2020年湖南省常德市高考数学模拟试卷(文科)(一) (含答案解析)

2020年湖南省常德市高考数学模拟试卷(文科)(一)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={0,−2}，集合𝐵={−4,0}，则𝐴∪𝐵=( )

A. {0} B. {−2,0，−4} C. {0,−4} D. {−2,−4}

2. 已知𝑎+𝑖𝑖=𝑏+𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，其中i为虚数单位，则𝑎2+𝑏2=( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3. 已知𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.050 0.010

𝑘0 3.841 6.635

在“数学文化大讲堂”活动中，某老师对“学生性别和喜欢数学文化是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢数学文化的人数占男生人数的16，女生喜欢数学文化的人数占女生人数23，若有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关，则男生至少有( )

A. 24人

B. 22人 C.

20人 D. 18人

4. 已知向量𝑎⃗ =(3,−4),|𝑏⃗ |=2，若𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =5，则𝑎⃗ 与𝑏⃗

的夹角为( )

A. 2𝜋3 B. 𝜋3 C. 𝜋4 D. 𝜋6

5. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)，其中𝜑为实数，若𝑓(𝑥)≤|𝑓(𝜋6)|对𝑥∈𝑅恒成立，且𝑓(𝜋2)<𝑓(𝜋).则下列结论正确的是( )

A. 𝑓(1112𝜋)=−1

B.

𝑓(7𝜋10)>𝑓(𝜋5)

C. 𝑓(𝑥)是奇函数

D. 𝑓(𝑥)的单调递增区间是[𝑘𝜋−𝜋3,𝑘𝜋+𝜋6](𝑘∈𝑍)

6. 已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐵⊥平面ABC，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝑃𝐴=√5，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的表面积为( ) A. 12𝜋 B. 6𝜋 C. 24𝜋 D.

4√6𝜋3

7.

向量𝑎⃗ =(1,2)，𝑏⃗ =(0,2)，则𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =( )

A. 2 B. (0,4) C. 4 D. (1,4)

8. 已知圆( 𝑥 + 1 )2+ ( 𝑦 − 1 )2=2 − 𝑚截直线𝑥+𝑦+2=0所得弦的长度为4，则实数𝑚=( )

A. −2 B. −4 C. −6 D. −8

9. 已知△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴=45°，𝐴𝐵=√2，𝐵𝐶=2，则∠𝐶=( )

A. 30° B. 60° C. 120° D. 30°或150°

10. 已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓ˈ(𝑥)，且𝑓 ˈ(𝑥)−𝑓(𝑥)<0，𝑓(3)=𝑒3，则𝑓(12ln𝑥)<√𝑥的解集为( )

A. (𝑒3,+∞) B. (𝑒6,+∞) C. (0,𝑒3) D. (0,𝑒6)

11. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，过其右焦点F且与渐近线𝑦=−𝑏𝑎𝑥平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A、B两点，且𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )

A. 32 B. √2 C. √3 D. 2

12. 设函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≤0𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>0，若关于x的方程𝑓2(𝑥)−𝑎𝑓(𝑥)=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )

A. (0,1] B. (0,2] C. (−1,1] D. (−1,2]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 𝑠𝑖𝑛27°𝑠𝑖𝑛72°+𝑐𝑜𝑠27°𝑐𝑜𝑠72°= ______ ．

14. 如图，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1=6，异面直线𝐵𝐶1与𝐴𝐴1所成角的大小为𝜋6，该三棱柱的体积为______ ．

15. 已知正项等比数列{𝑎𝑛}满足2𝑎5+𝑎4=𝑎3，若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得8√𝑎𝑚𝑎𝑛=𝑎1，则9𝑚+1𝑛的最小值为__________．

16. 设a和𝛽为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若a内的两条相交直线分别平行于𝛽内的两条直线，则a平行于𝛽；

②若a外一条直线L与a内的一条直线平行，则L和a平行；

③设a和𝛽相交于直线L，若a内有一条直线垂直于L则a和𝛽垂直；

④直线L与a垂直的充分必要条件是L与a内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎𝑛+1=4𝑎𝑛−3𝑛+1，𝑛∈𝑁∗．

(1)求证：数列{𝑎𝑛−𝑛}是等比数列，并求数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛；

(2)证明不等式𝑆𝑛+1≤4𝑆𝑛，对任意𝑛∈𝑁∗都成立．

18. 从高一年级某科月考成绩中随机抽取n名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的频率分布直方图．若成绩在[70,80)内的人数为30．

(1)求n；

(2)估计这次月考成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

19. 如图，三角形ABC是边长为4的正三角形，𝑃𝐴⊥底面ABC，𝑃𝐴=√7，点D是BC的中点，点E在AC上，且𝐷𝐸⊥𝐴𝐶．

(1)证明：平面𝑃𝐷𝐸⊥平面PAC；

(2)求三棱锥𝐶−𝑃𝐷𝐸的体积．

20. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹1(2,0)，离心率为e．

(1)若𝑒=√22，求椭圆的方程；

(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，𝐴𝐹1的中点为M，𝐵𝐹1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．

①证明点A在定圆上；

②设直线AB的斜率为k，若𝑘≥√3，求e的取值范围．

21. 求证：当𝑥>0时，ln(𝑥+1)>𝑥−12𝑥2．

22. 在平面直角坐标系xOy中直线l的倾斜角45°，且经过点𝑃(1,−1)，以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃，直线l与曲线E相交于A，B两点．

(1)求直线l的一般方程和曲线E的标准方程；

(2)求1|𝑃𝐴|−1|𝑃𝐵|的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|．

(1)当𝑎=−5时，解不等式𝑓(𝑥)≤1+|1−2𝑥|；

(2)若𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)<4存在实数解，求实数a的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：∵𝐴={0,−2}，𝐵={−4,0}；

∴𝐴∪𝐵={−4,−2,0}．

故选：B．

进行并集的运算即可．

考查列举法的定义，以及并集的运算．

2.答案：C

解析：解：由𝑎+𝑖𝑖=(𝑎+𝑖)(−𝑖)−𝑖2=1−𝑎𝑖=𝑏+𝑖，

得𝑎=−1，𝑏=1．

∴𝑎2+𝑏2=2．

故选：C．

利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

3.答案：D

解析：

本题考查了独立性检验，考查了学生的运算能力，属于中档题．

利用独立性检验，计算得结论．

解：设男生至少有x人，由题意得2×2列联表如下：

喜数学文化 不喜数学文化 合计

男生 𝑥6 5𝑥6 x

女生 𝑥3 𝑥6 𝑥2

合计 𝑥2 x 3𝑥2 因为有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关，所以𝐾2>6.635，

而𝐾2=3𝑥2(𝑥6·𝑥6−𝑥3·5𝑥6)2𝑥2·𝑥·𝑥2·𝑥=3𝑥8，

因此3𝑥8>6.635，解得𝑥>17.69．

又因为x为正整数，所以男生至少有18人．

故选D．

4.答案：B

解析：解：向量𝑎⃗ =(3,−4),|𝑏⃗ |=2，若𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =5，设𝑎⃗ 与𝑏⃗ 的夹角为𝜃，

|𝑎⃗ ||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝜃=5，5×2×𝑐𝑜𝑠𝜃=5，

可得𝜃=𝜋3．

故选：B．

求出𝑎⃗ 的模，利用向量的数量积求解两个向量的夹角．

本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．

5.答案：D

解析：

根据题意首先判断𝜑的取值，然后逐条验证．

对A，代入求值即可；

对B，代入比较大小即可；

对C，根据奇函数定义，验证是否适合；

对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．

本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．

解：∵𝑓(𝑥)≤|𝑓(𝜋6)|对𝑥∈𝑅恒成立，∴2×𝜋6+𝜑=𝑘𝜋+𝜋2⇒𝜑=𝑘𝜋+𝜋6，𝑘∈𝑍．

∵𝑓(𝜋2)<𝑓(𝜋)⇒sin(𝜋+𝜑)=−𝑠𝑖𝑛𝜑0．

∴𝜑=2𝑘𝜋+𝜋6，𝑘∈𝑍.不妨取𝜑=𝜋6

𝑓(11𝜋12)=𝑠𝑖𝑛2𝜋=0，∴𝐴×；

∵𝑓(7𝜋10)=sin(7𝜋5+𝜋6)=sin47𝜋30=−sin17𝜋30<0，𝑓(𝜋5)=sin(2𝜋5+𝜋6)=sin17𝜋30>0，∴𝐵×；