2019届中考数学思维方法讲义【第10讲】二次函数的综合运用(含答案)

二次函数性质应用（讲义）一、知识点睛1．图象平移解题思路①口诀：_____________________；②_______________． 图象对称、旋转可转化为______________来处理．2．方程的根可用__________求解，与两个函数图象的______相对应．3．函数值的大小、最值、需结合______求解，常利用________．4． a 、b 、c 组合判断：①判断a 、b 、c 符号，对称轴，判别式等；②找____________函数值；③等式和不等式________．二、精讲精练1.把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为245y x x =-+，则有（ ）A ．b =-10，c =24B ．b =2，c =4C ．b =-10，c =28D ．b =2，c =02.在平面直角坐标系中，将抛物线26y x x =--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．63.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++4.如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数=k y x-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程2++0k ax bx x =的解为 _____________．若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．5.已知二次函数2()1()y x m n x mn m n =-+++<的图象交x 轴于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为______________________．6.已知函数22(2) 4 (5)=(8) 4 (5)x x y x x ⎧--≤⎪⎨-->⎪⎩，且使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.如图是二次函数2+y ax bx c =+的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．1<<5x -B ．>5xC ．<1>5x x -且D ．<1>5x x -或8.已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1、m +1时，对应的函数值分别为1y 、2y ，则1y 、2y 满足（ ）A ．10y >，20y >B ．10y <，20y <C ．10y <，20y >D ．10y >，20y < P Ox y -3-1432y xO 59.函数2y x x m =-+（m >0）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m = 10.A 1(2)y -，、B 2(1)y ，、C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 11.已知二次函数y =x 2-4x -3，若16x -≤≤，则y 的取值范围是 ，若-3≤ x <4，则y 的取值范围是 ， 若-2<x ≤1，则y 的取值范围是__________________．12.已知二次函数2248y x mx m =-+-，若2x ≥时，函数值y 随x的增大而增大，则m 的取值范围是_____________，若x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_______．13.y=x 2+(1-a )x +1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1 ≤ x ≤ 3时，y 在x =1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a =5B ．a ≥ 5C ．a =3D ．a ≥ 314.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a -b =0；③b 2-4ac ＞0；④a -b +c <0；⑤9a +3b +c >0；⑥8a +c ＞0；⑦2c >3b ；⑧a +b ＜m (am +b )（m 为实数，且m ≠1）．其中正确的是______________．x 2x 1yx O y O x-1-2x =115.已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象与x 轴交于(-2，0)、1(0)x ，两点，且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在(02)，的下方．有下列结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③4a -2b +c =0；④a ＜b ＜0；⑤2a +c ＞0；⑥2a -b +1＞0．其中正确的是__________________．16.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a -b +c =2；④a +b ＜m (am +b )（m 为实数，且m ≠1）；⑤(a +c )2＜b 2；⑥b =1；⑦a ＞1．其中正确的是_______________．2-11O xy三、回顾与思考____________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】一、 知识点睛1． 左加右减，上加下减；点的坐标；点的坐标2． 数形结合；交点3． 图象；对称轴4． 特殊点；组合二、精讲精练1. B 2．B 3．C 4．143x =-； 3m ≤ 5．12m x x n <<< 6．C 7．D 8．B9．C 10．A 11．79y -≤≤；718y -≤≤；69y -≤<12．2m ≤；1m ≥ 13．B 14．①③④⑥⑧15．②③④⑤⑥ 16．①③⑦。

中考数学二次函数的综合复习含答案解析一、二次函数1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝113±， ∵点E 在第四象限， ∴E 点坐标为（1132+，﹣1132+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ， ∴S △ACF ＝2S △AOC ， ∴AF ＝2OA ＝2， ∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3． ∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ， 将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3， ∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩，∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．4．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】 【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（32528，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．5．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（1132+，0）、N1（13，﹣1）；M2（1132+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴k=1；（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ， ∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 113+131-1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x+b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122ny x my x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-）则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m（x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0）， 则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.8．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =-把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.9．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.10．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.11．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．12．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G 的纵坐标为：-（4+t ）2+4(4+t ）=-t 2+8.∴EG=-t 2+8-(8-t)=-t 2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.②共有三个时刻：t 1=163， t 2=4013，t 3=8525+． 【解析】（1）根据题意即可得到点A 的坐标，再由A 、C 两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，由tan ∠PAE ，即可表示出点E 的坐标，从而得到点G 的坐标，EG 的长等于点G 的纵坐标减去点E 的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值． 【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3．Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132322x t y ⎧+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，2232322x t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，3294)2t t+++．Q 点A 的坐标为()1,0，()22223943294105719422t t t AM t t t t ⎛⎫⎛⎫+++-+∴=-+-=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22223943294105719422t t t AN t t t t ⎛⎫⎛⎫-++++=-+-=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222394394329432941882222t t t t t tMN t ⎛⎫⎛⎫-+++++++-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即()()225719457194188t t t t t t t t t ++-++++++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即()()225719418857194t t t t t t t t t ++-++++=+++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++，整理，得：()941940t t t ++++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．14．一次函数y ＝x 的图象如图所示，它与二次函数y ＝ax 2－4ax ＋c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x；②y＝－x2＋2x＋．【解析】试题分析：（1）求得二次函数y＝ax2－4ax＋c对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得点C的坐标；（2）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m），根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A 点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x ＝2．当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.设A（m，m）（m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，－）得解得a＝，c＝0.∴y＝x2－x.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，AC＝＝（2－m），∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．∴A（－2，－），CD＝5.若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），由A（－2，－）、D（2，－）得解得∴y＝x2－x－3.若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（－2，－）、D（2，）得解得∴y＝－x2＋2x＋.考点：二次函数与一次函数的综合题.15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

2019年中考数学二次函数的应用专题(名师点拨中考必考知识点,建议下载打印练习)时间：45分钟 满分：100分一、单选题（共7题，每题4分；共28分）1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A ．20cmB ．18cmC ．cmD ．cm【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ＝＝＝，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ＝＝＝，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故答案：B．二、填空题（共3题，每题4分；共12分）8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大． EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2b a -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．．故答案：1509．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可．【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°，又∵AD ⊥OP ，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯，∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m . 【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24．三、解答题（共6题，每题10分；共60分）11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款．13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a ＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM ≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m －1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．图②Q图①∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4．设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1m =，2m =．综上，点P 的横坐标为4． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得0 9301a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231aac⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y＝－13x2＋23x＋1．（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－13x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－13x2＋23x＋1)，则D(x，－13x＋1)．∴PD＝－13x2＋23x＋1－(－13x＋1)＝－13x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(x B－x C)＝12(－13x2＋x)(3－0)＝－12x2＋32x．又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，43），P2（2，1）．（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝Ry Q＝－（11Q在直线x＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题：①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE 与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b ＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN 的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x +=，解得1x x =-，或1x x =-，∴21x x =-，则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x +， NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=-， 在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=-+, 在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NF BF1x ===, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ，即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax2的性质：当a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值。

当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。

2.y=ax2+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值c。

当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。

3.y=a(x-h)的性质：左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值。

当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。

4.y=a(x-h)+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值k。

当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。

三、二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标（h，k）处。

保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：向上平移|k|个单位，当k>0时；向下平移|k|个单位，当k<0时。

状元廊数学思维方法讲义之十 年级：九年级§第10讲 二次函数的综合运用【知识概述】二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目，常以中考压轴题出现，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此成为拉开分值而具有选拔功能。

有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率，解好函数的综合题（压轴题），本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略，从心理上打消望而生畏的忧虑，获得数学高分的制胜法宝。

【解题策略】1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想；2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想；3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想；4、综合多个知识点，运用等价转换思想；5、分题分段得分：对题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，做到得一分算一分。

【典例精析】专题一 知识回顾【例1】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线 2=x ，且有最大值2，其图象在x 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

2、已知二次函数y=ax 2+bx +c 满足a -b +c =0,其图像过点A(2, -3)，并且以x =1为对称轴，求此二次函数的解析式。

3、已知二次函数24y ax x c =-+的图象与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ,tan ∠ACO =15，CO =BO , △ABC 的面积为15。

求该二次函数的解析式。

专题二 能力提升题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式【例2】已知二次函数b ax x y ++-=2与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，∠ACB =90°，且tan ∠BAC -tan ∠ABC =2，求此二次函数的解析式。

2019年全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用（2018北海,7，3分）7．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为： （ ）A ．（－2，－1）B ．（2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，1）【解析】二次函数的顶点坐标公式为（ab ac a b 44,22--），分别把a ，b ，c 的值代入即可。

【答案】B【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y 值即可，属于简单题型。

（2018山东省滨州，1，3分）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】抛物线解析式234x x --+，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y=0，得到2340x x --+=，即2340x x +-=，分解因式得：(34)(1)0x x +-= ，解得：143x =-, 21x =， ∴抛物线与x 轴的交点分别为（43-，0），（1，0）， 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 【答案】选A【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x 轴的交点个数，与y 轴的交点就是抛物线中C 的取值．( 2019年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.当x ＞1时,y 随x 的增大而减小 C.x ＜1时，y 随x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x －1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y 随x 的增大而减小,即x ＜1时,故选C. 【答案】C【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.12．（2018湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c ＞0，然后根据对称轴推出2a+b 与0的关系，根据图象判断﹣1＜x ＜3时，y 的符号． 答案：解：①图象开口向下，能得到a ＜0； ②对称轴在y 轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y ＞0，则a+b+c ＞0； ④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0． 故选C ．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．（2018呼和浩特，9，3分）已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a,b ），则二次函数y= –abx 2+(a+b)xA. 有最大值，最大值为 –92B. 有最大值，最大值为92 C. 有最小值，最小值为92D. 有最小值，最小值为 –92【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M 在双曲线上，∴ab=12；∵N 在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3； ∴二次函数y= –abx 2+(a+b)x= –12x 2+3x= –12(x –3)2+92，∴有最大值，最大值为92【答案】B【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab 和a+b 的值。

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．知识互联网思路导航二次函数的应用题型一：二次函数的最值x=-b 2ax=-b 2a x=-b 2a x=-2a ④③②①【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例1】 ⑴ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑵ 当331012x +-≤≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12（昌平二模）例题精讲典题精练【解析】 ⑴ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q 的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑵ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例2】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，已知()04A ，、()50C ，．作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE CD ⊥交OA 于点E ． ⑴求点D 的坐标；⑵求证：ADE BCD △≌△；⑶抛物线2424455y x x =-+经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2012西宁)【解析】⑴ 证明：∵OD 平分AOC ∠，∴AOD DOC ∠=∠， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB OC ∥．∴ADO DOC ∠=∠， ∴AOD ADO ∠=∠．∴OA AD =（等角对等边）．∴D 点坐标为()44，． ⑵ 解：∵四边形AOCB 是矩形 ∴90OAB B ∠=∠=︒，BC OA =． ∵OA AD =， ∴AD BC =． ∵ED DC ⊥， ∴90EDC ∠=︒．∴90ADE BDC ∠+∠=︒． ∵90BDC BCD ∠+∠=︒， ∴ADE BCD ∠=∠． 在ADE △和BCD △中， DAE B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE BCD △≌△（ASA ） ⑶ 解：存在．∵二次函数解析式为：2424455y x x =-+，点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点坐标为2424455t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设AC 所在直线函数关系式为y kx b =+，()04A ，、()50C ，， ∴4540b k =⎧⎨+=⎩ ∴454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴AC 所在直线函数解析式为：445y x =-+．∵PM y ∥轴，∴445M t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，．2424444555PM t t t ⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2445t t =-+24255554t t ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭245552t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴当52t =时，5PM =最大值． ∴所求的P 点坐标为532⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【例3】 如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10a =米）， 当AB 为多少米时，围成的花圃面积最大．（人大附练习题） 【解析】 设AB 长为x 米，则花圃的面积()()()2223033303103575S x x x x x x x =-=-+=--=--+显然0303100x x <-⎧⎨>⎩≤解得20103x <≤，当203x =时，max 2003S =（平方米）.【例4】如图，已知抛物线经过点()10A -，、()30B ，、()03C ，三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN y ∥轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使BNC △的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． (2012黔东南州) 【解析】（1）设抛物线的解析式为：()1y a x =+()3x -，则：()01a +()033-=，1a =-； ∴抛物线的解析式：()()21323y x x x x =-+-=-++．（2）设直线BC 的解析式为：y kx b =+，则有： 303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；故直线BC 的解析式：3y x =-+．已知点M 的横坐标为m ，则()3M m m -+，、()223N m m m -++，； ∴故()()22233303N m m m m m m =-++--+=-+<<．（3）如图；∵()1122BNC MNC MNB S S S MN OD DB MN OB =+=+=⋅△△△，∴()()213327332032228BNC S m m m m m ⎛⎫=-+⋅=--+<< ⎪⎝⎭△； ∴当32m =时，BNC △的面积最大，最大值为278．典题精练题型二：二次函数综合应用xyNMOCBA【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和 点B (0，1-)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4，n )． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) (2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值． （2013西城一模）【解析】（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，1-）， ∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点C （4，n ）， ∴34124n =⨯-=. ∵抛物线212y x bx c =++经过点C （4，2）和点B （0，1-），∴21244,21.b c c ⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 解得5,41.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为21524y x =- （2）∵直线l ：314y x =-与x ∴点A 的坐标为（43，0）.∴OA=43.在Rt △OAB 中，OB=1，∴AB 53=.∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°.∴△OAB ∽△FDE .∴OA OB ABFD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，35OB FE DE DE AB =⋅=.∴p =2(FD+ FE )=43142()555DE DE ⨯+=.∵D （t ，215124t t --），E （t ，314t -），且04t <<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t =⨯-+=-+.∵2728(2)55p t =--+，且705-<，∴当2t =时，p 有最大值528.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且5AB =，4sin 5B =．（1）求过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为1y mx n =+，（1）中抛物线的解析式为22y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，PAE △的面积最大？并求出面积的最大值．（2012攀枝花）【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴5AB AD CD BC ====，4sin sin 5B D -=；Rt OCD △中，sin 4OC CD D =⋅=，3OD =；2OA AD OD =-=，即：()20A -，、()54B -，、()04C ，、()30D ，； 设抛物线的解析式为：()2y a x =+()3x -，得：()234a ⨯-=，23a =-；∴抛物线：222433y x x =-++．（2）由()20A -，、()54B -，得直线AB ：14835y x =--； 由（1）得：2222433y x x =-++，则：2483322433y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 解得：1120x y =-⎧⎨=⎩，225283x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；由图可知：当12y y <时，25x -<<． （3）∵12APE S AE h =⋅△， ∴当P 到直线AB 的距离最远时，ABC S △最大；若设直线L AB ∥，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ； 设直线L ：43y x b =-+，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，24224333x b x x -+=-++，且0=△； 求得：112b =，即直线L ：41132y x =-+； 可得点3722P ⎛⎫⎪⎝⎭，．由（2）得：2853E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线PE ：1193y x =-+； 则点27011F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，4911AF OA OF =+=；∴PAE △的最大值：1492873432113212PAE PAF AEF S S S ⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭△△△．综上所述，当3722P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，PAE △的面积最大，为34312．【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A ，B 两点， 点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD AB ⊥于点D ⑴求a ，b 及sin ACP ∠的值 ⑵设点P 的横坐标为m①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．(2012河南) 【解析】⑴ 由1102x +=，得到2x =-，∴(20)A -，由1132x +=，得到4x =， ∴(43)B ，． ∵23y ax bx =+-经过A ，B 两点，22(2)230,4430a b a b ⎧-⋅--=⎪⎨⋅+-=⎪⎩∴1122a b ==-，． 设直线A ，B 与y 轴交于点E ，则(01)E ，∵PC y ∥轴，∴ACP AEO ∠=∠． ∴25sin sin 5OA ACP AEO AE ∠=∠=== ⑵ 由⑴可知抛物线的解析式为211322y x x =-- ∴211322P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，112C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2211111342222PC m m m m m ⎛⎫=+---=-++ ⎪⎝⎭在Rt PCD △中，sin PD PC ACP =⋅∠212542m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭yxPOABCD21)m =-+∵0< ∴当1m =时，PD． ②存在满足条件的m 值，52m =或329．分别过点D ，B 作DF PC ⊥，垂足分别为F ，G ．在Rt PDF △中，21(28).5DF m m ==--- 又4,BG m =- ∴21(28)2545PCDPBCm m S DF m S BG m ---+===-△△ 当29510PCD PBC S m S +==△△时． 解得52m =． 当21059PCD PBCS m S +==△△时，解得329m =．A 讲训练1. ⑴ 已知实数x ，y 满足方程()()224233213x x y y ++++=，则x y += .⑵ 若实数a ，b 满足21a b +=，则2227a b +的最小值是 .【解析】 ⑴ 43-.⑵ 2.训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a =于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x +=22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+思维拓展训练(选讲)∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于(10)A ，,(30)B -，两点， ⑴ 求该抛物线的解析式；⑵ 设⑴中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.⑶ 在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.【解析】⑴将A (1，0)，(30)B -，代2y x bx c =-++中得 10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+⑵存在. 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩ ∴Q (－1，2)⑶答：存在. 理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大， ∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++ ＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，训练4. 已知抛物线2y x bx =+，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x c =．过点A 的直线绕点(0)A c ，旋转，交抛物线于点()B x y ，，交y 轴负半轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线与直线x c =交于点D ，设AOB △的面积为1S ，ABD △的面积为2S ． ⑴ 求这条抛物线的顶点的坐标；⑵ 判断1S 与2S 的大小关系，并说明理由．(大兴二模) 【解析】 ⑴∵ 抛物线y =x 2+bx ，在x 轴的正半轴上截得的线段的长为4，可知对称轴为直线x =2． ∴ A (2，0)，设图象与x 轴的另一个交点E 的坐标为 (4，0)， ∴ 抛物线为 y = x 2 +b x 经过点E (4，0) ．∴4b =- ，∴24y x x =-．∴ 顶点坐标为（2，－4）．⑵ S 1与S 2的大小关系是：S 1 = S 2 理由如下： 设经过点A （2，0）的直线为y=kx+b (k ≠0)．∴ 0 =2k +b ．∴ k =21-b ． ∴ y =b x b+-2． ∴ 点B 1的坐标为（x 1 ，b x b+-12）， 点B 2的坐标为（x 2 ，b x b+-22）．当交点为B 1时，b x bb x b S -=+-⨯⨯=11122221， 12221x b S -⨯⨯=b x bx b -=--=112)2(2． 21S S =∴．当交点为B 2时， b x bb x b S +-=+-⨯⨯=22122221 22122-⨯⨯=x b S =b x bx b +-=--=222)2(2． ∴ S 1 = S 2．综上所述，S 1 = S 2．B 讲训练1. 如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为2m S ，平行于墙的BC 边长为m x ．⑴若墙可利用的最大长度为10m ，篱笆长为24m ，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式．⑵在⑴的条件下，围成的花圃的面积为245m 时，求AB 的长．能否围成面积比245m 更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．⑶若墙可利用最大长度为40m ，篱笆长77m ，中间用n 道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形和x 为正整数时，请直接写出一组满足条件的x 、n 的值．【解析】 ⑴ 由题意得：2241833x S x x x -=⋅=-+，()010x <≤⑵ 由218453S x x =-+=解得：115x =（舍去），29x = ∴9x =时，2453xAB -== 又()22118124833S x x x =-+=--+，()010x <≤又∵103a =-<，抛物线的开口向下∴当10x =米时，S 最大为1403平方米 ∴平行于院墙的一边长大于9且小于等于10时，就能围成面积比45平方米更大的花圃．⑶ ∵()2771x x n n +⋅+=+()040x <≤，即12771x n ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭又∵n 为自然数时，12231n <++≤ ∴7723x<≤ ∴22538.53x <≤检验：当33x =，2n =；当35x =，4n =；当38x =，37n =．训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩ 解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a = 于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x += 22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(03)C ，，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(30)-，⑴ 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；⑵点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标； ⑶ 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.（东城二模） 【解析】 ⑴ 由题意，得：3,960.c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：1,3.a c =-⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：223y x x =--+顶点D 的坐标为(14)-，⑵ 易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ⨯△时，易得E 点坐标(22)-，，直线OE 的解析式为y x =-.设M 点坐标()x x -，，y xOMEDCB A2122 3.).x x x x x -=--+==舍∴M② 当1=9=63OBE S ⨯△时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为(14)-，⑶如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， 因为点P 在抛物线上，所以232n m m =-+-， 所以PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C 111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =.CPB △的面积有最大值27.8所以当点P 的坐标为315(,)24-时，CPB △的面积有最大值，且最大值为27.8训练4. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为的等边ABC △随着顶点A 在抛物线2y x =-上运动而运动，且始终有BC ∥x 轴．⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛 物线上？⑵ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即:1:8S S =上部分下部分）时，求顶点A 的坐标；⑶ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标．【解析】 ⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与y 轴交于点D ，如图所示．∵BC ∥x 轴，BC=AC=32，∴CD =，3=AD ． ∴C 点的坐标为)3,3(-． ∵当3=x 时，23y =--．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．⑵ 过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点A 的坐标为（x，2x -）． ∵:1:8S S =上部分下部分，∴23()AD x =-． ∵等边ABC △的边长为 ∴sin603AD AC =⋅︒=．∴23()3x -=．∴210x --=． 解方程，得 =x 2．∴顶点A的坐标为2,1)或2,1)．⑶当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为0)、0)、6)-．题型一 二次函数的最值 巩固练习【练习1】 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w (双) 与销售单价x (元)满足280w x =-+(20≤x ≤40),设销售这种手套每天的利润为y （元）. ⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？（海淀期末）【解析】 ⑴(20)(280)(20)y w x x x =-=-+-221201600x x =-+-.⑵22(30)200y x =--+.∵2040x ≤≤, a =-2<0,∴当30x =时，200y =最大值.答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元.【练习2】 已知2221x y +=，求225x y +的最大值和最小值. 【解析】 222215552292525222222510x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-++=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵22210y x =-≥，∴11x -≤≤当25x =时，取到最大值为2910；当1x =-时，取到最小值为2-.【练习3】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关 于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图 象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与 1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥，∴0∆≥.∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-复习巩固my 12344321-1-2-3-3-2-1O()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=.等号右边=0. ∴左边=右边.∴ x =1是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =- ∵1m n -=， ∴ a =m .当x =2时，y 1=2n +m 2=2（m -1）+m 2= m 2 +2m -2，y 2=22+ 2m （n -m -m ）+m （m -n ）=4 +2m （-1-m ）+m 224m m =--+. 如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，CD = y 2-y 1=2336m m --+=-3（m +12）2 +274由 y 1=y 2，得m 2 +2m -2=-2m 2-m +4.解得m =-2或m =1. ∴ m A =-2，m B =1. ∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.题型二 二次函数综合应用 巩固练习【练习4】 如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点(03)C -，．⑴ 求抛物线的对称轴及k 的值；⑵ 在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最 小，求此时点P 的坐标；⑶ 设点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M 点 运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面 积及此时点M 的坐标.（平谷一模）【解析】 ⑴ 抛物线2(1)y x k =++的对称轴为：直线1x =-．Q 抛物线2(1)y x k =++过点(03)C -，，则23(01)k -=++， 4k ∴=-． ⑵ 如下图，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PA PC +的值最小．又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1x =-的交点．由⑴可知，抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =+-=+-．令0y =，则2230x x +-=．解得：1231x x =-=，．则点A B 、的坐标分别是(30)A -，、(10)B ，． 设直线AC 的表达式为y kx b =+，则303k b b -+=⎧⎨=-⎩，. 解得 13.k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线AC 的表达式为3y x =--． 当1x =-时，(1)32y =---=-. 所以，此时点P 的坐标为(12)--，．⑶ 依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，AMB △的 面积最大．由抛物线表达式2(1)4y x =+-可知，抛物线的顶点坐标为(14)--，． ∴点M 的坐标为(14)--，．AMB △的最大面积1(31)482AMB S =⨯+⨯=△．【练习5】 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其 顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一 个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED .⑴ 求此抛物线及直线OC 的解析式；⑵ 当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；⑶ 连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标.（海淀期末）【解析】 ⑴∵ 抛物线过原点和A (0-)，∴ 抛物线对称轴为3-=x . ∴ B (3).设抛物线的解析式为2(3y a x =+. ∵ 抛物线经过(0, 0), ∴330a += . ∴1a =- .∴3)3(2++-=x y 2.y x =--∵ C 为AB 的中点, A (0-)、B (3)， 可得 C (32) .可得直线OC 的解析式为x y 33-=. ⑵连结OB . 依题意点E 为抛物线x x y 322--=与直线x y 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由2,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩， 解得5,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）.∴ E（53） 过E 作EF ⊥y 轴于F , 可得OF =53，∵ OE =DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF .∴ DO =2OF =103.∴ D (0, 10).∴ BD=⑶E 点的坐标为(32)或12-).。

二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

2019年中考总复习—关于⼆次函数的经典题型汇总（含答案）1、如图，抛物线 y=ax2+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，D 是 y 轴上⼀点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．（1）求此抛物线的解析式；（2）若 E 点在第⼀象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的⾯积⽐为=，求出点 E 的坐标；（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平⾏的直线交抛物线于 M、N 两点，是否存在点 D，使 DA2=DM?DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2、抛物线经过点A和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的⾯积.3、如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，⾃变量x的取值范图；（2）在第⼆象限内的抛物线上有⼀点P，当PA⊥BA时，求△PAB的⾯积．4、在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第⼀象限内的点，PD⊥BC，垂⾜为点D．①是否存在点P，使线段PD的长度最⼤？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．5、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上⽅抛物线上的⼀个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的⾯积有最⼤值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直⾓三⾓形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6、如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x，0）、B（x2，0）（x11＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；①设点P为线段BD上⼀点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF⾯积的最⼤值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找⼀点M，使|MB﹣MD|的值最⼤，并求出这个最⼤值；（3）点P为y轴右侧抛物线上⼀动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三⾓形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的⼀个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最⼤值．9、如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的⾯积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平⾏线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．10、如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（⽤含m的代数式表⽰）；（2）求△ABC的⾯积（⽤含a的代数式表⽰）；（3）若△ABC的⾯积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最⼤值为2，求m的值．11、如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到⼀条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平⾏于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．12、如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找⼀点M，使△BDM的周长最⼩，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直⾓边的三⾓形是直⾓三⾓形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另⼀点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第⼀象限内抛物线上⼀点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三⾓形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平⾏于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B 在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC⾯积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．15、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下⽅的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最⼤值；（3）点D为抛物线对称轴上⼀点．①当△BCD是以BC为直⾓边的直⾓三⾓形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐⾓三⾓形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．16、如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的⼀个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表⽰的⼆次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平⾏四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三⾓形与△BOD 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD 的直线l交y轴于点E，点P是x轴下⽅抛物线上的⼀个动点，过点P作PF⊥x轴，垂⾜为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆⼼，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的⼀个动点，求AQ+EQ的最⼩值．18、如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的⼀个动点（点P 不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19、如图，已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个⼆次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个⼆次函数的图象上任意⼀点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最⼤值；②当△PCM是以PM为⼀腰的等腰三⾓形时，求点P的坐标．．20、如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平⾯内⼀点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出满⾜条件的所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1、解：（1）将 A（1，0），B（6，0）代⼊函数解析式，得解得，抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；（2）∵EF⊥x 轴于点 F，∴∠AFE=90°．∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，∴△AOD∽△AFE．∵==∵AO=1，∴AF=3，OF=3+1=4，当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，∴E 点坐标是（4，），（3）存在点 D，使 DA2=DM?DN，理由如下：设 D 点坐标为（0，n），AD 2=1+n 2，当 y=n 时，﹣x 2+x ﹣=n化简，得﹣3x 2+21x ﹣18﹣4n=0，设⽅程的两根为 x 1，x 2， x 1?x 2= DM=x 1，DN=x 2，DA 2=DM?DN ，即 1+n 2=，化简，得3n 2﹣4n ﹣15=0，解得 n 1=，n 2=3，∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．2、解：设线段AB 所在直线为：y=kx+b 解得AB 解析式为：∴CD=CE-DE=23、解：（1）由题意得，，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x，令y=0，得x2﹣2x=0，解得x=0或2，结合图象知，A的坐标为（2，0），根据图象开⼝向上，则y≤0时，⾃变量x的取值范图是0≤x≤2；（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得，∴y=3x﹣6，设直线AP的解析式为y=kx+c，∵PA⊥BA，∴k=，则有，解得c=，∴，解得或，∴点P的坐标为（），∴△PAB的⾯积=|﹣|×||﹣×||×﹣×|﹣|×||﹣×|2﹣1|×|0﹣（﹣3）|=．4、解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代⼊抛物线y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（3分）（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），易得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC=4，OB=8，∴BC==4，在Rt△PDE中，PD=PE?sin∠PED=PE?sin∠OCB=PE，∴当线段PE最长时，PD的长最⼤，设P（t，），则E（t，），∴PG=﹣，EG=﹣t+4，∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t=4时，PE有最⼤值是4，此时P（4，6），∴PD==，即当P（4，6）时，PD的长度最⼤，最⼤值是；（7分）②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△COA∽△BOC，当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，∵相似三⾓形的对应⾓相等，∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，此时CP∥OB，∵C（0，4），∴y P=4，∴）=4，解得：x1=6，x2=0（舍），即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，∴PF∥OC，∴∠PFC=∠BCO，∴∠PCD=∠PFC，∴PC=PF，设P（n，+n+4），则PF=﹣+2n，过P作PN⊥y轴于N，Rt△PNC中，PC2=PN2+CN2=PF2，∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2，解得：n=3，即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．（12分）5、解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代⼊，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代⼊，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，△PAB的⾯积有最⼤值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直⾓三⾓形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶⾓，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．6、解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由⼀元⼆次⽅程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣。

初三数学讲义（二次函数）（含答案）（含答案） 知识梳理：知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的基本形式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．轴交点的位置． 二次函数解析式的确定：三个独立条件 四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，． 当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．注意：当定义域是m x n ££时，要判断对称轴是否在定义域内时，要判断对称轴是否在定义域内..若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值. . 五、二次函数图象的平移1. 平移步骤：平移步骤：方法一：⑴方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．六、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：轴的交点个数：① 当240b ac D =->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0D =时，图象与x 轴只有一个交点；轴只有一个交点； ③ 当0D <时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++¹本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：内在联系：0D > 抛物线与x 轴有两个交点两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根 0D =抛物线与x 轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 0D < 抛物线与x 轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图1 重要题型： 1.1.基本问题：基本问题：1. 已知函数26(2)my m x-=-是二次函数，则m 值为（值为（ ）A.2 B. ±2C. ﹣ 2 D 6±2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c ><>000，， B ．a b c <<>000，， C ．a b c <><000，， D ．a b c <>>000，，3. 抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 4. 已知二次函数223y x x =--．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 5. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第四象限．第四象限 B ．第三象限．第三象限 C ．第二象限．第二象限 D ．第一象限．第一象限6. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 7. 已知二次函数y=﹣x 22﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是________________.8.二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）中的（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3 ﹣4 ﹣ 3 0512给出了结论：给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣有最小值，最小值为﹣33； （2）当时，时，y y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B B．．2个C C．． 3个D D．．0个9.9.已知二次函数已知二次函数y ＝ax2＋bx bx＋＋c 图象的一部分如图，图象的一部分如图， 则a 的取值范围是的取值范围是______________________________．．10. 二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜0 11. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ¹)的图象如图的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠ 0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c >0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a <0；②c >0；③a +b +c <0；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是 ．13. 函数2(2)5(1)y x x m =-+££中y 的范围是56y ££，则m 的取值范围是_____. 3.3.易错易做题：易错易做题：14.已知22224+3=12x y x x y +，则的最大值是（ ） A.9 B.10 C.12 D.15 15. 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．元．16. 设二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(32x -££)有最大值4，则实数a 的值为________. Ox y 1x =1-2-17. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣（﹣33，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；点的坐标； ②连接PA PA，以，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN APMN，随着点，随着点P 的运动，的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）（结果保留根号）18. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标的坐标 (用含m 的代数式表示)；求证：无论m 取何值时，取何值时， B 都在直线y x =-上；（2）D 为BO 中点，中点，直线直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛求抛 物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的 坐标. 备用图备用图x x m y 222-=CAOBxyCAOBxy课后作业：课后作业：1. 如图为抛物线2yax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2aD ． ac <0 2. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 3. 已知二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。

人教版九年级下册数学二次函数知识点总结教案主讲人：李霜霜一、教学目标：(1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．(2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想．二、教学重点、难点教学重点：二次函数的图像，性质和应用教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题．3、教学过程复习巩固（一）二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，，b c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，，b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y = ax 2 + c 的性质： 上加下减。

3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。

4. y = a (x - h )2+ k 的性质：（三）二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭• • (k >0)• • • • (k <0)• • • |k |• • •y=ax 2+k• • (h >0)• • •h <0 • • |k|• • •• • (h >0)• • • h <0•• • |k|• • •• • (k >0)• • • (k <0)•• • |k |• • •• • (h >0)• • • (h <0)• • • |k|• • •• • (k >0)• • • (k <0)• • • |k |• • • y=a (x-h )2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（四）二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2到前者，即 y = a x + 2a ⎪ + 4a ，其中h = - ， k = ． 2a 4a(五)二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ ．1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a当 x < - b时， y 随 x 的增大而减小；2a 当 x > - b时， y 随 x 的增大而增大；2a当 x = - b2a 4ac - b 2 时， y 有最小值 ．4ab⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当x < - 2a时， b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a时， y 有最大值 ．4a(六)二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式（交点式）： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 ay=a (x-h )2y=ax 2⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0 对称轴为y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．(八)二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 +bx +c = 0 是二次函数y =ax2 +bx +c 当函数值y = 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x 轴交于两点A(x，0，)，B (x0)(x≠x)，其中的x ，x 是一元1 2 1 2 1 2二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．.② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；例题讲解：15.已知二次函数图象的对称轴是x + 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0, -(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大? 52 ).第15 题图17.如图，抛物线y =x2 +bx -c 经过直线y =x - 3 与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S∆APC：S∆ACD=5 ：4 的点P的坐标。

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷（含答案）一、解答题（共2题；共15分）1.如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB 于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．二、综合题（共20题；共310分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．5.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．6.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．7.已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．8.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．9.如图，抛物线y=﹣x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．12.已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？13.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．15.（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．16.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.如图，直线y=﹣x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．21.如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、解答题1.（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.解得c=-3.当y=0时，x2+x-3=0.解得：x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.把A(-4,0)，C（6，）代入得：解得：∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.在Rt△AOB中，tan∠OAD==.∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO.又∵∠MOP=∠AON.∴∠APM=∠AON.∴△APM∽△AON.②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD=.∴cos∠EAM=cos∠OAD=.∴AM=AE=.∵△APM∽△AON.∴=.∴AN==.2.解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为y=x+，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．(3) （3）存在设Q(x, x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2∴Q的横坐标为5.2 ，7.2(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根据两点间距离公式得到：==∴==4（1+k2）．又==；同理∴===4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．二、综合题3.（1）解：∵y= x2﹣x﹣，∴y= （x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y= ．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k= ，b= ．∴直线AE的解析式为y= x+ ．（2）解：设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣= ，解得：m= ．∴直线CE的解析式为y= x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）= x2+ x．∴△EPC的面积= ×（x2+ x）×4=﹣x2+ x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH= =3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）解：如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG= = ．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，∴点Q″（3，2 ）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2 ）或（3，﹣）．4.（1）解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+4（2）解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN= BN•OA= （n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴= = ，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大（3）解：当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM= AB，∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，∴AB= AC，∴OM= AC5.（1）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）解：∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a= ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．6.（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）（3）解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+ ，∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大7.（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，，解得：，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，∴k=m﹣1，∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：，，∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为y= x2﹣x= x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，，解得：，∴直线AE的解析式为y=﹣x+ ．设直线FH的解析式为y=k2x+b2，将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，，解得：，∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+2．当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM，∴= = ，∴QM′= ，MM′= t，∴点M的坐标为（t﹣，t）．又∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴t= ×（t﹣）2﹣（t﹣），解得：t= ；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴2t= ×（t﹣4）2﹣（t﹣4），解得：t= ．综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．8.（1）解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5（2）解：如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5 ，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD= ，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）（3）解：设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+ ，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，= CE•HF=﹣2（t﹣）2+ ，∴S四边形CHEF当t= 时，四边形CHEF的面积最大为（4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y= x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．9.（1）解：当y=0时，0=﹣x2+ x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= = ，BC= =2 ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，则= ，当△BMP∽△ADB时，= = ，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）10.（1）解：∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2（2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+ m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴= ，即= ，解得m=0（舍去）或m=2，∴M（2，0）；当∠NBP=90°时，则有= ，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP= = m，AP= = （3﹣m），∴= ，解得m=0（舍去）或m= ，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣11.（1）解：由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2；（2）解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+ t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（x B﹣x E）= （﹣t2+2t）（5﹣），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣t2+2t）（5﹣）﹣• • =﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．12.（1）解：∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3 ，∴y=﹣x﹣3 ，当x=2时，y=﹣5 ，则点D的坐标为（2，﹣5 ），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2 x+3 （2）解：作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴，即AB2=AC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴，即AB2=BC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）（3）解：作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN= = ，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE= EF，∴Q的运动时间t= =BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4 ．13.（1）解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y= x2﹣；②如图1，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；（2）解：点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，m2﹣），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得，解得b= ，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得，解得b2= ，即F（0，），OF+OE= + = = ，= =2．14.（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）解：点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC= ×2×3=3；（3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC= = ，∴S△CMN= × × = ；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= = ，∴S△CMN= × × = ；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．15.（1）解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4 x（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3 ），∴D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=3 ，∴MF=3 PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，∴tan∠ABD= ，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF= = ，∴FN= PF，∴MN=MF+FN=4 PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2× ×4 PF2，∴a=2 PF，∴NC= a=2 PF，∴= ，∴MN= NC= × a= a，∴MC=MN+NC=（+ ）a，∴M点坐标为（4﹣a，（+ ）a），又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4 （4﹣a）=（+ ）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，∴点M的坐标为（+1，2 + ）．16.（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，∵sin∠AMF= ，∴= ，∴= ，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）（3）解：①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3± ，∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．17.（1）解：在直线y=﹣x+2 中，令y=0可得0=﹣x+2 ，解得x=2，令x=0可得y=2 ，∴A为（2，0），B为（0，2 ）；（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，∴tan∠ABO= = ，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE= t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）解：相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t= ，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2 ﹣× = ，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE= ，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22= ，又AF•AB= ×4= ，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）解：存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t= ，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣t=2 ﹣× = ，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a= ，∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，即y= x2﹣x+ ．18.（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣2=﹣（x﹣2）2+ ；（2）解：如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），∵B（0，3），∴直线BC解析式为y= x﹣2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH= ，∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+ x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB= GH×|x G﹣x F|+ GH×|x B﹣x G|= GH×|x B﹣x F|= × ×（3﹣）= ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣x2+ x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD= ﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= ﹣；（4）解：存在点P，使∠PBF被BA平分，如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．19.（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP= AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=± ，当时，（m+1）2﹣2= ，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．20.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k= ，b=﹣，∴直线PA的解析式为y= x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．21.（1）解：由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）解：如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a= ，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a= ，∴y2= x2+2 x+1；（3）解：如图2，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，∴∠BDQ=30°，∴PH= t，PG= t，∴S= （PE+PF）×DP= t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合= （t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．22.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣；（2）解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y= x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）解：存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣= ，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N2（2+ ，），N3（2﹣，）．。

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2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1。

(2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位:s)之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t(20﹣5t)＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1。

（2019年四川省广安市)在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米)之间的关系为y＝﹣x2+x+,由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0,解得，x＝2（舍去)，x＝10．故答案为:10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市)攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果,进价为10元/千克,售价不低于15元/千克,且不超过40元/每千克,根据销售情况,发现该芒果在一天内的销售量y （千克)与该天的售价x （元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。

2019年中考数学复习集训 题型专项四 二次函数的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现． 类型1 二次函数的图象与字母系数的关系(2015·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc ＝0；②a ＋b ＋c>0；③a>b ；④4ac －b 2<0.其中正确的结论有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【思路点拨】二次函数图象与a 、b 、c 之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a ＋b ＋c 代数式，考虑当x ＝1时求y 值；(2)含a －b ＋c 代数式，考虑当x ＝－1时求y 值；(3)含4a ＋2b ＋c 代数式，考虑当x ＝2时求y 值；(4)含4a －2b ＋c 代数式，考虑当x ＝－2时求y 值；(5) 含b 2－4ac 代数式，考虑由图象与x 轴交点个数来判断．1．(2015·毕节)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．a ＜0B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜02．(2015·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝12，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc ＜0；②a ＋b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0；④若(0，y 1)，(1，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＝y 2.上述说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②3．(2014·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0.其中正确结论的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．(2013·遵义)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2014·达州)下图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.① b 2＞4ac ；②4a －2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④6．(2014·安顺)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a－b ＝0；②a＋b ＋c>0；③c＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用(2013·贵阳)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示．(1)顶点P 的坐标是______；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标和点A 关于x 轴的对称点的坐标，求出y ＝mx ＋n的解析式，再与y ＝－x 2－2x ＋3组成方程组，求出交点坐标． 【解答】 (1) ∵a＝－1，b ＝－2，c ＝3， ∴－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝－12－4－4＝4. ∴顶点坐标为P(－1，4)．(2) ∵直线y ＝ax ＋b 经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－a ＋b ，11＝a×0＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝11.∴直线y ＝ax ＋b 表达式为y ＝7x ＋11.(3)∵直线y ＝7x ＋11与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, 11)，∴与x 轴成轴对称的直线y ＝mx ＋n 与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, －11)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－117m ＋n ，－11＝m×0＋n. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－7，n ＝－11.∴直线y ＝mx ＋n 表达式为y ＝－7x －11.∵直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－7x －11，y ＝－x 2－2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7，y 1＝－60. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3.∴直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2, 3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2014·遵义)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2015·安徽)如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )3．(2015·泰州)已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线．(1)求m 、n 的值；(2)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ∶PB ＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值(2015·毕节)某商场A 、B 两种商品，若买2件A 商品和1件B 商品，共需80元；若买3件A商品和2件B 商品，共需135元，(1)设A 、B 两种商品每件售价分别为a 元、b 元，求a ，b 的值；(2)B 商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B 商品100件；若按销售单价每上涨1元，B 商品每天的销售量就减少5件，①求每天B 商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？ ②求销售单价为多少元时，B 商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】 (1)由2件A 商品和1件B 商品需要80元，3件A 商品和2件B 商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y 关于x 的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润．【解答】 (1)根据题意，列方程得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝80，3a ＋2b ＝135，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝30. 答：a 、b 的值分别为25，30.(2)①∵销售单价为x元，∴销售量为100－5(x－30)件，根据题意得y＝(x－20)[100－5(x－30)]＝－5x2＋350x－5 000，即y关于x的函数关系式为y＝－5x2＋350x－5 000(30≤x≤50)．②由抛物线对称轴为x＝－3502×（－5）＝35，可知当售价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润为y＝－5×352＋350×35－5 000＝1 125(元).答：当B商品定价为35元时，B商品每天的利润最大，最大利润为1 125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．1．(2015·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v 是车流速度密度x的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．2．(2015·贵阳模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1 200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2015·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．(1)求y 关于x 的函数关系式．(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．(3)若经销商希望该服装一年的销售获利不低于2.2万元，请你根据图象帮助确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④ 类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m2＝－1，解得m ＝2.∵二次函数过点P(－3，1)， ∴1＝9－6＋n ， 解得n ＝－2.(2)二次函数解析式为y ＝x 2＋2x －2.过P 作PC⊥x 轴于点C ，过B 作BD⊥x 轴于点D ，PC ∥BD ，∴△APC ∽△ABD. 又∵PA∶PB＝1∶5，∴PC BD ＝PA AB ＝PA PA ＋PB ＝16. ∵PC ＝1， ∴BD ＝6. ∴y B ＝6.∵B 在二次函数上，设B 点横坐标为x ，∴x 2＋2x －2＝6，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)．∴B 点坐标为(2，6)，将B 、P 点代入一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4.∴一次函数的表达式是y ＝x ＋4.类型3 1.(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x≤220时，v ＝－25x ＋88.当x ＝100时，v ＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60.解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120范围内．(3)设车流量为y 与x 之间的关系式为y ＝vx ，当20≤x≤220时，y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，y 最大＝4 840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y 取得最大值是4 840辆/小时． 2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)． (2)设每件童装降价x 元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20.∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x ＝20.答：童装店应该降价20元. (3)设每件童装降价x 元，可获利y 元，根据题意，得y ＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800＝－2(x －15)2＋1 250. ∴当x ＝15时，y 最大＝1 250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1 250元．3．(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧500＝300k ＋b ，400＝400k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝800.∴y ＝－x ＋800.(2)设z 关于y 的函数关系式为z ＝k 1y ＋b 1，则⎩⎪⎨⎪⎧340＝300k 1＋b 1，320＝400k 1＋b 1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－15，b 1＝400.∴z ＝－15y ＋400.则z 关于x 的函数关系式为z ＝－15(－x ＋800)＋400＝15x ＋240.年获利w 关于销售单价x 的函数关系式为：w ＝(x －z)y －20 000＝(x －15x －240)(－x ＋800)－20 000＝－45x 2＋880x －212 000＝－45(x －550)2＋30000.当x ＝550时，w 最大＝30 000，最大获利3万元．(3)由图象可知，要使年获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间，又由于销售单价越低，销售量越大，所以销售单价应定为450元．。