反常积分的几种计算方法

反常积分的几种计算方法

目 录

摘 要 ……………………………………………………………………………………1

关键词 ……………………………………………………………………………………1

Abstract …………………………………………………………………………………1

Keywords…………………………………………………………………………………1

0 前 言………………………………………………………………………………… 1

1反常积分的定义 …………………………………………………………………… 1

1.1无穷积分的定义 …………………………………………………………………… 1

1.2 瑕积分的定义 …………………………………………………………………….. 2

2 反常积分的计算方法 …………………………………………… ……………… 3

2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分…………………………………………

3

2.2利用变量替换法计算反常积分 ……………………………………………………3

2.3利用分部积分法计算反常积分 ……………………………………………………5

2 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 …………………………………………7

2.5利用方程法计算反常积分 …………………………………………………………7

2.6利用级数法计算反常积分 …………………………………………………………9

2.7利用待定系数法计算反常积分……………………………………………………10

结束语…………………………………………………………………………………………… 11

参考文献………………………………………………………………… 1

1

uauJdxxf)(lim,

)1(

则称此极限J为函数f在,a上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作

adxxfJ)(,

)1(

并称adxxf)(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称adxxf)(发散.

类似地,可定义f在b,上的无穷积分：

buubdxxfdxxf)(lim)(.

)2(

对于f在,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：

dxxfdxxfdxxfaa)()()(.

)3(

1.2瑕积分的定义

定义2设函数f定义在区间ba,上,在点a的任一右领域上无界,但在任何内闭区间babu,,上有界且可积.如果存在极限

buauJdxxf)(lim,

)4(

则称此极限为无界函数f在ba,上的反常积分,记作

badxxfJ)(,

)4(

并称反常积分badxxf)(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分badxxf)(发散.

在定义中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反

2 常积分badxxf)(又称为瑕积分.

类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分：

uabubadxxfdxxf)(lim)(.

)5(

其中f在ba,有定义,在点b的任一左领域上无界,但在任何baua,,上可积.

若f的瑕点bac,,则定义瑕积分

dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(

=bvcvuacudxxfdxxf)(lim)(lim.

)6(

其中f在bcca,,上有定义,在点c的任一领域上无界,但在任何caua,,和bcbv,,上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.

又若ba,两点都是f的瑕点,而f在任何bavu,,上可积,这时定义瑕积分

dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(

=vcbvcuaudxxfdxxf)(lim)(lim, )7(

其中c为ba,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.

2反常积分的计算方法

在计算反常积分时有三大基本方法：Newton—Leibniz公式、利用变量替换、利用分部积分法.

设dxxfba)(是反常积分, b为唯一的奇点(b为有限数,或),计算dxxfba)(：

2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分

若)(xf在ba,连续,且)(xF为)(xf的原函数,则

3 )()0(|)()(0aFbFxFdxxfbaba.

)8(

例1 计算bapaxdx)(的值.

解： paxxf)(1)(在ba,上连续,从而在任何babu,,上可积, ax为其瑕点，故

bupaubapaxdxaxdx)(lim)(

.1),ln()ln(,1,1)(1)(.1,)ln(,1,1)()(111pauabppaupabpaxppaxaxdxppbubupbup

.1,,1,1)()(lim)(1pppabaxdxaxdxpbupaubap

2.2利用变量替换法计算反常积分

若)(t在,上单调,有连续的导数)(t,baa)0(,)((为有限数或无穷大),则

dtttfdxxfba)())(()(.

(9)

例2 计算baxbaxdx))((2的值.

解：令22sincosbax则cossin2sincos2badx,

2222222sin)(sinsinsin)1(cossincosabbabaabaax2222222cos)(coscoscos)sin1(sincosabababbabxb

24cossin)(cossin)(22))((22020dabdabxbaxdxba.

4 例3 证明等式dtabtfadxxbaxf020)4(1)(,其中0,ba(假设二积分有意义).

分析:比较该等式的两边,我们必须使得

abtxbax42,

因0,,xba,此即要求abtxbax422,亦即

22txbax.

因此我们选取的变换如下：

证明：令txbax,

此时abtxbax42成立,因此可得

)4(212abttax，

dtabtaabttdx42422.

于是dtabtabttabtfadxxbaxf44)4(21)(222000,

在上式的右边的第一个积分里,令ut,

00222222044)4(44)4(21)(dtabtabutabtfduabuuabuabufadxxbaxf再将u改写成t,二积分合并,得

dtabtfadxxbaxf020)4(1)(.

因此该式得证.

2.3利用分部积分法计算反常积分

设)(),(xvvxuu在ba,上有连续的导数,则

babababadxxuxvxvxuudvdxxvxu)()()()()()(0.

(10)

例4 计算dxxx10ln的值.

5 解： 10210ln21lnxdxdxxx

)1ln(21102102dxxxxx

41

例5 计算积分dxxnx20cosln2cos.

解：(困难在于被积函数中有对数符号ln"",用分部积分法消去ln"")

原式nxdxn2sincosln2120

dxxxnxnxnxn2020cos)sin(2sin21cosln2sin21

dxxxnxn20cossin2sin21

(我们看到,这里如果被积函数没有分母的xcos,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式

nkktttn12cos21sin)12sin(

将被积函数拆开).因为

xnxnxxnx)12cos(cos2cossin2sin,

dxxxndxnxndxxxnxn202020cos)12cos(2cos21cossin2sin21,

第一个积分为0，第二个积分令tx2,

dxxxnndxxxnxn2020cos)12cos(21cossin2sin21

dtttnnn201sin)12sin(2)1(

dtktnnkn20112cos212)1(

nn4)1(1.

6 例6 计算nxxdx)22(2.

解：nnxdxxxdx11)22(22

nxttdt121

nnItdt21202,

分部积分可建立nI的递推公式: 012202021211nnnntdtnttttdtI

122nnnInI,

即nnInnI2121.

21021tdtI,

2!)!22(!)!32(21425222321nnInnnnIn.

在计算nI时我们也可以利用变量替换法进行求解,令tant,

dtdtInnn202202cos1,再直接引用Walls公式2!)!22(!)!32(nn.

利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.

除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法：

2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分

在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区间相抵消或者合并.

例7 计算dxxx021ln2的值.

解：dxxxdxxxdxxx12102021ln21ln21ln2