立体几何测试题1
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A BCDEFGH I J立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行;④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。
其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角,点C 到达点C 1,这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( ) A .22B .21C .43D .43 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为( )A .23B .32C .6D .64. 如图,在正三角形ABC 中,D 、E 、F 分别为各边的中点,G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为( ) A .90° B .60° C .45° D .0°5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长 为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ,EF 在AB 上滑动,且|EF |=b (b <a =,Q 点在D ′C ′上滑动,则四面体A ′—EFQ 的体积( ) A .与E 、F 位置有关 B .与Q 位置有关 C .与E 、F 、Q 位置都有关 D .与E 、F 、Q 位置均无关,是定值7. 三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O ,点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3,PO=214,则P 到这三个平面的距离分别是( ) A .1,2,3 B .2,4,6 C .1,4,6 D .3,6,98. 如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积分别是S 1, S 2,则必有( ) A .S 1<S 2 B .S 1>S 2C .S 1=S 2D .S 1,S 2的大小关系不能确定 9. 条件甲:四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙:这个四棱锥是正四棱锥,则条件甲是条件乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P ,P 在底面上的射影为O ,PO=a ,现用平行于底面的平面去截这个棱锥,截面交PO 于点M ,并使截得的两部分侧面积相等,设OM=b ,则a 与b 的关系是( )CC .b =222a- D .b =222a+ 11. 已知向量a =(2,4,x),b =(2,y ,2),若|a |=6,a ⊥b ,则x+y 的值是 ( )12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2,这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是( )A.12πB. 18πC.36πD. 6π13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A .34000cm 3 B .38000cmC .32000cm D.34000cm14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )A.1200B.1500 C.1800 D.240015. 在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动,长为3的线段MN 在棱CC 1上移动,点R 在棱BB 1上移动,则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A .6 B .10 C .12 D .不确定17. 已知三棱锥O -ABC 中,OA 、OB 、OC 两两互相垂直,OC =1,OA =x ,OB =y ,若x+y=4,则已知三棱锥O -ABC 体积的最大值是 ( )A.1B.13 C.23 D.318. 如图,在正四面体A -BCD 中,E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心,则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A .①③ B .②③④ C .③④ D .②④19. S,那么圆柱的体积等于 ( ) A.S 2S B.πS 2S C.S 4SD.πS 4S 20. 已知直线AB 、CD 是异面直线,AC ⊥AB ,AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,且AB=2,CD=1,则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )A .300B .450C .600D .750(1,1,0)a = (1,0,2)b =- 正视图 侧视图 B A D C A BC DA 1B 1C 1D 1P Q R NM ① ② ③ ④A B C ∙∙∙EF GA B C DA 1B 1C 1D 1 αA A .1 B .51 C .53 D .57 22. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ( )A.4个B.2个C.3个D.1个23. 三棱锥A-BCD 中,AC ⊥BD ,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC//平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积的比为1:3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为( )A.1:3B.1:2C.1: 3D.1: 3 —126. 正四面体P —ABC 中,M 为棱AB 的中点,则PA 与CM 所成角的余弦值为( )A. 3 2B. 3 6C. 3 4D. 3 327. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直,且长度分别为1, 6 ,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上,则这个球的表面积为( ) A.16π B.32π C.36π D.64π28. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中,P 、Q 是对角线A 1C 上的点,PQ=a2,则三棱锥P —BDQ的体积为( ) A.318a 3 B.324a 3 C.336a 3 D.不确定 29. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则P 到平面ABC 的距离为( )A. 6 6B. 6 3C. 3 6D. 3 330. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( )A. 3 +2 6 3B.2+2 6 3C.4+ 2 6 3D.4 3 +2 6 331. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是( ) A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 332. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,任作平面α与对角线AC 1垂直,使得α与正方体的每个面都有公共点,设得到的截面多边形的面积为S ,周长为l ,则( ) A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与l 均为定值 D.S 与l 均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______.34. 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:( )①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7以上结论正确的为______________.(写出所有正确结论的编号)35. 如图,已知正三棱柱111ABC ABC -的底面边长为1,高为8,一质点自A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为.36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_____对37. 如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的 多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6, CC 1=3.则这个多面体的体积为 .38. 如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的 中点,则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ . 39. 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面为直角三角形,∠ACB =90︒,AC =6,BC =CC 1,P是BC 1上一动点,则CP +PA 1的最小值是_________. 40. 已知平面α和平面β交于直线l ,P 是空间一点,PA ⊥α,垂足为A ,PB ⊥β,垂足为B ,且PA=1,PB=2,若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合,则点P 到l 的距离为 ___________ .41. 若三角形内切圆半径为r ,三边长为a,b,c ,则三角形的面积S= 12r (a+b+c ) ,根据类比思想,若四面体内切球半径为R ,四个面的面积为S 1,S 2,S 3,S 4,则四面体的体积V=______________.42. 四面体ABCD 中,有如下命题:①若AC ⊥BD ,AB ⊥CD ,则AD ⊥BC ;②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小;③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心,则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心;④若四个面是全等的三角形,则ABCD 为正四面体 _ (填上所有正确命题的序号). 三、解答题43. 在长方体1111D C B A ABCD -中,已知3,41===DD DC DA ,求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小(结果用反三角函数值表示).44. 如图,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。
大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,M是BC的中点,N是AB1的中点,P是B1C1的中点.(1)证明:MN⎳平面A1CP;(2)求点P到直线MN的距离.2(2024·安徽合肥·二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD= 60°,M是侧棱PC的中点,侧面PAD为正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD.(1)求三棱锥M-ABC的体积;(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值.3(2023·福建福州·模拟预测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2,A1B=6.(1)设D为AC中点,证明:AC⊥平面A1DB;(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值.4(2024·山西晋中·三模)如图,在六面体ABCDE中,BC=BD=6,EC⊥ED,且EC=ED= 2,AB平行于平面CDE,AE平行于平面BCD,AE⊥CD.(1)证明:平面ABE⊥平面CDE;(2)若点A到直线CD的距离为22,F为棱AE的中点,求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值.5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.(1)求点P到平面ABC1的距离;(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,CD= 2AB,△PAB是正三角形,点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC.(1)证明:PM=2BM;(2)若侧面PAB⊥底面ABCD,CM与底面ABCD所成角的正切值为311,求二面角P-AC-B的余弦值.7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日,中央农村工作会议在北京召开,习近平主席对“三农”工作作出指示.某地区为响应习近平主席的号召,积极发展特色农业,建设蔬菜大棚.如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架,四边形ABCD是矩形,AB=8m,AD=4m,ED=CF=1m,且ED,CF都垂直于平面ABCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG⊥平面ABCD.(1)求点H到平面ABCD的距离;(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值.8(2024·重庆·模拟预测)如图,ACDE为菱形,AC=BC=2,∠ACB=120°,平面ACDE⊥平面ABC,点F在AB上,且AF=2FB,M,N分别在直线CD,AB上.(1)求证:CF⊥平面ACDE;(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线,若∠EAC=60°,MN为直线CD,AB的公垂线,求ANAF的值;(3)记直线BE与平面ABC所成角为α,若tanα>217,求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围.9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°,使得CD 到EF 的位置,得到如图所示的几何体.(1)求证:平面ACF ⊥平面BDE ;(2)点M 为DF 上一点,若二面角C -AM -E 的余弦值为13,求∠MAD .10(2024·安徽黄山·二模)如图,已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径,C 是圆O 1上异于A ,B 的点,D 是圆台上底面圆O 2上的点,且平面DAC ⊥平面ABC ,DA =DC =AC =2,BC =4,E 是CD 的中点,BF =2FD .(1)证明:DO 2⎳BC ;(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22,A 1B 1=12AB ,M 为BC 中点,已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ,其中λ∈0,1 .(1)求证D 1P ⊥AC ;(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37,当λ=23时,求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值.12(2024·辽宁·三模)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2,AB =1,BC =3,点E 为线段AC 的中点.(1)求证:AB 1∥平面BEC 1;(2)若∠A 1AC =π3,求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,△DCP是等边三角形,∠DCB=∠PCB=π4,点M,N分别为DP和AB的中点.(1)求证:MN⎳平面PBC;(2)求证:平面PBC⊥平面ABCD;(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD 为直角梯形,△PAD为等边三角形,AD⎳BC,AD⊥AB,AD=AB=2BC=2.(1)求证:AD⊥PC;(2)点N在棱PC上运动,求△ADN面积的最小值;(3)点M为PB的中点,在棱PC上找一点Q,使得AM⎳平面BDQ,求PQQC的值.15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示,圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形,AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点,且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证:C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C⊥底面ABC,且AB= AC,A1B=A1C.(1)证明:AA1⊥平面ABC;(2)若AA1=BC=2,∠BAC=90°,求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值.17(2024·河北保定·二模)如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行,PA ⊥平面ABCD ,直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32,PA =BC =23,CD =2AB =4.(1)证明:四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ,求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图,在圆锥PO 中,P 是圆锥的顶点,O 是圆锥底面圆的圆心,AC 是圆锥底面圆的直径,等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形,E 是圆锥母线PC 的中点,PO =6,AC =4.(1)求证:平面BED ⊥平面ABD ;(2)设点M 在线段PO 上,且OM =2,求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形,∠DAB =60°,PA =PC ,PB =PD =210,M 是线段PC 上的点,且PC =4MC .(1)证明:PC ⊥平面BDM ;(2)点E 在直线DM 上,求BE 与平面ABCD 所成角的最大值.20(2024·湖南·二模)如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形,∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积;(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ,点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出),求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23,平面PCB⊥平面ABCD,F为线段BC的中点,E为线段PF上一点.(1)证明:PF⊥AD;(2)当EF为何值时,直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=60°,E为CD 的中点,将△ADE沿AE折起,连结BD,CD,且BD=4,如图2.(1)求证:图2中的平面ADE⊥平面ABCE;(2)在图2中,若点F在棱BD上,直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010,求点F到平面DEC 的距离.23(2024·福建·模拟预测)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6,已知二面角P-AB-C的大小为θ,∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离;(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时,求:(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值;(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图,在多面体ABCDPQ中,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点,PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD.(1)证明:∠ABQ=90°;(2)若多面体ABCDPQ的体积为152,求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值.25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA∥QD,BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明:平面PCD⊥平面PAC;(2)若PQ=22,求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=4,AC=2,∠CAB=60°,BC⊥AP.(1)证明:平面ACP⊥平面ABC;(2)若PA=2,PB=4,求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图,在正三棱锥A -BCD 中,BC =CD =BD =4,点P 满足AP =λAC ,λ∈(0,1),过点P 作平面α分别与棱AB ,BD ,CD 交于Q ,S ,T 三点,且AD ⎳α,BC ⎳α.(1)证明:∀λ∈(0,1),四边形PQST 总是矩形;(2)若AC =4,求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1.在菱形ABCD 中,∠ABC =120°,AB =4,AE =λAD ,AF =λAB (0<λ<1),沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP .如图2所示,设二面角P -EF -B 的平面角为θ.(1)当λ为何值时,三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时,∀λ∈0,1 ,平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ,n ,其中m ,n 与α的交点分别为A ,B ,AB =1,设直线m 与n 之间的夹角为π3,(1)如图1,若直线m ,n 交于点C ,求点C 到平面α距离的最大值;(2)如图2,若直线m ,n 互为异面直线,直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α,PQ ⊥n 且PQ ⊥m ,(i )求直线m ,n 与平面α的夹角之和;(ii )设PQ =d 0<d <1 ,求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d .30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示,四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 为一个菱形,且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ,O 1. AB =2A 1B 1=2,BB 1=DD 1=392,AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明:OO 1⊥平面ABCD ;(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角,旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343,此时求θ的值(θ<90°);(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.。
第八章《立体几何初步》章末检测一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、列说法中,正确的是()B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形2、一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示,其中O′C′⊥x′轴,A′B′⊥x′轴,B′C′∥y′轴,则四边形OABC的面积为()A.322B.32C.3 D.323、如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为()A.4+42B.4+43C.12 D.8+4 2 4、已知三棱台ABC-A1B1C1中,三棱锥A-A1B1C1的体积为4,三棱锥A1-ABC 的体积为8,则该三棱台的体积为()A.12+3 3 B.12+4 2C.12+4 3 D.12+475、如图1,正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,D是EF的中点,如图2,沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EGF中()A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF6、设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,p:m⊥n,若p是q 的必要条件,则q可能是()A.q:m⊥α,n∥β,α⊥βB.q:m⊂α,n⊥β,α∥βC.q:m⊥α,n⊥β,α∥βD.q:m⊂α,n∥β,α⊥β7、如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则AFFC的值为()A.1 B.2C.12D.238、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BC,B1C1不正确的是()A.P点在直线BC1上运动时,三棱锥A-D1PC体积不变B.Q点在直线EF上运动时,直线GQ始终与平面AA1C1C平行B1BD⊥平面ACD1D-EFG的体积为3 8二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9、设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,给出下列四个命题中,其中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a∥α,a∥β,则α∥βC.若a⊥α,b⊥α,则a∥b D.若a⊥α,a⊥β,则α∥β10、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,下列结论正确的是()A.AP与CM是异面直线B.AP,CM,DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D11、“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥,得到的半正多面体的表面积为12+43,则关于该半正多面体的下列说法中正确的是()A.AB= 2B.该半正多面体的外接球的表面积为6πC.AB与平面BCD所成的角为π4D.与AB所成的角是π3的棱共有16条12、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=1,则当E,F移动时,下列结论正确的是( )A.AE ∥平面C 1BD ACEF 的体积不为定值 A -BEF 的体积为定值 D.四面体ACDF 的体积为定值三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ,若两底面圆心的连线长为12 cm ,则这个圆台的母线长为________cm.14、在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,则点Q 满足条件________时,有平面D 1BQ ∥平面P AO . 15、已知△ABC 是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上,若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为________.16、如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是菱形,∠DAB =π3,侧面P AD 是等边三角形,且平面P AD ⊥平面ABCD ,E 为棱PC 上一点,若平面EBD ⊥平面ABCD ,则PEEC = .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(1)已知圆锥的顶点为A ,过母线AB ,AC 的截面面积是2 3.若AB ,AC 的夹角是60°,且AC 与圆锥底面所成的角是30°,求该圆锥的表面积; (2)已知三棱锥S -ABC 中,∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,SC =213,AB =2,BC =6,求三棱锥S -ABC 的体积.18、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:AB∥EF;(2)若AF⊥EF,求证:平面P AD⊥平面ABCD.19、如图,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD?若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.20、在四棱锥P-ABCD中,平面P AD⊥平面ABCD,P A=PD=2,四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠DAB=60°,E是AD的中点.(1)求证:BE⊥平面P AD;(2)求点E到平面P AB的距离.21、如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△PBC为正三角形,M,N分别为PD,BC的中点,PN⊥AB.(1)求三棱锥P-AMN的体积;(2)求二面角M-AN-D的正切值.22、在四棱锥P-ABCD中,△P AD是等边三角形,且平面P AD⊥平面ABCD,AD=2AB=2BC,∠BAD=∠ABC=90°.(1)AD上是否存在一点M,使得平面PCM⊥平面ABCD,若存在,请证明;若不存在,请说明理由;(2)若△PCD的面积为87,求四棱锥P-ABCD的体积.。
《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷(一)第I 卷(选择题)一、单选题(每题只有一个正确的选项,5分/题,共40分)1.在正四面体P ABC -中,棱长为2,且E 是棱AB 中点,则PE BC ⋅的值为( )A .1-B .1CD .732.已知PA =(2,1,﹣3),PB =(﹣1,2,3),PC =(7,6,λ),若P ,A ,B ,C 四点共面,则λ=( ) A .9B .﹣9C .﹣3D .33.下列说法正确的是( )A .任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B .空间的基底有且仅有一个C .两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D .基底{}a b c ,,中基向量与基底{}e f g ,,基向量对应相等4.若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A .l α⊂B .//l αC .l α⊥D .l 与α相交5.在正方体1111ABCD A B C D -中,M N ,分别为AD ,11C D 的中点,O 为侧面11BCC B 的中心,则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A .16B .14C .16-D .14-6.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( )A .23B .3C .3D .137.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF 的距离为( )AB .2C D 8.已知空间直角坐标系O xyz -中,()1,2,3OA =,()2,1,2OB =,()1,1,2OP =,点Q 在直线OP 上运动,则当QA QB ⋅取得最小值时,点Q 的坐标为( )A .131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B .133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C .448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D .447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项,5分/题,共20分)9.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A .11B E A B ⊥ B .平面1//B CE 平面1A BDC .三棱锥11C B CE -的体积为83D .三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10.正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点,则下列结论正确的是( )A .1B G BC ⊥ B .平面AEF 平面111AAD D AD =C .1//A H 面AEFD .二面角E AF C --的大小为4π 11.设a ,b ,c 是空间一个基底,则( ) A .若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB .则a ,b ,c 两两共面,但a ,b ,c 不可能共面C .对空间任一向量p ,总存在有序实数组(x ,y ,z),使p xa yb zc =++D .则a +b ,b +c ,c +a 一定能构成空间的一个基底12.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=,将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置,连结PC ,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .PC 与平面BCD 所成的最大角为45B .存在某个位置,使得PB CD ⊥C .当二面角P BD C --的大小为90时,PC =D .存在某个位置,使得B 到平面PDC第II 卷(非选择题)三、填空题(每题5分,共20分)13.若(2, 3, 1)a =-,(2, 0, 3)b =,(3, 4, 2)c =,则()a b c +=___________.14.已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝,A α∈,P α∉,且122PA ⎛=- ⎝,则直线PA 与平面α所成的角为______.15.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知4AB =,6AC =,8BD =,CD =________.16.如图,棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上,三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧,若顶点,B C 到平面α,则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题(17题10分,其余题目12分每题,共70分)17.如图,2BC =,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标为(2,12,0),点D 在平面yOz 上,且90BDC ∠=︒,30DCB ∠=︒.(1)求向量CD 的坐标.(2)求AD 与BC 的夹角的余弦值.18.如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都等于1,1160BAA CAA ︒∠=∠=.(1)设1AA a =,AB b =,AC c =,用向量a ,b ,c 表示1BC ,并求出1BC 的长度; (2)求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.19.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AD =,12AB AA ==,N 、M 分别是AB 、1C D 的中点.(1)求证:NM ∥平面11A ADD ; (2)求证:NM ⊥平面11A B M .20.如图,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,AC BD ⊥,1BC =,14A D A A ==.(1)证明:面1ACD ⊥面1BB D ; (2)求二面角11B AC D --的余弦值.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB DC ,E 为线段PD 的中点,已知2PA AB AD CD ====,120PAD ∠=︒.(1)证明:直线//PB 平面ACE ;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.22.如图,已知梯形ABCD 中,//AD BC ,90DAB ∠=︒,22AB BC AD ===,四边形EDCF 为矩形,2DE =,平面EDCF ⊥平面ABCD . (1)求证://DF 平面ABE ;(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值;(3)若点P 在线段EF 上,且直线AP 与平面BEF ,求线段AP 的长.答案解析第I 卷(选择题)一、单选题(每题只有一个正确的选项,5分/题,共40分)1.在正四面体P ABC -中,棱长为2,且E 是棱AB 中点,则PE BC ⋅的值为( )A .1-B .1CD .73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得:PA BC ⊥ 可得:0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选:A【点睛】本题考查空间向量的线性运算,考查立体几何中的垂直关系,考查转化与化归思想,属于中等题型.2.已知PA =(2,1,﹣3),PB =(﹣1,2,3),PC =(7,6,λ),若P ,A ,B ,C 四点共面,则λ=( ) A .9 B .﹣9C .﹣3D .3【答案】B【解析】由P ,A ,B ,C 四点共面,可得,,PA PB PC 共面,(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=,272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩,解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3.下列说法正确的是( )A .任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B .空间的基底有且仅有一个C .两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D .基底{}a b c ,,中基向量与基底{}e f g ,,基向量对应相等 【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项,空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一,所以D 错.故选C .4.若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A .l α⊂ B .//l αC .l α⊥D .l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-, 平面α的法向量为()3,6,9n =--,∴13a n =-,∴a n , ∴l α⊥. 故选C .5.在正方体1111ABCD A B C D -中,M N ,分别为AD ,11C D 的中点,O 为侧面11BCC B 的中心,则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A .16B .14C .16-D .14-【答案】A【解析】如图,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2,则()()()()1100,012,121,002M N O D ,,,,,,,,, ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--. 则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===. ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A .6.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AAAB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于() A .23B C.3D .13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===,1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF 的距离为( )AB.2CD【答案】D【解析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 则M (2,λ,2),D 1(0,0,2),E (2,0,1),F (2,2,1), 1ED =(﹣2,0,1),EF =(0,2,0),EM =(0,λ,1), 设平面D 1EF 的法向量n =(x ,y ,z ),则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ,取x =1,得n =(1,0,2),∴点M 到平面D 1EF 的距离为:d=||2||5EM n n ⋅==,N 为EM 中点,所以N到该面的故选:D .8.已知空间直角坐标系O xyz -中,()1,2,3OA =,()2,1,2OB =,()1,1,2OP =,点Q 在直线OP 上运动,则当QA QB ⋅取得最小值时,点Q 的坐标为( )A .131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B .133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C .448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D .447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ,由点Q 在直线OP 上,可得存在实数λ使得OQ OP λ=, 即(,,)(1,1,2)x y z λ=,可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+, 根据二次函数的性质,可得当43λ=时,取得最小值23-,此时448(,,)333Q . 故选:C.二、多选题(每题不止一个正确的选项,5分/题,共20分)9.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A .11B E A B ⊥B .平面1//B CE 平面1A BDC .三棱锥11C B CE -的体积为83D .三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则 (0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,1(0,0,4)A ,1(2,0,4)B ,(0,2,2)E ,所以1(2,2,2)B E =--,1(2,0,4)A B =-, 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠,所以1B E 与1A B 不垂直,故A 错误; 1(0,2,4)CB =-,(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =,则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,所以11112y z x z =⎧⎨=⎩,不妨取11z =,则11x =,12y = 所以(1,2,1)n =,同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =,故不存在实数λ使得n λm =,故平面1B CE 与平面1A BD 不平行,故B 错误; 在长方体1111ABCD A B C D -中,11B C ⊥平面11CDD C ,故11B C 是三棱锥11B CEC -的高, 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△, 故C 正确;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==,故D 正确. 故选:CD.10.正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点,则下列结论正确的是( )A .1B G BC ⊥ B .平面AEF 平面111AAD D AD =C .1//A H 面AEFD .二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知,1B G 在底面上的射影为BG ,而BC 不垂直BG , 则1B G 不垂直于BC ,则选项A 不正确;连接1AD 和1BC ,E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点, 可知11////EF BC AD ,所以AEF ∆⊂平面1AD EF , 则平面AEF平面111AA D D AD =,所以选项B 正确;由题知,可设正方体的棱长为2,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴, 则各点坐标如下:()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=,设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =,则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩,令1y =,得2,2x z ==,得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =,所以10A H n ⋅=,所以1//A H 平面AEF ,则C 选项正确; 由图可知,1AA ⊥平面AFC ,所以1AA 是平面AFC 的法向量, 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π,所以D 不正确. 故选:BC.11.设a ,b ,c 是空间一个基底,则( ) A .若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB .则a ,b ,c 两两共面,但a ,b ,c 不可能共面C .对空间任一向量p ,总存在有序实数组(x ,y ,z),使p xa yb zc =++D .则a +b ,b +c ,c +a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项,b 与,a c 都垂直,,a c 夹角不一定是π2,所以A 选项错误. 对于B选项,根据基底的概念可知a ,b ,c 两两共面,但a ,b ,c 不可能共面.对于C 选项,根据空间向量的基本定理可知,C 选项正确.对于D 选项,由于a ,b ,c 是空间一个基底,所以a ,b ,c 不共面.假设a +b ,b +c ,c +a 共面,设()()()1a b x b c x c a +=++-+,化简得()1x a x b c ⋅=-+,即()1c x a x b =⋅+-,所以a ,b ,c 共面,这与已知矛盾,所以a +b ,b +c ,c +a 不共面,可以作为基底.所以D 选项正确. 故选:BCD12.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=,将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置,连结PC ,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .PC 与平面BCD 所成的最大角为45B .存在某个位置,使得PB CD ⊥C .当二面角P BD C --的大小为90时,PC =D .存在某个位置,使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示:A 项:取BD 的中点O ,连结OP 、OC , 因为四边形ABCD 是菱形,O 是线段BD 的中点, 所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ,BD ⊂平面BCD ,所以POC ⊥平面BCD ,所以POC 平面BCDOC ,所以PC 在平面BCD 的射影为OC ,PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角,PO OC ,三角形POC 是等腰三角形,当60POC ∠=时,PC 与平面BCD 所成角为60,故A 错误; B 项:当PD PC =时,取CD 的中点N ,可得CD PN ⊥,CD BN ⊥,故CD ⊥平面PBN ,PB CD ⊥,故B 正确; C 项:因为四边形ABCD 是菱形,O 是线段BD 的中点, 所以PO BD ⊥,CO BD ⊥,因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线, 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角,因为二面角P BD C --的大小为90,所以90POC ∠=,因为PO OC ==PC =C 正确;D 项:因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ,2PB =,BN =1PN =,1DN =,则PD =D 错误,故选:BC.第II 卷(非选择题)三、填空题(每题5分,共20分)13.若(2, 3, 1)a =-,(2, 0, 3)b =,(3, 4, 2)c =,则()a b c +=________. 【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-,(2, 0, 3)b =,(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为:314.已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝,A α∈,P α∉,且122PA ⎛=- ⎝,则直线PA 与平面α所成的角为______. 【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ,则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅, ∴直线PA 与平面α所成的角为π3.故答案为:π3.15.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知4AB =,6AC =,8BD =,CD =________. 【答案】60︒【解析】由条件,知0CA AB ⋅=,0AB BD ⋅=,CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-,又∵0,180CA BD ︒≤≤︒,∴,120CABD =︒,∴二面角的大小为60︒. 故答案为:60︒.16.如图,棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上,三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧,若顶点,B C 到平面α,则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D , 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===, 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =, 则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==, 所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题(17题10分,其余题目12分每题,共70分) 17.如图,2BC =,原点O 是BC的中点,点A 的坐标为(2,12,0),点D 在平面yOz 上,且90BDC ∠=︒,30DCB ∠=︒.(1)求向量CD 的坐标.(2)求AD 与BC 的夹角的余弦值.【答案】(1)3(0,2-;(2).【解析】(1)过D 作DE BC ⊥于E ,则sin302DE CD =⋅︒=,11cos60122OE OB BD =-︒=-=,所以D 的坐标为1(0,2D -,又因为(0,1,0)C ,所以3(0,2CD =-.(2)依题设有A 点坐标为1,0)2A ,所以(2AD =--,(0,2,0)BC =,则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-.18.如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都等于1,1160BAA CAA ︒∠=∠=.(1)设1AA a =,AB b =,AC c =,用向量a ,b ,c 表示1BC ,并求出1BC 的长度; (2)求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【答案】(1)1BC a c b =+-;12BC =(2【解析】(1)1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-, 因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=,同理可得12a cbc ⋅=⋅=,所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=.(2)因为1AB a b =+,所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--,所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AD =,12AB AA ==,N 、M 分别是AB 、1C D 的中点.(1)求证:NM ∥平面11A ADD ; (2)求证:NM ⊥平面11A B M .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】证明:(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AD =,12AB AA ==,N 、M 分别是AB 、1C D 的中点,(0M ∴,1,1),(1N ,1,0),(1=MN ,0,1)-,平面11A ADD 的法向量可设为(0n =,1,0),∴0=MN n ,MN ⊂/平面11A ADD ,MN ∴平面11A ADD .(2)1(1A ,0,2),1(1B ,2,2),11(0A B =,2,0),1(1A M =-,1,1)-, 11·0MN AB ∴=,1·0MN AM =, 11MN A B ∴⊥,1MN A M ⊥, 1111A B A M A ⋂=,NM ∴⊥平面11A B M .20.如图,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,AC BD ⊥,1BC =,14A D A A ==.(1)证明:面1ACD ⊥面1BB D ; (2)求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)63. 【解析】(1)证明:1BB ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥,且1BB BD B ⋂=,1,BD BB ⊂平面1BB D , ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD , ∴面1ACD ⊥面1BB D .(2)易知AB 、AD 、1AA 两两垂直,以A 为坐标原点,AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系,设AB t =,则相关各点的坐标为()0,0,0A ,(),0,0B t ,()1,0,4B t ,(),1,0C t , ()1,1,4C t ,()0,4,0D ,()10,4,4D .从而(),1,0AC t =,(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥,∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-(舍去).()10,4,4AD =,()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量, 则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =,则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角, ∴二面角11B AC D --21.如图,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB DC ,E 为线段PD 的中点,已知2PA AB AD CD ====,120PAD ∠=︒.(1)证明:直线//PB 平面ACE ;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2【解析】(1)证明:连接BD 交AC 于点H ,连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形,H ∴是AC 中点,又E 为线段PD 的中点,//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ,PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE(2)AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====,120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=,不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422.如图,已知梯形ABCD 中,//AD BC ,90DAB ∠=︒,22AB BC AD ===,四边形EDCF 为矩形,2DE =,平面EDCF ⊥平面ABCD . (1)求证://DF 平面ABE ;(2)求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值;(3)若点P 在线段EF 上,且直线AP 与平面BEF ,求线段AP 的长.【答案】(1)证明见解析;(2;(3)3【解析】(1)证明:四边形EDCF 为矩形,DE CD ∴⊥,又平面EDCF ⊥平面ABCD ,平面EDCF⋂平面ABCD CD =,ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则(1A ,0,0),(1B ,2,0),(1C -,2,0),(0E ,0,2),(1F -,2,2), 设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =,(1,2,2)BE =--,(0,2,0)AB =,由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩,取1z =,得(2,0,1)m =,又(1,2,2)DF =-,∴2020DF m =-++=,则DF m ⊥, 又DF ⊂/平面ABE ,//DF ∴平面ABE ;(2)解:设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =,(1,2,2)BE =--,(1,2,0)EF =-,由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩,取11y =,可得(2,1,2)n =,42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===,5sin ,5m n ∴<>=, 即平面ABE 与平面BEF ;(3)解:点P 在线段EF 上,设EP EF λ=,[0λ∈,1],∴(1AP AE EF λ=+=-,0,2)(1λ+-,2,0)(1λ=--,2λ,2),又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =,设直线AP 与平面BEF 所成角为θ,∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-,24518110λλ∴+-=,即(31)(1511)0λλ-+=,[0λ∈,1],∴13λ=.∴4(3AP =-,23,2),则||(AP =-,AP ∴.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷(二)一、选择题1.在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于( )323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥,则b a +=( )3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF 的距离为( )4.空间线段AC AB ⊥,BD AB ⊥,且::1:3:1AC AB BD =,设CD 与AB 所成的角为α,CD 与面ABC 所成的角为β,二面角C AB D --的平面角为γ,则( )5.(多选题)在四面体P ABC -中,以上说法正确的有( ).若1233AD AC AB =+,则可知3BC BD = 的重心,则111333PQ PA PB PC =++C .若0PA BC ⋅=,0PC AB ⋅=,则0PB AC ⋅=1MN = 6.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置,连结PC ,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B .存在某个位置,使得PB CD ⊥二、填空题7.在长方体1111ABCD A B C D -中,11AD AA ==,2AB =,点E 在棱AB 上移动,则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________,若1D E EC ⊥,则AE =__________.8.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,侧棱与底面垂直.若点C 到9.在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为线段11A B ,AB 的中点,O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心,点M ,N 分别是直线1DD ,EF 上的动点,记直线OC 与MN 所成的角为θ,则当θ最小时,tan θ=__________.10.如图,四棱锥P ABCD -中,ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,1==PA AB ,2BC =,四棱锥外接球的球心为O ,点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题:①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45;②BE 与PC 一定不垂直;③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上)三、解答题, ,为的中点,为的中点,以A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题: (1)证明:直线;(2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小; (3)求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点.(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;答案解析一、选择题1.在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于( )A .1223EF AC AB AD →→→→=+-B .112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C .112223EF AC AB AD →→→→=-+D .112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+,即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选:B.2.设,x y R ∈,向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥,则b a +=( )A .BC .3D .4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-,,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-,(223a b ∴+=+=,故选C. 3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF 的距离为( )A B .2C .3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,则M (2,λ,2),D 1(0,0,2),E (2,0,1),F (2,2,1), 1ED =(﹣2,0,1),EF =(0,2,0),EM =(0,λ,1), 设平面D 1EF 的法向量n =(x ,y ,z ),则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩,取x =1,得n =(1,0,2),∴点M 到平面D 1EF 的距离为:d=255EM nn==,N 为EM 中点,所以N 到该面的距,选D .4.空间线段AC AB ⊥,BD AB ⊥,且::1:3:1AC AB BD =,设CD 与AB 所成的角为α,CD 与面ABC 所成的角为β,二面角C AB D --的平面角为γ,则( ) A .2γβα≤≤B .2γβα≤≤ C .2γαβ≤≤D .2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥,BD AB ⊥,所以可将其放在矩形中进行研究,如图,绘出一个矩形,并以A 点为原点构建空间直角坐标系:因为::1:3:1AC AB BD =,所以可设AC x =,3AB x =,BD x =,则()0,0,0A ,0,3,0B x ,0,0,C x ,,3,0D x x ,,3,CD x x x ,0,3,0AB x ,0,3,CBx x ,故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x, 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ,BD ⊥平面ABC ,所以二面角C ABD --的平面角为γ90,γ452,γ2cos22,所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β,故110cos β11CD CB CD CB,因为311211112,所以2γβα≤≤,故选:A.5.(多选题)在四面体P ABC -中,以上说法正确的有( )A .若1233AD AC AB =+,则可知3BC BD = B .若Q 为ABC ∆的重心,则111333PQ PA PB PC =++C .若0PA BC ⋅=,0PC AB ⋅=,则0PB AC ⋅=D .若四面体P ABC -各棱长都为2,M ,N 分别为PA ,BC 的中点,则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ,1233AD AC AB =+,32AD AC AB ∴=+,22AD AB AC AD ∴-=- ,2BD DC ∴=,3BD BD DC ∴=+即3BD BC =,故A 正确;对于B ,若Q 为ABC ∆的重心,则0QA QB QC ++=,33PQ QA QB QC PQ ∴+++=,3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++,故B 正确;对于C ,若0PA BC ⋅=,0PC AB ⋅=,则PA BC PC AB ⋅=⋅,0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=,()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=,0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=,0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=,()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确;对于D ,()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--,222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=,故D 错误.故选:ABC6.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置,连结PC ,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B .存在某个位置,使得PB CD ⊥C .当二面角P BD C --的大小为90︒时,PC =D .存在某个位置,使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示:对A ,取BD 的中点O ,连结OP ,OC ,则当60POC ∠=时,PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒,故A 错误;对B ,当PD PC =时,取CD 的中点N ,可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ,所以PB CD ⊥,故B 正确;对C ,当二面角P BD C --的大小为90时,所以90∠=POC ,所以PO OC ==所以PC =故C 正确;对D ,因为BN =所以如果B 到平面PDC ,则BN ⊥平面PCD ,则2,1,1PB BN PN DN ====,所以PD =D 错误;故选:BC.二、填空题7.在长方体1111ABCD A B C D -中,11AD AA ==,2AB =,点E 在棱AB 上移动,则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________,若1D E EC ⊥,则AE =__________.【答案】90; 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,又11AD AA ==,2AB =,点E 在棱AB 上移动则D (0,0,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),A 1(1,0,1),C (0,2,0), 设E (1,m ,0),0≤m≤2,则1D E =(1,m ,﹣1),1A D =(﹣1,0,﹣1), ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0,∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°. ∵1D E =(1,m ,﹣1),EC =(﹣1,2﹣m ,0),D 1E ⊥EC ,∴1D EEC =﹣1+m (2﹣m )+0=0,解得m=1,∴AE=1.故答案为900,1.8.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D,则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图,连接11A C 交11B D 于O 点,过点C 作CH AO ⊥于H ,则CH ⊥平面11AB D ,则CH =,设1AA a =,则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ,()12,0,0B ,()10,2,0D,(D ,(10,2,AD =-,(12,0,AB =-,(1B D =-,设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =,则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,令x,得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9.在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为线段11A B ,AB 的中点,O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心,点M ,N 分别是直线1DD ,EF 上的动点,记直线OC 与MN 所成的角为θ,则当θ最小时,tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图,设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点,则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球,因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱,所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点,由题意,MN 是平面1DD EF 内的一条动直线,所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角,即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值,不妨设正方体的棱长为2,2EQ =,1ED =,因为11EC D △为等腰三角形,所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =,从而53244GQ PH =-==,如图,以D 为原点,以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -,则()0,0,0D ,()10,0,2D ,()0,2,0C ,()2,1,0F ,3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭,()10,0,2DD ∴=,()2,1,0DF =,设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =,则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩,令1x =,则()1,2,0n =-,因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,所以sin cos ,n OC θ===10.如图,四棱锥P ABCD -中,ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,1==PA AB ,2BC =,四棱锥外接球的球心为O ,点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题:①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45;②BE 与PC 一定不垂直;③三棱锥E BCO -的体积为定值;④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.(将你认为正确的命题序号都填上)【答案】①③④【解析】如图所示:以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则()0,0,1P ,()1,0,0B ,()1,2,0C ,()0,,0E y ,则()1,0,1BP =-,()1,2,0CE y =--,cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立, 此时,4BP CE π=,故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45,①正确;()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-,当12y =时,BE PC ⊥,②错误; 将四棱锥放入对应的长方体中,则球心为体对角线交点,1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△,③正确;如图所示:将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D , 则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立,④正确.故答案为:①③④.三、解答题11.如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,,, ,为的中点,为的中点,以A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题: (1)证明:直线;(2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小;O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖(3)求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即 取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中,已知,BD=2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO=2,E 为AC 的中点.(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值; (2)若点F 在BC 上,满足BF=14BC ,设二面角F —DE —C 的大小为θ,求sinθ的值. 【解析】(1)连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15(2)设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==,因此sin 13θ==.《第一章 空间向量与立体几何》单元检测试卷(三)一、单选题1.空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .相交但不垂直D .无法确定2.如图,在平行六面体中,为与的交点若,,,则下列向量中与相等的向量是( )111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA .B .C .D . 3.已知向量,.若向量与向量平行,则实数的值是( ) A .2B .C .10D .4.如图,已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中,E 是CC'的中点,,,,x y z ,则( )A .x =1,y =2,z =3B .x ,y =1,z =1C .x =1,y =2,z =2D .x ,y =1,z5.正方体不在同一侧面上的两顶点,,则正方体外接球体积是( ) A .B .C .D .6.已知,若点D 是AC 中点,则( ) A .2B .C .-3D .67.平行六面体中,,则实数x ,y ,z 的值分别为( ) A . B .C .D .8.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为( )1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD .9.如图,在三棱柱中,底面,,,则与平面所成角的大小为A .B .C .D .10.在一直角坐标系中,已知,现沿轴将坐标平面折成的二面角,则折叠后两点间的距离为( )A .BCD .二、多选题11.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果,,,下列结论正确的有( )A .B .C .是平面ABCD 的一个法向量D .12.在正方体中,,分别是和的中点,则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA .平面B .平面C .D .点与点到平面的距离相等 13.在正三棱柱中,所有棱长为1,又与交于点,则( )A .=B .C .三棱锥的体积为D .与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14.已知向量2,,x ,,且,则x 的值为______. 15.若向量,,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围为________.16.如图所示,在正方体中,M 为棱的中点,则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17.如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,分别为的中点,则直线与平面所成角的正切值为________;异面直线与所成角的余弦值是________.11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18.如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求直线AE 和平面OBC 的所成角.19.如图,在长方体中,,,点、分别为、的中点.(1)证明:平面; (2)求二面角的余弦值.20.如下图所示,在四棱锥中,底面四边形,四边形是直角梯形,且,,点是棱的中点,是上的点,且.O ABC -OA OB OC ,,1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值; (2)求与平面所成的角的正弦值.21.如图,在正方体中,分别是的中点。
立体几何考察试题及答案一、选择题1. 若直线l与平面α垂直,则直线l与平面α内任意直线的关系是()。
A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直答案:D2. 已知一个正四面体的棱长为a,求其体积。
A. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \)B. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{6} \)C. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{12} \)D. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \)答案:C二、填空题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则其对角线的长度为 \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。
2. 一个球的半径为r,则其表面积为 \( 4\pi r^2 \)。
三、解答题1. 已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,求其体积。
解:圆锥的体积公式为 \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。
答:圆锥的体积为 \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。
2. 已知一个圆柱的底面半径为r,高为h,求其侧面积。
解:圆柱的侧面积公式为 \( A = 2\pi rh \)。
答:圆柱的侧面积为 \( 2\pi rh \)。
四、证明题1. 证明:若直线l与平面α内的两条直线m和n都垂直,则直线l与平面α垂直。
证明:设直线m和n在平面α内的交点为O,由于直线l与m、n都垂直,根据直线与平面垂直的判定定理,直线l与平面α垂直。
答:直线l与平面α垂直。
2. 证明:若两个平面α和β的交线为l,直线m在平面α内且与l平行,直线n在平面β内且与l平行,则直线m与直线n平行。
证明:设直线m与直线n的交点为P,由于m在平面α内且与l平行,n在平面β内且与l平行,根据平面与平面平行的性质,直线m与直线n平行。
答:直线m与直线n平行。
一、选择题1.正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心的棱锥)的三视图如图所示,俯视图是正三角形,O 是其中心,则正视图(等腰三角形)的腰长等于( )A .5B .2C .3D .22.在正方体1111ABCD A BC D -中,点,E F 分别是梭BC ,CD 的中点,则1A F 与1C E 所成角的余弦值为( ) A .5B .25C .5 D .253.已知平面,αβ,直线l ,记l 与,αβ所成的角分别为1θ,2θ,若αβ⊥,则( ) A .12sin sin 1θθ+≤B .12sin sin 1θθ+≥C .122πθθ+≤D .122πθθ+≥4.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,PA AB =,E 为AP 的中点,则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为( ).A 2B 5C 15D 10 5.如图,在Rt ABC △中,1AC =,BC x =,D 是斜边AB 的中点,将BCD △沿直线CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CB AD ⊥,则x 的取值范围是( )A .(0,3⎤⎦B .2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C .3,23D .(]2,46.设有直线m ,n ,l 和平面α,β,下列四个命题中,正确的是( ) A .若//,//m n αα,则//m n B .若//,//,//l m αβαβ,则//l m C .若,m αβα⊥⊂,则m β⊥D .若,,m m αββα⊥⊥⊄,则//m α7.已知四面体ABCD 中,二面角A BC D --的大小为60,且2AB =,4CD =,120CBD ∠=,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A .43B .23C .83D .438.如下图所示是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中①//BM 平面ADE ;②D E BM ⊥;③平面//BDM 平面AFN ;④AM ⊥平面BDE .以上四个命题中,真命题的序号是( )A .①②③④B .①②③C .①②④D .②③④9.如图是某个四面体的三视图,则下列结论正确的是( )A .该四面体外接球的体积为48πB .该四面体内切球的体积为23π C .该四面体外接球的表面积为323π D .该四面体内切球的表面积为2π10.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为V ,该几何体所有棱的棱长之和为L ,则( )A .8,14253V L ==+ B .8,1425V L ==+ C .8,16253V L ==+ D .8,1625VL ==+11.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .23D .212.已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,B ,C ,D ,在球O 的表面上,顶点1A,1B ,1C ,1D ,在过球心O 的一个平面上,若6AB =,8AD =,14AA =,则球O 的表面积为( ) A .169πB .161πC .164πD .265π二、填空题13.如图,四边形ABCD 是矩形,且有2AB BC =,沿AC 将ADC 翻折成AD C ',当二面角D AC B '--的大小为3π时,则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.14.已知长方体1234ABCD A B C D -,底面是边长为4的正方形,高为2,点O 是底面ABCD 的中心,点P 在以O 为球心,半径为1的球面上,设二面角111P A B C --的平面角为θ,则tan θ的取值范围是________.15.在三棱锥P ABC -中,4PA PB ==,42BC =,8AC =,AB BC ⊥.平面PAB ⊥平面ABC ,若球O 是三棱锥P ABC -的外接球,则球O 的半径为_________.16.二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥,,,为垂足,,B BF a F β∈⊥,为垂足,2,31AE BF EF P ===,,是棱上动点,则AP PB +的最小值为_______. 17.如图,在三棱锥V ABC -中,22AB =,VA VB =,1VC =,且AV BV ⊥,AC BC ⊥,则二面角V AB C --的余弦值是_____.18.已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC 3=,若四面体P ﹣ABC 的体积为32,则该球的体积为_____. 19.在正方体1111ABCD A BC D -中,P 为线段1AB 上的任意一点,有下面三个命题:①//PB 平面11CC D D ;②1BD AC ⊥;③1BD PC ⊥.上述命题中正确命题的序号为__________(写出所有正确命题的序号).20.已知点O 为圆锥PO 底面的圆心,圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ,圆锥PO 的外接球的表面积为______.三、解答题21.如图,三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,5AB =,3AC =,14BC CC ==,M 是1CC 的中点.(Ⅰ)求证:BC AM ⊥;(Ⅱ)若N 是AB 上的点,且//CN 平面1AB M ,求BN 的长.22.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAH ;(2)若2PA AD ==,求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.23.如图,四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为矩形,PD ⊥面ABCD ,E 、F 分别为PA 、BC 的中点.(1)求证://EF 面PCD ;(2)若2AB =,1AD PD ==,求三棱锥P BEF -的体积.24.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,M 是棱PD 的中点.(1)求证://PB 平面AMC ;(2)若PD ⊥平面ABCD ,2AD PD ==,3BAD π∠=,求点B 到平面AMC 的距离.25.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11A ACC ⊥平面ABC ,2,AB BC ==30ACB ∠=,13AA =,11BC AC ,E 为AC 的中点.(1)求证:1//AB 平面1C EB ;(2)求证:1AC ⊥平面1C EB . 26.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,226AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点,E 为棱PB 上一点.(1)证明:平面EAC ⊥平面PBD ;(2)若//PD 平面EAC ,求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,设底面边长为2x ,表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==,即可求出x ,进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,则底面中心O 在CE 上,连接AO ,可得AO ⊥平面ABC ,由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=, 设底面边长为2x ,则DE x =,则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中,2522xAO OE -===O 是底面中心,则133xOE CE ==,2532x x-=,解得3x = 则1AO =,底面边长为23则正视图(等腰三角形)的腰长为()22312+=.故选:B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量,解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2.D解析:D【分析】延长DA至G,使AG CE=,可证11//AG C E,得1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角(或其补角).在1AGF△中,由余弦定理可得结论.【详解】延长DA至G,使AG CE=,连接1,GE GA,GF,11,AC AC,又//AG CE所以AGEC是平行四边形,//,GE AC GE AC=,又正方体中1111//,AC AC AC AC=,所以1111//,AC DE AC DE=,所以11AC EG是平行四边形,则11//AG C E,所以1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角(或其补角).设正方体棱长为2,在正方体中易得15AG10GF22222112(21)3A F AA AF=+=++=,1AGF△中,2221111125cos2253AG A F GFGA FAG A F+-∠===⋅⨯⨯.故选:D.【点睛】方法点睛:本题考查空间向量法求异面直线所成的角,求异面直线所成角的方法: (1)定义法:根据定义作出异面直线所成的角并证明,然后解三角形得结论; (2)建立空间直角坐标系,由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角.3.C解析:C 【分析】如图,作出1θ和2θ,再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ,m αβ=,AD m ⊥,BC m ⊥,连结BD ,AC ,1ABD θ=∠,2BAC θ=∠,12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭,12,2πθθ-都是锐角, 122πθθ∴≤-,即122πθθ+≤故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是作图,并利用线段AD AC ≤,传递不等式,12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 4.D解析:D 【分析】先取正方形的中心O ,连接OE ,由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角,再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ,BD 相交于点O ,连OE 、BE ,因为E 为AP 的中点,O 为AC 的中点,有PC //OE ,可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角,不妨设正方形中,2AB =,则2PA =,由PA ⊥平面ABCD ,可得,PA AB PA AD ⊥⊥, 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =,O 为BD 的中点,所以90EOD ∠=︒,210sin 5OD OED DE ∠===故选:D. 【点睛】 方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法,由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量,平面法向量与平面法向量)余弦值,即可求出结果.5.A解析:A 【分析】取BC 中点E ,连接DE ,AE ,若CB AD ⊥,则可证明出BC ⊥平面ADE ,则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ,AD 关于x 的表达式,然后在ADE中,利用三边关系求解即可.【详解】由题意得BC x =,则212x AD CD BD +===,如图所示,取BC 中点E ,翻折前,在图1中,连接DE ,CD ,则1122DE AC ==, 翻折后,在图2中,若CB AD ⊥,则有:∵BC DE ⊥,BC AD ⊥,AD DE D ⋂=,且,AD DE 平面ADE ,∴BC ⊥平面ADE ,∴BC AE ⊥,又BC AE ⊥,E 为BC 中点,∴1AB AC ==∴2114AE x =-212x AD +=,在ADE 中,由三边关系得:①221111224x x ++>-,②221111224x x +<-,③0x >;由①②③可得03x << 故选:A. 【点睛】本题考查折叠性问题,考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系,即作出辅助线DE 与AE ,根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ,得到BC AE ⊥,从而通过几何条件求解.6.D解析:D 【分析】在A 中,m 与n 相交、平行或异面; 在B 中,l 与m 不一定平行,有可能相交; 在C 中,m ⊥β或m ∥β或m 与β相交;在D 中,由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α.【详解】由直线m 、n ,和平面α、β,知: 对于A ,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 相交、平行或异面,故A 错误;对于B ,若//,//,//l m αβαβ,l 与m 不一定平行,有可能相交,故B 错误; 对于C ,若α⊥β,m ⊂α,则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交,故C 错误;对于D ,若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α,故D 正确.故选:D . 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题,考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用,体现符号语言与图形语言的相互转化,是中档题.7.D解析:D 【分析】在BCD △中,利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤,由三角形的面积公式可得43BCDS≤,由二面角A BC D --的大小为60,可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中,由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥,所以23CD BC BD ≥⋅, 所以163BC BD ⋅≤,当且仅当BC BD =时等号成立, 111634sin120322323BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60,所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以1144333333A BCD BCDV S h -=⋅≤⨯⨯=, 所以四面体ABCD 体积的最大值是43, 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值,再由二面角求出高的最大值. 8.A解析:A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,得出BM ∥平面ADNE ,判断①正确;由连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,判断②正确;由BD ∥FN ,得出BD ∥平面AFN ,同理BM ∥平面AFN ,证明平面BDM ∥平面AFN ,判断③正确;由MC BD ⊥,ED ⊥AM ,根据线面垂直的判定,判断④正确.【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,如图1所示; 对于①,平面BCMF ∥平面ADNE ,BM ⊂平面BCMF , ∴BM ∥平面ADNE ,①正确;对于②,如图2所示,连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,所以D E BM ⊥,②正确; 对于③,如图2所示,BD ∥FN ,BD ⊄平面AFN ,FN ⊂平面AFN ,∴BD ∥平面AFN ;同理BM ∥平面AFN ,且BD ∩BM =B ,∴平面BDM ∥平面AFN ,③正确; 对于④,如图3所示,连接AC ,则BD AC ⊥,又MC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以MC BD ⊥,又AC MC C ,所以BD ⊥平面ACM ,所以BD ⊥AM ,同理得ED ⊥AM ,ED BD D =,所以AM ⊥平面BDE ,∴④正确.故选:A .【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于展开空间想象,将正方体的平面展开图还原,再由空间的线线,线面,面面关系及平行,垂直的判定定理去判断命题的正确性.9.D解析:D 【分析】先找到几何体原图,再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径,再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD,AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ,则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得12OE BF AB ===所以2222,R R =+∴=,所以外接球的体积为343π⨯=,所以选项A 错误;所以外接球的表面积为2448ππ⨯=,所以选项C 错误;由题得AC AD ===所以△ACD △6=, 设内切球的半径为r ,则11111112446)243222232r ++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯所以2r,所以内切球的体积为343π⨯=,所以选项B 错误;所以内切球的表面积为242ππ⨯=,所以选项D 正确. 故选:D【点睛】方法点睛:求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中,使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合,则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的,长方体的外接球的半径22212r a b c =++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系,可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O ',找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .10.A解析:A 【分析】由三视图还原几何体,由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,P ,E 分别为11,BC BC 的中点,该几何体为四棱锥P ABCD -,且PE ⊥平面ABCD . 由三视图可知2AB =,则5,3PC PB PD PA ====,则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=. 故选:A.【点睛】方法点睛:三视图问题的常见类型及解题策略:(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.11.C解析:C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体,得到相应的三棱锥,之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示:该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形,且底边和底边上的高线都是2;且侧棱AD⊥底面BCD,1AD=,所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯,故选:C.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题,解题方法如下:(1)应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称;(2)根据三视图还原几何体;(3)利用椎体体积公式求解即可.12.C【分析】把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体外接球的直径等于体对角线的长,求出直径,即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示:把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体的结构特征可得,其外接球直径等于体对角线的长, 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=, 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选:C.【点睛】关键点点睛:本题主要考查几何体外接球的表面积,熟记长方体结构特征,其外接球的球心和半径与长方体的关系,以及球的表面积公式,是解决此类问题的关键.二、填空题13.【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角(或补角)这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析:12. 【分析】作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角,从而可得DMD '∠,然后求得DD ',而//AB CD ,因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).这样在DCD '求解可得.如图,作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,则//DM BN ,连接,D M DD '', 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角, 所以,3MD NB π'<>=,因为//DM BN ,所以23DMD π'∠=, 设1BC =,则22AB BC ==,在矩形ABCD 中,3AC =,1263DM ⨯==, 63D M DM '==, 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以2DD '=,因为//AB CD ,所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).DCD '是正三角形,3D CD π'∠=,1cos 2D CD '∠=. 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12. 故答案为:12.【点睛】关键点点睛:本题考查求异面直线所成的角,解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角,然后解三角形可得,解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角,从而求得DMD '∠,只要设1BC =,可求得DD ',从而求得结论.14.【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示:取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析:4747,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意,画出相应的图形,结合题意,找出什么情况下取最大值,什么情况下取最小值,利用和差角正切公式求得最值,得到结果. 【详解】根据题意,如图所示:取11A B 的中点H ,过H 点作球O 的切线,切点分别为,M N , 可以判断1O HN ∠为θ的最小值,1O HM ∠为θ的最大值, 且1112tan 12OO O HO HO ∠===, 22,1OH OM ON ===,所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=, 11171827477tan tan()17117O HN O HO NHO ----∠=∠-∠====+ 11171827477tan tan()17117O HM O HO OHM ++++∠=∠+∠====-, 所以tan θ的取值范围是474733⎡⎢⎣⎦, 故答案为:4747-+⎣⎦.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关二面角的求解问题,解题方法如下: (1)先根据题意画图;(2)结合题意,找出在什么情况下取最大值和最小值; (3)结合图形求得相应角的正切值; (4)利用和差角正切公式求得结果.15.4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为(与重合)【详解】解:因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为(与重合)半径解析:4 【分析】取,AB AC 中点,D E ,连接DE ,DP ,再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====,进而得球O 的球心O 即为E (O 与E 重合)【详解】解:因为BC =8AC =,AB BC ⊥,所以AB =4PA PB ==, 所以222PA PB AB +=,所以PA PB ⊥,因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,AB BC ⊥,BC ⊂平面ABC ,所以BC ⊥平面PAB ,取,AB AC 中点,D E ,连接DE ,DP所以//DE BC ,DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ,所以DE PD ⊥,此时,142EB AC EA EC ====, 4EP =, 所以4EA EB EC EP ====,即球O 的球心球心O 即为E (O 与E 重合),半径为4EA =. 故答案为:4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心,在本题中,,PAB ABC △△均为直角三角形,故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力,运算求解能力,是中档题.16.【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为:【点睛】思路点睛:本题考查立体几何 解析:26 【分析】首先将二面角展平,根据两点距离线段最短,求AP PB +最小值.【详解】如图,将二面角沿棱a 展成平角,连结AB ,根据两点之间线段最短,可知AB 就是AP PB +的最小值,以,AE EF 为邻边,作矩形AEFC ,由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线, 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛:本题考查立体几何中的折线段和的最小值,一般都是沿交线展成平面,利用折线段中,两点间距离最短求解,本题与二面角的大小无关.17.【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示:为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为 解析:34【分析】 取AB 的中点O ,连接VO 、OC ,证明出VO AB ⊥,OC AB ⊥,可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠,计算出VO 、OC ,利用余弦定理求得cos VOC ∠,由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【详解】取AB 的中点O ,连接VO 、OC ,如下图所示:VA VB =,O 为AB 的中点,则VO AB ⊥,且AV BV ⊥,22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥,且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠,由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅, 因此,二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为:34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算,考查二面角的定义,考查计算能力,属于中等题. 18.【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB =2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析:43π【分析】根据四面体是球的内接四面体,结合位置关系,可得棱锥的形状,以及棱长之间的关系,利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ,则AB =2R ,2AC 3=AB 3=⨯2R , ∴AC 3=R ,由于AB 是球的直径,所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ,在Rt △ABC 中,由勾股定理,得:BC 2=AB 2﹣AC 2=R 2,所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC 3=R 2, 又PO ⊥平面ABC ,且PO =R ,四面体P ﹣ABC 的体积为32, ∴V P ﹣ABC 13=⨯R 32⨯⨯R 232=,即3R 3=9,R 3=33, 所以:球的体积V 43=⨯πR 343=⨯π×33=43π. 故答案为:43π.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算,属基础题;本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态,从而解决问题.19.①②③【分析】①证明线面平行可判断对错;②证明线面垂直可判断对错;③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示:因为平面平面平面所以平面故①正确;②连接如下图所示:因为平面所以又因为且所以平面又因为解析:①②③【分析】①证明线面平行可判断对错;②证明线面垂直可判断对错;③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示:因为平面11//ABB A 平面11CC D D ,BP ⊂平面11ABB A ,所以//PB 平面11CC D D ,故①正确;②连接,AC BD ,如下图所示:因为1DD ⊥平面ABCD ,所以1DD AC ⊥,又因为AC BD ⊥且1DD BD D =,所以AC ⊥平面1DBD ,又因为1BD ⊂平面1DBD ,所以1BD AC ⊥,故②正确;③连接11,,,AC PC B C BC ,如下图所示:因为11D C ⊥平面11BCC B ,所以11D C ⊥1BC ,又因为11BC B C ⊥,且1111D C BC C ⋂=,所以1B C ⊥平面11BD C ,又1BD ⊂平面11BD C ,所以11B C BD ⊥,由②的证明可知1BD AC ⊥,且1AC BC C ⋂=,所以1BD ⊥平面1ABC ,又因为PC ⊂平面1ABC ,所以1BD PC ⊥,故③正确,故答案为:①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断,涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用,主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力,难度一般.20.【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析:163π 【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面,即过球心的截面且球心在PO 上,由等边三角形性质有Rt AO O '△,即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ,进而求外接球的表面积.【详解】设外接球球心为O ',连接AO ',设外接球的半径为R ,依题意可得1AO =,3PO =,在Rt AO O '△中,有222O A AO O O ''=+,即)22213R R =+,解得3R =, 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为:163π. 【点睛】 本题考查了求圆锥体的外接球面积,由截面是等边三角形,结合等边三角形的性质求球半径,进而求外接球面积,属于基础题.三、解答题21.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)52. 【分析】(Ⅰ)可证BC ⊥平面11AAC C ,从而可得BC AM ⊥.(Ⅱ)可证N 为AB 的中点,从而可得BN 的长.【详解】(Ⅰ)证明:1CC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面平面ABC ,∴1CC BC ⊥.又5AB =,3AC =,4BC =,∴222AC BC AB +=,即BC AC ⊥.又1AC CC C =,∴BC ⊥平面11AAC C ,又AM ⊂平面11AAC C ,∴BC AM ⊥. (Ⅱ)过点N 作1//NE BB 交1AB 于点E ,连ME ,由三棱柱111ABC A B C -可得11//BB CC ,∴1//NE CC 即四边形NEMC 为平面图形. 又//CN 平面1AB M ,CN ⊂平面NEMC ,且平面NEMC 平面1AB M ME =, ∴//CN ME ,∴四边形NEMC 为平行四边形,∴NE CM =,且//NE CM ,又点M 为1CC 中点,∴112CM BB =,且1//CM BB ,∴112NE BB =,且1//NE BB , ∴1522BN AB ==. 【点睛】思路点睛:线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,也可由面面垂直得到,注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.由线面平行得到线线平行时,注意构造过线的平面.22.(1)证明见解析;(2)105. 【分析】(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PA DE ⊥,由Rt ABH Rt DAE ≌△△,得DE AH ⊥,可得答案.(2)由可知DE ⊥平面PAH ,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角,在Rt PDG △中,由sin DPG ∠可得答案.【详解】(1)因为PA ⊥底面ABCD ,DE ⊂底面ABCD ,所以PA DE ⊥,因为E ,H 分别为正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点, ,,AB DA BH AE HBA EAD ,所以Rt ABH Rt DAE ≌△△,所以BAH ADE ∠=∠,由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=,所以DE AH ⊥,因为PA ⊂平面PAH ,AH ⊂平面PAH ,PA AH A ⋂=,所以DE ⊥平面PAH .(2)由(1)可知DE ⊥平面PAH ,设AH DE G ⋂=,如图,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角, 因为2PA AD ==,所以22PD =,5DE =,在Rt DAE 中,由于AG DE ⊥,所以2AD DG DE =⋅,所以45DG =⋅,所以5DG =, 所以在Rt PDG △中,105sin 522DG DPG PD ∠===,即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法,对于线面角的求法的步骤,作:作(或找)出斜线在平面上的射影,证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.23.(1)证明见解析;(2)112. 【分析】(1)取PD 的中点M ,连接EM 、CM ,证明四边形CMEF 为平行四边形,可得出//EF CM ,利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)连接AF ,取AD 的中点N ,连接EN ,由题意可知点P 、A 到平面BEF 的距离相等,并推导出EN ⊥平面ABCD ,可得出P BEF A BEF E ABF V V V ---==,利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BEF -的体积.【详解】(1)如下图所示,取PD 的中点M ,连接EM 、CM ,因为四边形ABCD 为矩形,则//AD BC 且AD BC =,E 、M 分别为PA 、PD 的中点,则//EM AD 且12EM AD =, F 为BC 的中点,所以,//EM CF 且EM CF =,所以,四边形CMEF 为平行四边形,所以,//EF CM ,EF ⊄平面PCD ,CM ⊂平面PCD ,//EF ∴平面PCD ;(2)如下图所示,连接AF ,取AD 的中点N ,连接EN ,E 为PA 的中点,所以,点P 、A 到平面BEF 的距离相等, 所以,P BEF A BEF E ABF V V V ---==,E 、N 分别为PA 、AD 的中点,则//EN PD 且1122EN PD ==, PD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD ,ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△, 因此,11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛:常见的线面平行的证明方法有:(1)通过面面平行得到线面平行;(2)通过线线平行得到线面平行,在证明线线平行中,经常用到中位线定理或平行四边形的性质.24.(1)证明见详解;(2)22. 【分析】(1)连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,根据题中条件,推出//OM PB ,再由线面平行的判定定理,即可证明结论成立;(2)根据题中条件,求出AMC S △,ABC S ,MD ;设点B 到平面AMC 的距离为d ,由B AMC M ABC V V --=,列出等式求解, 即可得出结果.【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ,因为底面ABCD 为菱形,所以O 为AC 中点;连接OM ,因为M 是棱PD 的中点,所以//OM PB ,因为OM ⊂平面AMC ,PB ⊄平面AMC ,所以//PB 平面AMC ;(2)因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AD ⊥,PD DC ⊥,因为2AD PD ==,3BAD π∠=,所以22215AM MC ==+2BD =,23ABC π∠=, 则112sin 22sin 3223ABC S AB BC ABC π=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=22cos 236AC AO AB π==⋅⋅= 所以22532MO MC CO =--=11232622AMC S AC MO =⋅⋅=⋅=, 设点B 到平面AMC 的距离为d ,由B AMC M ABC V V --=可得1133AMC ABC S d S MD ⋅=⋅, 则3226ABC AMC S MDd S ⋅===, 即点B 到平面AMC 的距离为22. 【点睛】方法点睛: 求解空间中点P 到平面的距离的方法:(1)空间向量的方法:建立适当的空间直角坐标系,求出平面的法向量m ,以及一条斜线的方向向量PA ,根据PA md m ⋅=,即可求出点到面的距离;(2)等体积法:先设所求点到面的距离,选几何体不同的定点为顶点,表示出该几何体的体积,列出等量关系,即可求出点到面的距离.25.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)连接1AB 、1BC ,设11B C BC F =,连接EF ,可知点F 为1BC 的中点,利用中位线的性质可得出1//EF AB ,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立; (2)推导出BE ⊥平面11AAC C ,可得出1BE AC ⊥,再由11BC AC ,利用线面垂直的判定定理可证得1AC ⊥平面1C EB . 【详解】(1)如下图所示,连接1AB 、1BC ,设11B C BC F =,连接EF ,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 为平行四边形,因为11B C BC F =,在点F 为1BC 的中点,又因为点E 为AC 的中点,1//EF AB ∴, 1AB ⊄平面1C EB ,EF ⊂平面1C EB ,所以,1//AB 平面1C EB ;(2)AB BC =,E 为AC 的中点,BE AC ∴⊥,因为平面11A ACC ⊥平面ABC ,平面11A ACC ⋂平面ABC AC =,BE ⊂平面ABC , BE ∴⊥平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC ,1AC BE ∴⊥, 11BC AC ⊥,1BE BC B =,1AC ∴⊥平面1C EB . 【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面),解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.26.(1)证明见解析;(226.。
立体几何大题训练题一、解答题(共17题;共150分)1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,在四边形ABCD中,∠ABC= ,AB=4,BC=3,CD= ,AD=2 ,PA=4.(1)证明:CD⊥平面PAD;(2)求二面角B-PC-D的余弦值..2.如图,在四棱锥中,平面,在四边形中,,,,,,.(1)证明:平面;(2)求B点到平面的距离3.如图,在四棱锥中,底面为长方形,底面,,,为的中点,F 为线段上靠近B 点的三等分点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.4.如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.5.如图,在三角锥中,, , 为的中点.(1)证明:平面;(2)若点在棱上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.6.如图,在三角锥中,, , 为的中点.(1)证明:平面;(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 7.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.8.如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.9.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值。
10.已知三棱柱,底面三角形为正三角形,侧棱底面,,为的中点,为中点.(1)求证:直线平面;(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.11.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1AC1C⊥平面ABC,∠ABC=90°.∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F 分别是AC,A1B1的中点(1)证明:EF⊥BC(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.12.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(Ⅰ)证明:平面ACD⊥平面ABC;(Ⅱ)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值.13.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(Ⅰ)证明:直线CE∥平面PAB;(Ⅱ)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.14.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.15.如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,点E,F分别为AD,BP的中点,AD =3,AP=3 ,PC .(1)求证:EF//平面PDC;(2)若∠CDP=120°,求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值.16.如图,四棱锥中,侧棱垂直于底面,,,为的中点,平行于,平行于面,.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.17.如图,在斜三棱柱中,侧面,,,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若为中点,求二面角的正切值.答案解析部分一、解答题1.【答案】(1)解:连接,由∠ABC= ,AB=4,BC=3,则,又因为CD= ,AD=2 ,所以,即,因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以,因为,所以CD⊥平面PAD;(2)解:以点D为坐标原点,的延长线为x,为y轴,过点D与平行线为z轴,建立空间直角坐标系,如图:作交与点G,,即,所以,,所以,所以,,,,则,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,则,,即,设平面的一个法向量为,则,即,令,则,,即,由,所以二面角B-PC-D的余弦值为.【解析】【分析】(1)连接,证出,利用线面垂直的性质定理可得,再利用线面垂直的判定定理即可证出.(2)以点D为坐标原点,的延长线为x,为y轴,过点D与平行线为轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量,利用向量的数量积即可求解.2.【答案】(1)解:在平面中,,,,则,又,∴,即,又平面,则,又,∴平面.(2)解:在平面中,过A作BC的平行线交CD的延长线于M,因为,,,则,又因为,,所以.所以又,则,所以,在中,.因为,则面,所以由可知:,,所以,则,因此P点到平面的距离为.【解析】【分析】(1)在三角形中,由勾股定理可证得,由平面,可得,根据线面垂直的判定定理即可证得结论;(2) 在平面中,过A作BC的平行线交CD 的延长线于M,因为利用等体积转换即可求得距离.3.【答案】(1)证明:,为线段中点,.平面,平面,.又底面是长方形,.又,平面.平面,. 又,平面.(2)解:由题意,以为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,.所以, ,,,设平面的法向量,则,即,令,则,,,同理可求平面的法向量,,,即平面与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)通过,可证明平面,进而可得,结合证明线面垂直.(2)以为轴建立空间直角坐标系,可求出平面的法向量,平面的法向量,则可求出两向量夹角的余弦值,从而可求二面角的正弦值.4.【答案】(1)解:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,又,∴BF⊥平面PEF.∴又平面ABFD,平面PEF⊥平面ABFD.(2)解:作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE= .又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为,则.∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作于H,由得到,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是,在三角形中求其正弦值.5.【答案】(1)∵PA=PC=AC=4 且O是AC的中点∴PO⊥AC∵AB=BC=2 ,AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB,PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC(2)过点C作CH⊥OM交OM于点H又∵PO⊥平面ABC∴∴CH的长度为点C到平面POM的距离在△COM中,CM= ,OC=2,∠OCM=45°∴∴OM=∴【解析】【分析】(1)由线面垂直的判定定理易得;(2)由线面垂直可得面面垂直,易找点面距,可求.6.【答案】(1)PA=PC=AC=4 且O是AC的中点PO⊥AC∵AB=BC=2 ,AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB,PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC(2)∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥OB∴AB=BC=2 O是AC的中点∴OB⊥AC OB⊥平面PAC如图所示以O为坐标原点,为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz则P(0,0,)A(,0,-2,0),C(0,2,0),B(2,0,0)平面PAC法向量为=(1,0,0)设M(x,2-x,0)平面PAC法向量为=(1,λ,μ),=(0,2,), = (x,4-x,0)则即即得到,∴x=-4(舍),x=即M∴PAM的法向量记PC与平面PAM所成的角为θ∴即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为.【解析】【分析】(1)由线面垂直的判定定理易得;(2)先由条件建系,找到点M的位置,再用公式求线面角.7.【答案】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD= .取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥AD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos<>= = .由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为.【解析】【分析】(1.)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2.)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA=AB=2a,则AD= .取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值.8.【答案】(1)解:由已知得,平面,平面,故.又,所以平面.(2)由(1)知.由题设知,所以,故,.以为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),(0,1,2),E(1,0,1),,.设平面EBC的法向量为=(x,y,x),则即所以可取= .设平面的法向量为=(x,y,z),则即所以可取=(1,1,0).于是.所以,二面角的正弦值为.【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直,再由线线垂直的判定定理出线面垂直。
立体几何专题训练一、选择题(每题5分,共60分)1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图,则相应的侧视图可以为( )2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为( )3.(2011年高考湖南卷文科4)设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A .942π+ B.3618π+ C.9122π+ D.9182π+4.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )(A )283π-(B )83π- (C )82π- (D )23π5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为的三视图中的俯视图如右图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是( )(A)4 (B)6.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )(A )1223,l l l l ⊥⊥⇒1l //2l (B )12l l ⊥,1l //3l ⇒32l l ⊥ (C )1l //2l //3l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面 (D )1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积...等于 ( )B.2C.D.68.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行正视图侧视图俯视图 图19.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是()(A)372 (B)360(C)292 (D)28010.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) (A)3πa2 (B)6πa2(C)12πa2 (D)24πa211.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是( )A. V1比V2大约多一半B. V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D. V1比V2大约多一倍半12.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0二、填空题(每题4分,共16分)13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于_____________.14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.15.已知四棱椎P ABCD-的底面是边长为6 的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且8PA=,则该四棱椎的体积是。
立体几何试卷五一、选择题1、线段AB 在平面α内,则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对 2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角 5、若直线l 平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是A 、l aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中:(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面平行;(3)、垂直于同一直线的两直线平行;(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题1、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).2、正方体1111ABCD A B C D -中,平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为3、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面,若PC BD ⊥,平行则四边形ABCD 一定是 .4、如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件_________时,有A 1 B ⊥B 1 D 1. 5.正三棱锥P -ABC 中,三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a ,则P 点到面ABC 的距离是6.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点O ,P 到三个面的距离分别是6,8,10,则OP 的长为 。
(理科)已长方体的全面积是8,则其对角线长的最小值是 认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题1、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分) 2、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且EH∥FG.求证:EH ∥BD . (12分)3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC .(12分)4、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,H G FE DB A CSD CB A四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1)1C O 面11AB D ;(2 )1AC ⊥面11AB D . (14分)6、已知△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且(01).AE AFAC AD λλ==<< (Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC ;(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF ⊥平面ACD ? (14分)7、如图3所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?8、矩形ABCD 中,1,(0)AB BC a a ==>,PA ⊥平面AC ,BC 边上存在点Q ,使得PQ QD ⊥,求a 的取值范围.参考答案选择ACDDDB填空1、小于2、平行3、菱形4、1111AC B D 对角线与互相垂直5、设P 点到面ABC 的距离为h ,由体积公式可得:()3261231a h a =⋅,故a h 332=。
立体几何第一章测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.一个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥2.下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等3.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍4.已知某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( )A.长方体B.圆柱C.四棱锥D.四棱台5.(2013·潍坊高一检测)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的( )A. B. C. D.6.圆锥的高扩大到原来的2倍,底面半径缩小到原来的,则圆锥的体积( )A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的2倍C.不变D.缩小到原来的7.(2013·泉州高一检测)一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )A.8πcm2B.12πcm2C.16πcm2D.20πcm28.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为( )A.7B.6C.5D.39.(2013·济南高一检测)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.,1B.,1C.,D.,10.(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.24011.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1,S2,S3,则( )A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S2<S1<S3D.S2>S1>S312.正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2013·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.14.(2013·北京高一检测)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.15.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为.16.(2013·皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)画出图中两个几何体的三视图.18.(12分)如图,在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水,固定容器的一边将其倾倒,随着容器的倾斜度不同,水的各个表面的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各种规律(不少于3种).19.(12分)如图所示是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限).20.(12分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为2m,四棱锥的高为m,制造这个塔顶需要多少铁板?21.(12分)如图,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.22.(12分)(能力挑战题)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.答案解析1.【解析】选D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,会得到一个圆柱、两个圆锥.2.【解析】选B.棱柱的侧面必须是平行四边形,侧棱长相等,但底面只需为多边形,且边长也不一定与侧棱长相等,故A,D不正确;球的表面不能展成平面图形,故C不正确.3.【解析】选C.设△ABC的边AB上的高为CD,以D为原点,DA所在直线为x轴建系,由斜二测画法规则作出直观图△A1B1C1,则A1B1=AB,C1D1=CD.S△ABC=AB×CD,=A1B1×C1D1×sin45°=AB×CD×=S△ABC.4.【解析】选A.该几何体是长方体,如图所示.5.【解析】选A.设球半径为R,截面圆半径为r.()2+r2=R2,r2=R2,==.6.【解析】选A.V=π(r)2×2h=πr2h=×πr2h.7.【解析】选B.体积为8cm3的正方体的棱长为2cm,所以球的半径为cm,表面积为12πcm2.8.【解析】选A.设圆台较小底面圆的半径为r,由题意,另一底面圆的半径R=3r.所以S侧=π(r+R)l=4πr×3=84π,解得r=7.9.【解析】选C.设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,V圆柱=πR2×2R=2πR3,V球=πR3,==,S圆柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,S球=4πR2.所以==.10.【解析】选B.该几何体是一个四棱锥,高等于5,底面是长、宽分别为8,6的矩形,则底面积为48,则该几何体的体积V=Sh=×48×5=80.11.【解析】选A.设底面积为S,由截面性质可知,=()2,S1=S;=,S2=S;()3=,S3=S,可知:S1<S2<S3.【拓展提升】用平行于底面的平面截棱锥所得截面的性质截得面积之比就是对应高之比的平方,截得体积之比,就是对应高之比的立方,所谓“高”,是指大棱锥、小棱锥的高,而不是两部分几何体的高.12.【解题指南】正四面体的内切球球心到一个面的距离即球的半径r,通过连接球心与正四面体的四个顶点,把正四面体分成四个高为r的三棱锥.【解析】选C.正四面体的内切球球心到一个面的距离即球的半径r,连接球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥,所以4×Sr=Sh,r=h.(其中S为正四面体一个面的面积,h为正四面体的高)13.【解析】因为球的体积为πR3=,所以R=,又由球的直径与其内接正方体的体对角线相等知,正方体的体对角线长为3,故其棱长为.答案:14.【解析】该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱,如图所示,底面是梯形ABCD,高h=6,V=Sh=[(2+4)×2]×6=36. 答案:36【误区警示】该题由三视图没有还原得到底面是直角梯形的直四棱柱从而导致失误. 15.【解析】画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,设小圆锥的母线长为l ,20ll =得l =20,所以扇形圆心角α==,最短长度B ′M===50(cm).答案:50cm【变式备选】圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为 . 【解析】圆柱的侧面积为4π×6π=24π2.(1)以边长为6π的边为圆周长时,6π=2πr,r=3,底面面积πr 2=9π,所以表面积为24π2+18π. (2)以4π所在边为圆柱底面圆周长,2πr=4π,r=2,底面面积πr 2=4π,所以表面积为24π2+8π. 答案:24π2+18π或24π2+8π16.【解析】此几何体是半个圆锥,直观图如图所示,先求出圆锥的侧面积S圆锥侧=πr l=π×2×2=4π,S底=π×22=4π,S△SAB=×4×2=4,故其表面积为+4=(2+2)π+4.答案:[(2+2)π+4](cm2)17.【解析】(1)如图(2)如图18.【解析】(1)水面是矩形.(2)四个侧面中,一组对面是直角梯形,另一组对面是矩形.(3)形状为直角梯形(如ABDC)的两个侧面的面积是不变的;这两个直角梯形全等.(4)侧面积不变.(5)在侧面中,两组对面的面积之和相等.19.【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱台.画法:(1)如图①所示,作出俯视图中同心的两个正三角形的直观图.(2)建立z′轴,把里面的正三角形向上平移高的大小.(3)连接两正三角形相应顶点,并擦去辅助线,被遮的线段用虚线表示,如图②所示,即得到要画的正三棱台.20.【解析】如图所示,连接AC,BD,交点为O,连接SO.作SP⊥AB,连接OP.在Rt△SOP中,SO=m,OP=BC=1m,所以SP=2m,则△SAB的面积是×2×2=2(m2).所以四棱锥的侧面积是4×2=8(m2),即制造这个塔顶需要8m2铁板.【变式备选】一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积.【解析】由三视图知正三棱柱的高为2cm,由侧视图知正三棱柱的底面三角形的高为2cm.设底面边长为acm,则a=2,所以a=4,所以正三棱柱的表面积S=S侧+2S底=3×4×2+2××4×2=(24+8)(cm2).21.【解题指南】作出截面图,利用比例关系求出圆柱的底面半径.【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h=.圆锥的高H==2,所以h=H,所以=,所以r=1.所以圆柱的表面积S=2S底+S侧=2πr2+2πrh=2π+2π×=2(1+)π.22.【解题指南】图中阴影部分绕AB旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去半个球.【解析】由题意知,所成几何体的表面积等于圆台下底面面积+圆台的侧面积+半球面面积.又S半球面=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3),所以该几何体的体积为V圆台-V半球=cm3.。
立体几何 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是( ) A .若a ⊥α,b ∥α,则a ⊥b B .若a ⊥α,b ∥a ,b ⊂β,则α⊥β C .若a ⊥α,b ⊥β,α∥β,则a ∥b D .若a ∥α,a ∥β,则α∥β 答案 D解析 由题意可得A ,B ,C 选项显然正确,对于选项D :当α,β相交,且a 与α,β的交线平行时,有a ∥α,a ∥β,但此时α与β不平行.故选D.2.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是BC 1,CD 1的中点,则下列说法错误的是( )A .MN 与CC 1垂直B .MN 与AC 垂直 C .MN 与BD 平行 D .MN 与A 1B 1平行 答案 D解析 连接C 1D ,BD .∵N 是D 1C 的中点,∴N 是C 1D 的中点,∴MN ∥BD .又∵CC 1⊥BD ,∴CC 1⊥MN ,故A ,C 正确.∵AC ⊥BD ,MN ∥BD ,∴MN ⊥AC ,故B 正确,故选D.3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3C .82π D.32π3答案 B解析 S 圆=πr 2=1⇒r =1,而截面圆圆心与球心的距离d =1,∴球的半径为R =r 2+d 2= 2.∴V =43πR 3=82π3,故选B.4.某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A .4B .2 2 C.203 D .8答案 D解析 由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2.HD =3,BF =1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为12×2×2×4=8.5.如图所示,正四棱锥P -ABCD 的底面积为3,体积为22,E 为侧棱PC 的中点,则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 连接AC ,BD 交于点O ,连接OE ,易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO . 由所给条件易得OB =62,OE =12P A =22,BE = 2. ∴cos ∠OEB =12,∴∠OEB =60°,选C.6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示,D 为AC 的中点,则下列命题是假命题的是()A.AB1∥平面BDC1B.A1C⊥平面BDC1C.直三棱柱的体积V=4D.直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形,底面ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,AB=BC=2.连接B1C交BC1于点O,连接AB1,OD.在△CAB1中,O,D分别是B1C,AC的中点,∴OD∥AB1,∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD.又AB=BC=2,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥平面B1C1CB,∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C,且A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面BDC1.故B正确.V=S△ABC×C1C=12×2×2×2=4,∴C正确.此直三棱柱的外接球的半径为3,其表面积为12π,D错误.故选D.7.在平面四边形ABCD中,AD=AB=2,CD=CB=5,且AD⊥AB,现将△ABD沿着对角线BD 翻折成△A′BD,则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中,直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为()A .1 B.12 C.33D. 3答案 C解析 如图所示,OA =1,OC =2.当A ′C 与圆相切时,直线A ′C 与平面BCD 所成的角最大,最大角为30°,其正切值为33.故选C.8.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为( )A.5+33π2+3π2+1 B .25+33π+3π2+1 C.5+33π2+3π2 D.5+33π2+π2+1 答案 A解析 还原为直观图如图所示,圆锥的高为2,底面半径为2,圆锥的母线长为6,故该几何体的表面积为S =12×2×5+12×2π×2×34×6+π×(2)2×34+12×2×1=5+33π2+3π2+1.9.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB =4,AC =6,BD =8,CD =217,则该二面角的大小为( )A .150°B .45°C .60°D .120°答案 C解析 由条件,知CA →·AB →=0,AB →·BD →=0, CD →=CA →+AB →+BD →.∴|CD →|2=|CA →|2+|AB →|2+|BD →|2+2CA →·AB →+2AB →·BD →+2CA →·BD →=62+42+82+2×6×8cos 〈CA →,BD →〉=(217)2.∴cos 〈CA →,BD →〉=-12,〈CA →,BD →〉=120°,∴二面角的大小为60°,故选C.10.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是( )A .288+36πB .60πC .288+72πD .288+18π答案 A解析 将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱,根据三视图所标数据,可得 V 长方体=6×8×6=288, V 半圆柱=12×32×π×8=36π.∴此几何体的体积为V =288+36π.11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BB 1中点,G 是DD 1中点,F 是BC 上一点且FB =14BC ,则GB 与EF 所成的角为( )A .30°B .120°C .60°D .90°解析 方法一:连D 1E ,D 1F ,解三角形D 1EF 即可. 方法二:如图建立直角坐标系D -xyz ,设DA =1,由已知条件,得G (0,0,12),B (1,1,0),E (1,1,12),F (34,1,0),GB →=(1,1,-12),EF →=(-14,0,-12).cos 〈GB →,EF →〉=GB →·EF →|GB →||EF →|=0,则GB →⊥EF →.故选D.12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,点P 在线段BD 1上,当∠APC 最大时,三棱锥P -ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112答案 B解析 以B 为坐标原点,BA 为x 轴,BC 为y 轴,BB 1为z 轴建立空间直角坐标系,设BP →=λBD 1→,可得P (λ,λ,λ),再由cos ∠APC =AP →·CP →|AP →||CP →|可求得当λ=13时,∠APC 最大,故V P -ABC =13×12×1×1×13=118.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知四个命题:①若直线l ∥平面α,则直线l 的垂线必平行于平面α;②若直线l 与平面α相交,则有且只有一个平面经过直线l 与平面α垂直; ③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等,则这个三棱锥是正三棱锥; ④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分,则这个四棱柱为平行六面体. 其中正确的命题是________.解析④正确,如右图,A1C与B1D互相平分,则四边形A1B1CD是平行四边形,同理四边形ABC1D1是平行四边形,则A1B1綊AB綊CD,因此四边形ABCD是平行四边形,进而可得这个四棱柱为平行六面体.14.(2013·江苏)如图所示,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________.答案1∶24解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.因此V1∶V2=13AF·S△AED2AF·S△ABC=1∶24.15.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.答案3 3解析正三棱锥P-ABC可看作由正方体P ADC-BEFG截得,如图所示,PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径,且PF⊥平面ABC.设正方体棱长为a,则3a2=12,a=2,AB=AC=BC=2 2.S△ABC=12×22×22×32=2 3.由V P-ABC=V B-P AC,得13·h·S△ABC =13×12×2×2×2,所以h=233,因此球心到平面ABC的距离为33.16.如图所示是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F,分别为P A,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面P AD.其中正确的有______个.答案 2解析将几何体展开图拼成几何体(如图),因为E,F分别为P A,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;因为B∉平面P AD,E∈平面P AD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面P AD与平面BCE 不一定垂直,④错.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.(1)请画出该几何体的三视图;(2)求四棱锥B-CEPD的体积.答案(1)略(2)2解析(1)该组合体的三视图如右图所示.(2)因为PD ⊥平面ABCD ,PD ⊂平面PDCE , 所以平面PDCE ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 为正方形, 所以BC ⊥CD ,且BC =DC =AD =2.又因为平面PDCE ∩平面ABCD =CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDCE .因为PD ⊥平面ABCD ,DC ⊂平面ABCD , 所以PD ⊥DC .又因为EC ∥PD ,PD =2,EC =1, 所以四边形PDCE 为一个直角梯形,其面积 S 梯形PDCE =12(PD +EC )×DC =12×3×2=3.所以四棱锥B -CEPD 的体积V B -CEPD =13S 梯形PDCE ×BC =13×3×2=2.18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠ADC =45°,AD =AC =1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD ,PO =2,M 为PD 的中点.(1)证明:PB ∥平面ACM ; (2)证明:AD ⊥平面P AC ;(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值. 答案 (1)略 (2)略 (3)455解析 (1)连接BD ,MO ,在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以AD⊥平面P AC.(3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=12,所以DO=52.从而AN=12DO=54.在Rt△ANM中,tan∠MAN=MNAN=154=455,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.19.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,P A=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PCD.(1)求证:AG∥平面PEC;(2)求AE的长;(3)求二面角E-PC-A的正弦值.答案(1)略(2)3625(3)3210解析(1)证明:∵P A⊥平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD,P A∩AD=A,∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG,∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于点F,连接GF,∵平面PEC ⊥平面PCD ,∴EF ⊥平面PCD .∴EF ∥AG .又AG ⊄平面PEC ,EF ⊂平面PEC ,∴AG ∥平面PEC .(2)解:由(1)知A ,E ,F ,G 四点共面,又AE ∥CD ,AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,∴AE ∥平面PCD .又∵平面AEFG ∩平面PCD =GF ,∴AE ∥GF .又由(1)知EF ∥AG ,∴四边形AEFG 为平行四边形,∴AE =GF .∵P A =3,AD =4,∴PD =5,AG =125. 又P A 2=PG ·PD ,∴PG =95. 又GF CD =PG PD ,∴GF =95×45=3625,∴AE =3625. (3)解:过E 作EO ⊥AC 于点O ,连接OF ,易知EO ⊥平面P AC ,又EF ⊥PC ,∴OF ⊥PC .∴∠EFO 即为二面角E -PC -A 的平面角.EO =AE ·sin45°=3625×22=18225,又EF =AG =125, ∴sin ∠EFO =EO EF =18225×512=3210. 20.(本小题满分12分)如图所示,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,AB =2 3.(1)求证:AB ∥平面MCD ;(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.答案 (1)略 (2)255解析 (1)证明:取CD 中点O ,因为△MCD 为正三角形,所以MO ⊥CD .由于平面MCD ⊥平面BCD ,所以MO ⊥平面BCD .又因为AB ⊥平面BCD ,所以AB ∥MO .又AB ⊄平面MCD ,MO ⊂平面MCD ,所以AB ∥平面MCD .(2)连接OB ,则OB ⊥CD ,又MO ⊥平面BCD .取O 为原点,直线OC ,BO ,OM 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.OB =OM =3,则各点坐标分别为C (1,0,0),M (0,0,3),B (0,-3,0),A (0,-3,23). CM →=(-1,0,3),CA →=(-1,-3,23).设平面ACM 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),由⎩⎨⎧ n 1·CM →=0,n 1·CA →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧-x +3z =0,-x -3y +23z =0, 解得x =3z ,y =z ,取z =1,得n 1=(3,1,1).又平面BCD 的法向量为n 2=(0,0,1),所以cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=15. 设所求二面角为θ,则sin θ=255. 21.(本小题满分12分)圆锥PO 如图①所示,图②是它的正(主)视图.已知圆O 的直径为AB ,C 是圆周上异于A ,B 的一点,D 为AC 的中点.(1)求该圆锥的侧面积S ;(2)求证:平面P AC ⊥平面POD ;(3)若∠CAB =60°,在三棱锥A -PBC 中,求点A 到平面PBC 的距离.答案 (1)3π (2)略 (3)223 解析 (1)由圆锥的正视图可知,圆锥的高h =2,底面半径r =1,所以其母线长为l =3,所以圆锥的侧面积S =12l ·2πr =12×3×2π×1=3π. (2)证明:因为AB 是圆O 的直径,所以AC ⊥BC .又因为O ,D 分别为AB ,AC 的中点,所以OD ∥BC ,所以OD ⊥AC .因为PO ⊥平面ABC ,所以AC ⊥PO .因为PO ∩OD =O ,PO ,OD ⊂平面POD ,所以AC ⊥平面POD .因为AC ⊂平面P AC ,所以平面P AC ⊥平面POD .(3)因为∠CAB =60°,AB =2,所以BC =3,AC =1.所以S △ABC =32. 又因为PO =2,OC =OB =1,所以S △PBC =334. 设A 到平面PBC 的距离为h ,由于V P -ABC =V A -PBC ,得13S △ABC ·PO =13S △PBC ·h ,解得h =223. 22.(本小题满分12分)如图所示,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长是2,侧棱长是3,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)求二面角A 1-BD -A 的大小;(3)在线段AA 1上是否存在一点E ,使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ?若存在,求出AE 的长;若不存在,说明理由.答案 (1)略 (2)π3 (3)存在且AE =33解析 (1)如图①所示,连接AB 1交A 1B 于点M ,连接B 1C ,DM .因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱,所以四边形AA 1B 1B 是矩形,所以M 为AB 1的中点.因为D 是AC 的中点,所以MD 是三角形AB 1C 的中位线,所以MD ∥B 1C . 因为MD ⊂平面A 1BD ,B 1C ⊄平面A 1BD ,所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)作CO ⊥AB 于点O ,所以CO ⊥平面ABB 1A 1,所以在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中建立如图②所示的空间直角坐标系O -xyz .因为AB =2,AA 1=3,D 是AC 的中点,所以A (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,3),A 1(1,3,0).所以D (12,0,32),BD →=(32,0,32),BA 1→=(2,3,0). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1BD 的法向量,所以⎩⎨⎧ n ·BD →=0,n ·BA 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 32x +32z =0,2x +3y =0.令x =-3,则y =2,z =3.所以n =(-3,2,3)是平面A 1BD 的一个法向量.由题意可知AA 1→=(0,3,0)是平面ABD 的一个法向量,所以cos 〈n ,AA 1→〉=2343=12.所以二面角A 1-BD -A 的大小为π3. (3)设E (1,y,0),则C 1E →=(1,y -3,-3),C 1B 1→=(-1,0,-3).设平面B 1C 1E 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),所以⎩⎨⎧ n 1·C 1E →=0,n ·C 1B 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+(y -3)y 1-3z 1=0,-x 1-3z 1=0.令z 1=-3,则x 1=3,y 1=63-y ,所以n 1=(3,63-y ,-3). 又n 1·n =0,即-33+123-y-33=0,解得y =33. 所以存在点E ,使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE =33.。
⾼中数学⽴体⼏何专题练习题1(含答案)⾼中数学⽴体⼏何专题练习题姓名班级学号得分说明:1、本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
2、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内,第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后,只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷(选择题)⼀、选择题(每题2分,共40分)1、⼀个正⽅体的展开图如图所⽰,A、B、C、D为原正⽅体的顶点,则在原来的正⽅体中A.AB∥ CDB. AB与 CD相交C. AB⊥CDD. AB与CD所成的⾓为60°2、(多选)如果⼀个棱锥的底⾯是正⽅形,且顶点在底⾯内的射影是底⾯的中⼼,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若⼀正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧⾯积最⼩时,以下结论正确的是().A.棱的⾼与底边长的⽐为 22B.侧棱与底⾯所成的⾓为π4C.棱锥的⾼与底⾯边长的⽐为 2 D.侧棱与底⾯所成的⾓为π33、某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体的体积为()A .43B .4C .2D .234、某⼏何体的三视图如图所⽰,则此⼏何体的体积为()A.23 B. 1C.43D.135、已知圆锥的轴截⾯为正三⾓形,且边长为2,则圆锥的表⾯积为() A .3π3B .πC .2πD .3π6、如图,在正⽅体中, E 为线段A 1C 1的中点,则异⾯直线与所成⾓的⼤⼩为()度.A. 60B. 45C. 30D. 157、已知⼀个⽔平放置的平⾯四边形ABCD 的直观图是⾯积为2的正⽅形,则原四边形ABCD 的⾯积为()A .2B .22C .2 2D .4 28、下列说法正确的是()A .通过圆台侧⾯上⼀点可以做出⽆数条母线B .直⾓三⾓形绕其⼀边所在直线旋转⼀周得到的⼏何体是圆锥C .圆柱的上底⾯下底⾯互相平⾏D .五棱锥只有五条棱9、如图,是⼀个⼏何体的三视图,主视图和侧视图是全等的半圆,俯视图是⼀个圆,则该⼏何体的体积是()A 、32π3.B .26π3C .16π3D .64π310、某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体的体积为()A. 56B. 23C. 43D. 4511、⼀个⼏何体的三视图如图,则该⼏何体的体积为()A.263 B .283C. 10D.32312、某⼏何体的三视图如图所⽰,则该⼏何体中的最长棱长为()A .3 2B .2 5C .2 6D .2 713、(多选题)如图,在棱长为1的正⽅体中,下列结论正确的是A .异⾯直线AC 与BC1所成的⾓为60°B .直线AB 1与平⾯ABC 1D 1所成⾓为45° C .⼆⾯⾓A-B 1C-B 的正切值为 2D .四⾯体D 1-AB 1C 的的体积为1214、下列命题错误的是A .不在同⼀直线上的三点确定⼀个平⾯B .两两相交且不共点的三条直线确定⼀个平⾯C .如果两个平⾯垂直,那么其中⼀个平⾯内的直线⼀定垂直于另⼀个平⾯D .如果两个平⾯平⾏,那么其中⼀个平⾯内的直线⼀定平⾏于另⼀个平⾯15、某四棱锥的三视图如图所⽰,俯视图是⼀个等腰直⾓三⾓形,则该四棱锥的体积为()A .2B .C. D .16、如图所⽰,O 是正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1对⾓线A 1C 与AC 1的交点,E 为棱BB 1的中点,则⼏何体OEC 1D 1 在正⽅体各⾯上的正投影不可能是()A. B. C. D.17、如图,在正⽅体ABCD -A1B l C1D1中,已知E,F,G分别是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG =GC1.则下列直线与平⾯A1BD平⾏的是(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC118、⼏何体的三视图如图所⽰,则它的体积是A. B.C. D.19、如图,三棱P-ABC中,PC⊥平⾯ABC,PC=3,∠ACB=90°D、E.分别为线段AB、BC上的点,且CD=DE= 2,CE=2EB=2,则⼆⾯⾓A-PD-C的余弦值是().A、 24B、62C、33D、3620、下图为某⼏何体的三视图,则该⼏何体的表⾯积是()A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+2⼆、填空题(15分)21、如图,点P在长⽅体ABCD-A1B1C1D1的⾯对⾓线BC1(线段BC1)上运动,给出下列四个说法:①直线AD与直线B1P为异⾯直线;②恒有A1P∥⾯ACD1;③三棱锥A-D1PC的体积为定值;④当长⽅体各棱长都相等时,⾯PDB1⊥⾯ACD1.其中所有正确说法的序号是.22、已知⼀个⼏何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为,等腰三⾓形的腰长为,则该⼏何体的体积是。
立体几何题库100题1. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍,它的体积扩大到原来的()倍。
A. 3B. 9C. 27D. 812. 长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、5cm,它的棱长总和是()cm。
A. 60B. 48C. 30D. 153. 一个圆柱的底面半径是2 厘米,高是5 厘米,它的侧面积是()平方厘米。
A. 62.8B. 31.4C. 12.56D. 25.124. 一个圆锥的底面直径是6 分米,高是3 分米,它的体积是()立方分米。
A. 28.26B. 84.78C. 169.56D. 56.525. 用同样大小的正方体摆成的物体,从正面和左面看到的图形都是,那么从上面看到的图形是()。
A. B. C. D.6. 一个圆柱和一个圆锥等底等高,它们的体积之和是48 立方分米,圆锥的体积是()立方分米。
A. 12B. 16C. 32D. 367. 把一个棱长为6 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是()立方分米。
A. 169.56B. 113.04C. 216D. 56.528. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米,如果高增加3 米,体积增加()立方米。
A. 3abB. 3abhC. ab(h + 3)D. 3h9. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍,高不变,它的体积扩大到原来的()倍。
A. 2B. 4C. 8D. 1610. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的底面直径与高的比是()。
A. 1 : πB. 1 : 2πC. π: 1D. 2π: 111. 有一个长方体容器,从里面量长5 分米,宽4 分米,高6 分米,里面注有水,水深3 分米。
如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中,水面上升()分米。
A. 0.4B. 0.8C. 1.6D. 3.212. 一个圆柱的底面周长是12.56 分米,高是5 分米,它的表面积是()平方分米。
立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题(一): 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D、B、F、E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题(二): 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题(三): 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.(1)求直线AP与CQ所成的角的大小(2)求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题(四): 求大量立体几何难题!立体几何综合试题(自己画图)1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.(1)求证:DE‖平面A1B1C1;(2)求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF =BC=2a.(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;(II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC=90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a.(I)求二面角P—CD—A的正切值;(II)求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.(Ⅰ)确定点G的位置;(Ⅱ)求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证明平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面;(II)证明平面EFD;(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;(II)当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证:AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1;(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦值;这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题(五): 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证(1)MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题(六): 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题:集合,函数(图像),立体几何,圆锥一、数学命题原则 1.普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题(七): 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问:需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题(八): 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题(九): 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔(手指也可以)比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题(十): 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。
立体几何练习题1。
设α、β、γ为两两不重合的平面,l 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β; ③若α∥β,l ⊂α,则l ∥β;④若α∩β=l ,β∩γ=m ,γ∩α=n ,l ∥γ,则m ∥n . 其中真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .42。
正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为() A .B .CD .3。
三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ,△ABC 是 边长为的正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为() A . 8πB .C .D . 8π4.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于点O ,空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5,则OP 长为() A . 5 B . 2 C . 3 D . 55。
如图,四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形,SD ⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是() A . AC⊥SB B .AB∥平面SCDC . SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D . AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD ,PD=AD=1,设点CG 到平面PAB 的距离为d 1,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有( ) A . 1<d 1<d 2 B . d 1<d 2<1C . d 1<1<d 2D . d 2<d 1<17。
在锐角的二面角βα--EF ,A EF ∈,AG α⊂, 45=∠GAE ,若AG 与β所成角为30,则二面角βα--EF 为__________。
8。
给出下列四个命题:(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//; (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线;(3)两条异面直线中的一条平行于平面α,则另一条必定不平行于平面α; (4)b ,a 为异面直线,则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个.EFA Gαβ其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中,点E 是棱 11A B 的中点,则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________。
立体几何测试题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.则该几何体的体积( )A .48B .64C .96D .192解析:由已知可得该几何体是一个四棱锥,四棱锥的高为4,底面是矩形, ∴V =13·Sh =13×8×6×4=64.答案:B2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A. 3B .2 3C .3 3D .4 3解析:因为四个面是全等的正三角形.则S 表面积=4S 底面积=4×34= 3. 答案:A3.(2012·郑州第二次质检)已知正方体的外接球的体积是4π3,则这个正方体的棱长是( ) A.23B.33C.2 23D.2 33解析:设正方体的外接球半径为r ,正方体棱长为a ,则43πr 3=43π,∴r =1,∴ 3 a =2r =2,得a =2 33. 答案:D4.(2011·吉林期中)如图所示的直观图,其平面图形的面积为( )A .3B .6C .3 2D.3 22解析:由直观图可得,该平面图形是直角边边长分别为4,3的直角三角形,其面积为S =12×4×3=6.答案:B5.(2012·日照高一检测)设a ,b 为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )A .若a ∥α,b α,则a ∥bB .若a ∥α,b ∥β,α∥β,则a ∥bC .若a α,b β,a ∥b ,则α∥βD .若a ⊥α,b ⊥β,α⊥β,则a ⊥b解析:A 错,a ,b 可能平行或异面;B 错,a ,b 也可能相交或异面;C 错,可能α与β相交. 答案:D6.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )A .9πB .10πC .11πD .12π解析:由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1,高为3的圆柱及其上面的一个半径为1的球组成的.故其表面积为4π·12+2×π·12+2π·1×3=12π. 答案:D7.(2012·哈师大附中月考)如图是底面面积为3,体积为3的正三棱锥的主视图 (等腰三角形)和俯视图(等边三角形),此正三棱锥的左视图的面积为( )A.3 32B .3 C. 3D.32解析:由题意知左视图是一个三角形,其底边长就是正三棱锥的底面正三角形的高,高就是正三棱锥的高.根据已知条件可得正三棱锥的底面边长是2,高为3,故侧视图的面积是12×3×3=3 32.答案:A8.如图是一建筑物的三视图(单位:米),现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆a 千克,则共需油漆的质量为( )A .(48+36π)a 千克B .(39+24π)a 千克C .(36+36π)a 千克D .(36+30π)a 千克解析:此建筑物是直四棱柱与圆锥的组合体,其外壁的面积S =π×32-3×3+π×3×5+3×4×4=39+24π(平方米),因此共需油漆的质量为(39+24π)a 千克. 答案:B9.(2012·温州检测)已知m ,n ,l 为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A .α∥β,m α,n β⇒m ∥nB .l ⊥β,α⊥β⇒l ∥αC .m ⊥α,m ⊥n ⇒n ∥αD .α∥β,l ⊥α⇒l ⊥β解析:A 中m ,n 还可能异面关系, B 中,l α也有可能. C 中,n α也有可能. D 正确. 答案:D10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )A.334B.33C.34D.312解析:由题意,知正三棱锥的顶点到底面的距离为1. ∵底面是正三角形且球半径为1, ∴底面边长为 3. ∴底面积为334.∴V =13×334×1=34.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 11.夹在两个平面间的两条线段,它们互相平行且相等,则两个平面的位置关系为________. 平行或相交12.在空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,对角线AC =BD =2,且AC ⊥BD ,则四边形EFGH 的面积为________. 解析:如图,由条件,易判断EH 綊FG 綊12BD ,∴EH =FG =1,同样有EF 綊GH 綊12AC ,EF =GH =1,又BD ⊥AC ,∴EF ⊥EH ,∴四边形EFGH 是边长为1的正方形,其面积S =12=1. 答案:113.(2012·常熟模拟)若圆锥的母线长为2 cm ,底面圆的周长为2π cm ,则圆锥的表面积为________.解析:设圆锥的底面半径为r .则2 πr =2π,∴r =1,则圆锥的表面积: S =12×2π×2+πr 2=2π+π=3π. 答案:3π14.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为________.解析:令球的半径为R ,六棱柱的底面边长为a ,高为h ,显然有 a 2+(h2)2=R ,且⎩⎪⎨⎪⎧ V 六棱柱=6×34a 2×h =986a =3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =12h =3⇒R =1⇒V 球=43πR 3=43π.答案:43π三、解答题(本大题共4个小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图所示,凸多面体ABCED 中,AD ⊥平面ABC , CE ⊥平面ABC ,AC =AD =AB =1,BC = 2,CE =2,F 为BC 的中点. (1)求证:AF ∥平面BDE ; (2)求证:平面BDE ⊥平面BCE .证明:(1)取BE 的中点G ,连接GF ,GD , ∵AD ⊥平面ABC ,CE ⊥平面ABC , ∴AD ∥EC ,且平面ABC ⊥平面ACED . ∵GF 为三角形BCE 的中位线, ∴GF ∥EC ∥DA ,GF =12CE =DA =1.∴四边形GFAD 为平行四边形,∴AF ∥GD ,又GD 平面BDE , AF 平面BDE ,∴AF ∥平面BDE . (2)∵AC =AB =1,BC =2, ∴AC 2+AB 2=BC 2, ∴AB ⊥AC .∴又F 为BC 的中点,∴AF ⊥BC ,又GF ⊥AF ,BC ∩GF =F ,∴AF ⊥平面BCE , ∵AF ∥GD ,∴GD ⊥平面BCE ,又GD 平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面BCE .16.(本小题满分12分)(2012·中山模拟)如图,四棱锥P -ABCD 的底面 ABCD 为菱形,PD ⊥平面ABCD ,PD =AD =2,∠BAD =60°, E 、F 分别为BC 、PA 的中点.(1)求证:ED ⊥平面PAD ; (2)求三棱锥P -DEF 的体积.解:(1)证明:连接BD ,由已知得BD =2,在正三角形BCD 中,BE =EC , ∴DE ⊥BC ,又AD ∥BC , ∴DE ⊥AD .又PD ⊥平面ABCD , ∴PD ⊥DE , AD ∩PD =D , ∴DE ⊥平面PAD .(2)∵S △PDF =12·S △PDA =12×12×22=1,且DE =3,∴V P-DEF=V E-PDF=13·S△PDF·DE=13×1×3=33.17.(本小题满分12分)(2012·山西四校联考)如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与它的左视图,E是DD1上一点,AE⊥B1C.(1)求证:AE⊥平面B1CD;(2)求三棱锥E-ACD的体积.解:(1)证明:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以CD⊥平面ADD1A1.又AE 平面ADD 1A1,所以CD⊥AE.又因为AE⊥B1C,CD∩B1C=C,所以AE⊥平面B1CD.(2)连接A1D,因为AE⊥B1C,A1D∥B1C.所以AE⊥A1D,所以△ADE∽△A1AD,所以ADDE=A1AAD,所以DE=2×24=1.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以DE是三棱锥E-ACD的高.所以V E-ACD=13·12·AD·CD·DE=13×12×2×2×1=23.18.(本题满分14分)如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,其对角线的交点为O,且SA=SC,SA⊥BD.(1)求证:SO⊥平面ABCD;(2)设∠BAD=60°,AB=SD=2,P是侧棱SD上的一点,且SB∥平面APC,求三棱锥A-PCD的体积.解析:(1)证明:∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又∵BD ⊥SA ,SA ∩AC =A , ∴BD ⊥平面SAC . 又∵SO 平面SAC . ∴BD ⊥SO .∵SA =SC ,AO =OC ,∴SO ⊥AC . 又∵AC ∩BD =O , ∴SO ⊥平面ABCD . (2)连接OP ,∵SB ∥平面APC ,SB 平面SBD , 平面SBD ∩平面APC =OP ,∴SB ∥OP . 又∵O 是BD 的中点, ∴P 是SD 的中点.由题意知△ABD 为正三角形.∴OD =1. 由(1)知SO ⊥平面ABCD ,∴SO ⊥OD . 又∵SD =2,∴在Rt △SOD 中,SO = 3. ∴P 到面ABCD 的距离为32, ∴V A -PCD =V P -ACD =13×(12×2×2sin 120°)×32=12.。