(完整版)湖南省安化一中2012年高三五月月考试题(理数)

湖南省湘潭市2012届高三第五次模拟试题答卷数学 (理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.）1. 在复平面内，复数2)1(i -对应的点位于 ( D )A. 一、三象限的角平分线上B. 二、四象限的角平分线上C 。

实轴上D 。

虚轴上 2、已知==∈ααππαtan ,31sin ),,2(则 ( B ）A42 B -42 C22 D —223.设两个正态分布N （1μ,21σ）（01>σ)和N （2μ，22σ）（02>σ)曲线如图所示，则有（ A ）A. 2121,σσμμ><B. 2121,σσμμ<< C 。

2121,σσμμ>> D 。

2121,σσμμ<>4、设集合()22{,|1}416x y A x y =+=,{(,)|3}x B x y y ==,则A B ⋂的子集的个数是( A）A ．4B ．3C ．2D ．1 5、[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈∞-∈=-,1)1,(2)(2x x x x f x,则[])2(-f f = （ A ) )(A 16 )(B 4)(C41)(D 161 6．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A、B两点,｜AB｜＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（ C ）A．18 B．24 C．36 D．487。

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ A ）A．2(3)π+π+B．23C．3π+π+D．23 8、如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是（ C ）二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。

长沙一中2012届高三月考试卷（四）物理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分，时量90分钟，满分110分。

第I卷选择题（共56分）一、选择题（本题共14小题，每小题4分，共56分。

每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1．下列说法符合物理学史学的是（）A．牛顿发现了行星的运动规律B．开普勒发现了万有引力定律C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量D．法拉第发现了电流的热效应2．如图1所示，置于水平地面上相同材料的质量分别为m和M的两物体用细绳连接，在M上施加一水平恒力F，使两物体做匀加速直线运动，对两物体间细绳上的拉力大小，正确的是（）A．地面光滑时，绳上拉力等于mF/(M+m)B．地面不光滑时，绳上拉力等于mF/(M+m)C．地面不光滑时，绳上拉力大于mF/(M+m)D．地面不光滑时，绳上拉力小于mF/(M+m)3．如图2所示电路中，当滑动变阻器的滑片向上滑动时（）A．电压表示数变大，电流表示数变小B．电压表示数变小，电流表示数变大C．电压表，电流表示数都变大D．电压表，电流表示数都变小4．如图3，物块A静置在水平地面上，B静止在A的斜面上，某时刻起，对B施加一沿斜面向上的力F，力F从零开始随时间逐渐增大，在这一过程中，A、B均始终保持静止，则地面对A的（）A．支持力不变B．支持力增大C．摩擦力增大D ．摩擦力减小5．如图4所示，一根截面积为S 的均匀长直橡胶棒上均匀带有负电荷，单位长度电荷量为q ，当此棒沿轴线方向做速度为v 的匀速直线运动时，由于棒运动而形成的等效电流大小为 （ ）A ．vqB ．q vC ．qvSD ．qv S6．如图5所示，一个由电池E 、电阻R 与平行板电容器C 组成的串联电路，在增大电容器两极板间距离的过程中（ ）A ．电阻R 中没有电流B ．电容器的电容变大C ．电阻R 中有从a 流向b 的电流D ．电阻R 中有从b 流向a 的电流7．如图6所示的U —I 图像中，直线I 为某电源的路端电压U 与电流I 的关系，直线II 为某一电阻R 的伏安特性曲线，用该电源直接与电阻R连接成闭合电路，由图像可知（ ）A ．R 的阻为1.5ΩB ．电源电动势为3V ，内阻为0.5ΩC ．电源的输出功率为3.0WD ．电源内部消耗功率为1.5W8．如图7所示的电路中，灯泡A 和灯泡B 原来都是正常发光的，现在突然A 比原来变暗了些，灯泡B 比原来变亮了些，则电路中出现的故障可能是（ ）A ．R 1断路B ．R 1短路C ．R 2断路D ．R 1、R 2同时短路9．2000年8月17日，在德国柏林进行的2009世界田径锦标赛女子撑杆跳高决定中，罗格夫斯卡以 4.75米的成绩夺冠，若不计空气阻力，则罗格夫斯卡在这次撑杆跳高中 （ ）A ．起跳时杆对她的平均弹力大于她的重力B ．起跳时杆对她的平均弹力小于她的重力C ．起跳以后的下落过程中她处于超重状态D ．起跳以后的下落过程中她处于失重状态10．2010年3月5日，我国在酒泉卫星发射中心成功地将“遥感卫星九号”送入太空，若“遥感卫星九号”运行轨道比“遥感卫星八号”离地球更近些，且它们都围绕地球做匀速圆周运动，则“遥感九号”比“遥感八号”运行的（ ）A ．周期小B ．线速度小C ．角速度小D ．加速度小11．图8中竖直方向的平行线表示匀强电场的电场线，但未标明方向，电场中有一个带电粒子，仅受电场力的作用，从A 点运动到B 点，E kA ，E kB 表示该带电粒子在A ，B 两点的动能，,A B ϕϕ表示A 、B 两点的电势，以下判断正确的是（ ）A ．若AB ϕϕ<，则该电荷一定是负电荷B ．若E kA >E kB ，则A ϕ一定大于B ϕC ．若E kA >E kB ，则该电荷的运动轨迹不可能是虚线aD ．若该电荷的运动轨迹是虚线b 且粒子带正电荷，则A ϕ一定大于B ϕ12．静止在地面上的一小物体，在竖直向上的拉力作用下开始运动，在向上运动的过程中，物体机械能E 与位移s 的关系图象如图9所示，其中0~s 1过程中的图线是曲线，s 1~s 2过程中的图线为平行于横轴的直线，关于物体上升过程（不计空气阻力）的下列说法正确的是（ ）A ．0~s 1过程中物体所受的拉力是变力，且不断减小B ．s 1~s 2过程中物体做匀速直线运动C ．0~s 1过程中物体的动能先增大后减小D ．0~s 1过程中物体的加速度先减小再反向增大，最后保持不变且等于重力加速度13．如图10所示，一个由绝缘材料制成的轻弹簧水平放置，一端固定于竖直墙上，另一端与一带负电的小球相连，小球在光滑绝缘水平面上的B ，C 两点间周期性地来回往复运动，通过O 点时小球所受合力为零，整个装置处于水平向左的匀强电场中，假定在运动过程中小球的电荷量保持不变，则（ ）A ．在由B 到O 的过程中，弹簧的弹性势能和小球的电势能减少，动能增加B ．在由O 到C 的过程中，弹簧的弹性能增加，小球电势能和动能减少C ．在由B 经O 到C ，小球由势能的变化量和弹簧弹性势能的变化量大小相等D ．在由C 到O 的过程中，小球电势能的变化量和弹簧弹性势能的变化量大小相等14．如图11所示电路中，电阻R 1=8Ω，R 2=3Ω，当开关S 闭合时， 电压表的示数为7V ，电流表的示数为0.5A ；当开关S 断 开时，电压表的示数为3V ，电流表的示数为0.75A ，不考 虑电压表和电流表内阻的影响，下列结果不正确．．．的是（ ）A ．电阻R 4=4ΩB ．电阻R 2=4ΩC ．电源的内电阻为1ΩD ．电源的电动势为12V第II 卷 非选择题（共54分）二、实验题（每空2分，共18分）15．（1）写出如图12所示的游标尺和如图13所示螺旋测微器的读数；游标卡尺的读数mm ；螺旋测微器的读数 mm 。

高2012级第一次月考数 学 试 题（理科卷）数学试题卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数sin 4y x =的周期是 A.2π B.2π C.4πD.4π 2.在α的终边上取一点为()3,4P -，则cos α= A.45 B.35 C.45- D.35- 3.若3cos 2α=，其中(02)απ<<,则角α所有可能的值是A.6π或116π B.6π或76π C.3π或23π D.3π或53π4.已知定义在[1,1]-上的函数()y f x =的值域为[2,0]-,则函数(cos 2)y f x =的值域为 A.[1,1]- B.[3,1]-- C.[2,0]- D.不能确定5.在等差数列{}n a 中,首项14a =-,2d =,则12345a a a a a ++++= A.0 B.10 C.-10 D.126.函数lg(sin )y x =的定义域为 A.2,22k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B.()2,2k k k Z πππ+∈ C.2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D.[]2,2k k k Z πππ+∈7.已知函数()213f x ax ax =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 A. 13a > B.13a ≤ C.120a -<< D.120a -<≤ 8.函数2cos 1y x =-2()33x ππ-≤≤的值域是 A.[]2,0- B.[]3,0- C.[]2,1- D.[]3,1- 9.函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是A.2,263k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B.52,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C.,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.5,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10.已知1sin cos 5θθ+=，且θ是第二象限的角，则44sin cos θθ-= A ．125 B ．725- C ．725± D ．725第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应位置上） 11.在等比数列{}n a 中，24a =,5256a =，则公比q = ． 12.54sin 28tan 45tan 62tan 36sin 22++= ． 13.若3()log (1)f x x =+的反函数为1()y fx -=，则方程1()8f x -=的解x = ．14.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 15．给出下列命题：○1不等式12x≥的解集是12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ○2若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；○3tan 20tan 403tan 20tan 403++=；○4()()2sin 31f x x =+的图象可由2sin 3y x =的图象向左平移1个单位得到； ○5函数()cos 2cos sin xf x x x=-的值域是()2,2-.其中正确的命题的序号是____________________(要求写出所有正确命题的序号).三．解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）已知()()tan tan sin()cos()2f x x x x x πππ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭. （1）化简()f x ；（2）当tan 2x =时，求()f x 的值.17. （本小题满分13分）已知3sin()5αβ+=，5cos 13β=-；且α为锐角，β为钝角. （1）求cos()αβ+和sin β； （2）求αsin 的值．18. （本小题满分13分）已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R . （1）当0θ=时，求()f x 的单调递减区间； （2）若(0,)θπ∈，当θ为何值时,()f x 为奇函数．19．（本小题满分12分）已知函数()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++其中x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；20．（本小题满分12分）一般地，对于函数()y f x =，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.若函数2()(1)1f x ax b x b =+++-其中0a ≠. （1）当1a =，2b =-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()44(4)f x x x x =-+≥的反函数为1()fx -，数列{}n a 满足：11a =，()11n n a f a -+=，*n N ∈，数列121321,,,,n n b b b b b b b ----是首项为1，公比为13的等比数列.（1）求证：数列{}na 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若n n n c b a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .数学试题参考答案2010.4.8一.选择题：ABACD BDCCD二.填空题：11．4； 12．2； 13．2； 14． 2； 15．○3、○5 三.解答题： 文16、理16解：（1）()()()cot tan sin cos f x x x x x =+-- 1sin cos x x =+---------------------6分 （2）()22sin cos 1sin cos x x f x x x =++2tan 1tan 1xx =++2271215=+=+---------------------13分 文17、理17 解：（1）0,22ππαβπ<<<<322παβπ∴<+< 又3sin()5αβ+=，5cos 13β=- 4cos()5αβ∴+=-，12sin 13β=---------------------7分 （2）由（1）可知：()()sin()sinααββ=+-354123351351365⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------------13分 文18解：（1）由77S =，1575S =得()17772a a +⨯=，()11515752a a +⨯= 41a =，85a =---------------------6分 （2）由（1）知：8451144a a d --=== ()()441413n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=- 12a ∴=-()()1223152222n n a a n n n S n n +-+-∴===----------------------13分文19、理18解：（1）0θ=时，()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭又由322242k x k πππππ+≤+≤+，得 52244k x k ππππ+≤≤+ ∴()f x 的单调递减区间为52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈---------------------6分 （2）()2sin 4f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又若()f x 为奇函数，则(0)0f =sin 04πθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭又0θπ<<，从而5444ππθπ<+< 4πθπ∴+=即34θπ∴=---------------------12分（理科13分） 文20、理19 解：（1）1cos 21cos 2()sin 2322x xf x x -+=++⨯ sin 2cos 22x x =++2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==---------------------6分 （2）由（1）知：()2sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则 52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 所以 当242x ππ+=，即 8x π=时，()max 22f x =+当5244x ππ+=，即 2x π=时，()min 1f x = 所以，()f x 的值域为1,22⎡⎤+⎣⎦---------------------12分文21、理20解：（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--从而00()f x x =可化为20003x x x --=即01x =-或3所以()f x 的不动点为1-或3---------------------4分 （2）由00()f x x =可化为20010ax bx b ++-=函数()f x 恒有两个相异的不动点∴关于0x 的方程20010ax bx b ++-=恒有两不等实根从而0a ≠且()2410b a b ∆=-->对任意实数b 都成立---------------------8分即关于b 的不等式2440b ab a -+>恒成立216160a a ∴∆=-<即01a <<---------------------12分 理21（1）证明：()2()442f x x x x =-+=-由4x ≥，得()0f x ≥ 所以()21()2f x x -=+所以()211()2n n n a f a a -+==+即：12n n a a +=+故数列{}na 是以11a =为首项，2为公差的等差数列---------------------4分（2）由题意知，11b =，1113n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-21111311133323n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n b 的通项公式为31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---------------------8分 （3）由（1）得：()12121n a n n =+-=-，即：()221n a n =-由（2）得：31123n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()3121123n n n n c b a n ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭12n n S c c c =+++()233135211352123333nn n ⎡-⎤⎛⎫=++++--++++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦------------------10分 令23135213333n n n T -=++++ 则234111352321333333n n n n n T +--=+++++ 得：23412111112123333333n n n n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111112113333n n n -+-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ 所以113n nn T +=- 又()213521n n ++++-=所以231123n n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭---------------------12分。

2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12π B． 4π C．3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ 是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。

题答 要 不 内 线 封密号 学名 姓级 班校 学炎德·英才大联考长沙市一中2012届高三月考试卷(五)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人:李运群 审题人:杨文新(考试范围:集合㊁逻辑㊁算法㊁函数㊁导数㊁三角函数㊁平面向量㊁复数㊁计数原理㊁数列㊁推理与证明㊁不等式㊁概率与统计㊁空间几何体㊁4-1㊁4-4㊁4-5㊁4-7) 本试题卷包括选择题㊁填空题和解答题三部分,共8页㊂时量120分钟㊂满分150分㊂得分:一㊁选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知m 1+i =1-n i ,其中m ,n 是实数,i 是虚数单位,则m +n i =A .2+iB .1-2iC .1+2iD .2-i 2.设集合A ={1,2},则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数为A .1B .3C .4D .83.下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A .6B .8C .16D .244.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的n值是A .3B .4C .5D .65.已知函数f (x )=3s i n 2ωx +2c o s 2ωx 的一条对称轴为x =π3,且0<ω<2,则f (x )的一个对称中心为A .(-π6,0)B .(-π6,1)C .(π4,0)D .(π4,1)6.如图,四边形O A B C 是边长为1的正方形,O D =3,点P 在△B C D 内(含边界)运动,设→O P =α→O C +β→O D ,则α+β的最大值等于A .14B .43C .13D .17.已知函数f (x )=-2x ,x >0e x,x ≤{,若关于x 的方程f [f (x )]=k 有实数解,则实数k 的取值范围是A .(0,+∞)B .[-2,0)∪(0,1)C .(-∞,1)D .[-2,+∞)8.设函数f (x )=x 2-a x +a +3,g (x )=a x -2a ,(其中a ∈R ),若存在x 0∈R ,使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时∙∙成立,则实数a 的取值范围是A .(7,+∞)B .(0,4)∪(7,+∞)C .(-∞,-7)∪(4,+∞)D .(-∞,-2)∪[6,+∞)选择题答题卡题 号12345678答 案二㊁填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第9㊁10㊁11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题给分.)9.不等式|x -1|+|x +2|≥5的解集为 .10.如图,P A B 是半径为5的圆O 的一条割线,P A =2,A B=6,P C 是圆O 的一条切线,C 为切点,则四边形P A O C 的面积为 .11.某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良,现决定优选加工温度,试验范围为20℃~33℃,精确到±1℃,现技术员准备用分数法进行优选,则第一个试点为 .(二)必做题(12~16题)12.(x +1x)9展开式中的常数项为 .13.已知实数x ,y 满足4x 2+4y 2-5x y =5,则S =x 2+y 2的最大值为 .14.为了了解高三学生的身体状况,调查了部分男生的体重,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频数成等差数列,第2小组的频数为12,则抽取的男生人数是 .15.如图,矩形O A B C由直线x=0,x=a,y=0,y=8a围成,其中a∈(0,π),阴影部分是曲线y=s i n x下方区域在矩形O A B C内的部分,向矩形O A B C内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为316,则a的值是 .16.设Z={1,2, ,n},对Z的任一非空子集M,M中的最大数与最小数之和定义为M的特征.(1)若n=4,则Z的所有非空子集的特征的平均数为 ;(2)若n=k,则Z的所有非空子集的特征的平均数为 .三㊁解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在△A B C中,已知a㊁b㊁c分别为三个内角A㊁B㊁C的对边,锐角∙∙B满足s i n B=74.(1)求s i n2B+c o s2A+C2的值;(2)若b=2,当a c取最大值时,求△A B C的面积.18.(本小题满分12分)某种家用电器每台的销售利润与该电器无故障使用时间t (单位:年)满足如下关系:若t ≤1,则销售利润为0元;若1<t ≤3,则销售利润为100元;若t >3,则销售利润为200元.已知这种家用电器无故障使用时t ≤1,1<t ≤3和t >3这三种情况的发生是随机的,且发生的概率分别为16,13,12.(1)求销售一台这种电器的利润ξ的期望;(2)求销售3台这种家用电器的利润和恰为300元的概率.19.(本小题满分12分)已知直四棱柱A B C D A1B1C1D1中,底面A B C D是直角梯形,其中∠C D A=∠D A B=90°,D D1=D C= 2A D=2A B.(1)求证:D1C⊥A C1;(2)设E是D C上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1B D,并说明理由.20.(本小题满分13分)饮料公司制造并出售某品牌圆柱形瓶装饮料,瓶子的制造成本包括瓶身和瓶底(瓶底指上底和下底),其中每单位平方厘米的造价成本瓶身为0.1分/c m2,瓶底为0.25分/c m2,要求制造的圆柱形瓶的容量为定值V(c m)3的饮料,设瓶底半径为r c m,瓶高为h c m.(1)当底半径r为多少时,能使制造成本最低?此时h r为多少?(2)饮料公司为了保证其独特的外形特征,规定h r在某一范围内取值.若要使hr≥a,a为给定正实数,则当r为多少时,可使瓶子制造成本最低?21.(本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n+S n=6-62n,设b n=2n㊃a n.(1)求证:数列{b n}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=a n㊃b n+1,若任意n∈N+,总有T n≤m成立,求实数m的取值范围.(3)设数列{c n}的通项公式为c n=2n(n∈N+),若i,j均为正整数,且1≤i≤j≤n,求所有可能的乘积c i㊃b j(如下图中的数阵)的和R n.c1b1c1b2 c2b2c1b3 c2b3 c3b3c1b4 c2b4 c3b4 c4b4c1b n c2b n c3b n c n b n22.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x+x l n x,g(x)=x-l n x-2.(1)若x0是函数g(x)在(1,+∞)的一个零点,且x0∈(n,n+1),n∈Z,求n的值;(2)若k∈Z且k<f(x)x-1对任意x>1恒成立,求k的最大值; (3)设函数F(x)=2g(x)+x2+(a-2)x+4,其导函数F'(x),若函数F(x)的图象交x轴于C(x1,0),D(x2,0)两点,且线段C D的中点为N(x0,0),试问x0是否为方程F'(x)=0的根,请说明理由.。

第4题图7983456739 〔第3题〕卜人入州八九几市潮王学校高三数学5月回归性考试试题参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝(x i －)2，其中＝x i ．一、填空题{|0}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，假设B A ⊆，那么实数a 的取值范围是2.i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，那么=||z ______ 3.某老师根本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图如下列图，那么去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的HY 差为．〔茎表示十位数字，叶表示个位数字〕4.三角形的顶点为(24)(12),(23)A B C --，，，，,那么BC 边上的高AD 所在的直线方程为 5．阅读如下列图的程序框图，运行相应的程序，那么输出的结果是上任取一点M ，那么AM 小于AC 的概率．α，β ①m ⊥α，m ⊂β，那么α⊥β；②假设m ⊥n ，m ⊥α，那么n ∥α；③假设α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，那么n ∥α且n ∥β． ④假设m ∥α，α⊥β，那么m ⊥β．22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，那么2PF 等于9．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=x x f ，那么不等式0)(≤x f 的解集是__________________．x,y 满足240,10,1x y x y x +-≥--≤≥，那么1y x+的取值范围是 11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比q=2,101023S =,那么246810S S S S S ++++的值是ABC DD 1C 1 B 1A 112.111122(,),(,)P x y P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12()POP θθ∠=为钝角.假设3sin()45πθ+=，那么1212x xy y +的值是13．如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD的最大值为_________．2(),f x x ax b =++存在实数0x ，且有03x ≥，使得0()0f x =，那么224a b +的最小值二、解答题〔本大题一一共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=．〔1〕求函数)(x f 的单调递增区间；〔2〕将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解. 16.如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： 〔1〕1AA BD ⊥；〔2〕11//BB DD .17.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的点S 〔x ，y 〕到点M 〔1，0〕的间隔与它到直线4x =的间隔之比为12〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕假设点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在曲线C 上，22124x x +=且点A 在第一象限，点P 在第二象限，点B 与点A 关于原点对称，求三角形△PAB 的面积.18.某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由场调查可知：每件产品获利a 元，在不作广告宣传的前提下可卖出b 件；假设作广告宣传，广告费为+1()n n N ∈千元时比广告费为n 千元时多卖出+12n b件，设作n ()n N ∈千元广告时销售量为n C 件.（1）试写出销售量n C 与n ()n N ∈的函数关系式.（2）当a =10，b =4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？〔第16题〕ABCD}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ． 〔1〕求证：数列{}nb 是等差数列；〔2〕求数列}{n a ，}{nb 的通项公式；〔3〕设12111nnS a a a =+++，假设对任意*N ∈n ，不等式nn na b aS -<22恒成立，务实数a 的取值范围．2()xax f x e=，直线1y x e=为曲线()y f x =的切线．〔1〕务实数a 的值；〔2〕用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数1()min{(),}(0)g x f x x x x=->，假设函数2()()h x g x cx =-为增函数，务实数c 的取值范围． 附加21b.如图，求垂直投影到直线y x =-上的投影变换矩阵.21c.在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程. (2)求圆C 1与C 2的公一共弦的极坐标方程．22.甲乙两人进展围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，那么断定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果互相HY ． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.假设12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，那么称A 具有性质P .〔1〕假设1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A具有性质P ； 〔2〕假设b ，数集{}A b =-具有性质P ，求b 的值；〔3〕假设数集{}121,,,,n A x x x =-〔其中120n x x x <<<<，2n ≥〕具有性质P ，11x =，BA Oxy2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤。

2012年高三理科数学上册第一次月考试题(含答案)白鹭洲中学2012年高三年级第一次月考数学试题(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。

第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内)1．已知集合为（）A．（1，2）B．C．D．2．“非空集合M不是P的子集”的充要条件是（）A．B．C．又D．3.函数的零点个数为（）.A.0B.1C.2D.34．设函数，若时，有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知，则下列函数的图象错误的是（）6．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．7.已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为，则事件发生的概率为（）A．B．C．D．8．2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．18种B．36种C．48种D．72种9．已知定义在上的函数满足，且的导函数则不等式的解集为（）A.B.C.D.10．设函数，其中表示不超过的最大整数,如，若有三个不同的根,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上)。

11．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．12．若是上的奇函数，则函数的图象必过定点.13.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围.14．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为____________（结果用数字表示）．15.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数x最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数.则其中真命题是__．（请填写序号）三、解答题：(本大题6小题，共75分。

绝密 ★ 启封并使用完毕前湖南省长望浏宁四市县区2012届高三5月联考试题数学（理科）试题时量:120分钟 总分:150分做答要求：1．考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请举手提出更换要求；2．请在试卷和答题卡指定位置规范填涂考生信息；3．所有答案必须全部填涂和填写到答题卡上，凡是答在试卷上的答案一律无效。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设全集错误！未找到引用源。

，集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则图中的阴影部分表示的集合为A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz ”成立的A ．充分非必要条件； B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3．为得到函数y=cos(x+错误！未找到引用源。

)的图象，只需将函数y ＝sinx 的图象A.向左平移错误！未找到引用源。

个长度单位B.向右平移错误！未找到引用源。

个长度单位C.向左平移错误！未找到引用源。

个长度单位D.向右平移错误！未找到引用源。

个长度单位4．11．近年来，能源消耗大幅攀升、机动车保有量急增，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.如下左图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月 “pm2.5”含量不达标的天数为A ．2B ．3C ．28D ．27小时平均浓度/立方米）60/340/35. 已知某几何体的三视图如上右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A. 错误！未找到引用源。

2012届高三全真模拟考试试卷文科数学时量：120分钟，满分：150分．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．姓 名 某某号祝同学们考试顺利！参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷一、选择题（共9个小题，每小题5分，共45分）1．设集合{}{}32,2,,1，B p A =-=，则“p=3”是“B B A =⋂”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．复数22(3)(23)()Z a a a a i a R =-+--∈对应的点在虚轴上，则（ ） A ．0a = B ．31a a ≠≠-或 C ．31a a ≠≠-且 D ．30a a ==或 3．命题“∈∃x R,0123=+-x x ”的否定是（ ） A ．∈∃x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R, 0123≠+-x x C ．∈∀x R,0123=+-x xD ．∈∀x R, 0123≠+-x x4．函数)1(12)(---=x g x x f 的定义域是（ ）A ．[2，+∞）B ．（-∞，2）C ．（1，2]D ．（1，+∞）5．为了研究人体的脂肪百分比与年龄之间的关系，甲同学选取年龄为23，39，45，50，54，57，60共7组数据求得回归直线1l ，记年龄和脂肪含量的平均值为11(,)x y ；乙同学选取年龄为27，41，49，53，56，58，61共7组数据求得回归直线2l ，记年龄和脂肪含量的平均值为22(,)x y ；丙同学利用甲、乙选取的共14组数据求出回归直线3l ．则下列说法正确的是（ ）A ．点22(,)x y 必在直线1l 上B ．点11(,)x y 必在直线2l 上C ．若1l ，2l 交于点1212(,)22y y x x ++，则1l ，2l ，3l 三线共点 D ．用回归直线3l 估算35岁的脂肪含量比用1l ，2l 估算更接近实际6．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④7．在区间（0，1）内随机地取两个数，则这两个之和小于 1.5的概率为（ ） A ．78B ．18 C ．35 D ．458．若10,,,|1|y x y R y x -≤⎧∈⎨≥-⎩且则2x y +的最大值是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．29．若函数y f (x )(x R )=∈满足1f (x )f (x )+=-，且[-1,1]x ∈时21f (x )x =-，函数010lg x(x )g(x )(x )x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h(x )f (x )g(x )=-在区间[5-，4]内的零点的个数为( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请在第10,11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 10. （极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知曲线C 的方程是θρsin 4=，过点)6,4(π作曲线C 的切线，则切线长等于. 11．（优选法与试验设计初步）某单因素单峰试验的因素X 围内由若干个离散的点组成，若用分数法寻找最佳点时的精度为18，则需做实验的次数为_______. （二）必做题（12～16题） 12．阅读下面的程序框图，若输入的,m n 的值分别是48，36，则输出的m 的值是______________主视图 左视图13.若抛物线28y x =的焦点在直线:cos sin 10l x y θθ++=(0)θπ<<上，则直线l 的倾斜角为14.如右图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，6,4BC AC ==，向量CB AC ,的夹角为120º，则CD CB ⋅等于 .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为2(1)n S a n a =++，若某三角形的三边之比为234::a a a ，则该三角形的最大内角是. 16．某同学在研究函数()(1,)y f x x x =∈R ≥的性质，他已经正确地证明了函数()f x 满足：(3)3()f x f x =，并且当13()1|2|x f x x =--≤≤时，，这样对任意1x ≥，他都可以求()f x 的值了．则（1）(8)f =；（2）集合{|()(99)}M x f x f ==中最小的元素是.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17. 已知向量(2sin,3sin )44x x a =，(cos ,2sin )44x xb =-，设()3f x a b =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期.（2）当[]0,x π∈时，求函数()f x 的最大值及最小值.18．某公司有1000名职工，既有老年人，也有中年人和青年人，分布在公司的管理、技术研发、营销、生产各部门，具体人数情况如下表：人数 管理 技术研发 营销 生产 总计 老年人 20 20 20 40 100 中年人 40 60 80 120 300 青年人 20 80 140 360 600 总计801602405201000（1） 现公司准备召开一个25人的有关劳资问题的座谈会，公司决定用分层抽样的方法抽取25人，问各部门分别抽取多少人？（2） 在（1）的前提下，要从管理和技术研发两个部门抽取的人员中随机抽2人，调查他们对当前房价问题的看法，求所抽的2人来自不同部门的概率．19． 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE ∆沿DE 折起，如图所示．设二面角A —DE —C 的大小为90︒．（1）证明：//BF 平面ADE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，求三棱锥A —CDE 的体积．20． 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈． （1）令21xt x =+, []0,24x ∈，直接写出t 的取值X 围；（可以不要写演算写过程） （2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ；（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不超过2称为“环保达标”，试问a 应控制在什么X 围内才能“环保达标”？21．已知圆C 的方程是：224x y +=，P 是圆C 上任意一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，M 为PD 的中点．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与轨迹E 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，已知1122(,2),(,2)m x y n x y ==，若m n ⊥．试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.22．已知函数2*()(1)2ln ()kf x x x k N =--⋅∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当k 是偶数时，正项数列{}n a 满足21131,()n n na a f a a +-'==． ①求数列{}n a 的通项公式；②若2212nn n n b a a +=⋅，记123n n S b b b b =++++，求证：1n S <．（3）当k 是奇数时，是否存在实数b ，使得方程23()2f x x x b =++在区间（0，2]上恰有两个相异实根？若存在，求出b 的X 围；若不存在，说明理由．2012届高三全真模拟考试文科数学参考答案一、选择题（共9个小题，每小题5分，共45分）1．设集合{}{}32,2,,1，B p A =-=，则“p=3”是“B B A =⋂”的(C ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．复数22(3)(23)()Z a a a a i a R =-+--∈对应的点在虚轴上，则（ D ） A ．0a = B ．31a a ≠≠-或 C ．31a a ≠≠-且 D ．30a a ==或 3．命题“∈∃x R,0123=+-x x ”的否定是（ D ） A ．∈∃x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R, 0123≠+-x x C ．∈∀x R,0123=+-x xD ．∈∀x R, 0123≠+-x x4．函数)1(12)(---=x g x x f 的定义域是（ C ）A ．[2，+∞）B ．（-∞，2）C ．（1，2]D ．（1，+∞）5．为了研究人体的脂肪百分比与年龄之间的关系，甲同学选取年龄为23，39，45，50，54，57，60共7组数据求得回归直线1l ，记年龄和脂肪含量的平均值为11(,)x y ；乙同学选取年龄为27，41，49，53，56，58，61共7组数据求得回归直线2l ，记年龄和脂肪含量的平均值为22(,)x y ；丙同学利用甲、乙选取的共14组数据求出回归直线3l ．则下列说法正确的是（ C ）A ．点22(,)x y 必在直线1l 上B ．点11(,)x y 必在直线2l 上C ．若1l ，2l 交于点1212(,)22y y x x ++，则1l ，2l ，3l 三线共点 D ．用回归直线3l 估算35岁的脂肪含量比用1l ，2l 估算更接近实际6．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是( C )A ．①B ．②C ．③D ．④7．在区间（0，1）内随机地取两个数，则这两个之和小于 1.5的概率为（ A ）A ．78B ．18 C ．35 D ．458．若10,,,|1|y x y R y x -≤⎧∈⎨≥-⎩且则2x y +的最大值是（ C ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．29．若函数y f (x )(x R )=∈满足1f (x )f (x )+=-，且[-1,1]x ∈时21f (x )x =-，函数010lg x(x )g(x )(x )x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h(x )f (x )g(x )=-在区间[5-，4]内的零点的个数为( A )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请在第10,11两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 10. （极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知曲线C 的方程是θρsin 4=，过点)6,4(π作曲线C 的切线，则切线长等于22. 11．（优选法与试验设计初步）某单因素单峰试验的因素X 围内由若干个离散的点组成，若用分数法寻找最佳点时的精度为18，则需做实验的次数为___4____. （二）必做题（12～16题） 12．阅读下面的程序框图，若输入的,m n 的值分别是48，36，则输出的m 的值是_____12_________ 13.若抛物线28y x=的焦点在直线:cos sin 10l x y θθ++=(0)θπ<<上，则直线l 的倾斜角为 30︒14.如右图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，6,4BC AC ==，向量CB AC ,的夹角为120º，则CD CB ⋅等于 24 .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为2(1)n S a n a =++，若某三角形的三边之比为234::a a a ，则该三角形的最大内角是120︒.主视图 左视图16．某同学在研究函数()(1,)y f x x x =∈R ≥的性质，他已经正确地证明了函数()f x 满足：(3)3()f x f x =，并且当13()1|2|x f x x =--≤≤时，，这样对任意1x ≥，他都可以求()f x 的值了．则（1）(8)f = 1 ；（2）集合{|()(99)}M x f x f ==中最小的元素是 45 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17. 已知向量(2sin)44x x a =，(cos ,2sin )44x xb =-，设()3f x a b =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期.（2）当[]0,x π∈时，求函数()f x 的最大值及最小值. 解：先由已知得()2sin()23x f x π=+…………………..（4分） （1）()f x 的最小正周期4T π=………………..（6分）（2）当[0,]x π∈时，5[,]2336x πππ+∈，所以1sin()1223x π≤+≤，故12sin()223x π≤+≤ 所以函数()f x 的最大值为2，最小值为1．………………..（12分）18．某公司有1000名职工，既有老年人，也有中年人和青年人，分布在公司的管理、技术研发、营销、生产各部门，具体人数情况如下表：（3） 现公司准备召开一个25人的有关劳资问题的座谈会，公司决定用分层抽样的方法抽取25人，问各部门分别抽取多少人？（4） 在（1）的前提下，要从管理和技术研发两个部门抽取的人员中随机抽2人，调查他们对当前房价问题的看法，求所抽的2人来自不同部门的概率．解：（1）管理、技术研发、营销、生产各部门分别抽取2，4，6，13人…………..（6分） （2）所求概率815p =…………..（12分） 19． 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE ∆沿DE 折起，如图所示．设二面角A —DE —C 的大小为90︒．（1）证明：//BF 平面ADE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，求三棱锥A —CDE 的体积．解：（1）略 （2）4515V =（每问6分）20． 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈． （1）令21xt x =+, []0,24x ∈，直接写出t 的取值X 围；（可以不要写演算写过程） （2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ； （3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不超过2称为“环保达标”，试问a 应控制在什么X 围内才能“环保达标”？解（1）t 的取值X 围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………..（4分）（2）由（1）知t 的取值X 围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，记()223g t t a a =-++ 则()23,0321,32t a t a g t t a a t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪++<≤⎪⎩∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且()()2171103,,0232624g a g a g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()()1171,0,024********,0,34242g a a a M a a a g a ⎧⎛⎫⎧≤≤+≤≤ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪+<≤<≤⎪⎪⎩⎩.…………..（10分）（5） 当104a ≤≤时，7()26M a a =+<， 当1142a <≤，令2()323M a a =+≤，得1449a <≤ 综上知当a 控制在4[0,]9X 围内，才能“环保达标”．…………..（13分）21．已知圆C 的方程是：224x y +=，P 是圆C 上任意一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，M 为PD 的中点．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与轨迹E 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，已知1122(,2),(,2)m x y n x y ==，若m n ⊥．试问：AOB ∆的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解：（1）利用相关点法可求点M 的轨迹方程为2214x y +=…………..（5分）（2）①当直线l 的斜率不存在时，1212,x x y y ==-，则由m n ⊥可得121240x x y y +=即221140x y -=，而221114x y +=，由上两式可解得1x =1y =此时1111|||2|2122AOB S x y ∆=⋅==为定值；…………（8分） ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，并整理得222(41)8440k x kmx m +++-=， 则222222644(41)(44)16(14)k m k m k m ∆=-+-=+-2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，（1） …………（10分） 由m n ⊥可得121240x x y y +=，即12124()()0x x kx m kx m +++=所以221212(14)4()40k x x km x x m ++++=，将（1） 代入得：22222448(14)4401414m km k km m k k --+⋅+⋅+=++，化简可得：22142k m += 由弦长公式可得224||||22m AB m m === 由点到直线的距离公式可得原点O 到直线AB的距离为d =所以AOB ∆的面积2114||||1222AOB m S AB d m ∆=⋅=⋅=为定值 综上知，AOB ∆的面积总为定值1．…………（13分）22．已知函数2*()(1)2ln ()k f x x x k N =--⋅∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当k 是偶数时，正项数列{}n a 满足21131,()n n n a a f a a +-'==． ①求数列{}n a 的通项公式； ②若2212nn n n b a a +=⋅，记123n n S b b b b =++++，求证：1n S <．（3）当k 是奇数时，是否存在实数b ，使得方程23()2f x x x b =++在区间（0，2]上恰有两个相异实根？若存在，求出b 的X 围；若不存在，说明理由．解：（1）由已知得0x >，且2()2(1)k f x x x'=--⋅ 当k 为奇数时，则()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上是增函数；当k 为偶数时，则22(1)(1)()22x x f x x x +-'=-=，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数．故当k 为偶数时，()f x 在（0，1）是减函数，在(1,)+∞是增函数；…………（5分）（2）①由已知得21322n n n na a a a +--=，即2212(1)1n n a a ++=+，而21120a +=≠ 所以{}21n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，故211222n n n a -+=⋅=，而{}n a 是正项数列，从而可得n a = …………（7分） ②由2212n n n n b a a +=⋅，可得11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==----- 所以12312231111111212121212121n n n n S b b b b +=++++=-+-++------- 111121n +=-<-…………（10分）（3）当k 为奇数时，2()2ln f x x x =+，假设存在实数b ，使方程使23()2f x x x b =++在区间（0，2]上恰有两个相异实根．等价于方程212ln 02x x x b ---=在区间（0，2]上恰有两个相异实根．令21()2ln 2h x x x x b =---， 则222(2)(1)()1x x x x h x x x x x--+-+-'=--==， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,2]x ∈时，()0h x '<所以()h x 在（0，1）上是增函数，在（1，2]上是减函数所以要使方程212ln 02x x x b ---=在区间（0，2]上恰有两个相异实根，等价于 3(1)032ln 2422(2)2ln 240h b b h b ⎧=-->⎪⇒-≤<-⎨⎪=--≤⎩ 故存在实数b ，当3[2ln 24,)2b ∈--时，方程23()2f x x x b =++在区间（0，2]上恰有两个相异实根． …………（13分）。

2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠AC D即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。