数学高考知识点不等式高中

高考数学知识点：不等式1500字

高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。

一、一元一次不等式

一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。要求解这类不等式，需要注意以下几点：

1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。

2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。

3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。

二、一元二次不等式

一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：

1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。

2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。

3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。

4. 根据a的正负性确定不等式的解集。

三、绝对值不等式

绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b0。要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：

1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。

2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。

3. 解二次不等式，确定正数部分的解集。

4. 对于负数部分，将不等式中的绝对值去掉，并改变不等号的方向。

5. 解负数部分的不等式，确定负数部分的解集。

高中数学不等式知识点归纳

什么是不等式

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

高中数学基本不等式知识点

数学知识点1．不等式性质比较大小方法：

（1）作差比较法（2）作商比较法

不等式的基本性质

①对称性：a > bb > a

②传递性: a > b, b > ca > c

③可加性: a > b a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0ac > bc

⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0

数学知识点2．算术平均数与几何平均数定理：

（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）

（2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：

如果为实数，则重要结论

(1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。

数学知识点3．证明不等式的常用方法：

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，

则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

1 高中数学基本不等式的巧用

一．基本不等式

1.（1）若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）

2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）

(3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”）

3.若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

若0x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba时取“=”）

3.若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba时取“=”）

4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：（1）y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧：

技巧一：凑项

例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）

1.二维形式的柯西不等式

.),,,,,()())((22222

等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba

2.二维形式的柯西不等式的变式

bdacdcba2222)1(

.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba

bdacdcba2222)2(

.),,,,,(等号成立时当且仅当bcadRdcba

.),0,,,()())()(3(2

等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对222cba，并不是不等式的形状，但变成

222222111

31

cba就可以用柯西不等式了。

4.扩展：

2

33221122

32

22

122

32

22

1)(

nnnnbababababbbbaaaa，

当且仅当

nnbababa:::

2211时，等号成立.

【题型训练1-刷真题】一、填空题

1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量,,,(0)abcc

满足



1,2,0,0abababc

.记向量

d

在,ab

方向上的投影分别为x，y，da

在c

方向

上的投影为z，则222xyz的最小值为___________.

【答案】2

5

【分析】设(1,0),(02),(,)abcmn



，，由平面向量的知识可得252xyz，再结合柯

西不等式即可得解.

【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)abcmn



，，二、题型精讲精练一、知识点梳理

则

20abcmn