奥数五年级-第十二章 数论与组合

五年级奥数主要知识点五年级奥数是小学数学竞赛的一个重要阶段，它不仅要求学生掌握基础数学知识，还要求学生具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

以下是五年级奥数的主要知识点：一、数论基础- 整数的奇偶性：理解奇数和偶数的概念，掌握奇偶数的基本性质。

- 质数与合数：区分质数和合数，了解它们的定义和特点。

- 最大公约数和最小公倍数：学会求两个或多个数的最大公约数和最小公倍数，理解其在数学中的应用。

二、分数和小数- 分数的加减乘除：掌握分数的四则运算，包括通分、约分等技巧。

- 分数的大小比较：学会比较分数的大小，理解分数的性质。

- 小数的运算：熟练进行小数的加减乘除运算，理解小数点的移动规律。

三、比例和比例关系- 比例的基本性质：理解比例的概念，掌握比例的基本性质。

- 正比例和反比例：区分正比例和反比例，理解它们在实际问题中的应用。

四、几何图形- 平面图形：学习三角形、四边形、圆等基本平面图形的性质和面积计算。

- 立体图形：了解长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的体积和表面积计算。

五、排列组合与计数原理- 排列组合：掌握排列和组合的基本概念，学会解决相关的数学问题。

- 计数原理：理解加法原理和乘法原理，学会应用这些原理解决实际问题。

六、逻辑推理- 条件逻辑：学会根据给定条件进行逻辑推理，解决数学问题。

- 数学证明：了解数学证明的基本方法，学会用逻辑推理来证明数学命题。

七、应用题- 行程问题：解决涉及速度、时间和距离的行程问题。

- 工程问题：理解工作效率和工作时间的关系，解决相关的工程问题。

- 经济问题：学习解决涉及价格、成本和利润的经济问题。

八、数学思维和解题技巧- 归纳推理：通过观察和分析，归纳出数学规律和模式。

- 逆向思维：学会从问题的结果出发，逆向推导出解决问题的方法。

- 转化思维：将复杂问题转化为简单问题，或将不同类型问题相互转化。

五年级奥数的学习不仅能够提高学生的数学素养，还能培养他们的逻辑思维和创新能力。

五年级奥数培优必考知识点组 合一、排列知识复习1．排列指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

注意：排列是有顺序性的。

2．排列数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做排列数，记为A m 。

二、组合大家一起来思考：如果从5个小朋友中选出3个小朋友组成一组去观看《喜洋洋与灰太狼之虎虎生威》，那么有多少种不同的选法呢？A 5÷A 3=10(种)1．排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，而组合没有顺序性。

2．组合指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

3．组合数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C m 。

Cm =[n ⨯(n -1)⨯(n -2)⨯(n -3)⨯⨯(n -m +1)]÷[m ⨯(m -1)⨯(m -2)⨯(m -3)⨯⨯ 3⨯2⨯1]4．组合的特殊公式⑴思考：从5个小朋友里一个人也不选有多少种方法数？要是从5个人里选5个人呢？C 5 ＝C 5 ＝1，即C n ＝C n ＝1⑵计算: C 3 和C 3 ；C 5 和C 5①C 3＝(3⨯2)÷(2⨯1) ＝3C 3 ＝3÷1＝3 n n n0 5 0 2 1 2 3 2 13 3 n②C 5＝(5⨯4)÷(2⨯1) ＝10C 5＝(5⨯4⨯3)÷(3⨯2⨯1) ＝10巩固练习：例：计算C 100 －2C 100【例 1】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排共有多少种站法？【例 2】10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行多少场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。

九 进 制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。

他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。

他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。

拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。

拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。

拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。

拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。

美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。

两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。

接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。

更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。

他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。

他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。

取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。

这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。

奥数之数论与排列组合
引言
数论与排列组合是奥林匹克数学竞赛中的重要内容之一。

数论涉及整数的性质和关系，而排列组合则研究如何计算对象的不同排列和组合方式。

数论
数论是研究整数的性质和关系的数学分支。

在奥数竞赛中，数论题目常常涉及诸如质数、最大公约数、最小公倍数以及模运算等概念。

数论题目通常要求解决整数的特定问题，如找出某个数的因子，验证某个数的性质等。

解决数论问题需要掌握一些基本的数论定理和技巧。

排列组合
排列组合是研究对象的不同排列和组合方式的数学分支。

在奥林匹克数学竞赛中，排列组合题目常常涉及诸如排列、组合、二项式系数等概念。

排列组合题目通常要求计算对象在不同条件下的排列或组合数量。

解决排列组合问题需要了解基本的计数原理和组合公式。

竞赛应用
数论和排列组合在奥数竞赛中扮演着重要的角色。

通过掌握数论和排列组合的基本原理和方法，参赛者可以更好地解决奥数竞赛中的相关问题。

这些问题不仅能帮助参赛者提高数学思维能力，还能锻炼他们的逻辑推理和问题解决能力。

总结
数论和排列组合是奥林匹克数学竞赛中重要的内容之一。

掌握数论和排列组合的基本原理和方法，对于提高数学竞赛成绩非常有帮助。

通过解决数论和排列组合问题，可以培养参赛者的数学思维能力和解决问题的能力。

奥数竞赛中的数论和排列组合题目也是考察参赛者数学综合素质的重要手段之一。

数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。

1. 五年级奥数容斥原理之数论问题教师版2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：A B A B A B =+-[其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思．]则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积．包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +[意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来,加在一起]；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =[意思是“排除”了重复计算的元素个数]．二、三量重叠问题教学目标知识要点 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次,多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图[韦恩图]来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中,不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图,用长方形表示1~100的全部自然数,A 圆表示1~100中3的倍数,B 圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知,1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知,1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：3320647+-=[个]．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=[个]．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中,能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=,100520÷=,10035610÷⨯=（）．根据包含排除法,能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=[个]．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中,能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示,A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数,B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数,C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=[个]．由1003331÷=知,前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知,前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数,B 中有33个数,C 中有16个数．因为A ,B 都包含C ,根据包含排除法得到,能被2或3整除的数有：50331667+-=[个]．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间,5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个,7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个,因为既是5的倍数,又是7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数,1003331÷=,有33个；B ：1～100中7的倍数,1007142÷=,有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数,即21的倍数,10021416÷=,有4个．依据公式,1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个,则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质,105=3×5×7,所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个,3的倍数有35个,5的倍数有21个,7的倍数有15个,15的倍数有7个,21的倍数有5个,35的倍数有3个,105的倍数有1个,所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个,显然如果n 与105互质,那么（105-n ）与n 互质,所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为24.【答案】48个,和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话,那么（385-a ）/385也是最简真分数,所以最简真分数可以每两个凑成整数1,所以这些真分数的和为120.【答案】240个,120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中,恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中,3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个,3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个,5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个,3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以,恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

苏教版五年级上同步奥数培优第十二讲排列与组合知识概述：在日常生活和生产实践中，我们经常运用排列组合的知识解决一些常见的计数问题，计数中常用到这样两个原理:做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种不同的方法，那么，完成这件事共有多少种方法，就要用到“加法原理”:做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，完成这件事一共有多少种方法，就要用到“乘法原理”。

加法原理:做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，而无论采用这些方法中的哪一种，都能单独地完成这件工作，那么完成这件工作的方法总数等于各类完成这种工作的办法种数的和，即:N＝m1×m2×……×mn。

乘法原理:做一件事，完成它需要几个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件工作的方法总数等于完成各步的方法数的乘积，即:N＝m1×m2×…×mn。

例1：把12支圆珠笔分给三个人，每个人都得到偶数支，且每人至少得到2支的分法有多少种?练习一：1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。

小丹到图书室借书时，图书室有不同的科技书150本，不同的故事书200本，不同的外语书75本。

小丹借一本书可以有多少种不同的选法?2.有1角、2角、5角的人民币各一张，可以组成多少种币值的人民币?3.有一个三位数，它的各位上数字的和等于24，这样的三位数共有多少个?例2：用数字1，2，3，4，5这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?练习二：1.书架上层有6本不同的故事书，中层有5本不同的历史书、下层有10本不同的连环画。

如果要从书架的上、中、下层各取一本书，一共有多少种不同的选书方法?2.用数字4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字的四位数?多少个没有重复数字的三位数?3.用数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的四位数?例3：由6支篮球队组成的篮球比赛，采取单循环积分赛制确定比赛名次，即每两支队伍都要比赛一场。

一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法； 步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法； ……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、 排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分知识结构排列组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38AD、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。

在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。

一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。

素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。

例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。

素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。

另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。

二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。

在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。

另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。

排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。

三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。

例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。

除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。

同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。

四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。

例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。

在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。

这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。

五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。

例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。

另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。

六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。

知识结构排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从 n 个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出 () 个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的() 个元素中任取一个元素排在第二位，有() 种方法；步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有( 种 ) 方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从个不同元素中取出个 () 元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素() 的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出() 个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的 () 个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到 1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发 1 个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．例题精讲一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】 （ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（ 2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（ 3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（ 1） 34 （ 2） 43 （3） 43【例 2】 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法 【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案 .） A 、 83、 38C 、 A 8 33【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（B D 、C 8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作 8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店” ，每个“客”有8 种可能，因此共有 83种不同的结果。

五年级下册数学奥数专题讲座第十二课《容斥原理》难题练习及题目答案
五年级奥数下册：第十二讲容斥原理
五年级奥数下册：第十二讲容斥问题习题
五年级奥数下册：第十二讲容斥问题习题解答
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数学的数论与组合数论与组合是数学中两个重要的分支领域，它们在数学研究和应用中发挥着重要的作用。

数论主要研究整数的性质和相互关系，而组合数学则研究离散结构及其组合方式。

本文将分别介绍数论和组合数学的基本概念、应用领域以及它们之间的联系。

一、数论数论是研究整数的性质和相互关系的学科。

它起源于人们对自然数的认识和对数的性质的好奇。

数论研究的核心问题包括质数、约数、同余以及数论中的一些重要定理，例如费马小定理、欧拉定理等等。

1.1 质数质数是指除了1和它本身之外没有其他正因数的自然数。

在数论中，质数是一个基本的研究对象。

质数的性质非常重要，包括无穷性、唯一性等。

其中，素数定理是数论中的一个重要结果，它给出了质数分布的大致规律。

1.2 同余同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个整数除以同一个数所得的余数相等的情况。

同余关系不仅在数论中有重要应用，也在密码学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。

1.3 数论定理数论中有许多重要的定理，例如费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理等。

这些定理在密码学、信息安全以及算法设计等领域有着广泛的应用。

二、组合数学组合数学是研究离散结构及其组合方式的学科。

它关注的问题包括排列、组合、图论等，涉及到计数技巧、概率、算法等方面的知识。

2.1 排列与组合排列与组合是组合数学中的基本概念。

排列是指从一组元素中取出一部分进行有序的排列，而组合是指从一组元素中选出一部分进行无序的组合。

排列与组合在概率论、统计学等领域中有广泛的应用。

2.2 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究的是由若干个点和边组成的图的性质。

图论在计算机科学、电信网络等领域有着广泛的应用，例如在网络路由、社交网络分析等方面发挥着重要作用。

三、数论与组合数学的联系数论与组合数学有着密切的联系，它们之间相互渗透、互为补充。

在一些问题中，数论的方法可以借鉴组合数学的思想，而组合数学的工具也可以应用于数论的研究中。

3.1 应用案例数论与组合数学在密码学、计算机科学、信息安全等领域都有广泛应用。

数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。

两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。

本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。

通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。

1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。

正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。

最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。

整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。

1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。

通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。

我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。

分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。

在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。

首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。

其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。

而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。

其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。

费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。

而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。

除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。

生：我拼的是一只猫,是用七巧板的七个图形拼成的。

生：我拼的是一棵树,是用两个三角形和一个正方形拼成的。

生：……师：同学们有没有发现拼的图形都有一个共同的特征？是什么呢？生：拼成的图形都是由几个图形组合而成的。

师：说得真好,像这样由几个简单图形组合而成的图形,我们就叫做组合图形。

关于组合图形,你能提出什么样的数学问题呢？生：组合图形的面积怎么算。

生：……师：正好米德一群人也要去图形王国参观,那今天我们跟随米德等人一起来研究组合图形面积的计算方法。

好吗？生：好的！板书课题：组合图形的面积二、探索发现授课［40分］［一］例题1：［13分］图形王国的大门缓缓打开,映入米德、卡尔他们面前的是一条长长的走廊和高高的台阶。

阿派和欧拉开开心心地跑到了米德、卡尔的前面,正当他们准备过台阶的时候,突然被两个士兵挡住了去路。

士兵说：“你们必须要正确回答出我的问题,我才会放行。

”阿派、欧拉绞尽脑汁也答不上来,只好等米德和卡尔,希望他们能解答出来。

求下面图形的面积。

［单位：m］［PPT出示］师：米德一下就解答出了答案,同学们,我们也来试试吧！师：这个图形,我们能直接算出它的面积吗？生: 不能。

师：观察一下,有谁发现了什么？生：我发现这个图形加一条辅助线,可以变成上面是一个长方形,下面是一个梯形。

师：说得真好。

这是我们求组合图形面积经常用的方法,“分割法”。

师：同学们还记得长方形的面积计算公式是什么吗？生：长×宽。

师：没错。

那梯形的面积计算公式呢？生：［上底+下底］×高÷2。

师：是的。

看来同学们对之前的知识都掌握得不错。

那题目中的图形面积,我们可以怎么算呢？生：长方形面积加梯形的面积就是要求的图形的面积。

师：没错。

那我们把答案写下来吧。

板书：长方形的面积：10×15=150［平方米］梯形的面积：［10+40］×［30-15］÷2=375［平方米］图形的面积：150+375=525［平方米］答：图形的面积为525平方米。

12北京版小五奥数教材课程十二、同余的妙用课程十二同余的妙用1.求星期几的方法2.同余的可传递性3.同余的可乘性4.同余的可开方性14和26这两个虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余，记作14=26（mod 6）同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余，应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数。

2001年元旦是星期一，问20年后的元旦是星期几？由于每年有365天，20年共有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。

7305=7×1043+4，说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实学习目标重点总结引入那天是星期一，再往后数4天，即20年后的元旦是星期五。

生活中我们会经常遇到与余数有关的问题，再比如：某年级有将近400 名学生。

有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现每10人结成一列，结果还是多余1人；聪明的读者你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。

因此此时学生人数应是8，9，10的公倍数，而8，9， 10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。

研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题，下面给出同余一般理论。

<5>若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ）,则ac=bd （mod m ） <6>若a ≡b （mod m ）则a n ≡b n （mod m ）其中性质<3>常被称为“同余的可传递性”，性质<4>、<5>常被称为“ 同余的可乘性”，性质<6>常被称为“同余的可开方性”。

注意：一般地同余没有“可除性”，但是：如果：ac=bc（mod m）且（c,m）=1则a≡b（mod m）整数分类<1>用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）<2>用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）<3>在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod 6）:0,6,12,18,24,……1（mod 6）:1,7,13,19,25,……2（mod 6）:2,8,14,20,26,……3（mod 6）:3,9,15,21,27,……4（mod 6）:4,10,16,22,29,……5（mod 6）:5,11,17,23,29,……例1求437×309×1993被7除的余数。

代数数论与组合代数数论和组合是数学中两个重要的分支，它们在不同的领域中有着广泛的应用。

代数数论研究的是数与代数结构之间的关系，而组合则研究的是离散的结构和计数方法。

本文将探讨这两个分支的基本概念和应用。

我们来了解一下代数数论。

代数数论是代数和数论的结合，研究的是数与代数结构之间的联系。

其中一个重要的概念是代数数。

代数数是满足代数方程的数，也就是说，它是某个多项式方程的根。

代数数的性质和性质非常丰富，比如它们可以进行加、减、乘、除运算，并且可以构成一个域。

代数数论的一个重要问题是研究代数数的性质和结构。

其中一个经典的结果是代数数的代数性质，即代数数是代数的。

这意味着代数数可以通过有限次的四则运算和开方运算来表示。

代数数的代数性质不仅对于数论有重要意义，也在其他数学分支中有着广泛的应用，比如代数几何和代数拓扑等。

另一个与代数数论密切相关的概念是代数数的逼近性质。

代数数的逼近性质研究的是一个数能否用有理数来逼近。

具体来说，对于一个代数数a，如果存在无穷多个有理数p/q，使得 |a - p/q| < 1/q^k，那么我们称a是一个良好逼近数。

代数数的逼近性质在数论中有着重要的应用，比如研究无理数的性质和近似算法等。

接下来，我们来讨论一下组合。

组合学是研究离散结构和计数方法的学科。

它关注的是如何从一个有限集合中选择或排列对象，以及如何计算这些选择或排列的总数。

组合学的研究对象包括排列、组合、子集、图论等。

在组合学中，有几个经典的问题和定理。

比如排列组合问题，研究的是从一个有限集合中选取一部分对象的方法数。

排列是指从n个不同的对象中选取k个进行排列的方法数，记作P(n,k)。

组合是指从n个不同的对象中选取k个进行组合的方法数，记作C(n,k)。

排列和组合的计算公式是P(n,k) = n!/(n-k)!，C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。

这些公式在组合问题的计算中有着重要的应用。

组合学还包括了一些重要的定理，比如鸽巢原理、容斥原理和因果关系等。