定积分的计算与应用

第六章 定积分的应用

一、内容提要

（一）主要定义

【定义】 定积分的元素法

如果

（1）所求量U是与一个变量x的变化区间ba,有关的一个整体量；

（2）U对区间ba,具有可加性；

（3）部分量iU可表示为iiiUfx.

则可按以下步骤计算定积分

（1）选取一个变量x或y，并确定它的变化区间ba,;

（2）把区间ba,分成n个小区间, 求任一小区间,xxdx的部分量U的近似

dU.

UdUfxdx;

（3）计算U=bafxdx.

（二）主要定理与公式

根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式.

1．平面图形面积

（1）直角坐标情形

①由,(0),,yfxfxxaxb所围图形的面积

basfxdx.

②由12,,,yfxyfxxaxb所围图形的面积

12 basfxfxdx.

③由12,,,xyxyycyd所围图形的面积

12dcsyydy

（2）参数方程情形

由曲线l：xtyt，12ttt，x轴及,xaxb所围图形的面积

21 ttsttdt

（3）极坐标情形

① 由,,所围图形的面积

212sd

② 由12,,,所围图形的面积

222112sd

2.体积

（1）旋转体的体积

① 由0,,,yyfxxaxb所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：

2baVfxdx.

当0ab时，上述曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

22bbaaVxydxxfxdx.

积分的引入与应用

一、积分的概念与引入

积分是微积分中的重要概念，通过对函数进行积分可以求解曲线下的面积、函数的定积分和不定积分等。引入积分的概念的背后是为了解决一些与变量之间的关系有关的问题，同时也是为了应用于实际生活中的一些场景。接下来，我们将介绍积分的引入与应用。

二、定积分的计算

在数学中，定积分可用于计算一个函数在某个区间上的总量。定积分的计算基于微积分的积分定义和无穷小量的概念。利用定积分，我们可以计算曲线下的面积，求解函数在给定区间上的平均值等。定积分的计算依赖于积分的性质和相关的计算方法，如换元法、分部积分法等。

三、积分的应用领域

1. 面积与曲线下的积分

积分可以用于计算曲线下的面积。当我们需要求解一条曲线与横轴之间的面积时，可以利用积分的概念来进行计算。通过将曲线分成无数个微小的矩形，然后对这些微小的矩形的面积进行累加，就可以得到曲线下的总面积。

2. 求解物理问题 积分在物理学中有广泛的应用。例如，可以通过积分来计算物体的质量、重心位置、力的大小等。物理学中的许多物理定律也可以通过积分的方法进行推导和证明。

3. 概率与统计学

概率与统计学中的一些问题也可以通过积分来求解。例如，在概率密度函数（PDF）中，积分可以用于计算某个随机变量落在某个区间内的概率。积分还可以用于计算统计学中的累积分布函数（CDF）等相关统计指标。

4. 金融和经济学

在金融和经济学领域，积分也有重要应用。例如，根据投资收益率的积分可以计算投资组合的价值。对于经济学中的需求曲线和供给曲线，可以通过积分计算消费者和生产者的剩余。

四、积分的变形与扩展

除了传统的定积分外，积分还有一些变形和扩展形式。例如，不定积分是对原函数的求解，其结果是一个函数；广义积分是对无界函数进行积分，解决了一些特殊情况下的积分计算问题。另外，还有一些特殊函数形式的积分，如二重积分、三重积分等，它们在更高维度的空间中描述了曲线、曲面与体积等概念。

定积分曲线与面积计算

在数学中，定积分是一种重要的数学概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。定积分的应用广泛，尤其在微积分和物理学等领域中起着至关重要的作用。本文将介绍定积分的定义和性质，并详细说明如何使用定积分来计算曲线与面积。

一、定积分的定义

定积分是对一个区间上的函数进行积分运算的结果。它可以看作是将一个曲线下方的面积划分为无穷多个无穷小的长方形，并将这些长方形的面积相加而得到的极限值。数学上，定积分通过极限运算来定义。

如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对应的定积分可以表示为：

∫[a, b] f(x) dx

其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小增量。

二、定积分的性质

定积分具有以下几个重要的性质：

1. 线性性质：对于任意的实数c，d和函数f(x)、g(x)，有：

∫[a, b] (c * f(x) + d * g(x)) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx + d * ∫[a, b] g(x) dx

2. 区间可加性：对于区间[a, c]和区间[c, b]上的函数f(x)，有： ∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx

3. 积分上下界交换性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则下面两个积分相等：

∫[a, b] f(x) dx = ∫[b, a] f(x) dx

三、使用定积分计算曲线与面积

使用定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积。具体步骤如下：

1. 确定积分区间：首先需要确定曲线与坐标轴之间需要计算面积的区间。

2. 构建被积函数：根据具体情况，将曲线的方程表示为y = f(x)，并构建被积函数f(x)。

3. 计算定积分：将被积函数代入定积分的定义中，并按照定义计算出定积分的值。

举例说明，考虑计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。首先确定积分区间为[-1, 1]，然后将曲线方程改写为x = y^(1/2)，构建被积函数f(y) = y^(1/2)。接下来，计算定积分如下：

定积分的四种求法

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法

例1 用定义法求230xdx的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．

解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n等分，则△x＝2n．

（2）近似代替：△32()iiiSfxxn

（3）求和：33111222nnniiiiiiSxnnn•.

（4）取极限：S=3332242limnnnnnn

＝443332244221lim12lim[(1)]4nnnnnnn

＝224(21)limnnnn＝4．

∴230xdx=4．.

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分基本定理法

例2 求定积分221(21)xxdx的值.

分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y＝221xx的一个原函数是y＝323xxx．

所以.221(21)xxdx＝3221()|3xxx＝81421133＝193．

评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．

三、几何意义法

例3 求定积分121(1)xdx的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．

解：121(1)xdx表示圆x2＋y2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．

因为2S半圆，又在x轴上方．

所以121(1)xdx＝2．