=4°．（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB=3x﹣2x=x=40°，∴∠AOC=2x=80°，∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．7．解：由题意知，∠C=180°﹣∠CAD﹣∠CDA，∠B=180°﹣∠DAB﹣∠ADB，∵AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD，∴∠CAD=∠BAD，∠CDB＜∠ADB，∴∠C＞∠B．8．解：（1）①相等．理由：∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②∠AOC+∠BOD=180°．理由：∵∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°，∴∠AOC+∠BOD=180°；（2）①相等．理由：∵∠AOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=90°﹣∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②成立．理由：∵∠AOC=90°+90°﹣∠BOD，∴∠A OC+∠BOD=180°．。

3 角基础巩固1.（知识点1）有下列说法：①两条射线所组成的图形叫作角；①一条射线旋转而成的图形叫作角；①两边成一直线的角是平角；①平角是一条直线.其中正确的有（）2.（知识点5）一块手表，早上8时的时针.分针的位置如图4-3-1，那么时针与分针所成的角（小于平角）的度数是（）A.60°B.80°C.120°D.150°图4-3-1 图4-3-23.（题型一）图4-3-2中大于0°且小于180°的角的个数为（）A.4B.5C.6D.74.（知识点6）学校.电影院.公园在平面图上对应的点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的①CAB=（）5.（知识点3）将一个周角分成360份，其中每一份是__________°的角，直角等于___________°，平角等于____________°.6.（题型二）换算：（1）1.36°=__________°__________′__________″；（2）41°18′36″=___________°.图4-3-38.（知识点5）9点20分时，时钟上时针与分针的夹角α等于多少度?能力提升9.（题型二）计算：（1）49°38′+66°22′；（3）22°16′×5；（4）182°36′÷4.10.（知识点4）马路上铺的地砖有很多种图案，如图4-3-4的图案是某条马路辅的地砖的示意图，请你用量角器测量一下其中标出的所有角的度数.图4-3-4答案基础巩固1.A解析：①错误，因为没有说明两条射线是否有公共端点，缺少组成角的要素；①错误，因为没有说明是绕射线的端点旋转；①正确，①错误，因为平角是角，它具有角的顶点.角的两边以及角的内部这三个特点，而直线显然不具备这些特点.故选A.2.C 解析：表盘被平均分成12个大格，每个大格对应的角的度数为360°÷12=30°.8时时针指向8，分针指向12，时针与分针之间共有4个大格，所以早上8时的时针与分针所成的角（小于平角）的度数是120°.故选C.3.D 解析：大于0°且小于180°的角有①ABC，①ACB，①BAC，①ADC，①ADB，①BAD，①DAC，共7个.故选D.4.A 解析：先以点A为中心，作出它正东方向的一条射线AB，再以点A为中心，作出在它南偏西25°方向上的一条射线AC，则①CAB=25°+90°=115°.故选A.5.1 90 1806.（1）1 21 36 （2）41.31 解析：（1）因为0.36°=21.6′，0.6′=36″，所以1.36°=1°21′36″.（2）因为18′=0.3°，36″=0.01°，所以41°18′36″=41.31°.7.解：经测量，得①A=140°是钝角，①B=25°，①C=15°.8.分析：因为钟盘被平均分成12个大格，每个大格为30°，所以首先借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°，然后进行度.分的换算即可.9点20分时，时针和分针之个大格.间相差153解：因为时钟上有12个大格，每相邻两个大格之间的夹角为30°，×30°=160°.所以9点20分时，时针和分针的夹角为153能力提升9.解：（1）原式=（49°+66°）+（38′+22′）=115°+1°=116°.（2）原式=（179°-79°）+（60′-19′）=100°+41′=100°41′.（3）原式=22°×5+16′×5=110°+80′=111°+20′=111°20′.10.解：经测量，得①1=①2=①3=①5=①6=60°，①4=①7=120°.。

北师版七年级数学下册21.1《对顶角、余角与补角》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在同一个平面内，两条直线的位置关系是( )A．平行或垂直B．相交或垂直C．平行或相交D．不能确定2．下列说法正确的是()A．若线段a，b不相交，则a∥bB．若直线a，b不相交，则a∥bC．在同一平面内，若线段a，b不相交，则a∥bD．在同一平面内，若直线a，b不相交，则a∥b3．如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )A．∠1和∠2 B．∠1和∠3C．∠2和∠4 D．∠2和∠54．若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)()A．3对B．4对C．5对D．6对5．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝30°，则∠2等于( )A．60° B．30° C．140° D．150°6．如图，三条直线交于点O，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90° B．120° C．180° D．360°7．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝5∶2，则∠AOF等于( )A．140° B．130° C．120° D．110°8. 若α＝29°45′，则α的余角等于()A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠DOE＝36°，则∠BOC的度数为() A．72° B．90° C．108° D．144°10. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是()A．①B．②C．③D．④二．填空题（共8小题，3*8=24）11.如图是一把剪刀,其中∠1=40°,则∠2=__________,其理由是____________________.12. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，则∠1和∠2的关系是________.13. 如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD=__________.14. 如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为_____________；(2)如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝100°，则∠AOC＝__________.15. 如图所示，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为________.16. 如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD等于( )17．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COB＝25°，若从点O引出一条射线OD，使∠COD＝90°，则∠AOD的度数为___________.18. 如图，直线a，b，c两两相交，∠1=80°，∠2=2∠3，则∠4=__________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．20．(6分) 如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC=80°，求∠BOD和∠AOE 的度数.21．(8分)如图所示,l1,l2,l3交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.22．(8分) 如图，O是直线CD上一点，射线OA，OB在直线CD的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角，并说明你的理由．23．(8分)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC－∠BOD＝20°，求∠BOE的度数．24．(10分) 如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝60°，OD平分∠AOC，∠COD与∠COE互余．(1)求出∠BOD的度数；(2)说明OE是∠BOC的平分线．参考答案1-5CDADD 6-10 CBBAA11. 5.40°，对顶角相等12．互余13. 35°14. 50°，160°15. 62°16. 110°17. 65°或115°18. 140°19. 解：设∠DOE＝x°，由∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝6x＝180°，可得x＝30°，∠AOF＝4x＝120°20. 解：因为∠BOD与∠BOC是邻补角，∠BOC=80°，所以∠BOD=180°—∠BOC=100°.又因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC=80°.又因为OE 平分∠AOD ，所以∠AOE=12∠BOC=40°. 21. 解：设∠1=∠2=x°,则∠3=8x°.由∠1+∠2+∠3=180°,得10x=180.解得x=18.所以∠1=∠2=18°.所以∠4=∠1+∠2=2x°=36°.22. 解：∠AOC 与∠BOD 是对顶角．理由：∵射线OA 的端点在直线CD 上，∴∠AOC 与∠AOD 互为邻补角，即∠AOC ＋∠AOD ＝180°， 又∵∠BOD ＝∠AOC ，从而∠BOD ＋∠AOD ＝180°， ∴∠AOB 是平角，从而A ，O ，B 三点共线．∴∠AOC 与∠BOD 是对顶角．23. 解：∵∠BOC －∠BOD ＝20°，∠BOC ＋∠BOD ＝180°， ∴∠BOC ＝100°，∠BOD ＝80°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝80°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝40°， ∴∠BOE ＝∠BOC ＋∠COE ＝100°＋40°＝140°24. 解：(1)∠BOD ＝150°(2)∵OD 平分∠AOC ，∴∠AOD ＝∠COD ，又∵∠COD ＋∠COE ＝90°，∠AOB ＝180°，∴∠AOD＋∠BOE＝90°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE是∠BOC的平分线。

七年级数学上册第四章基本平面图形角培优专题训练考点一：角的定义及表示方法1.下列说法正确的是( )A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大C．大于直角的角叫做钝角D．把线段AB向两端无限延伸可得到直线AB 2.如图,以O为顶点且小于平角的角共有 _____个，分别___ .3.张师傅透过放大5倍的放大镜从正上方看30°的角，则通过放大镜他看到的角等于（）A.30°B.90°C.150°D.180°考点二：与钟表有关的角度1.时钟的时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度；2.时钟的分针1分钟转了_6____度,1小时转了_360____度；3.下列时刻中，时针与分针之间的夹角为30°的是（）A.早晨6点B.下午1点C.中午12点D.上午9点4. 甲、乙、丙、丁四位同学在判断时钟的时针和分针互相垂直的时刻，他们每个人都说两个时刻，其中说对的是( )A．甲说3时整和3时30分 B．乙说6时15分和6时45分C．丙说9时整和12时15分D．丁说3时整和9时整5.早上8时的时针、分针的所成的角的度数是( )A．60° B．80°C．120° D．150°考点三：角的度量及换算1．22．5°= 22 度30分；12°24′= 12.4度。

2.下列计算错误的是( )A．0.25°＝900″ B．1.5°＝90′C．1 000″＝(518)° D．125.45°＝1 254.5′考点四：方位角1．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方位角是( )A．西偏北60° B．北偏西60°C．北偏东60° D．东偏北60°（1题） （2题）2.A,B 两地的位置如图所示，则A 在B 的（ ）A.东偏南60°B.西偏北30°C.北偏西60°D.南偏东30°3.若点A 在点B 的南偏东50°，则点B 在点A 的（ ）A.东偏南50°B.西偏北40°C.南偏东40°D. 北偏西50°4.已知A.B.C 三点，B 在A 的北偏西30°方向，C 在A 的南偏东25°方向，则 ∠BAC= 175°考点五：角平分线与角度的计算1．如图，若∠AOC＝∠BOD，则∠AOD 与∠BOC 的关系是( )A ．∠AOD>∠BOCB ．∠AOD<∠BOCC ．∠AOD ＝∠BOC D ．无法确定（1） （2）2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB 的度数为( )A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°3．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是( )A ．54°B ．72°C ．90°D ．126°4.下列各角能用三角板直接画出的有（ ）个（1）15°；（2）75°；（3）80°；（4）120°；（5）135°；（6）160°；（7）165°A.4B. 5C. 6D. 75.如图，已知∠1∶∠3∶∠4=1∶2∶4,∠2=80°，求∠1、∠3、∠4的度数。

与角度有关的计算问题（解答题35题）（基础题＆提升题＆压轴题）题型一基础题1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数．2．（2023秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数．3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE 的度数．4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数．5．（2023秋•泉港区期末）如图，∠COD＝45°，∠BOD=13∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的度数．6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；（2）比较∠AOC和∠BOD7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．8．（2023秋•大荔县期末）将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．（1）以点B为顶点的所有锐角有 个．（2）求以点B9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度数．10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．12．（2023秋•高安市期末）如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠COE=14∠COB，求∠的度数．题型二提升题13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．14．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；（2）若OF平分∠AOE，求∠的度数．15．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝ ；（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．16．（2023秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝ ；（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．17．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB=3 5∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．（1）求∠DOE．（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．19．（2023秋•渝北区期末）OC ，OD ，OE 在∠AOB 内，∠AOC ＝2∠BOC ，∠AOB ＝108°，∠DOE ＝66°．（1）如图1，当OE 为∠BOC 的角平分线时，求∠AOD 的度数；（2）如图2，当∠AOD =53∠COE ，求∠BOE 的度数．20．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB ＝120°，从∠AOB 的顶点O 引出一条射线OC ，射线OC 在∠AOB 的内部，将射线OC 绕点O 逆时针旋转到OD ，且∠COD ＝60°．（1）如图①，若∠AOD ＝90°，试判断∠AOC 与∠BOD 之间的大小关系并说明理由；（2）如图②，作射线OE ，射线OE 为∠AOD 的平分线，设∠AOC ＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC 恰好平分∠AOE ，求∠BOD 的度数．21．（2023秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起．（1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝ ，∠BOC ∠AOD（填＞、＜、＝）；（2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝ ；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ；②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由．22．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC 的平分线，（1）求∠BOE的度数；（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且∠AOF=13∠AOC，求∠COF的度数．23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 ；（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF 度数的等量关系：　．题型二压轴题24．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．25．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．26．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．（1）求∠BOD的度数；（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得∠BOE=(34x―90)°，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？27．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD ＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝ ；（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．28．（2024•两江新区校级开学）将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 ；（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．29．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．请补充完成下列解答过程：解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，∴∠AOD＝　°．∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．∴∠COE＝∠AOC+ ＝　°．【类比分析】（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．【变式探索】（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．30．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；（2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．31．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．32．（2024春•高青县期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 ．【拓展探究】（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．33．（2023秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．34．（2023秋•山西期末）综合与探究特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．①若AC＝4cm，则线段DE的长为 cm．②设AC＝a cm，则线段DE的长为 cm．知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数：　（用含α的代数式表示）．（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．。

《角》典型例题例1 指出下面角的表示方法是否正确，错误的改正过来。

（1）如图①中的角可以表示为ABC∠；（2）如图②中的BAC∠可以表示为A∠。

例2 如图，用量角器度量三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。

例3 计算：（1）0.12°＝（）′ （2）24′36″＝（）°例4如图，在海岸上有A、B两个观测站，B观测站与A观测站的距离是2.5km，某天，A观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请根据以上情况画出船的位置．（2）计算船到B观测站的距离（画图时用1cm表示1km）例5 如图：（1）以B为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA为边的角；（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别表示出来。

例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。

例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角顶点的字母没有写在中间，（2）中用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。

解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。

说明：（1）表示角时顶点字母必须写在中间；（2）用顶点一个字母去表示角时，必须分清楚表示的是哪个角。

例 2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。

解 经度量︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。

说明：学生所用的一般量角器只精确到度，有时要根据观察来确定角的近似值。

4 角的比较1．角的大小比较(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系．(2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小．如比较∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同一侧．①如果EF和BC重合(如图1)，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC；②如果EF落在∠ABC的外部(如图2)，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；③如果EF落在∠ABC的内部(如图3)，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.【例1】如图，求解下列问题：(1)比较∠COD和∠COE的大小；(2)借助三角尺，比较∠EOD和∠COD的大小；(3)用量角器度量，比较∠BOC和∠COD的大小．分析：(1)可用叠合法比较．∠COD和∠COE有一条公共边OC，而OD在∠COE的内部，故∠COD小；(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数，就可以达到比较的目的；(3)通过度量容易得出结论．解：(1)由图可以看出，∠COD<∠COE.(2)用三角尺中30°的角分别和这两个角比较，可以发现∠EOD＜30°，∠COD＞30°，所以∠EOD ＜∠COD .(3)通过度量可知：∠BOC ＝46°，∠COD ＝44°，所以，∠BOC >∠COD .2．角的平分线(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；②角平分线把角分成两个相等的角．(2)角平分线的表示：①OC 是∠AOB 的平分线；②∠AOC ＝∠COB ＝12∠AOB ，∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠COB .(3)作角平分线的方法：①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线；②折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线．【例2】 如图，已知∠AOC ＝80°，∠BOC ＝50°，OD 平分∠BOC ，求∠AOD .分析：由图可知∠AOD ＝∠AOC ＋∠DOC ，所以只要求出∠DOC 即可． 解：因为OD 平分∠BOC ，所以∠DOC ＝12∠BOC .又因为∠BOC ＝50°，所以∠DOC ＝12×50°＝25°.所以∠AOD ＝∠AOC ＋∠DOC ＝80°＋25°＝105°.3．角平分线及角的和、差计算 (1)角的和、差的意义如图，①和：∠AOB ＝∠1＋∠2；②差：∠1＝∠AOB －∠2，∠2＝∠AOB －∠1.(2)角平分线及角的和、差计算与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．(3)三角板中角的和与差一副三角板有两块，一块含30°角，60°角，90°角；一块含45°角，45°角，90°角． 借助于三角板，即可以画出上面的角．利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°.________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【例3－1】 已知∠AOB ＝30°，∠BOC ＝20°，则∠AOC 的角度是__________． 错解：50° 错解分析：误以为∠AOC 只是∠AOB 与∠BOC 的和，即∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝30°＋20°＝50°. 正解：10°或50°正解思路：如图，①∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝30°＋20°＝50°；②∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°－20°＝10°.【例3－2】 如图，AOC 为一直线，OD 是∠AOB 的平分线，∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE＝72°，求∠EOC 的度数．分析：本题中角之间的关系较复杂，直接求解有困难，可以通过设未知数、列方程的方法求解．设∠AOB ＝x °，因为OD 是∠AOB 的平分线，所以∠BOD ＝⎝⎛⎭⎫x 2°；观察图形知，∠AOB 和∠BOC 互为补角，所以∠BOC ＝(180－x )°；又因为∠BOE ＝12∠EOC ，所以∠BOE ＝13∠BOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180－x 3°；然后根据∠DOE ＝∠BOD ＋∠BOE ＝72°可列出方程x 2＋180－x3＝72，解方程求出x 的值后，再根据∠EOC ＝23(180－x )°求出∠EOC 的度数．解：设∠AOB ＝x °，则∠BOD ＝⎝⎛⎭⎫x 2°，∠BOC ＝(180－x )°，∠BOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180－x 3°， 由∠DOE ＝72°可得x 2＋180－x 3＝72.解这个方程，得x ＝72.∴∠EOC ＝23(180－x )°＝72°.4．角的分类 (1)角的分类：根据角的度数，常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类． (2)各种角的规定： 锐角：大于0°且小于90°的角． 直角：等于90°的角． 钝角：大于90°且小于180°的角．平角：等于180°的角．周角：等于360°的角．(3)角之间的关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．1平角＝2直角＝180°；1周角＝2平角＝4直角＝360°.若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．【例4】如图，解答下列问题：(1)比较图中∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小；(2)找出图中的直角、锐角和钝角．分析：(1)角的大小可以观察得出；(2)根据各类角的特征观察得出．解：(1)∠AOD＞∠AOC＞∠AOB；(2)直角有∠AOC，锐角有∠AOB，∠BOC，∠COD，钝角有∠AOD，∠BOD.。

4.3 角专题一角的概念与分类及应用1．下列说法：（1）大于直角的角是钝角；（2）任何一个角都可以用一个大写字母表示；（3）在平面内，有公共顶点的两个直角组成了一个平角；（4）一条直线就是一个平角．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个２．下列说法中正确的有（）①由两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关；③角的两边是两条射线；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列计算中错误的是（）A．0．25°=900″B．C．32．15°=32°15′D．4．钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）A．90°B．82．5°C．67．5°D．60°5．一条船向北偏东50°方向航行到某地，然后依原航线返回，船返回时航行的正确方向是（）A．南偏西40°B．南偏西50°C．北偏西40°D．北偏西50°6．计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；（3）33°15′16″×5；（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．7．（1）若时针由2点30分走到2点55分，问分针、时针各转过多大的角度？（2）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？8．如图，由一个公共端点引出的2条射线，形成了1个角，由一个公共端点引出的3条射线，形成了3个角，由一个公共端点引出的4条射线，形成了6个角，……，由一个公共端点引出的n 条射线，形成多少个角？（注：图中最大的角为钝角）状元笔记：【知识要点】1. 理解角的有关概念、分类及表示方法．2．认识角的表示及度、分、秒，并会进行简单的换算．【方法技巧】在钟表问题中，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0．5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．……A 5A n A 1A 2A 3A 4A 4A 3A 2A 1A 3O A 2O A 1O A 2A 1O参考答案：１．D２．B解析：①角就是有公共端点的两条射线所构成的图形，故该选项错误；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故该选项正确；③角的两边是两条射线，故该选项正确；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故该选项错误．②③正确．3．C4．B解析：∵时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°，∴钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0．5°×15=7．5°，分针在数字3上．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴12时15分钟时分针与时针的夹角90°﹣7．5°=82．5°．5．B6．解：（1）153°19′42″+26°40′28″=179°+59′+70″=179°+60′+10″=180°10″．（2）90°3″﹣57°21′44″=89°59′63″﹣57°21′44″=32°38′19″．（3）33°15′16″×5=165°+75′+80″=165°+76′+20″=166°16′20″．（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′30″﹣42°330′÷6+12°36′150″=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°．7．解：（1）分针转过的角度：（360°÷60）×（55﹣30）=150°，时针转过的角度：（360°÷60÷12）×（55﹣30）=12．5°，∴分针、时针各转过150°、12．5°．（2）（360°÷12）﹣15×（360°÷60÷12）=30°﹣7．5°=22．5°，∴时针与分针所成的锐角的度数是22．5°．8．解：由一个公共端点引出的n条射线，一共组成角的个数为：1＋2＋3＋4＋5＋……＋n－1＝2)1(nn．。

数学试题分类汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形． 3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．1 2 3n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需 根火柴棒。

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．9、如图 ２ ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。

角的比较习题考点1:角的和差倍分如图，∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作： ； ∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作 . 2.如图，① ②③ 练习1：如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,求∠3是多少度?2.如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.3. 如图，，，则．4.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BO D=90°，求∠COD 的度数.5. 如图，，则．考点2:角的平分线从一个角的顶点引出的一条 ，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的 .几何语言：∵OB 是∠AOC 的平分线，∴∠AOB＝ ＝12 (或∠AOC＝2 ＝2 ).练习1.如图，下列条件中不能确定OC 平分∠AOB 的是( )A.∠AOC ＝∠BOCB.∠AOC ＝12∠AOBC.∠AOB ＝2∠BOCD.∠AOC ＋∠BOC＝∠AOB2.如图，∠AOB ＝∠COD＝90°，∠AOD ＝140°，则∠BOC＝ .________________AOC ∠=+=-____________AOC AOB ∠-∠==+____________________BOC AOC COD ∠=--=∠-=-∠115AOB ∠=︒90AOC DOB ∠=∠=︒____COD ∠=90AOB COD ∠=∠=︒____AOD BOC ∠+∠=312AFEB O3.如图所示，已知O 是直线AB 上一点，∠1＝40°，OD 平分∠BOC，求∠2的度数4.如图，OB 是∠AOC 的平分线，∠BOC ＝30°，∠COD ＝40°，求∠AOD 的度数.5.如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线， 如果∠AOB＝40°，∠COE ＝60°，求∠BOD 的度数6.如图，∠AOD ＝120°，∠2＝2∠1＝60°，求：(1)∠DOC 的度数；(2)∠BOD 的度数.7.如图，点O 是直线AB 上的一点，∠AOC ＝130°，OB 平分∠COD， OE 平分∠AOD，求∠AOE 的度数.8.如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC，∠EOC=100求∠BOD 的度数9.已知：如图，OC 是∠AOB 外的一条射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ， ∠EOF = 40°，∠AOC + ∠BOC = 160° 求：∠AOC 和∠BOC 的度数。