2017湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
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2017湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．球
2．已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为
A．0 B．1
C．2 D．3
3．在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为
A．15 B．25
C．35 D．45
4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在△ABC中，若0ABAC，则△ABC的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
6．sin120的值为 A．22 B．－1 C．32 D．－22
7．如图，在正方体1111ABCDABCD中，直线BD与11AC的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直
8．不等式(1)(2)0xx的解集为
A．{|12}xx－ B．{|12}xx－
C．{|2xx或1}x－ D．{|2xx或1}x－
9．点,1Pm不在不等式20xy表示的平面区域内，则实数m的取值范围是( )
A．1m B．1m C．1m D．1m
10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是
A． B． C． D．
二、填空题
11．样本数据－2，0，6，3，6的众数是______．
12．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 1123absinA，，，则sinB______．
13．已知a是函数22fxlogx＝－的零点，则实数a的值为______．
14．已知函数(0)ysinx＝＞在一个周期内的图像如图所示，则的值为______．
15．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF角为
__________．
三、解答题
16．已知函数,0,2()4,2,4.xxfxxx， （Ⅰ）画出函数()fx的大致图象；
（Ⅱ）写出函数()fx的最大值和单调递减区间
17．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．
(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．
18．已知等比数列na的公比2q＝，且2341aaa，，成等差数列．
(1)求1a及na；
(2)设nnban＝，求数列nb的前5项和5S．
19．已知向量a＝(1,)sin，b＝2,1．
(1)当6时，求向量2a＋b的坐标；
(2)若a∥b，且(0)2，，，求()4sin＋的值．
20．已知圆C：22230xyx＋＋－＝．
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于1122,,AxyBxy、两点，求证：1211xx为定值；
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大．
参考答案
1．C
【解析】
根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定该几何体是圆台，故选C.
2．D
【解析】
因为元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，所以该元素是3，故选D.
3．B
【解析】
因为在区间[0,5]内任取一个实数，取到的数有无限多个，且每个数被取到的机会均等，所以是几何概型，由几何概型概率公式知，总区间长度为5，大于3的区间长度为2，故25P，选B.
点睛：本题主要考查了几何概型的概率问题，属于中档题.解决此类问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.
4．B
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
输入x=1，
y=1﹣1+3=3，
输出y的值为3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
5．A
【解析】
因为0ABAC，所以ABAC，所以三角形是直角三角形，故选A.
6．C 【解析】
因为3sin120sin(9030)cos302，故选C.
7．D
【详解】
由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，
1111//,ACACACBDACBD，
故选D.
8．A
【解析】
根据二次函数12yxx的图象可知，不等式的解是12x－，故选A.
9．C
【解析】
因为点P,1m不在不等式20xy＋－＜表示的平面区域内，所以120m，解得m1，故选C.
10．A
【解析】
因为匀速骑车，所以时间与路程的关系是线性关系，又中间阻塞，故一段时间内路程不增加，符合题意的图象只能选A.
11．6；
【解析】
在这组数中，出现频率最高的是6，故众数是6，填6.
12．23；
【解析】
根据正弦定理知，sinsinabAB，所以sin2sin3bABa，故填23.
13．4；
【解析】 因为a是函数22fxlogx＝－的零点，所以220faloga＝－，解得4a，故填4.
14．2；
【解析】
根据函数图象可知，44T，所以周期T，又2T，所以2，故填2.
15．45(或4)
【详解】
由图形知，AE⊥平面EBCF,所以AFE就是直线与平面所成的角，在直角三角形AFE中，因为AEFE，所以4AFE，故填4（或45）.
点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.
16．(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) ()fx的最大值为2.其单调递减区间为24，或24，.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用描点法分别作出y,0,2xx与4y,2,4xx的图象，即可得到函数fx的大致图象；（Ⅱ)根据图象可得函数fx的最大值和单调递减区间.
试题解析：（Ⅰ）函数fx的大致图象如图所示.
（Ⅱ)由函数fx的图象得出，fx的最大值为2.
其单调递减区间为24，或24，.
17．（1）2人（2） 【解析】
试题分析：（1）根据分层抽样中每层的抽样比相等计算即可；（2）列出所有基本事件，找到恰有一名男同学的事件，根据古典概型公式计算.
试题解析： (1)305350(人)，205250(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人；
（2）设这5名同学中，三名男同学分别为,,,abc，两名女同学分别为,de，从中任选两人的所有的基本事件：(,)(,)(,)(,)abacadae(,)(,)(,)bcbdbe(,)(,)cdce(,)de，共10种.其中恰有一名男同学的事件为(,)(,)adae(,)(,)bdbe(,)(,)cdce，共6种，所以概率63105P.
18．(1)12nna；(2) 46.
【解析】
试题分析：（1）根据等差中项及等比数列的通项公式即可求解；（2）根据分组求和的方法及等差等比的前n项和求解.
试题解析：(1)由已知得2131412,141,8aaaaaa，又4232(1)aaa，
所以1112(41)28aaa1，解得11a，故1112nnnaaq；
(2)因为12nnbn，
所以551234521(15)5=46212Sbbbbb.
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
19．(4,2)；(2)264．
【解析】
试题分析：（1）根据向量坐标的运算计算即可；（2）根据两向量平行的坐标公式计算.
试题解析：(1)因为6，所以a＝1(1,)2，于是向量2a＋b＝12(1,)(2,1)(4,2)2； (2)因为a∥b，所以1sin2，又因为(0,)2，所以3cos2，
所以26sin()sincoscossin4444.
点睛：本题考查了向量平行的坐标运算，以及正弦和差公式及余弦函数的性质，属于中档题.解题时注意向量平行公式的应用，处理时要注意分析cos0x，否则容易造成失分，在辅助角公式的使用时，注意特值的特殊性，以及余弦函数图像性质的熟练应用.
20．(1)圆心C的坐标为(－1，0)， 圆的半径长为2；(2)证明见解析； (3)
3010xyxy－＋＝或－－＝．
【详解】
试题分析：（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程，根据根与系数的关系化简即可证出；（3）
试题解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2；
(2)设直线l的方程为y＝kx，联立方程组22230xyxykx
消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，则有：12122223,11xxxxkk
所以2211211123xxxxxx为定值.
(3)解法一 设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离12bd，
所以222224DERdd，
2142CDESDEddd≤22(4)22dd，
当且仅当24dd，即2d时，△CDE的面积最大
从而122b，解之得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0
解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，
