全等三角形添加辅助线的方法

1 全等三角形培优专题之常见辅助线的作法

证明三角形全等是初中几何的基础和重点，也是中考必考知识点之一。小伙伴们一定要认真学习并要全面掌握三角形全等的证明！但在证明三角形全等时很多时候需添加辅助线，对学习几何证明不久的小伙伴们而言往往是难点。下面介绍证明三角形全等时常用的辅助线作法，供小伙伴们学习时参考。

辅助线作法一：中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．

【模型举例】

【学力训练】

1、如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF，求证：AC＝BF.

2、如图所示，△ABC（AB≠AC）中，点D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC.求证：AE平分∠BAC.

3、如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．

辅助线作法二：截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．

【模型举例】

2 【学力训练】

1、如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC、∠BCA的平分线AD、CE交于点O，猜想OE与OD的大小关系和AC与AE、CD的关系，并说出你的理由．

2、如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB．求证：AC＋CD＝AB．

3、如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于点F．求证：AE＝BE＋DF．

辅助线作法三：利用角的平分线对称构造全等

当题目中涉及角平分线时，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．

全等三角形辅助线做法总结

图中有角平分线;可向两边作垂线..

也可将图对折看;对称以后关系现..

角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..

线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..

三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..

一、截长补短法和;差;倍;分

截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相

等截取----全等----等量代换

补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长

----全等----等量代换

例如：1;已知;如图;在△ABC中;∠C＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..

2;已知：如图;AC∥BD;AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA;CD过点E．

求证：1AE⊥BE； 2AB=AC+BD．

二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中

一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行

例如：已知：如图;AC、BD相交于O点;且AB＝DC;AC＝BD;求证：∠A＝∠D..

三、延长已知边构造三角形

例如：如图6：已知AC＝BD;AD⊥AC于A ;BC⊥BD于B;

求证：AD＝BC

四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等

例如：已知;如图;AC平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..

五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等

例如：1如图;AD为 △ABC的中线;求证：AB＋AC＞2AD..三角形一边上的中线小

于其他两边之和的一半

2;已知：AB=4;AC=2;D是BC中点;AD是整数;求AD..

第 1 页 专题训练(五) 证明三角形全等四种添加辅助线的方法

► 方法一 直接连线构造全等三角形

1．如图5－ZT－1所示，AB＝AD，BC＝DC.求证：∠ABC＝∠ADC.

图5－ZT－1

2．如图5－ZT－2，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点．

图5－ZT－2

3．如图5－ZT－3，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠ABO＝∠DCO.

图5－ZT－3

► 方法二 倍长中线构造全等三角形

4．如图5－ZT－4，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝4，AC＝8，求中线AD的取值范围．

图5－ZT－4

5．如图5－ZT－5，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.(提示：等腰三角形的两底角相等)

图5－ZT－5

► 方法三 作垂直构造全等三角形

6．如图5－ZT－6，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC.求证：∠A＋∠C＝180°.

图5－ZT－6

7．如图5－ZT－7，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边与OA，OB分别交于点C，D，PC与PD相等吗？试说明理由．

图5－ZT－7

► 方法四 翻折构造全等三角形

8．如图5－ZT－8所示，BE平分∠ABC，E为AD的中点，且BC＝BA＋CD.

求证：CE平分∠BCD. 第 2 页 图5－ZT－8

9．2019·南京二模命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)．

已知：如图5－ZT－9，△ABC中，∠B＝∠C.

求证：AB＝AC.

三名同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB＝AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD.

(完满版)全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等

姚全刚

在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．

一、截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够

考虑用截长补短的方法： 或在长线段上截取一部分使之与短线段相等； 或将短线段延长使其

与长线段相等．

例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：

AC=AE+CD ．

解析：要证 AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在 AC 上截取 AF=AE ，则只要

证明 CF=CD ．

证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．

∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °

∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．

显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °

在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC

∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD

∴ AC=AF+CF=AE+CD ．

截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 (完满版)全等三角形常用辅助线做法

例 2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠

ECB。求证： CD=AD+BC。