材料力学论文学习心得
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《集中力作用下深梁弯剪耦合变形应力计算方法》学习心得
背景
深梁是工程中常见的的结构，其跨高比一般介于3~8之间。当梁上作用集中力时，既有弯矩又有剪力即横力弯曲，出现弯剪耦合现象。由于剪力的存在，梁的横截面上会出现翘曲现象，并且与中性层平行的截面上出现挤压应力。
跨高比小于5的梁在应用细长梁的纯弯曲理论及假设计算时，误差会随跨高比的减小而迅速增大。对这种深梁而言，细长梁理论就不适用了。深梁应力计算主要影响因素有截面形状、支座约束、跨高比，究其原因是集中力作用下发生弯曲变形时，平面假设和纵向纤维相互不挤压的假设与实际相差太大。
原理
文章只研究两端简支和两端固支时，集中载荷作用在跨中时的横力弯曲的问题，以矩形截面为例，然后推广至工字形截面。
模型简化：在深梁跨中施加集中力F；当深梁为简支时，两端只有集中反力R的作用；当深梁为固支时，梁两端受到剪力和弯矩的共同作用。当深梁受有集中力时，由于跨度小，梁高大，其跨中截面的挠度较小。故以力的作用点为圆心的区域内按一半平面考虑应力分布。根据弹性力学半平面体在边界上受集中力作用时，应力计算方法得出深梁内的应力分布。由弹性力学半平面模型可得到图1所示载荷下应力表达式。
𝜎𝑥=−2𝐹𝜋𝑥2𝑦(𝑥2+𝑦2)2 (1)
在梁两端集中反力作用下，梁内也会产生应力场，按照叠加原理，梁内应力由这三个力产生的应力场叠加而得。为方便将这三个应力叠加在一起，文章采用了坐标变换，变换方式坐标轴以图2为基准。坐标变换公式如下：
对于集中力F产生的应力场，有如下坐标变换：
{𝑥𝐹=𝑥−𝑙2𝑦𝐹=𝑦−ℎ2 (2)
对于集中反力𝑅1产生的应力场，有如下坐标变换：
{𝑥𝑅1=−𝑥𝑦𝑅1=−𝑦+ℎ2 (3)
对于集中反力𝑅2产生的应力场，有如下坐标变换：
{𝑥𝑅2=𝑙−𝑥𝑦𝑅2=−𝑦+ℎ2 (4)
将（2）、（3）、（4）式代入到（1）中，由平衡原理知𝑅1=𝑅2=𝐹2，可得到叠加后应力表达式：
𝜎𝑥=2𝐹𝜋(𝑥−𝑙2)2(𝑦+ℎ2)((𝑥−𝑙2)2+(𝑦+ℎ2)2)2−𝐹𝜋𝑥2(−𝑦+ℎ2)(𝑥2+(−𝑦+ℎ2)2)2−𝐹𝜋(𝑙−𝑥)2(−𝑦+ℎ2)((𝑙−𝑥)2+(−𝑦+ℎ2)2)2(5)
梁在集中力作用下，不仅引起剪力，还会产生弯矩，因此需要考虑弯矩剪力共同作用产生的应力。再将材料力学梁受弯矩作用下的应力公式代入叠加到（5）式中，可得弯剪共同作用下的应力表达式：
𝜎𝑥=𝑀𝑦𝐼+2𝐹𝜋(𝑥−𝑙2)2(𝑦+ℎ2)((𝑥−𝑙2)2+(𝑦+ℎ2)2)2−𝐹𝜋𝑥2(−𝑦+ℎ2)(𝑥2+(−𝑦+ℎ2)2)2−𝐹𝜋(𝑙−𝑥)2(−𝑦+ℎ2)((𝑙−𝑥)2+(−𝑦+ℎ2)2)2(6)
分析
对（6）式所得结果进行无量纲化分析，定义剪跨比𝜂=𝑥𝑙(0<𝜂<1)，跨高比𝛼=𝑙ℎ，和y值的无量纲值𝜉=𝑦ℎ/2。将其代入（6）得到
𝜎𝑥=𝑀𝑦𝐼+𝐹2𝜋ℎ{2𝛼2(𝜂+12)2(𝜉+1)(𝛼2(𝜂+12)2+14(𝜉+1)2)2−𝛼2𝜂2(−𝜉+1)(𝛼2𝜂2+14(−𝜉+1)2)2−𝛼2(1−𝜂)2(−𝜉+1)(𝛼2(1−𝜂)2+14(−𝜉+1)2)2}（7）
再将大括号中的表达式用𝜆表达得到𝜎𝑥=𝑀𝑦𝐼+𝐹𝜆2𝜋ℎ。为材料力学解加一个修正项。为比较材料力学和修正项的比例又引入无量纲翘曲应力𝜆𝜎=𝐹𝜆2𝜋ℎ𝐼𝑀𝑦。得到无量纲弯曲正应力表达式：
𝜎̅={1+𝜆𝜎1 𝜂≤121+𝜆𝜎2 𝜂>12 (8)
对于具体模型两端简支和两端固支与梁截面为矩形和工字形分别计算其表达式。
两端简支，矩形截面为：
{𝜆𝜎1=𝜆6𝜋𝛼𝜉𝜂， 𝜂≤12.𝜆𝜎2=𝜆6𝜋𝛼𝜉（1−𝜂），𝜂>12. (9)
两端简支，工字形截面为：
{𝜆𝜎1=𝜆（1+6𝛽）6𝜋𝛼𝜉𝜂， 𝜂≤12.𝜆𝜎2=𝜆（1+6𝛽）6𝜋𝛼𝜉（1−𝜂），𝜂≥12. （10）
两端固支，矩形截面为：
{𝜆𝜎1=2𝜆3𝜋𝛼𝜉（1−4𝜂)， 𝜂≤12.𝜆𝜎2=2𝜆3𝜋𝛼𝜉（4𝜂−3），𝜂>12. (11)
两端固支工字形截面为
{𝜆𝜎1=2𝜆（1+6𝛽）3𝜋𝛼𝜉（1−4𝜂)， 𝜂≤12.𝜆𝜎2=2𝜆（1+6𝛽）3𝜋𝛼𝜉（4𝜂−3），𝜂>12. (12)
最后以具体算例来说明计算结果的可靠性，并与有限元与材料力学解放一起比较。如下图：
心得
文章浅显易懂，主要思想是使用叠加法将材料力学里未考虑的剪力作用产生的应力叠加到材料力学梁的应力公式里。但个人觉得其理论模型中在支点处同时也使用半平面假设不妥。理由如下：在梁跨中使用半平面假设由原理部分的分析可知是可以的，但在支点处以——以左支点为例，支反力作用在左支点时，由于其左侧没有材料，即存在边界，应力在边界处应为0而不是半平面假设中以力为
对称轴时对称轴上不为0的值，因此在支点处再次使用半平面假设将两侧边界处的应力算大了。如果将支点处的半角看作为楔形体在楔顶受力的假设，则可在本侧侧面边界上得到满足实际情况的边界条件，而在对面侧面边界与上边界上不符合实际情况，但由于其距作用力点较远，由此假设下应力表达式𝜎𝜌=−2𝐹𝜌(cos𝛽cos𝜑𝛼+sin𝛼+sin𝛽sin𝜑𝛼−sin𝛼)知，其应力较平面假设小，应该会得到一个更好的结果。
物理学在处理波的问题时同样使用叠加法，在有限边界时当作无限边界考虑，同时，在边界处使用回波作为叠加使其满足边界条件。我们是不是可以将应力看成波，以此本文章为例，跨中做半平面假设时，其下边界与两侧边界是不满足边界条件的，将边界看作反射平面犹如一面镜子，越过边界的半平面假设得到应力变化为负值以边界为镜面反叠加回去，这样即可满足下边界应力为0的条件，不知道这种想法是不是可以得到更精确些的解。这是临时的一个为解决边界不满足模型条件的想法，请老师批评指正。
