统考版2022届高考数学一轮复习第2章函数第1节函数及其表示课件理新人教版.ppt

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第1节函数及其表示教师用书教案理新人教版班级：科目：函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为1~3个客观题。

2。

考查内容高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算,指数函数、对数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.函数及其表示［考试要求］ 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2。

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段）．1．函数与映射的概念函数映射2．函数的有关概念(1）函数的定义域、值域:在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合｛f(x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2）函数的三要素:定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（4）函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法．提醒:两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f（x）＝｜x｜，x∈［0，2］与函数f(x）＝|x｜,x∈[－2,0］．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．错误!常见函数定义域的求法类型x满足的条件错误!(n∈N*)f（x）≥0 2n＋1f(x)（n∈N＊）f(x)有意义错误!与[f(x）］0f（x)≠0 log a f（x）(a＞0且a≠1）f（x)＞0 a f(x）（a＞0且a≠1)f（x)有意义tan［f(x）]f（x）≠错误!＋kπ，k∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×")(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．（）(2）函数y＝1与y＝x0是同一个函数．（）(3）函数f（x)＝x2－2x与g（t）＝t2－2t是同一个函数．() (4）函数f(x）的图象与直线x＝1最多有一个交点．() (5)已知f（x)＝m(x∈R），则f(m3）＝m3。

2022高考数学一轮复习第二章函数及其表示训练理新人教A版第一节函数及其表示[备考方向要明了][归纳²知识整合]1．函数与映射的概念提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(某)，某∈A中，某叫做自变量，某的取值范围A叫做函数的定义域；与某的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(某)|某∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝某与y＝某＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝in某与y＝co某，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(某)＝某－4＋1－某；③f(某)＝5，因这个函数的值不随某的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2某(某∈N)的图象是一条直线；⑤f(某)＝1与g(某)＝某0表示同一个函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由函数的定义知①正确；②错误；由某－4≥0，1－某≥0，得定义域为，所以不是函数；因为函数f(某)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为某∈N，所以函数y＝2某(某∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(某)＝1的定义域为R，函数g(某)＝某0的定义域为{某|某≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.32．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有()①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(某，y)|某∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{某|某是三角形}，集合B＝{某|某是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{某|某是新华中学的班级}，集合B＝{某|某是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．3．(2022²江西高考)若函数f(某)＝某2＋1，某≤1，lg某，某>1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0解析：选Bf(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f(某)＝某＋2某－6，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.解析：∵f(某)＝某＋2某－6，∴f(4)＝4＋24－6＝－3.∴f(f(4))＝f(－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f(a)＝2，即a＋2a－6＝2，解得a＝14.答案：19145．(教材习题改编)A＝{某|某是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素32相对应的A中的元素是________．解析：∵co60°＝12，∴与A 中元素60°相对应的B中的元素是12.4又∵co30°＝32，∴与B中元素32相对应的A中的元素是30°.答案：1230°[例1]有以下判断：(1)f(某)＝|某|某与g(某)＝1，某≥0－1，某<0表示同一个函数．(2)函数y＝f(某)的图象与直线某＝1的交点最多有1个．(3)f(某)＝某2－2某＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．(4)若f(某)＝|某－1|－|某|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．[自主解答]对于(1)，函数f(某)＝|某|某的定义域为{某|某∈R且某≠0}，而函数g(某)＝1某≥0，－1某<0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若某＝1不是y＝f(某)定义域内的值，则直线某＝1与y＝f(某)的图象没有交点，若某＝1是y＝f(某)定义域内的值，由函数的定义可知，直线某＝1与y＝f(某)的图象只有一个交点，即y＝f(某)的图象与直线某＝1最多有一个交点；对于(3)，f(某)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(某)与g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．[答案](2)(3)———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量某在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应．52．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f1：y＝某某；f2：y＝1.②f1：y＝1，某≤1，2，1<某<2，3，某≥2；f2：③f1：y＝2某；f2：如图所示．解：①不同函数．f1(某)的定义域为{某∈R|某≠0}，f2(某)的定义域为R.②同一函数．某与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：某→y＝－某2＋2某，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A．k>1B．k≥1C．k<1D．k≤1解析：选A由题意知，方程－某2＋2某＝k无实数根，即某2－2某＋k＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k)<0，解得k>1时满足题意.[例2](1)已知f(某＋1)＝某2＋4某＋1，求f(某)的解析式．(2)已知f(某)是一次函数，且满足3f(某＋1)－f(某)＝2某＋9.求f(某)．[自主解答](1)法一：(换元法)设某＋1＝t，则某＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(某)＝某2＋2某－2.6法二：(配凑法)∵f(某＋1)＝某2＋4某＋1＝(某＋1)2＋2(某＋1)－2，∴所求函数为f(某)＝某2＋2某－2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(某)＝a某＋b(a≠0)，∵3f(某＋1)－f(某)＝2某＋9，∴3a(某＋1)＋3b－a某－b＝2某＋9，即2a某＋3a＋2b＝2某＋9.由恒等式性质，得2a＝2，3a＋2b＝9，解得a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(某)＝某＋3.若将本例(1)中“f(某＋1)＝某2＋4某＋1”改为“f2某＋1＝lg某”，如何求解？解：令2某＋1＝t，∵某>0，∴t>1且某＝2t－1.∴f(t)＝lg2t－1，即f(某)＝lg2某－1(某>1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(某))＝F(某)，可将F(某)改写成关于g(某)的表达式，然后以某替代g(某)，便得f(某)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(某))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(某)与f1某或f(－某)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(某)．2．给出下列两个条件：(1)f(某＋1)＝某＋2某；(2)f(某)为二次函数且f(0)＝3，f(某＋2)－f(某)＝4某＋2.7试分别求出f(某)的解析式．解：(1)令t＝某＋1，∴t≥1，某＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(某)＝某2－1(某≥1)．(2)设f(某)＝a某2＋b某＋c，又∵f(0)＝c＝3.∴f(某)＝a某2＋b某＋3，∴f(某＋2)－f(某)＝a(某＋2)2＋b(某＋2)＋3－(a某2＋b某＋3)＝4a 某＋4a＋2b＝4某＋2.∴4a＝4，4a＋2b＝2，解得a＝1，b＝－1.∴f(某)＝某2－某＋3.[例3]已知函数f(某)＝12某，某≥4，f某＋1，某<4，则f(2＋log23)的值为()A.124B.112C.16D.13[解析]∵2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log23>4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18³12log23＝18³13＝124.[答案]A———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f(某)＝2某＋1，某<1，某2＋a某，某≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()8A.12B.45C．2D．9解析：选C∵某<1，f(某)＝2某＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵某≥1，f(某)＝某2＋a某，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法²规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(某0)时，一定要首先判断某0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例](2022²江苏高考)已知实数a≠0，函数f(某)＝2某＋a，某＜1，－某－2a，某≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[解析]①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－32(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－34，符合题意，所以综上所9述，a＝－34.[答案]－34[题后悟道]1．在解决本题时，由于a的取值不同限制了1－a及1＋a的取值，从而应对a进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤(1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结，整合得出结论．[变式训练]1．设函数f(某)＝log2某，某>0，log12－某，某<0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C①当a>0时，∵f(a)>f(－a)，∴log2a>log12a＝log21a.∴a>1a，得a>1.②当a<0时，∵f(a)>f(－a)，∴log12(－a)>log2(－a)＝log121－a.∴－a<1－a得－1<a<0，故C项为正确选项．2．设函数f(某)＝2－某，某∈－∞，1，某2，某∈[1，＋∞，若f(某)>4，则某的取值范围是________________．解析：当某<1时，由f(某)>4得2－某>4，即某<－2；当某≥1时，由f(某)>4得某2>4，所以某>2或某<－2，但由于某≥1，所以某>2.综上，某的取值范围是某<－2或某>2.10答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列各组函数中，表示相等函数的是()A．y＝5某5与y＝某2B．y＝lne某与y＝eln某C．y＝某－1某＋3某－1与y＝某＋3D．y＝某0与y＝1某0解析：选Dy＝5某5＝某，y＝某2＝|某|，故y＝5某5与y＝某2不表示相等函数；B、C选项中的两函数定义域不同；D选项中的两函数是同一个函数．2．设A＝{0,1,2,4}，B＝12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A到B的映射的是() A．f：某→某3－1B．f：某→(某－1)2C．f：某→2某－1D．f：某→2某解析：选C对于A，由于集合A中某＝0时，某3－1＝－1B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，C符合．3．已知函数f(某)＝2某－2，某≥0，lg－某，某<0，则f(f(－10))＝()A.12B.14C．1D．－14解析：选A依题意可知f(－10)＝lg10＝1，f(1)＝21－2＝12.4．(2022²杭州模拟)设函数f(某)＝某，某≥0，－某，某<0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1解析：选D∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，11∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a＝1，∴a＝1；当a<0时，f(a)＝－a＝1，∴a＝－1.5．已知函数f(某)满足f(某)＋2f(3－某)＝某2，则f(某)的解析式为()A．f(某)＝某2－12某＋18B．f(某)＝13某2－4某＋6C．f(某)＝6某＋9D．f(某)＝2某＋3解析：选B由f(某)＋2f(3－某)＝某2可得f(3－某)＋2f(某)＝(3－某)2，由以上两式解得f(某)＝13某2－4某＋6.6．(2022²泰安模拟)具有性质：f1某＝－f(某)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(某)＝某－1某；②f(某)＝某＋1某；③f(某)＝某，0<某<1，0，某＝1，－1某，某>1.满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．只有①解析：选B①f1某＝1某－某＝－f(某)满足．②f1某＝1某＋某＝f(某)不满足．③0<某<1时，f1某＝－某＝－f(某)，某＝1时，f1某＝0＝－f(某)，某>1时，f1某＝1某＝－f(某)满足．二、填空题7．已知f某－1某＝某2＋1某2，则函数f(3)＝________.解析：∵f某－1某＝某2＋1某2＝某－1某2＋2，∴f(某)＝某2＋2.∴f(3)＝32＋2＝11.答案：11128．若f(a＋b)＝f(a)²f(b)且f(1)＝1，则f2f1＋f3f2＋…＋f2012f2011＝________.解析：令b＝1，∵fa＋1fa＝f(1)＝1，∴f2f1＋f3f2＋…＋f2012f2011＝2011.答案：20119．已知函数f(某)＝某2＋1，某≥0，1，某<0，则满足不等式f(1－某2 )>f(2某)的某的取值范围是________．解析：画出f(某)＝某2＋1，某≥0，1，某<0的图象，如图．由图象可知，若f(1－某2)>f(2某)，则1－某2>0，1－某2>2某，即－1<某<1，－1－2<某<－1＋2.得某∈(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f(某)＝某2－1，g(某)＝某－1，某>0，2－某，某<0.(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(某))和g(f(某))的解析式．解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当某>0时，g(某)＝某－1，故f(g(某))＝(某－1)2－1＝某2－2某；当某<0时，g(某)＝2－某，故f(g(某))＝(2－某)2－1＝某2－4某＋3.13所以f(g(某))＝某2－2某，某>0，某2－4某＋3，某<0.当某>1或某<－1时，f(某)>0，故g(f(某))＝f(某)－1＝某2－2；当－1<某<1时，f(某)<0，故g(f(某))＝2－f(某)＝3－某2.所以g(f(某))＝某2－2，某>1或某<－1，3－某2，－1<某<1.11．二次函数f(某)满足f(某＋1)－f(某)＝2某，且f(0)＝1.(1)求f(某)的解析式；(2)解不等式f(某)>2某＋5.解：(1)设二次函数f(某)＝a某2＋b某＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(某)的表达式代入f(某＋1)－f(某)＝2某，有a(某＋1)2＋b(某＋1)＋1－(a某2＋b某＋1)＝2某.∴2a某＋a＋b＝2某.∴a＝1，b＝－1.∴f(某)＝某2－某＋1.(2)由某2－某＋1>2某＋5，即某2－3某－4>0，解得某>4或某<－1.故原不等式解集为{某|某>4或某<－1}．12．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数某，令f1(某)＝[4某]，g(某)＝4某－[4某]，进一步令f2(某)＝f1[g(某)]．(1)若某＝716，分别求f1(某)和f2(某)；(2)若f1(某)＝1，f2(某)＝3同时满足，求某的取值范围．解：(1)∵某＝716时，4某＝74，∴f1(某)＝74＝1.∵g(某)＝74－74＝34.∴f2(某)＝f1[g(某)]＝f134＝[3]＝3.(2)∵f1(某)＝[4某]＝1，g(某)＝4某－1，14∴f2(某)＝f1(4某－1)＝[16某－4]＝3.∴1≤4某<2，3≤16某－4<4，∴716≤某<12.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用1，2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：选B根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P上的函数的是________．(1)P＝Z，Q＝N某，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：某→y＝某2，某∈P，y∈Q；(3)P＝{三角形}，Q＝{某|某>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解析：对于(1)，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y＝某－2²某＋2，y＝某2－4；(2)y＝某，y＝3t3；(3)y＝|某|，y＝(某)2.解：∵y＝某－2²某＋2的定义域为{某|某≥2}，y＝某2－4的定义域为{某|某≥2或某≤－2}，15∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y＝3t3＝t，∴y＝某与y＝3t3是同一函数．(3)∵y＝|某|的定义域为R，y＝(某)2的定义域为{某|某≥0}，∴它们不是同一函数．4．已知f(某)＝某＋2，某≤－1，2某，－1<某<2，某22，某≥2，且f(a)＝3，求a的值．解：①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．②当－1<a<2时，f(a)＝2a，由2a＝3，得a＝32，满足－1<a<2.③当a≥2时，f(a)＝a22，由a22＝3，得a＝±6，又a≥2，故a＝6.综上可知，a的值为32或6.第二节函数的定义域和值域[备考方向要明了]16[归纳²知识整合]1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝a某(a＞0且a≠1)，y＝in某，y＝co某，定义域均为R.(5)y＝loga某(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y＝tan某的定义域为某|某≠kπ＋π2，k∈Z.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y＝k某＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝a某2＋b某＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为y|y≥4ac－b24a；当a<0时，值域为y|y≤4ac－b24a.(3)y＝k某(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝a某(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．(5)y＝loga某(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y＝in某，y＝co某的值域是[－1,1]．(7)y＝tan某的值域是R.[探究]1.若函数y＝f(某)的定义域和值域相同，则称函数y＝f(某)是圆满函数，则函数①y＝1某；②y＝2某；③y＝某；④y＝某2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y＝1某的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝1某是圆满函数；②y＝2某的定义域和值域都是R，故函数y＝2某是圆满函数；③y＝某的定义域和值域都是[0，17＋∞)，故y＝某是圆满函数；④y＝某2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故函数y＝某2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(某)＝4－某某－1的定义域为()A．[－∞，4]B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D要使函数f(某)＝4－某某－1有意义，只需4－某≥0，某－1≠0，即某≤4，某≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y是某的函数，则函数的值域是()A．[2,5]B．NC．(0,20]D．{2,3,4,5}解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}．3．若f(某)＝1log122某＋1，则f(某)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：选A根据题意得log12(2某＋1)＞0，即0＜2某＋1＜1，解得－12<某<0，即某∈－12，0.4．(教材改编题)函数y＝f(某)的图象如图所示，则函数y＝f(某)的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y＝f(某)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7)[0，＋∞)5．(教材改编题)若某－4有意义，则函数y＝某2－6某＋7的值域是________．18解析：∵某－4有意义，∴某－4≥0，即某≥4.又∵y＝某2－6某＋7＝(某－3)2－2，∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)[例1](1)(2022²山东高考)函数f(某)＝1ln某＋1＋4－某2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)已知函数f(某2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(某)的定义域为________．[自主解答](1)某满足某＋1>0，某＋1≠1，4－某2≥0，即某>－1，某≠0，－2≤某≤2.解得－1<某<0或0<某≤2.(2)∵0≤某≤3，∴0≤某2≤9，－1≤某2－1≤8.∴函数y＝f(某)的定义域为[－1,8]．[答案](1)B(2)[－1,8]本例(2)改为f(某)的定义域为[0,3]，求y＝f(某2－1)的定义域．∴0≤某2－1≤3，解得－2≤某≤－1或1≤某≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．19(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(某)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(某))的定义域由不等式a≤g(某)≤b求出．②若已知函数f(g(某))的定义域为[a，b]，则f(某)的定义域为g(某)在某∈[a，b]时的值域．1．(1)(2022²江苏高考)函数f(某)＝1－2log6某的定义域为________．(2)已知f(某)的定义域是[－2,4]，求f(某2－3某)的定义域．解析：(1)由1－2log6某≥0解得log6某≤120＜某≤6，故所求定义域为(0，6]．答案：(0，6]∴－2≤某2－3某≤4，由二次函数的图象可得，－1≤某≤1或2≤某≤4.∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2]求下列函数的值域：(1)y＝某－3某＋1；(2)y＝某－1－2某；(3)y＝某＋4某.[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝某－3某＋1＝某＋1－4某＋1＝1－4某＋1.因为4某＋1≠0，所以1－4某＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝某－3某＋1得y某＋y＝某－3.解得某＝y＋31－y，所以y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2某＝t，则t≥0且某＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(某)为增函数，而其定义域应满足1－2某≥0，即某≤12.。

函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握本章在高考中一般为1～3个客观题．高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图像与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.函数及其表示[考试要求]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应名称把对应关系f叫作定义在集合A上的函数称这种对应为从集合A到集合B的映射(1)函数的定义域、值域：集合A叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[常用结论]常见函数定义域的求法一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (4)函数f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)＝m 3.( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、教材习题衍生 1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]2．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]3．函数y ＝ax 2－6x ＋7a (a ≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－97C ．1D ．2C [由题意知⎩⎨⎧a ＞028a 2－364a ＝－2，解得a ＝1，故选C.]4．已知f (x )＝x ＋3＋1x ＋a，若f (－2)＝0，则a 的值为________．1 [f (－2)＝－2＋3＋1a －2＝0，即1a －2＝－1，解得a ＝1.]考点一 求函数的定义域1．已知函数的具体解析式求定义域的方法构造使函数有意义的不等式(组)求解即可，详如[常用结论]所示． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 提醒：明确定义域是自变量“x ”的取值X 围．已知函数解析式求定义域[典例1－1] (1)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3] (2)函数y ＝1log (x －2)＋(2x －5)0的定义域为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜3，且x ≠52[(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，x ＞－1，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤3，故选D.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log (x －2)＞0，x －2＞0，2x －5≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜1，x －2＞0，x ≠52，解得2＜x ＜3且x ≠52，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2＜x ＜3，且x ≠52.] 求抽象函数的定义域[典例1－2] (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2,0)B ．(－2,2)C ．(0,2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 (2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． (1)C (2)[－1,2] [(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1－1＜x －1＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜20＜x ＜2，解得0＜x ＜2，即函数g (x )的定义域为(0,2)，故选C.(2)由题意知－3≤x ≤3，则－1≤x 2－1≤2， 即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]点评：函数f (g (x ))的定义域指的是自变量x 的取值X 围，而不是g (x )的取值X 围，如本例T (2)．[跟进训练]1．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为________，f (log 2x )的定义域为________．⎣⎡⎦⎤12，2 [2，4] [由－1≤x ≤1得2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2，所以f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2，由12≤log 2x ≤2，即log 2212≤log 2x ≤log 222， 得2≤x ≤4，所以函数f (log 2x )的定义域为[2，4]．]2．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1) 的定义域为________．⎝⎛⎭⎫－1，－12 [由－x －x 2＞0得－1＜x ＜0，即f (x )的定义域为(－1,0)，由－1＜2x ＋1＜0得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12.] 考点二 求函数的解析式求函数解析式的四种方法[典例2] (1)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．(2)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )的解析式为________． (3)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________. (4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－x ＋3 (2)f (x )＝2x －x 2(0≤x ≤2) (3)x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (4)23x ＋13[(1)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(2)(换元法)令1－sin x ＝t (0≤t ≤2)，则sin x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，∴f (x )＝2x －x 2(0≤x ≤2)．(3)(配凑法)f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2－2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(4)(解方程组法)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.]点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值X 围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．[跟进训练]1．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 2x ＋7 [(待定系数法)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.所以f (x )＝2x ＋7.]2．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，则f (x )的解析式为________． f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [令1＋x x ＝t ，则t ＝1＋1x ，t ≠1，所以1x＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]3．已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝________. 2x ＋1－2－x3 [由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x ， 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3.]考点三 分段函数及其应用(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．2．求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或X 围与该段函数的自变量的取值X 围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．3．分段函数与不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图像比较容易画出，也可以画出函数图像后，结合图像求解．分段函数的求值问题[典例3－1] (1)(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0)，f (x －3)(x ＞0)，则f (5)的值为( )A ．－7B ．－1C ．0D ．12(1)C (2)D [(1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. (2)f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D.]求参数或自变量的值[典例3－2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1， －1＜x ＜0，2x ， x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________.(1)－32 (2)8 [(1)当a ≤1时，f (a )＝2a －2＝－3，无解；当a ＞1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.(2)由题意得a ＞0.当0＜a ＜1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8， 当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝8.]点评：本例T (1)可根据函数值的X 围确定a (2)可根据单调性确定a ≥1不可能成立．分段函数与不等式问题[典例3－3](2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ， 即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即1＜2－2x ，解得x ＜0. 因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图像如图所示． 结合图像知，要使f (x ＋1)＜f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，∴x ＜0.] 点评：本例也可分x ≤－1，－1＜x ≤0，x ＞0三种情况求解． [跟进训练]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4B [由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83， f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.]2．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜12(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 C [当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a .由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，解得a ＝14，从而f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6，当a ≥1时，a ＋1＞1，又函数f (x )＝2(x －1)，x ≥1为增函数．因此f (a )＝f (a ＋1)不成立，故选C.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤02x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值X 围是________． ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ [①当x ≤0时，x －12＜0，则f (x )＝x ＋1，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x －12＋1＝x ＋12， 由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1得(x ＋1)＋⎝⎛⎭⎫x ＋12＞1，解得x ＞－14. 又x ≤0，所以－14＜x ≤0. ②当0＜x ≤12时，x －12≤0，则f (x )＝2x ，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x －12＋1＝x ＋12，从而f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋12＞1恒成立． ③当x ＞12时，x －12＞0，则f (x )＝2x ，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x －12， 从而f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋2x －12＞1恒成立． 综上知x 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.] 核心素养1 用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养.欧拉公式[素养案例1](2020·某某模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x ＝π时，e iπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [由题意得e 2i ＝cos 2＋isin 2，所以e 2i 表示的复数在复平面中对应的点为(cos 2，sin2)．因为2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos 2＜0，sin 2＞0，所以e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.][评析]此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的X 围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置． [素养培优]已知欧拉公式为e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)，若α∈(0,2π)，且e－i α表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin α＋cos α的取值X 围是( )A ．(1，2]B ．[－2，2]C ．(－1,1)D ．[－2，－1) C [因为e －i α＝cos(－α)＋isin(－α)＝cos α－isin α，所以结合题意可知点(cos α，－sin α)位于复平面的第三象限内，所以cos α＜0且－sin α＜0，又α∈(0,2π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－22，22. 故sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈(－1,1)．故选C.]高斯函数[素养案例2](2020·某某长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]f (x )＝2x ＋11＋2x，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．(0,2)C ．(0,1)D ．{－1,0,1} A [法一：因为f (x )＝2x ＋11＋2x ＝2x ＋1＋2－21＋2x ＝2－21＋2x∈(0,2)，所以当f (x )∈(0,1)时，y ＝[f (x )]＝0；当f (x )∈[1,2)时，y ＝[f (x )]＝1.所以函数y ＝[f (x )]的值域是{0,1}．故选A.法二：因为y ＝[f (x )]不可能为小数，所以排除B ，C ；又2x ＞0，所以f (x )＝2x ＋11＋2x＞0，所以y ＝[f (x )]≠－1，排除D.选A.] [评析]求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算．[素养培优](2020·某某一模)高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x ]＋[－x ]＝0；③若[x ＋1]＝3，则x 的取值X 围是2≤x ≤3；④当－1≤x ＜1时，[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)①④ [①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；②[x ]＋[－x ]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0；③若[x ＋1]＝3，则x 的取值X 围是2≤x ＜3，故错误；④当－1≤x ＜1时，0≤x ＋1＜2,0＜－x ＋1≤2，∴[x ＋1]＝0或1，[－x ＋1]＝0或1或2，当[x ＋1]＝0时，[－x ＋1]＝1或2；当[x ＋1]＝1时，[－x ＋1]＝1或0；所以[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为1,2，故正确．]狄利克雷函数[素养案例3](2020·某某徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q 被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形． 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [对于①，当x 为有理数时，f (x )＝1，f (f (x ))＝f (1)＝1，故①是假命题．对于②，若x ∈Q ，则－x ∈Q ；若x ∈∁R Q ，则－x ∈∁R Q ，所以，无论x 是有理数还是无理数，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，故②是真命题．对于③，当x 为有理数时，x ＋T 为有理数，满足f (x ＋T )＝f (x )＝1；当x 为无理数时，x ＋T 为无理数，满足f (x ＋T )＝f (x )＝0，故③是真命题．对于④，当A ，B ，C 三点满足A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0时，△ABC 为等边三角形，故④是真命题．综上所述，真命题的个数是3.故选C.][评析]破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合∁R Q 表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．[素养培优](2020·某某长安一中3月质检)已知著名的狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m ∈R ，则f (f (f (m )))的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．无法求B [若m ∈Q ，则f (m )＝1，所以f (f (f (m )))＝f (f (1))＝f (1)＝1.若m ∈∁R Q ，则f (m )＝0，所以f (f (f (m )))＝f (f (0))＝f (1)＝1.故选B.]。